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FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
CONSTRUCION II
DESARROLLO DE EJERCICIOS PROPUESTOS
DOCENTE : ING. ROBERTO CARLOS CASTILLO VELARDE
ALUMNOS :
CICLO : VI
TRUJILLO - PERÚ
2015
CIMENTACIONES SUPERFICIALES
PROBLEMA 1
En un terreno compuesto por 10 m de una arcilla media (φ'=25º, c'= 3 t/m2, cu
= 7 t/m2, γsat = 2 t/m3, Cc=0.1, e0=0.8) sobre una capa rígida con el nivel
freático en superficie, se debe cimentar una torre de comunicaciones que
transmite una carga de 1000 t, inclinada 5º respecto a la vertical, con una
excentricidad de 0.10 m en dirección arbitraria.
Dimensionar una cimentación superficial adecuada para esta torre (a)
suponiendo desconocidos los parámetros resistentes del suelo; b) con
parámetros conocidos), y estimar los asientos que se producirán.
a) Determinación del tamaño de la cimentación suponiendo desconocidos los
parámetros resistentes del suelo, en concreto, su resistencia al corte sin
drenaje.
Cuando el suelo es arcilloso, la presión de hundimiento (y, por tanto, la presión
admisible) puede estimarse fácilmente si se conoce la resistencia al corte sin
drenaje. En caso de noconocerla se podrían realizar los pasos que se indican
a continuación.
En primer lugar, se estima para este suelo una presión admisible de:
Padm 1.5 a 2.0 kp/cm² = 15 a 20 t /m²
Valores que indican una capacidad portante aceptable correspondiente a una
arcilla media.
Entonces para una zapata cuadrada de lado B se realizan los siguientes
cálculos
P= VB ²
+ 6 MB ³
, P<Padm
V=1000 t xcos5 °=996.2t H=1000 t x sin 5 °=87.2 t M=V x 0.10m¿99.6m xt
Al igualar la presión calculada con la presión admisible se obtiene la ecuación
que permite el dimensionamiento de la zapata:
P=P adm B ³ Padm=BV +6 M
B=∛ BV +6 MPadm
Para padm= 15 t/m2 resulta B = 8.43 m, mientras que para padm = 20 t/m2
resulta B = 7.34 m.
Como puede verse el resultado es sensible a la presión admisible considerada,
la cual se ha estimado.
b) Determinación del tamaño de la cimentación conocidos los parámetros
resistentes del suelo y, en particular, la resistencia al corte sin drenaje.
En este caso es posible determinar el tamaño de la cimentación sin necesidad
de estimar la presión admisible.
Se parte de la expresión general de Brinch-Hansen:
Ph qs d i N cs d i N 12B s d i N
Suponiendo que la rotura se produce en condiciones no drenadas, lo cual es lo
más probable al tratarse de un suelo arcilloso, se puede obtener la presión de
hundimiento trabajando en tensiones totales haciendo: = 0º, c = cu. Con lo
cual resulta:
N0, N 1, N 25.14
Se consideran dos casos para la profundidad de la zapata, que son D = 0 y D
=2 m para estudiar la influencia de esta variable en las dimensiones de la
cimentación a construir.
Coeficientes de forma:
sq=1+ BL
tg=1
sc=1+ NqNc
BL=1+ 1
5.14x1=1.19
Coeficientes de inclinación:
i q=(1− H
V +B2 ccotg) ²=1
i c=iq−1−iqNc tg
=1− 2 HNcB ² Cu
=0.93 para→0
Coeficientes de profundidad (D/B<1):
d q=1+2 tg (1−sin )2 DB
=1 para→0
d c=d q−
1−dqNc tg
=d c+2 tg (1−sin )2 D
BNc tg
=1+2 DNcB
para→0
Para los dos casos de comportamiento resulta:
a) Empotramiento nulo, D=0 d c=1
b) Empotramiento en D=2 m.
d c=1+ 0.78B
=1.1 para B entre 7.43 y8.43
Se realiza a continuación el cálculo de la presión de hundimiento.
Para D = 0, es decir q = x D=0, la presión de hundimiento es:
Ph cu x1.19 x1x0.93x5.14=39.8 t/m²
Y se hace para D= 2m, es decir q = x D=2 x 2=4t/m², la presión de hundimiento resulta:
Ph x1x1x1cu x1.19 x1.1x0.93x5.14=47.5 t/m²
Una vez calculada la presión de hundimiento se pasará al dimensionamiento
mediante la condición de seguridad al hundimiento. El factor de seguridad al
hundimiento viene definido como la relación existente entre la presión de
hundimiento y la presión debida a las cargas verticales.
FS hundimiento=PhP
Siendo:
P= VB ²
= fuerzaverticalarea
Sustituyendo esta última expresión en la fórmula del factor de seguridad, es
posible espejar la dimensión de la zapata en función de las demás variables:
FS= PhV /B ²
B=√V x FS
Ph
Para un valor del factor de seguridad FS = 3 resulta:
Ph=39.8tn
m2⇒B=8.65m
Ph=47.5tn
m2⇒B=7.95m
Para tener en cuenta la excentricidad hay que añadir 2.0.10 m = 0.2 m al ancho
obtenido. En conclusión, B = 8.85 m cuando no se considera empotramiento de
la zapata y B = 8.15 m, cuando sí se considera empotramiento de la zapata (D
= 2 m).
El ancho obtenido sin considerar el empotramiento (es decir, para D = 0) se
puede comparar con el obtenido en el dimensionamiento usando la presión
admisible (apartado a.). La similitud de ambos valores indica que la presión
admisible elegida era adecuada, aunque probablemente podría haber sido un
poco más baja. De hecho, para arcillas, la presión admisible puede
relacionarse con la de hundimiento a través del factor de seguridad al
hundimiento. En este caso tendríamos:
P adm= Ph3
=39.83
=13.3t/m²
Por otro lado, se realizara la comprobación estabilidad al deslizamiento. El
factor de seguridad al deslizamiento se define, dependiendo de las condiciones
de rotura, por:
FS drenado=V tg δ+cB ²H
FS nodrenado=C uB ²H
Siendo δ el ángulo de fricción terreno – zapata y C la cohesión entre terreno –
zapata, Para
δ=23
16.6 y c =0,
Resulta que:
FS drenado=3.42
donde se supone que no hay cohesión. Mientras que en condiciones no
drenadas y adoptando la resistencia el corte de 7 t/m2 resulta: FS nodrenado=6.3
Por último se calcularán los asientos. Para dicho cálculo se usará B = 8.85 m
que es el valor correspondiente a la cimentación apoyada en superficie. La
presión de cálculo correspondiente a esta dimensión es:
P= VB ²
= 996.2 t78.3m ²
=12.7 t /m ²
El asiento total se puede obtener como suma de dos componentes, un asiento
instantáneo que se produce al aplicar la carga, y un asiento de consolidación
que se produce de forma diferida a medida que se disipan las presiones
intersticiales generadas al aplicar la cimentación.
Asiento instantáneo: Se suponen condiciones no drenadas por tratarse de una
arcilla. En estas condiciones, el módulo de Poisson, ya que no se produce
cambio de volumen, es igual a νu = 0.5. El módulo de Young en condiciones no
drenadas se puede estimar a partir de la resistencia al corte sin drenaje
mediante:
E u500Cu=500 x7t
m2=3500
t
m2
Si cu fuera variable con la profundidad, entonces Eu también variaría. La
solución elástica
para zapata flexible permite obtener los asientos de un estrato sobre una base
rígida sometido a una carga rectangular mediante el método elástico:
s=2aq (1−V 2)
EuK a=B
2 q=p=12.7 t /m ²
Si se calcula el asiento en el centro de la zapata, K= K0 donde K0 viene dado
en función de h/a y m, por ejemplo en el caso de zapata cuadrada se tienen
los siguientes valores:
Además la tabla anterior da las opciones de zapata lisa (τ = 0) y de zapata
rugosa (u = 0). El primer caso (zapata lisa) da lugar a valores mayores que el
segundo (zapata rugosa), con lo cual se quedará del lado de la seguridad, por
lo que se supondrá que es el que se produce. Se propone h/a = 2.25 y b/a
=1 para quedar del lado de la seguridad.
Luego:
s=2 x 4.425x 12.7 x (1−0.52)
3500x 0.78=0.02m=2cm
Asiento diferido: Por tratarse del asiento de consolidación puede aplicarse el
método edométrico para su cálculo. En dicho método supone que:
∆’z=∆z
Ya que los Δu son nulos una vez se ha completado la consolidación. Para
aplicar dicho método en condiciones bidimensionales se considera terreno
estratificado de forma que se puede tener el cuenta que la deformación varia
con la profundidad. En este caso divide el estrato en capas de 2.5 m:
Para calcular las tensiones verticales se recurre a la figura de Sovinc (Jiménez
Salas, tomo II, ver Figura 2.3) que corresponde a una solución elástica en
medio limitado inferiormente por base rígida y zapata rectangular:
b /a= B/2B/2
=1 h /b= 104.425
=2.25
Al subdividir el estrato en 4 subestratos de 2.5 m cada uno (unidades t/m2 )
resultan las
tensiones de la siguiente tabla:
Para calcular deformaciones verticales se usa en módulo edometrico que viene
definido por:
Los módulos obtenidos para los estratos 1, 2, 3 y 4 son:
Finalmente el asiento diferido viene dado por la suma:
El asiento total vendrá dado por la suma del asiento instantáneo y el diferido:
Este asiento corresponde al punto en el centro bajo la cimentación.
PROBLEMA 2
El proyecto de un edificio de cuatro plantas contempla el diseño de zapatas
aisladas cuadradas. Debido a la presencia de instalaciones sanitarias y otros
cimientos, las zapatas exteriores serán de 2 m x 2 m, y ejercerán una carga
segura de 500Kn.( Según la figura)
El estudio geotécnico indica que el suelo está compuesto de arcilla, con un
peso unitario de 20 kN/m3 y una resistencia no-drenada al corte de 114 kPa. El
peso unitario del agua es igual a 9,8 kN/m3. El factor de seguridad empleado
en el análisis es de capacidad portante. El nivel freático se encuentra al nivel
del terreno.
Con esta información, se requiere definir la profundidad a la cual deberán
apoyarse las zapatas.
Se tiene el siguiente esquema:
Empleando el método de Vesic:
La ecuación general de capacidad portante es:
qu= c Nc Sc dc + q Nq s q d q+ 0.5 B’ N s d
De la Tabla J.4 , para f¢ = 0°, los factores de capacidad portante son los
siguientes
Nc = 5,14 Nq = 1,00 Ng = 0
Nq/Nc = 0,195 2 tan’ (1-sen’)=0.0
De la tabla j.5, se tiene:
Factores de forma:
S ' c=0.2BL
S' c=(0.2 )( 22 )=0.2
Sq=1.0+ BL
'
Sq=1.0+ 22
tan (0 )=1.00
Factores de profundidad:
d c '=0.4 k
k=DfB
, paraDfB
1
k=tan−1(DfB )rad , para
DfB
1
dq=1+2 tan (1−sen) ² k
dq=1.00
Dado que el nivel freático se encuentra al nivel de la fundación, será necesario
corregir el peso unitario de la arcilla, por lo tanto:
c' satw)
Donde: c = Peso unitario corregido
Luego:
c' )=10.2La ecuación de capacidad portante queda:
qu= c Nc Sc dc + q
Asumiendo:
DfB
1 k=DfB
d' ' ' c=0.4( DfB
)
Reemplazando en la ecuación de capacidad portante, se tiene que:
qu=(114 ) (5.14 ) (0.2 )(0.4Df2 )+(20 )(Df )
qu=(117.19 ) (0.2 Df )+20D f
qu=43.44 D f
Por otro lado la carga segura actuante, será:
qu= 500(2 )(2)
qu=125kPa
qu=qu−DfFS
+Df
Entonces se tendrá que:
125=qu−(20 ) Df
3+(20 ) Df
Reemplazando (1) en (2) se tiene que:
125=( 43 .44 Df )−(20) Df
3+(20)Df
375=83.44 Df
Df =4.49m
Como Df B, entones lo asumido no es correcto, entonces:
k=tan−1(DfB )rad , para
DfB
1
d ' '' c=0.4 k
d' '' c=0.4 tan−1( Df
2 ) dq=1+2 tan (1−sen) ² k
dq=1.00
Reemplazando en la ecuación de capacidad portante, se tendrá que:
qu=(114 ) (5.14 ) (0.2 )(0.4 tan−1 Df2 )+(20 )(Df )
qu=46.88 (tan−1 Df2 )+ (20 )(Df )
Carga segura actuante, será:
qu= 500(2 )(2)
qu=125kPa
qu=qu−DfFS
+Df
125=qu−(20 ) Df
3+(20 ) Df
Reemplazando (1) en (2) se tendrá que:
125=
46.88( tan−1 Df2 )+(20 ) ( Df )−(20 ) ( Df )
3+(20 )(Df )
125=qu−(20 ) ( Df )
3+(20 )( Df )
375=46.88 tan−1( Df2 )+ (60 ) Df
La profundidad será: Df =5.30m
Como Df B, entones lo asumido es correcto.
PROBLEMA 3
Tenemos un terreno compuesto por 6 m de una arena densa ('=38º, n = 2
t/m3) sobre 7 m de una arena media ('=32º, n = 1.8 t/m3), a su vez apoyada
en un macizo rocoso. Se va a proyectar una cimentación superficial de 5 m de
anchura empotrada a 1 m de profundidad, para soportar una carga de 1500 t y
un momento de 100 tm. Predimensionar esta cimentación y estimar sus
asientos suponiendo que el módulo de la arena densa aumenta linealmente
desde 50 MPa a 1m de profundidad hasta 140 MPa a 6 m de profundidad y que
el de la arena media aumenta también linealmente desde 70 MPa a 6 m de
profundidad hasta 100 MPa a 13 m de profundidad.
Se supone que el vector momento actúa perpendicularmente al lado de longitud L que se supone mayor que B.
Las tensiones 1 y 2, máxima y mínima para una sección rectangular sometida a una carga centrada y un momento en la dirección indicada, vienen dadas por:
Se ha confeccionado una tabla para diferentes valores de la longitud L de la cimentación (B =
5 m se encuentra fijada) (tensiones en t/m 2 ):
L 1 2
5 64.8 55.2
10 31.2 28.8
15 20.5 19.5
20 15.3 14.7
También se puede despejar L en función de 1 , resultando:
que para σ1= 40 t/m2 (arena densa sobre arena media) da lugar a L= 7.9 m.
Se elige L = 8 m y se calcula la carga de hundimiento según Hanna, aunque no se trata exactamente de la misma situación que en el esquema propuesto por este autor, ya que existe una base rocosa indeformable. Sin embargo, en el problema 1 ya se vio lo que representaban los términos de la solución de Hanna y se ve posible su aplicación para el caso rectangular añadiendo solamente coeficientes para tener en cuenta la presencia de la base indeformable. La presión de hundimiento calculada según el esquema propuesto por Hanna es:
Siendo:
y con respecto a los coeficientes del término de peso, éstos son:
Al ser B H = 5/7 = 0.7 menor que 1, las figuras de Mandel y Salençon (ver ábacos en Problema 3) dan lugar a q = = 1, lo que significa que la base rígida no afecta prácticamente al desarrollo de las superficies de rotura. Por tanto:
y substituyendo en la expresión de phresulta
Esta phes muy elevada, e implica unas hipótesis de rotura del estrato inferior y
punzonamiento del superior. Otra posibilidad de rotura, sería rotura
generalizada del estrato superior sin efectos en el inferior. Para comprobar que
la hipótesis de rotura es correcta se calculará:
a) Profundidad necesaria de la capa superior para desarrollar la superficie
de rotura (generalizada) en ella, como en el apartado primero del
ejercicio anterior:
puesto que 8.13 m > 5 m (espesor de dicha capa), en principio no se
desarrollará en ella la rotura global.
b) Carga de hundimiento del estrato superior suponiendo que pudiera
desarrollarse la rotura en él:
en la que se han usado los siguientes coeficientes:
En este caso, a pesar de que la profundidad no es suficiente para la rotura
generalizada en el estrato superior, su carga de hundimiento suponiéndolo
indefinido es menor (ph 1<ph Hanna), por tanto, por seguridad se tomaría este
valor (438 t/m 2
) como carga de hundimiento aunque aparentemente no es probable el
desarrollo de este mecanismo de rotura.
Sin embargo, los elevados valores de presión de hundimiento tanto en un
cálculo como en otro incan que la problemática de esta cimentación no será el
hundimiento, lo que se debe a que el terreno es de tipo granular.
Por otro lado se realizará el cálculo de asientos. Para ello debe calcularse la
expresión del módulo de deformación en cada estrato.
Módulo de deformación del estrato superior:
Módulo de deformación del estrato inferior:
Dada la variabilidad de los módulos de deformación, una alternativa sencilla
para el cálculo de los asientos es la discretización en subestratos según el
siguiente esquema:
El siguiente paso es calcular el estado de tensiones verticales en función de la
profundidad:
Donde / q se ha obtenido con la figura dada por Sovinc (1961) (ver Problema 2) y utilizando:
El asiento se obtiene finalmente como:
Según la metodología seguida, el cálculo de este asiento debe hacerse usando
el módulo de deformación edométrico puesto que en la expresión para el
cálculo del asiento se ha tomado solo en términos de variaciones verticales de
tensión. El módulo elástico se ha transformado en edométrico utilizando ν=0.3
en la expresión:
Alternativamente al método usado aquí puede determinarse el asiento
mediante la misma estratificación en el método de Steinbrener, en este caso
con los módulos elásticos (E).
PROBLEMA 5
En un terreno compuesto por arena se proyecta construir una edificación cuyos cimientos consisten de zapatas continuas (o corridas) de 2.20 m de ancho y apoyadas a 2.00 m de profundidad.
Los ensayos de laboratorio indican que los parámetros de resistencia al corte son C' = 0 y ø = 30°. El nivel freático se encuentra a 2.00 m de profundidad. Los resultados de laboratorio indican que los pesos unitarios de la arena son 19 KN/m3 y 20 KN/m3 por encima y por debajo del nivel freático, respectivamente, y el peso unitario del agua es 9.8 KN/m3.
Se pide:
a) Determinar la máxima porción segura de apoyo del suelo, aplicando un factor de seguridad de 3 sobre la carga neta aplicada. Emplear el método de Vesic.
b) Si al final del proyecto, se determina que los cimientos ejercen sobre el terreno una presión de 275 KPa, determinar el factor de seguridad existente bajo esta condición.
Ecuación general de capacidad portante es:
qµ = e Nc Sc dc + q Nq Sq dq + 0.5y B’ Ny Sy dy
Como e’ = 0, entonces:
qµ = q Nq Sq dq + 0.5y B’ Ny Sy dy
Para ø’ = 30°, los factores de capacidad portante son:
Nq = 18.4 Ny = 22.4
2 tan ø’ (1 – sen ø’)2 = 0.289
Factores de forma:
Sq = 10 + B/L tan ø’
SY = 1.0 – 0.4 B/L ≥ 0.6
Para una fundación continua, B/L ≈ 0, ENTOCNES:
SQ = SY = 1
Factores de profundidadDB
= 2
2.20 = 0.91 ≤ 1 K =
DB
=
0.91
dq = 1 + 2 tan ø’ (1 – sen ø’)2k
dq = 1 + (0.289)(0.91) = 1.263
dy = 1
Dado que el nivel freático se encuentra al nivel de la fundación, será necesario corregir el peso unitario de la arena:
0 ≤ d1 ≤ Df
Caso I:
YC = Y’ = (Ysat – Yw)
Donde:
YC = peso unitario corregido
Luego:
YC = Y’ = (20 – 9.8) = 10.2
Reemplazando en la ecuación de capacidad portante, se tendrá que:
qµ = yDf Nq Sq dq + 0.5 yc B’ Ny Sy dy
qµ = (19)(2)(18.4)(1)(1.263) + (0.5)(10.2)(2.20)(22.4)(1.0)(1.0)
qµ = 1134.42 KPa
La carga máxima segura de apoyo, será:
qs =
Despejando FS:
FS= Cargasegura resistenteCarga segura actuante
FS= qsegura− yD f
qactuante− yD f
Al final del proyecto se logra determinar que los cimientos ejercen sobre el terreno el cual tiene una presión de 275 KPa. Entonces:
FS= 403.47−(19)(2)
275−(19)(2)
FS = 1.55 carga máxima segura de apoyo.
PROBLEMA 6
En un terreno compuesto por arena fuerte por encima y por un estrato de proyecta construir una edificación cuyos cimientos consisten de zapatas de
qµ - yDf + yDf
FS
base de 2,0 m y de largo de 3,0 m, el nivel de fundación se encuentra a 1,50 m de profundidad.
Los ensayos en campo de CPTu y de laboratorio indican que los parámetros de resistencia al corte del primer estrato son c′ = 0 kPa y φ′ = 40° ; del segundo son c′ = 0 kPa y φ′ = 34°. El nivel freático no se ha detectado en campo, ni en gabinete del laboratorio. Los resultados de laboratorio indican que los pesos unitarios de la arena son 18 kN/m3 y 19 kN/m3 del primer y segundo estrato respectivamente.
Se pide determinar la carga última de apoyo por el método de suelos estratificados (suelo fuerte bajo suelo débil).
Usamos el método de Meyerhof. La ecuación de capacidad portante para este método es:
Caso II. Arena fuerte sobre arena débil:
qµ = ( Yi (Df + H) N(2)Fsq(2) + ½ y2 BNy(2) Fys(2)) + y1H2(1 + B/L)(1 + 2Df/H) ks tan ø1/B – y1H ≤ q1
Donde:
qµ = Yi Df Nq(1) F qs(1) + ½ Y1 BNY(1) Fys(1)
Y además:
Para los estratos según, los factores de capacidad portante son:
Para el estrato superior; para φ1 = 40° se tiene que:
q2
q1
= Y2 Ny(2)
Y1 Ny(1)
Nq1 = 64.1 Ny1 = 93.6
Para el estrato inferior; para φ1 = 40° se tiene que:
Nq2 = 29,4 Ny2 = 31.1
Para el estrato superior:
Fqs(1) = Fys(1) = 1 + 0,1 kp BL
Donde:
Kp = tan2 (45 + ∅2
)
Kp = tan2 (45 + 402
) = 4,599……………………………… (2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene que:
Fqs(1) = Fys(1) = 1 + 0.1(4.599)(23
) = 1.31
Para el estrato inferior:)
Fqs(2) = Fys(2) = 1 + 0.1Kp BL
………………........................ (3)
Donde:
Kp = tan2 (45 + ∅2
)
Kp = tan2 (45 + 342
) = 3.54……………………………………..(4)
Reemplazando (4) en (3) se tiene que:
Fqs(2) = Fys(2) = 1 + (0.1)(3.54)(23
) = 1.236
q2q1
= (19)(31.1)(18)(93.6) = 0.3507
Tenemos:
Ks ≅ 6.8
Reemplazando en la ecuación de capacidad portante de Meyerhof:
qµ = (Y1 (Df + H) N(2)Fqs(2) + 1/2YsBNy(2)Fys(2) + Y1H2 (1 + BL
)(1 + 2DfH
)Kstan ø1
B –
Y1H
qµ = [18(1.5 + 0.5)(29.4)(1.236) +(1/2)(19)(2)(31.1)(1.236)] + (18)(0.5)2(1 + 23
)
( 1 + 1.50.5
)6.8 tan (40)
2−¿(18)(0.5)
qµ = 2115.12 KPa
Reemplazando en la ecuación de capacidad portante del estrato superior se tiene que:
q1 = Y1 Df Nq(1) Fqs(1) + 1/2 Y1 BNy(1) Fys(1)
q1 = (18)(1,5)(64.1)(13.1) + (1/2)(18)(2)(93.6)(1.31)
q1 = 4474.305 KPa
Como: qµ ≤ q1
Entonces: qµ = 2115.12 KPa
9) Obtener la presión de hundimiento de una zapata rectangular de 4 m × 6 m ante una carga vertical centrada, que corresponde una zapata apoyada a 1 m de profundidad en los siguientes terrenos:
a) capa de 5 m de arena densa (φ'=40°, γn= 2 t/m3 ) sobre terreno granular (φ'=30°, γn= 1.8 t/m3
b) capa de 3 m de arena (φ'=30°, γn = 1.8 t/m3 ) sobre macizo rocoso.
c) capa de 3 m de arena (φ'=40°, γn= 2 t/m3 ) sobre terreno (cu=2 t/m3 ,γn= 1.8 t/m3 ), con el nivel freático en el contacto entre ambas capas.
a) Se supondrá terreno seco.
Al tener una arena densa sobre una arena suelta, en principio, la hipótesis de rotura que se propone es que se producirá punzonamiento en el estrato superior y rotura global del estrato inferior.
Ph= Ph2 + Y1h2 (1 + (2d/h))Kstg∅ ' 1((1/L)+(1+B)) –
Y1h
Siendo Ph2 la presión de hundimiento del estrato inferior;
Ph2 = ½ Y2BNy2sy2dy2iy2 + q2Nq2sq2dq2iq2
c’ = 0; por otra parte, los coeficientes pueden calcularse como:
q2 = h * y1 = 5m * 2t/m3 = 10t/m2
h = ancho del estrato superior de arena
Nq2 = e πtgΦ'2 * tg2((π/4) + (Φ'2/2)) = 18.4
sq2 = 1 + B/L tg Φ'2 = 1 + 4/6 tg30° = 1.38
dq2 = 1 iq2 = 1 ( al no haber inclinación de la carga)
El coeficiente de empotramiento en el cálculo de Ph2 debe ser dq2 = 1 debido a que no hay empotramiento realmente en la capa inferior sino que el empotramiento está realmente en la capa 1:
Ny2 = 2 (Ny2 + 1) tg ∅ ’2 = 2 X (18.4 + 1) tg 30° = 22.4
sY2 = 1 - 0.4 X B/L = 1 – 0.4 * 4/6 = 0.73
dy2 = 1 iy2 = 1
dy1 = 1
Finalmente la presión de hundimiento en la capa inferior vendrá dada por:
Ph2 = ½ * 1.8 * 4 * 22.4 * 0.73 * 1 * 1 + 10 * 18.4 * 1 .38 * 1 * 1 = 330 t/m2
Ks = 5.5 Ph = 330 + 2 * 42 * (1 + ((2*1)/4)) * 5.5 * tg40° * ((1/6) + (1/4)) – 2 * 4 = 330 + 92
– 8 = 414 t/m2
Profundidad de un hipotético mecanismo de rotura contenido exclusivamente en el estrato superior:
d2 = B exp ((π/4 - Φ'1/2) tg Φ'1)
Puesto que 6.8m > 4m
Ph1 = ½ Y1BNy1Sy1dy1iy1 + q1Nq1Sq1dq1iq1
Siendo:
q1 = 1 * y1 = 1 * 2 = 2 t/m2 Nq1 = 64.20 Ny1 = 109.4
2cos (π/4 + Φ'1/2)= 1.7/B = 6.8m
Sq1 = 1.56 Sy1 = 0.73Iy1 = 1 iq1 = 1
Como: D/B = ¼ < 1, dq1 = 1 + 2tg Φ'1 (1 - sen Φ'1)2 D/B
dq1 = 1.05 dy1 = 1
Por lo tanto dicha carga de hundimiento viene dada por:Ph1 = ½ * 2 * 4 * 109.4 * 0.73 * 1 * 1 + 2 * 64.2 * 1.56 * 1.05 * 1 = 530 t/m2
b) Se supone terreno secoSe tiene una arena suelta sobre un macizo rocoso
Mecanismo de rotura teórico en estrato indefinido:
Ph = qSqdqiqNqξq + C’ ScdcicNcξc+ 1/2BYsydyiyNyξy
donde se ha tomado c' = 0 . ξq, ξc, ξY son unos coeficientes correctores
B/h = 4/2 = 2 ξq= 2.4 ξY= 12
y por tanto la presión de hundimiento se calcula como:
Ph = 1X 1.8 X 1.38 X 1.07 X 18.4 X 2.4 + ½ x 1.8 X 4
X 0.73 X 1 X 22.4 X 1.2 = 117 + 71 = 118 t/m2
donde sq, Nq, sY y NY se han tomado del apartado anterior, y los coeficientes de
profundidad se han calculado como:
dq = 1 + 2 tg 30° (1 - sin 30° )2 X (1/4) = 1.07(D/B = 1/4 = 0.25 < 1)
d Y = 1
c) Se tiene el nivel freático en la interfase entre capas, y por tanto el
terreno superior seco.
Para las dimensiones del estrato y zapata, h = 2 m, B = 4m, se obtiene una
relación:h/B = 2/4 0 0.5 < 1.5
Ph = Ph2
Sustiyendo para Φ1 = 40°
= Ph 2 Ph 0.856
Tan solo queda obtener Ph , que se calculará en condiciones no drenadas, es decir, con Φ’2 igual a cero:
Ph= q2 Nq2 Sq2 dq2iq2 + CuNc2Se2de2ie2
sq2 = dq2= iq2 = 1 sc2 =1 + (Nq2/Nc2)(B/L) = 1+ (1/5.14) = 1.13
dc2 = ic2 = 1 Nc2 = 5.14 q2 = 3 x 2 = 6 t/m2
Ph 2 = 1 x 1 x 1 x 6 +1.13 x 1 x 1 x 5.14 x 2 = 17.6 t/m2
Ph = 17.6 = 20.6 t/m2
0.856
PROBLEMA 7
1 – 2h/B tg Φ'1 (1- sen Φ'1) exp (-(π/2 - Φ'1) tg Φ'1
Se ha planificado la construcción de una zapata flexible a 1.5 m de profundidad. La zapata tendrá un ancho de 2 m, un largo de 3 m y un espesor de 0.3 m en la base, estará constituida por hormigón armado con un peso unitario de 25 kN/m3. La columna que llegue a la base de la zapata tendrá un ancho de 0.3 m x 0.3 m y recibirá una carga vertical de 650 kN y una carga horizontal de 50 kN en la dirección del ancho, al nivel natural del terreno.
Se ha realizado un estudio geotécnico en el sitio y se ha determinado que el perfil del suelo está constituido por una arcilla homogénea que yace sobre una roca muy dura y muy poco permeable a 4 m de profundidad. Los parámetros de resistencia son cu = 45 kPa, ф’ = 4o. Se ha ubicado el nivel freático a 0.5 m por debajo la superficie. El peso unitario del suelo por encima de este corresponde al 18 kN/m3 y 20 kN/m3 para el suelo saturado.
Determine el factor de seguridad en la capacidad de apoyo.
Solución:
El factor de seguridad para este tipo de cargas puede ser evaluado utilizando el método de Meyerhof, por lo que se tendrá que:
∑ F=P z+Ps+Pv
ΣF=25 (2∗3∗0.3+0.3∗0.3∗1.2 )+18 (2∗3∗0.5−0.3∗0.3∗0.5 )+20 (2∗3∗0.7−0.3∗0.3∗0.7 )+650
ΣF=833.63kPa
tanβ= e1.5
tanβ= 50833.63
=0.06=¿β=3.432o
e=1.5∗tan (3.432 )=0.09
B'=B−2e=2−2∗0.09=1.82m
L '=3m
Entonces:
qu' =c N c Fcs Fcd Fci+q Nq Fqs Fqd Fqi+0.5 γB ' N γ F γs F γd F γi
Para los valores de:
c=45 Kpa
ϕ '=0o
Se tiene que:
q=0.5∗18+1∗20=29kPa
Para este caso:
N c=5.14 ;N q=1.00 ; N γ=0
Factores de forma:
F cs=1+B 'L '
N q
N c
=1+
1.823
∗1.0
5.14=1.118
Fqs=1+ B 'L'
tanϕ'=1.00
Factores de profundidad
Df
B=1.5
2≤ 1
F cd=1+0.4Df
B=1+ 0.4∗1.5
2=1.3
Fqd=1.00
Factores de inclinación
F ci=Fqi=(1− β90 )
2
=(1−3.43290 )
2
=0.925
La capacidad última de apoyo será:
q '=45∗5.14∗1.118∗1.3∗0.925+29∗1∗1∗1∗0.925
q '=337 .78k Pa
Entonces:
Qu=q' B' L'=337.78∗1.77∗3
Qu=1793.61 kN❑
La capacidad máxima de apoyo es:
qmax=QBL (1+ 6e
B )=833.632∗3 (1+ 6∗0.09
2 )qmax=176.45kPa
La capacidad mínima de apoyo es:
qmin=QBL (1−6 e
B )=833.632∗3 (1−6∗0.09
2 )qmin=101.42kPa
El factor de seguridad será:
FS=q ' u
qmax
=337.78176.45
FS=1.914
PROBLEMA 8
Para el perfil de suelo que se muestra, se desea calcular la carga máxima segura de apoyo utilizando el método propuesto por Braja M. Das y un factor de seguridad de 3 sobre la carga neta aplicada.
Si:
a) Si se construye la estructura muy lentamente, en un tiempo mayor a 10 años.b) Si se construye la estructura rápidamente, en un tiempo menor a 2 meses.
Solución:
El tiempo de construcción de la estructura es considerablemente largo, por lo tanto se darán condiciones drenadas. Se utilizan los parámetros c = 5 kPa; ф = 32o.
Además se aplicaran correcciones en el cálculo de la capacidad de apoyo por nivel freático.
qu=c∗N c∗Fcs∗Fcd+q'∗N q∗Fqs∗Fqd+0.5 γ '∗B∗N γl∗F γls∗F γld
c=5 kPa;q '=17∗1+(18−9.8 )∗1=25.2kN /m2
γ '=20−9.8=10.2kN /m2
Los factores de capacidad de apoyo son:
∅=320=¿N c=35.49 ;N q=23.18 ; N γ=30.22 ;Nq
N c
=0.65 ; tan∅=0.62
Los factores de forma son:
F cs=1+
BL∗N q
N c
=1+23∗0.65=1.43
Fqs=1+ BL∗tan∅=1+ 2
3∗0.62=1.41
F γs=1−0.4∗BL
=1−0.4∗23
=0.73
Factores de profundidad son:
Df
B=2
2=1=¿condicion a¿
F cd=1+0.4∗D f
B=1+ 0.4∗2
2=1.4
Fqd=1+2∗tan∅∗(1−sen∅ )2∗D f
B=1+
2∗0.62∗(1−0.53 )2∗22
=1.27
F γd=1
La capacidad última de apoyo será:
qu=5∗35.49∗1.43∗1.4+25.2∗23.18∗1.41∗1.27+0.5∗10.2∗2∗30.22∗0.73∗1=1626.3kN
m2
La capacidad segura de apoyo será:
qs=qu−γ∗D
3+γ∗D=
1626.3−(17∗18 )3
+(17∗18 )=746.1kNm2
Debido a que el tiempo de construcción es corto, se consideran condiciones no drenadas, entonces:
cu=65kN
m2;∅=0 ;no seaplicacorreciones
q=17+18=35kN
m2
γ=20kN
m2
La carga última de apoyo será:
qu=c∗N c∗Fcs∗Fcd+q'∗N q∗Fqs∗Fqd
Los factores de capacidad de apoyo son:
∅=0=¿ N c=5.14 ; N q=1.0 ;N q
N c
=0.20 ; tan∅=0
Factores de forma son:
F cs=1+
BN
∗Nq
N c
=1+22∗0.20=1.13
F cs=1+ BL∗tan∅=1
Los factores de profundidad son:
Df
B=2
2=1=¿condicion a¿
F cd=1+0.4∗D f
B=1+ 0.4∗2
2=1.4
Fqd=1+2∗tan∅∗(1−sen∅ )2∗D f
B=1
La capacidad última de apoyo es:
qu=65∗5.14∗1.13∗1.4+35∗1∗1∗1=563.546kN
m2
La capacidad segura de apoyo será:
qs=qu−γ∗D
3+γ∗D=
563.5−(17∗18 )3
+(17∗18 )
qs=391.83kN
m2
PROBLEMA 9
Obtener la presión de hundimiento de una zapata rectangular de 4 m x 6 m ante una carga vertical centrada, que corresponde una zapata apoyada a 1 m de profundidad en los siguientes terrenos:
Capa de 5 m de arena densa (ф’ = 40o, γn = 2.0 t/m3) sobre terreno granular (ф’ = 30o, γn = 1.8 t/m3)
Capa de 3 m de arena (ф’ = 30o, γn = 1.8 t/m3) sobre macizo rocoso.
Capa de 3 m de arena (ф’ = 40o, γn = 2.0 t/m3) sobre terreno (cu = 2.0 t/m3, γn = 1.8 t/m3), con el nivel freático en el contacto entre ambas capas.
a) Se supondrá terreno seco.
Al tener una arena densa sobre una arena suelta, en principio, la hipótesis de rotura que se propone es que se producirá punzonamiento en el estrato superior y rotura global del estrato inferior.
La fórmula de Hanna (1981) se desarrolló para este caso, aunque para zapata corrida. Para zapata rectangular resulta (ver problema 1):
siendo ph 2 la presión de hundimiento del estrato inferior, es decir:
teniendo en cuenta que el término de cohesión es nulo ya que c’ (la cohesión) es cero. Por otra parte, los coeficientes pueden calcularse como:
q2 h 1 5m 2 t m3 10 t m2
h : Ancho del estrato superior de aren
El coeficiente de empotramiento en el cálculo de ph 2 debe ser dq2= 1 debido a que no hay empotramiento en la capa inferior, sino que el empotramiento está realmente en la capa 1: