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Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 1 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Transformada discreta de FourierTransformada discreta de Fourier
8 de setiembre de 2011
Procesamiento Digital de Señales
Licenciatura en Bioinformática
FI-UNER
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 2 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Organización
1
2
Transformada discreta de Fourier
Transformada rápida de Fourier
3 Análisis tiempo-frecuencia
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 3 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
• Análisis de Fourier: consiste en aislar los componentes del sistema que tienen
una forma compleja para tratar de comprender mejor su naturaleza u origen.
Transformada de Fourier
IntroducciónIntroducción
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Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
• Se dedica al estudio de señales: periódicas o no periódicas, continuas o
discretas, en el dominio del tiempo, o de cualquier otra variable
unidimensional, bidimensional o multidimensional.
• En sus versiones más avanzadas estudia: procesos estocásticos y
funciones de distribución, pero sus fundamentos siguen siendo muy
simples.
Transformada de Fourier
IntroducciónIntroducción
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Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
• La transformada de Fourier es una representación de una función
en el dominio de la frecuencia
• Contiene exactamente la misma información que la señal original
• Sólo difiere en la manera en que se presenta
Transformada de Fourier
IntroducciónIntroducción
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 6 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Dominio Temporal (t)
Transformada de Fourier
IntroducciónIntroducción
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 7 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
- 1/4
- - 1/2
2
T
3
T
2
T
3
T--
- 1/4
- - 1/2
2
T
2
T-
- 1/4
- - 1/2
2
T
3
T
2
T
3
T--
Transformada de Fourier
IntroducciónIntroducción
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 8 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
• la fundamental
• menos 1/3 de la 3er armónica...
• más 1/5 de la 5ta armónica...
• menos 1/7 de la 7ma armónica....
Una onda cuadrada puede obtenerse sumando:
Transformada de Fourier
IntroducciónIntroducción EjemploEjemplo
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Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Curvas de sintonía de las fibras del nervio auditivo.
Transformada de Fourier
IntroducciónIntroducción El oído como analizador frecuencialEl oído como analizador frecuencial
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 10 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
• Entender la relación entre tiempo y frecuencia es útil:
– Algunas señales se visualizan mejor en la frecuencia.
– Algunas señales se visualizan mejor en el tiempo.
– Esto tiene que ver con la forma en que se presenta la
información en cada dominio.
• Por ejemplo: una onda senoidal utiliza mucha información para
definirse adecuadamente en el dominio del tiempo, pero no en el de
la frecuencia.
Transformada de Fourier
IntroducciónIntroducción Tiempo y frecuenciaTiempo y frecuencia
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 11 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
• Para representar una señal f en un espacio de n dimensiones generado por el conjunto {vi}, i=1..n puede usarse la siguiente combinación lineal:
f = c1.v1+ c2.v2+ ... +cn.vn
• Efectuando el producto interno con vi en ambos miembros:
f .vi = c1.v1.vi + c2.v2.vi + ... +cn.vn.vi
• Si el conjunto de generadores es ortogonal
f .vi = ci.vi.vi → ci = f .vi / (vi.vi)
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Los coeficientes ci que permiten expresar a f en función de una
base ortogonal de vectores serán:
f
c1v1
c2v2
2i
i
ii
ii
v
v.f
v.v
v.fc ==
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
tfji e)f,t(v π=ϕ= 2
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 14 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
x(t)
periódicaSerie de Fourier
(discreta e infinita)
no periódica Integral de Fourier (continua)
muestreada
¿ Transformada Discreta de Fourier ?
Transformada de Fourier de una Secuencia Discreta(continua y periódica)
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada de Fourier
Funciones de FourierFunciones de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 15 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada de Fourier
tnf2jni
0e)f,t(vπ=ϕ=
Series de FourierSeries de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 16 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Si x(t) = x(t+T) ∀ t
x ta
a kt T b kt T
donde
aT
x t kt T dt k
bT
x t kt T dt k
kk
k
k
T
T
k
T
T
( ) [ cos( / ) sen( / )]
( ).cos( / ) , , ,...
( ).sen( / ) , ,...
/
/
/
/
= + +
= =
= =
=
∞
−
−
∑
∫
∫
0
1
2
2
2
2
22 2
22 0 1 2
22 1 2
π π
π
π
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada de Fourier
Series de FourierSeries de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 17 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
∫∞
∞−
−= dtetxfXtfj π2
)()(
∫∞
∞−
−= dfefXtxtfj π2
)()(
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada de Fourier
Integral de FourierIntegral de Fourier
¿Qué ocurre cuando T → ∞?
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 18 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
tf2ji e)f,t(v π=ϕ=
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada de Fourier
Integral de FourierIntegral de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 19 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
En general la transformada de Fourier es una función de variable compleja
X(f)=R(f) + j I(f) = |X(f)| ejq(f)
R(f) es la parte real de la TF
I(f) es la parte Imaginaria
|X(f)| es la magnitud o espectro de Fourier de x(t)
q(f) es el ángulo de fase de la TF
PropiedadesPropiedades
Transformada de Fourier
=θ
+=
−)f(R
)f(Itan)f(
I)f(R)f(X
1
22
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Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
PropiedadesPropiedades
Transformada de Fourier
ExistenciaExistencia
∫∞
∞−∞<∃ dt)t(xsi)f(X
2(Energía finita).
Las señales transitorias cumplen con esa condición
Las señales periódicas (-∞,∞) no cumplen con esa condición
Se requiere la utilización de funciones generalizadas o teoría de distribuciones
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 21 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
• Linealidad: x(t)+y(t) ⇔ X(f)+Y(f)
• Dualidad: X(t) ⇔ x(-f)
• Desplazamiento temporal: x(t-to) ⇔ X(f).e-j2πfto
• Modulación en frecuencia: X(f-fo) ⇔ x(t). e-j2πfot
• Escalamiento temporal: x(kt) ⇔ 1/k.X(f)
• Escalamiento frecuencial: X(kf) ⇔ 1/|k|.x(t/k)
• Otras…
PropiedadesPropiedades
Transformada de Fourier
Si x(t) ⇔ X(f) e y(t) ⇔ Y(f) entonces:
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 22 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
• Si x(t) es aleatoria no puedo conocer exactamente su espectro, debo estimarlo.
Estimación espectralEstimación espectral
Transformada de Fourier
Métodos paramétricos y no paramétricos.
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 23 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
t f
h(t) H(f)
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 24 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
. . . . . .
T
. . . . . .
h(t) H(f)
∆o(t) ∆o(f)
-1/T 1/T
t f
Transformada discreta de Fourier
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 25 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
T
. . . . . .
h(t). ∆o(t) H(f)∗∆o(f)
-1/2T 1/2Tt f
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 26 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Infinitas muestras
. . . . . .
h(t). ∆o(t)H(f)∗∆o(f)
-1/2T 1/2Tt f
T
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 27 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
. . . . . .
h(t). ∆o(t)H(f)∗∆o(f)
-1/2T 1/2Tt
f
T
Espectro continuo
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 28 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
. . . . . .
h(t). ∆o(t)H(f)∗∆o(f)
-1/2T 1/2Tt f
T
v(t)
t-To/2 To/2
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 29 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
. . . . . .
h(t). ∆o(t)H(f)∗∆o(f)
-1/2T 1/2Tt f
T
-To/2 To/2
v(t)
t -1/To 1/Tof
V(f)
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 30 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Ventanas de Hamming y Blackman
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 31 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
N muestras
h(t).∆o(t).v(t)
-To / 2 To / 2
H(f)∗∆o(f) ∗V(f)
t f-1/2T 1/2T
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 32 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
1/T1
. . . . . .
-1/T 1/T
h(t).∆o(t).v(t)
-To / 2 To / 2 t f-1/2T 1/2T
f
∆1(f)
H(f)∗∆o(f) ∗V(f)
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 33 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
h(t).∆o(t).v(t)
-To / 2 To / 2 t
f
-1/2T 1/2T
. . .
. . .
-1/T 1/Tt
f
1/T1
-To To
∆1(t)
H(f)∗∆o(f) ∗V(f)
∆1(f)
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 34 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
[h(t).∆o(t).v(t)] ∗ ∆1(t) [H(f) ∗ ∆o(f) ∗ X(f)]. ∆1(f)
t f
N muestras N muestras
Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia
Transformada discreta de Fourier
Par de transformada discreta de FourierPar de transformada discreta de Fourier
[ ] [ ] N
knjN
n
e.nxkX
π21
0
−−
=∑=
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Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
2
N..
2
N- k 1,-0..Nn N
nk2j
ek,niv ==
π
=ϕ=
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 36 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
−
−
−−
=
− ]1N[x
]1[x
]0[x
.
]1N[v]1[v]0[v
]1N[v]1[v]0[v
]1N[v]1[v]0[v
]1N[X
]1[X
]0[X
NNN
222
111
M
L
M
L
L
M
X = M.x
x: señal, x[n].
X: transformada discreta de Fourier de x[n], X[k].
M: matriz de transformación.
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada discreta de Fourier
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Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
−
−−π−−π−−π−
−π−π−π−
−π−π−π−
=
− ]1N[x
]1[x
]0[x
.
N
)1N)(1N(2je
N
)1)(1N(2je
N
)0)(1N(2je
N
)1N)(1(2je
N
)1)(1(2je
N
)0)(1(2je
N
)1N)(0(2je
N
)1)(0(2je
N
)0)(0(2je
]1N[X
]1[X
]0[X
M
L
M
L
L
M
Espacios de señalesEspacios de señales
Transformada discreta de Fourier
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 38 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Transformada rápida de FourierTransformada rápida de Fourier
Transformada discreta de Fourier
Algoritmo que calcula eficientemente la TDF.
Restricción: N = 2P
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Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Multiplicaciones
Transformada rápida de FourierTransformada rápida de Fourier
Transformada discreta de Fourier
N=1024N=512N=0
512 K
1 M
FFT
TDF
Cantidad de operacionesCantidad de operaciones
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 40 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
IntroducciónIntroducción
Análisis tiempo - frecuencia
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1
-0.5
0
0.5
1
Seg
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1
-0.5
0
0.5
1
Seg
)t102sin()n(x π=
)t802sin()n(x π=
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 41 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Seg
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
100
200
300
400
500
Hz
IntroducciónIntroducción
Análisis tiempo - frecuencia
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 42 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
IntroducciónIntroducción
Análisis tiempo - frecuencia
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1
-0.5
0
0.5
1
Seg
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
50
100
150
200
250
Hz
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 43 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Brinda una vista alternativa de la señal (3D).
El eje horizontal es el tiempo
El eje vertical es la frecuencia
La oscuridad o color es proporcional a la energía
EspectrogramaEspectrograma
Análisis tiempo - frecuencia
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 44 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Time
Fre
quency
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
20
40
60
80
100
EspectrogramaEspectrograma
Análisis tiempo - frecuencia
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 45 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1
Time
Fre
quency
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
20
40
60
80
100
EspectrogramaEspectrograma
Análisis tiempo - frecuencia
Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 46 / 46
Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier
Fin de la claseFin de la clase