Post on 26-Jul-2015
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
ÁREA DE TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
APRENDIZAJE DIALÓGICO INTERACTIVO
UNIDAD CURRICULAR ALGEBRA LINEAL
UNIDAD 3
Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Realizado por:
Prof. Edgar Pérez
Junio, 2012
Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Transformaciones Lineales,
Valores y Vectores Propios
Introducción
En esta Unidad abordaremos una clase especial de funciones que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y en otras ramas de las matemáticas denominadas transformaciones lineales, las definiremos y estudiaremos algunas de sus propiedades y ejemplos. También estudiaremos los valores y vectores propios determinados a partir de las transformaciones lineales y su aplicación para diagonalizar matrices.
Objetivos Didácticos
Identificar y aplicar las transformaciones lineales a problemas de
ingeniería.
Aplicar el concepto de valores y vectores propios de una matriz a
situaciones específicas.
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UNIDAD
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Transformaciones Lineales
Dados los espacios vectoriales U y V sobre un cuerpo Φ, una aplicación
T : U V es una transformación lineal u homomorfismo de U en V si se
cumplen las siguientes condiciones:
a. T (U 1+U 2 )=T (U 1 )+T (U 2 ) ;U 1 ,U 2∈U
b. T (αU1 )=αT (U 1 ) ;α ,U 1∈U
c. T (α1U 1+α 2U 2 )=α1T (U 1 )+α2T (U 2 ) ;α 1 , α 2 ,U 1 ,U 2∈U
El conjunto de todas las transformaciones lineales de U en V es un espacio
vectorial respecto de las operaciones de adición y del producto por un escalar
definidas por:
a. (T 1+T2 )(X )=T1 (X )+T 2 (X )
b. (αT )( X )=α T (X ) para todo x∈U y α∈Φ
Este espacio se puede designar mediante L (U,V) o bien Hom (U,V)
Clasificación de las Transformaciones Lineales
Las transformaciones lineales inyectivas se llaman transformaciones
regulares
Las biyectivas se llaman isomorfismos. Si existe un isomorfismo de U en
V se dice que dichos espacios son isomorfos
Las transformaciones lineales de un espacio U en si mismos se llaman
endomorfismos, y el espacio vectorial de los endomorfismos de U se
designa por L (U)
Las transformaciones lineales biyectivas sobre U se llaman automorfismos
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Las transformaciones lineales de U en K se llaman funciones o formas
lineales y el espacio de las funciones lineales definidas en U se designa : L
(U).
Por ejemplo:
Verifica que la transformación T : R2 R3 tal que T(x, y) = (x + y, y, x –y), es una
transformación lineal
Verificamos las condiciones:
Sean U 1= (x , y ) ,U 2=(p ,q )∈R2 , entonces:
T (U 1+U 2 )=T ( x+ p , y+q )
¿ ( ( x+ p )+( y+q ) , y+q , (x+ p )−( y+q ))=( ( x+ y )+( p+q ) , y+q , (x− y )+ (p−q ) )=( x+ y , y , x− y )+( p+q ,q , p−q )=T (x , y )+T ( p ,q )=T (U 1 )+T (U 2 )
Sean U=( x , y ) ,∈ R2 , k∈ R , entonces:
T ( kU )=T (kx , ky )=(kx+ky , ky , kx−ky )=k ( x+ y , y , x− y )=kT (x , y )
¿k (TU )
Asi, T es una transformación lineal
Núcleo de una Transformación Lineal
Se llama núcleo de una transformación lineal T : U V y se designa por K de T
al subespacio de U: K de T ( u⃗ )={u∈U /T ( u⃗ )= 0⃗}
Teorema
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Una transformación lineal es regular si y sólo si K de T = {0}, es decir, si su
núcleo se reduce al vector nulo.
Teorema
La independencia lineal de un conjunto finito y no vacío de vectores significa que
no puede darse una combinación lineal de dicho conjunto que dé el vector nulo,
con algún escalar distinto de cero.
Imagen de una Transformación Lineal
Se llama imagen de la transformación lineal T : U V y se designa mediante
lm de T al subespacio de V: lm V = T (u )={v∈V /u∈U ,T (u )=v }
Éste constituye un subespacio como puede ser fácilmente comprobado. Cuando
lm T = V entonces es una transformación lineal de U sobre V, o sea, una
sobreyección.
Ejemplos:
1. Sea T : U V una transformación definida por: T⃗ (a )=0 , ∀V , demuestre
que T es una transformación lineal (denominada transformación nula)
Para que T⃗ (a )=0 , ∀V sea transformación lineal debe cumplir con la
propiedad: T (α a⃗+β b⃗ )=αT ( a⃗ )+βT (b⃗ ), donde
T (α a⃗+β b⃗ )=αT ( a⃗ )+βT (b⃗ )=0 por definición
Entonces, si:
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
T ( a⃗ )=0⃗→αT ( a⃗ )=0⃗T ( b⃗ )= 0⃗→βT ( b⃗ )=0⃗
Se cumple:
αT ( a⃗ )+ βT (b⃗ )=0
2. Sea T : U V una transformación definida por: T ( a⃗ )= a⃗ ,∀V , demuestre
que T es una transformación lineal (denominada transformación identidad)
Para que T⃗ (a )=0 , ∀V sea transformación lineal debe cumplir con la
propiedad: T (α a⃗+β b⃗ )=αT ( a⃗ )+βT (b⃗ ) y por definición se sabe que:
T ( a⃗ )=a∧T (b⃗ )=b, por lo que se cumple la Transformación.
3. Sea T : R2 R3 una transformación definida por: T ( i⃗ )=i⃗+ j⃗ ;T ( j⃗ )=2 i⃗− j⃗,
calcule T (3 i⃗−4 j⃗)
Aplicando la transformación:
T (3 i⃗−4 j⃗)=3T ( i⃗ )−4T ( j⃗ )
Sustituimos:
3T ( i⃗ )−4T ( j⃗ )=3 ( i⃗+ j⃗ )−4 (2 i⃗− j⃗ )
Resolviendo nos queda:
−5 i⃗+7 j⃗
4. Sea T : R3 R2 una transformación, encuentre el núcleo de T sabiendo
que está definida por: T ( x , y , z )=( x− y ; y−z )
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Por definición de núcleo de una transformación
T ( u⃗ )={u∈U /T ( u⃗ )= 0⃗}
Donde: ( x , y , z )∈N (T )↔ ( x− y ; y−z )=(0 ;0 )
Así que: x = 0, y = 0, z = 0
Por lo tanto el núcleo es: N(T) = (0, 0, 0)
Teorema de la Dimensión
Sea T: V W una transformación lineal tal que dim(V), dim(W) < ∞, entonces:
dim (V )=dim (K (T ) )+dim (ℑ (T ))
Demostración:
Determinamos una base de K(T) y una base de Im(T) y postulamos que el
conjunto formado por los elementos de K(T) junto con pre-imágenes de los
elementos de Im(T) forman una base V.
Sea {v1 , v2 , v3 ,⋯ , vn } base de K(T) y {w1 ,w2 ,w3 ,⋯ ,wn } base de Im(T),
entonces dim (K (T ) )=n y dim (ℑ (T ) )=m, debemos demostrar que dim(V)=n+m
Como {w1 ,w2 ,w3 ,⋯ ,wn }∈ℑ(T ) entonces existen u1 ,u2 , u3 ,⋯um∈V tal que
T (u i )=w i ,∀i=1,2,3 ,⋯ ,m.
Postulamos queB= {v1 , v2 ,⋯ , vn ,u1 , u2 ,⋯ um } es base de V, entonces B es
linealmente independiente (L.I), en efecto,
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
a1 v1+a2 v2+⋯+an vn+c1u1+c2u2+⋯ cmum=0
Debemos demostrar que los escalares ai y cj son nulos y únicos.
Aplicando la transformación lineal a la última combinación lineal tenemos:
a1T (v1 )+a2T (v2 )+⋯+anT (vn )+c1T (u1 )+c2T (u2 )+⋯ cmT (um )=0
Pero T (v i )=0 ,∀i=1,2,⋯ , n, de donde la ecuación anterior queda:
c1T (u1 )+c2T (u2 )+⋯ cmT (um )=0, como {T (u j )=w j
j=1,2 ,⋯ ,m} es base de Im(T)
entonces cj = 0, únicos, ∀i=1,2 ,⋯ ,m
Remplazando esto último tenemos: a1 v1+a2 v2+⋯+an vn=0, y como
{v ii =1,2,⋯ , n} es base concluimos que ai = 0, únicos ∀i=1,2 ,⋯ , n
⟨B ⟩=V , en efecto:
Sea v∈V entonces, T ( v )∈ℑ(T ) de donde T ( v )=d1w1+d2w2+⋯+dmwm,
definiendo vr como: vr=v−d1u1−d2u2−⋯−dmum y aplicando la transformación lineal
obtenemos:
T (vr )=T ( v )−d1T (u1 )−d2T (u2 )−⋯−dmT (um )
¿d1w1+d2w2+⋯+dmwm−d1w1+d2w2+⋯+dmwm=0
Asi, vr∈K (T ), luego este vector se escribe como combinación lineal de los
vectores de la base del K(T) obteniendo vr=α 1 v1+α2 v2+⋯+αn vn=0; tenemos
entonces:
vr=v−d1u1−d2u2−⋯−dmum=α 1 v1+α2 v2+⋯+α n vn
De donde, al despejar conseguimos:
v=α 1 v1+α2 v2+⋯+α n vn+d1u1+d2u2+⋯+dmum
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Esto último indica que: ⟨B ⟩=V
Teorema
Sea T : V W una transformación lineal, entonces:
1. dim(Im(T)) ≤ dim (V): como dim(V) = dim(K(T)) + dim(Im(T)) ≥ dim(Im(T)),
entonces: dim(Im(T)) ≤ dim (V)
2. Si dim(W) < dim(V) entonces K(T) > 0, es decir, en esas condiciones la
transformación de T no es un monomorfismo. Como Im(T) < W entonces
dim(Im(T)) ≤ dim(W), como se tiene la hipótesis que dim(W) < dim(V)
entonces dim(Im(T)) ≤ dim(W) < dim(V). Despejando dim(K(T)) tenemos:
Dim(K(T)) = dim(V) – dim(Im(T)) > 0
3. Si dim(V) = dim(W) entonces T inyectiva ↔ T sobreyectiva: como la
dim(Im(T)) + dim(K(T)) = dim(V) = dim(W), entonces:
dim(K(T)) = dim(W) – dim(Im(T))
Si T es inyectiva entonces dim(K(T)) = 0 donde dim(W) = dim(Im(T))
y T es sobreyectiva
Si T es sobreyectiva entonces dim(W) = dim(Im(T)) de donde
dim(K(T)) = 0 y entonces T es inyectiva.
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Por ejemplo:
Determine una transformación lineal T :R3→R3 tal que K (T )=⟨ {(1,2,0 ) } ⟩ e
ℑ (T )= ⟨ {(0,1,2 ) , (0,0,3 ) }⟩. Determine además T(-1,2,3)
Como ya sabemos una transformación lineal queda completamente
determinada cuando conocemos lo que ella le hace a una base del espacio
dominio
Usando la demostración del Teorema de la Dimensión, debemos agregar
dos vectores a la base de K(T) para transformar una base de RR3; si
escogemos v1=(0,1,0 ) tal que T (0,1,0) = (0,1,2) y v2=(0,0,1 ) tal que T
(0,0,1) = (0,0,3) entonces el conjunto {(1,2,0 ) , (0,1,0 ) , (0,0,1 ) } es base de RR3,
observe que el conjunto es linealmente independiente ya que:
(1 2 00 1 00 0 1)
Está escalonada con las tres filas no nulas y es entonces un conjunto
máximo de vectores L.I.
Sea v=( x , y , z )∈RR3 entonces, existe escalares únicos a1 , a2 , a3∈R tal que
( x , y , z )=a1 (1,2,0 )+a2 (0,1,0 )+a3 (0,0,1 ), de donde se deduce el sistema lineal:
x=a1
y=2a1+a2
z=a3
De donde: a1=x ,a2= y−2 x ,a3=z; luego:
( x , y , z )=x (1,2,0 )+ ( y−2 x ) (0,1,0 )+z (0,0,1 )
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Aplicando la transformación lineal T, tenemos:
T ( x , y , z )=xT (1,2,0 )+( y−2 x )T (0,1,0 )+zT (0,0,1 )
¿ x (0,0,0 )+( y−2 x ) (0,1,2 )+z (0,0,3 )=(0 , y−2x ,2 y−4 x+3 z )
Ahora: T(-1,2,3) = (0,4,17)
Transformación Matricial
Una transformación matricial se define de la siguiente manera: Sea T : Rn
Rm una transformación lineal, entonces existe una matriz A ∈M (m, n, R) tal que:
T(U) = A.U, ∀U∈Rn.
Nota: Cuando se trabaja para ambos Espacios Vectoriales con las bases
canónicas (o naturales) a la matriz de la Representación Matricial se la llama
Matriz Estándar, y a la representación "Matricial Canónica".
Sea E={E1 ,E2 ,⋯ , En } la base canónica de Rn y E¿={E¿
1 ,E¿2 ,⋯ , E
¿m }base canónica
de Rm.
Sea U=(x1 , x2 ,⋯ , xn )∈Rn, entonces U se escribe como combinación de los
vectores de E: U=x1 E1+x2E2+⋯+xn En , así aplicando una transformación lineal T
se obtiene:
T (U )=x1T (E1 )+x2T (E2 )+⋯+xnT ( En ) (1)
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Por otro lado, cada vector T (E j )∈Rm se escribe como combinación lineal de la
base canónica E* como: T (E j )=a1 j E1¿+a2 jE2
¿+⋯+amj Em¿
Sustituyendo lo anterior en ecuación (1) obtenemos:
T (U )=x1 (a11E1¿+a21 E2¿+a31E3¿+⋯+am1 Em¿ )+x2 (a12 E1¿+a22E2¿+a32E3¿+⋯+am2 Em
¿ )+⋯+xn (a1n E1¿+a2n E2¿+a3nE3¿+⋯+amnEm¿ )
De donde se deduce que la i-ésima componente de T(U) es
a i1 x1+ai2 x2+ai3 x3+⋯+a¿ xn
Definiendo a la matriz A=(aij )∈M (m,n , R ) entonces, dado que la i-ésima
componente de
A .U=( a11 ⋯ a1n⋮ ⋱ ⋮am1 ⋯ amn
) .(x1⋮xn)
es: a i1 x1+ai2 x2+ai3 x3+⋯+a¿ xn concluimos que T(U) = A.U
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
AUTOEVALUACIÓN
1. En cada uno de los siguientes casos, determine cuáles de las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales:
a. T : R3 R2 definida por: T (x1 , x2 , x3 )=(x1−x2, x1+2x2 , x3−x2 )b. T : R2 R3 definida por: T (x1 , x2 , x3 )=(0 x1−x2 , x1+ x2 )c. T : R2 R3 definida por: T (x1 , x2 )=(3 x1+2 x2 ,−x1−2x2 )d. T : R3 R3 definida por: T (x1 , x2 , x3 )=(x1 , x1+ x2 , x1+x2+x3 )
2. Encuentre el núcleo de las siguiente transformaciones lineales:a. T : R3 R3 definida por: T ( x , y , z )=( x+2 y , y−z , x+2 z )b. T : R3 R3 definida por: T ( x , y , z )=( x , x− y , z )c. T : R3 R3 definida por: T (x1 , x2 , x3 )=(x1 , x3 ,+ x1 )
3. Sea T : R2 R2 una transformación lineal tal que T(x,y) = (x+y, 2x-y), determine:
a. K(T)b. dim(K(T))
4. Sea T : R3 R3 una transformación tal que: T(1,-1,1) = (-1,0,3); T(0,2,0)= T(4,2,2); T(1,0,0) = T(1,1,2)
a. Demuestre que A={(1,-1,1),(0,2,0),(1,0,0)} es base de R3R
b. Determine la transformación lineal T(x,y,z)c. Determine dim(K(T))
Valores y Vectores Propios
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Sean V un espacio vectorial sobre un campo K y una transformación lineal
T : V V. En la relación:
T ( v )=λ v ,∀ λ∈K ,∀ v ≠0∈V
a λ se le conoce como valor propio, y a v como vector propio, ambos de la
transformación lineal T
Propiedades de los Valores y Vectores Propios
En la transformación identidad I : V V los vectores propios están
asociados al valor 1
En la transformación nula 0 : V V todos los vectores propios se asocian
al valor cero
Si N(T) ≠ {0} entonces, todos sus elementos son vectores característicos
del valor 0
El valor propio λ = 0 indica que la transformación no tiene inversa
Para vectores propios u , v de T asociados al valor propio λ:
1. El escalar λ es único para esos vectores
2. El vector α v es un vector propio correspondiente a λ
3. El vector u+v también es un vector propio correspondiente a λ
Esta última propiedad establece las características de un subespacio vectorial.
En consecuencia el conjunto de vectores propios asociados a un valor propio
determinado constituye un espacio vectorial llamado espacio característico o
propio. Si T : V V es una transformación lineal y λ es un valor característico de
T, entonces el conjunto
E ( λ )={v∨v∈V ,T ( v )=λ v }
Se llama espacio característico asociado al valor λ.
Por ejemplo:
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Para la transformación lineal H : P1 P1 = H(ax + b) = (4a – 5b) + (2a – 3b) se
tiene que un vector p(x) = x +1 se transforma al multiplicarlo por -1.
H ( x+1 )=(4−5 ) x+(2−3 )=−x−1
En tanto que vectores como q(x) = -5x – 2 se obtienen al multiplicarlos por 2
H (−5 x−2 )=(4 (−5 )−5 (−2 ) )x+(2 (−5 )−3 (−2 ) )=(−20+10 ) x+(−10+6 )
¿−10x−4
En este ejemplo, los valores propios son λ = -1 y λ = 2 que están asociados
a los vectores v1=x+1 y v2=−5x−2, respectivamente.
Polinomio Característico; obtención de Valores y Vectores Propios
Los valores característicos se obtienen del determinante (det|A−λI|=0), el cual se
calcula con base a una matriz cuadrada A (que puede ser la matriz asociada a la
transformación lineal). El resultado será un polinomio conocido como ecuación
característica, cuyas raíces serán los valores propios. El grado del polinomio
característico es igual al orden de la matriz.
|A−λ|=0=an λn+an−1 λn−1+⋯+a2 λ2+a1 λ+a0
Considerando que la matriz asociada se multiplica por un vector de coordenadas,
el producto matricial ( A−λI ) [ v ]T=[T ( v ) ]T permite calcular el vector de coordenadas
del espacio característico asociado a λ .
Por ejemplo:
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Dada la transformación lineal T : C C => T(x+yi) = (-2x + 4y) + (x + y)i se
obtiene la matriz asociada referida a la base B = {1, i}
T (1 )=−2+i→−2 (1 )+1 ( i )
T (i )=4+i→4 (1 )+1 (i )
Construyendo la matriz asociada a la transformación lineal:
A (T )=(−2 41 1)
Calculando la ecuación característica: |A−λI|=0
|(−2 41 1)−(λ 0
0 λ)|=0|(−2− λ) 4
1 (1−λ)|=0
Aplicando el determinante a la matriz anterior:
(−2− λ ) (1−λ )−4=0
Resolviendo, obtenemos la ecuación característica de un polinomio de
grado 2 equivalente al grado de la matriz:
−2+2 λ−λ+λ2−4=0→λ2+ λ−6=0
Factorizando el polinomio, obtenemos los valores propios:
( λ−2 ) ( λ+3 )=0
λ1=2 y λ2=−3
Para determinar los vectores propios que corresponden a los valores
encontrados de λ, aplicamos la siguiente ecuación: ( A−λI ) v=0
o Para λ=2
((−2 41 1)−(2 0
0 2))(x1x2)=(00)
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Resolviendo:
(−4 41 −1)(x1x2)=(00)
Dado que cualquier vector característico correspondiente a λ=2 satisface
las ecuaciones:
−4 x1+4 x2=0
x1−x2=0
De donde se deduce que x1=1 y x2=1→v1=(11)=E1
o Para λ=−3
((−2 41 1)−(−3 0
0 −3))( x1x2)=(00) Resolviendo:
(1 41 4)( x1x2)=(00)
Dado que cualquier vector característico correspondiente a λ=2 satisface
las ecuaciones:
x1+4 x2=0
x1+4 x2=0
De donde se deduce que x1=−4 y x2=1→v2=(−41 )=E2
v1 y v2 son L.I, ya que como se observa uno no es múltiplo del otro
Realizando la combinación lineal con la base propuesta:
E1= (x , x )→x (1 )+x (i )=x+xi∴E1={x+xi ,∨x ϵ R }
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
E2= (−4 y , y )→−4 y (1 )+ y (i )=−4 y+ yi∴ E2= {−4 y+ yi ,∨ y ϵ R }
Estos últimos son los espacios característicos de la transformación lineal
Teorema de Cayley-Hamilton
Toda matriz es una raíz de su propio polinomio característico; es decir, al evaluar
un polinomio característico con su matriz se obtendrá como resultado una matriz
nula.
Por ejemplo:
Sea la matriz A=(1 −22 3 ), compruebe que A es raíz de su polinomio característico
Calculando la ecuación característica: |A−λI|=0
|(1 −22 3 )−(λ 0
0 λ)|=0|(1−λ ) −22 (3−λ)|=0
Aplicando el determinante a la matriz anterior:
(1− λ ) (3−λ )−(−2 )2=0
Resolviendo, obtenemos la ecuación característica de un polinomio de
grado 2 equivalente al grado de la matriz:
3−λ−3 λ+λ2+4=0→λ2−4 λ+7=p(λ)
Evaluando el polinomio con la matriz A:
p ( λ )=λ2−4 λ+7
p (A )=(1 −22 3 )
2
−4 (1 −22 3 )+7(1 0
0 1)18
Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
p (A )=(−3 −88 5 )+(−4 8
−8 −12)+(7 00 7)
p (A )=(−7 00 −7)+(7 0
0 7)p (A )=(0 0
0 0)
Queda comprobado que A es raíz de su polinomio característico
Diagonalización de Matrices
Dos matrices A y D son similares si: D = C-1AC. Su principal propiedad es que sus
determinantes son iguales y tienen el mismo polinomio característico. Una
transformación lineal puede tener matrices asociadas similares, donde una de
ellas es diagonal. Localizar dicha matriz diagonal es lo que se conoce como
diagonalización.
La matriz C está formada con una base de vectores propios dispuestos en
columna; la matriz diagonal D contiene a los valores propios de la transformación
lineal. No todas las matrices pueden diagonalizarse.
Las condiciones generales para que una matriz sea diagonalizable son:
A es una matriz simétrica
Los valores propios son diferentes entre si
La suma de las dimensiones de los espacios característicos es igual al
orden de la matriz
Existe una base del espacio vectorial formada por vectores propios
A es un múltiplo de la matriz identidad
Por ejemplo:
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Determine si la matriz A=(1 −1 43 2 −12 1 −1) es diagonalizable
Primero debemos encontrar los valores propios de la matriz a través de la
ecuación característica
|(1 −1 43 2 −12 1 −1)−(
λ 0 00 λ 00 0 λ)|=0
|(1−λ ) −1 43 (2−λ) −12 1 (−1−λ)|=0
Aplicando el determinante a la matriz anterior:
((1− λ ) (2−λ ) (−1−λ )+12+2)−¿
Resolviendo, obtenemos la ecuación característica de un polinomio de
grado 3 equivalente al grado de la matriz:
−(λ3−2 λ2−5 λ+6 )=0
Factorizando: λ1=1 , λ2=−2 , λ3=3
Para determinar los vectores propios que corresponden a los valores
encontrados de λ, aplicamos la siguiente ecuación: ( A−λI ) v=0
o Para λ1=1 ( A−λI ) v=0
((1 −1 43 2 −12 1 −1)−(
1 0 00 1 00 0 1))(
xyz )=(000)
Resolviendo:
(0 −1 43 1 −12 1 −2)(
xyz )=(
000)
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Aplicando las operaciones correspondientes a la matriz ampliada, nos
queda:
(0 −1 43 1 −12 1 −2|
000)→(1 0 1
0 1 −40 0 0 |
000)
Dado que la matriz obtenida presenta solución no trivial, el sistema
equivalente genera la siguiente solución: x=−z ; y=4 z
Asignándole z=1, se obtiene el vector característico correspondiente a
λ1=1→v1=(−141 ) El espacio generado para λ1=1 queda definido por: E1={(−141 )}
o Para λ2=−2 ( A+2 I ) v=0
((1 −1 43 2 −12 1 −1)+(
2 0 00 2 00 0 2))(
xyz )=(
000)
Resolviendo:
(3 −1 43 4 −12 1 1 )( xyz )=(000)
Aplicando las operaciones correspondientes a la matriz ampliada, nos
queda:
(3 −1 43 4 −12 1 1 |
000)→(1 0 1
0 1 −10 0 0 |
000)
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Dado que la matriz obtenida presenta solución no trivial, el sistema
equivalente genera la siguiente solución: x=−z ; y=z
Asignándole x=1, se obtiene el vector característico correspondiente a
λ2=−2→v2=( 1−1−1)
El espacio generado para λ2=−2 queda definido por: E2={( 1−1−1)}o Para λ3=3 ( A−3 I ) v=0
((1 −1 43 2 −12 1 −1)−(
3 0 00 3 00 0 3))(
xyz )=(000)
Resolviendo:
(−2 −1 43 −1 −12 1 −4)(
xyz )=(000)
Aplicando las operaciones correspondientes a la matriz ampliada, nos
queda:
(−2 −1 43 −1 −12 1 −4|
000)→(1 0 −1
0 1 −20 0 0 |
000)
Dado que la matriz obtenida presenta solución no trivial, el sistema
equivalente genera la siguiente solución: x=z ; y=2 z
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
Asignándole x=1, se obtiene el vector característico correspondiente a
λ3=3→v3=(121)
El espacio generado para λ3=3 queda definido por: E3={(121)} Una vez obtenidos los 3 vectores característicos: v1=(−141 ), v2=( 1−1−1),
v3=(121), se construye la matriz C
C=(−1 1 14 −1 21 −1 1)
Para obtener diagonalizar la matriz A debemos aplicar la ecuación:
D = C-1AC
Aplicando conocimientos anteriores:
C−1=(−16
13
−12
13
13
−1
12
012)
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
D=(−16
13
−12
13
13
−1
12
012)(1 −1 43 2 −12 1 −1)(
−1 1 14 −1 21 −1 1)
D=(−16
13
−12
13
13
−1
12
012)(−1 −2 34 2 61 2 3)
D=(1 0 00 −2 00 0 3)
La matriz dada (A) es diagonalizable (D) y sus valores característicos son:
1, -2 y 3
AUTOEVALUACIÓN
1. Indica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:a. Los valores característicos de una matriz triangular son los números
en la diagonal de la matrizb. Si det A = 0, entonces 0 es un valor característico de Ac. Si la matriz real A de 3x3 tiene valores característicos distintos,
entonces los vectores característicos correspondientes a esos valores característicos distintos constituyen una base para R3
d. Si la matriz real A de 3x3 tiene valores característicos distintos, entonces A tiene al menos dos vectores característicos linealmente independientes
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
2. Determine los valores propios y los vectores asociados para la función
f ∈ R3 definida por f(x,y,z) = (-x-z, -7x+4y+13z, x-3z).
3. Calcule los valores característicos y los espacios de la matriz dada:
a. [−2 −2−5 1 ] c. [−12 7
−7 2]b. [ 0 −3
−3 0 ] d. [5 4 24 5 22 2 2]
4. Encuentre la matriz similar C que diagonaliza la matriz simétrica dada. Después verifique que D=C-1AC, una matriz diagonal cuyas componentes diagonales son los valores característicos de A
a. [3 44 −3] c. [2 1
1 2]b. [3 2 2
2 2 02 0 4] d. [ 1 −1 0
−1 2 −10 −1 1 ]
Referencias Bibliográficas
Howard Antón (1980), Introducción al Algebra Lineal, Editorial Limusa.
Kenneth Hoffman-Ray Kunze (1981), Algebra Lineal, Editorial Prentice
Hall.
Richard Hill (1996), Algebra Lineal Elemental con Aplicación, Editorial
Prentice Hall.
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Unidad III: Transformaciones Lineales, Valores y Vectores Propios
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