Trabajo

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

CONSTRUCION II

DESARROLLO DE EJERCICIOS PROPUESTOS

DOCENTE : ING. ROBERTO CARLOS CASTILLO VELARDE

ALUMNOS :

CICLO : VI

TRUJILLO - PERÚ

2015

CIMENTACIONES SUPERFICIALES

PROBLEMA 1

En un terreno compuesto por 10 m de una arcilla media (φ'=25º, c'= 3 t/m2, cu

= 7 t/m2, γsat = 2 t/m3, Cc=0.1, e0=0.8) sobre una capa rígida con el nivel

freático en superficie, se debe cimentar una torre de comunicaciones que

transmite una carga de 1000 t, inclinada 5º respecto a la vertical, con una

excentricidad de 0.10 m en dirección arbitraria.

Dimensionar una cimentación superficial adecuada para esta torre (a)

suponiendo desconocidos los parámetros resistentes del suelo; b) con

parámetros conocidos), y estimar los asientos que se producirán.

a) Determinación del tamaño de la cimentación suponiendo desconocidos los

parámetros resistentes del suelo, en concreto, su resistencia al corte sin

drenaje.

Cuando el suelo es arcilloso, la presión de hundimiento (y, por tanto, la presión

admisible) puede estimarse fácilmente si se conoce la resistencia al corte sin

drenaje. En caso de noconocerla se podrían realizar los pasos que se indican

a continuación.

En primer lugar, se estima para este suelo una presión admisible de:

Padm 1.5 a 2.0 kp/cm² = 15 a 20 t /m²

Valores que indican una capacidad portante aceptable correspondiente a una

arcilla media.

Entonces para una zapata cuadrada de lado B se realizan los siguientes

cálculos

P= VB ²

+ 6 MB ³

, P<Padm

V=1000 t xcos5 °=996.2t H=1000 t x sin 5 °=87.2 t M=V x 0.10m¿99.6m xt

Al igualar la presión calculada con la presión admisible se obtiene la ecuación

que permite el dimensionamiento de la zapata:

P=P adm B ³ Padm=BV +6 M

B=∛ BV +6 MPadm

Para padm= 15 t/m2 resulta B = 8.43 m, mientras que para padm = 20 t/m2

resulta B = 7.34 m.

Como puede verse el resultado es sensible a la presión admisible considerada,

la cual se ha estimado.

b) Determinación del tamaño de la cimentación conocidos los parámetros

resistentes del suelo y, en particular, la resistencia al corte sin drenaje.

En este caso es posible determinar el tamaño de la cimentación sin necesidad

de estimar la presión admisible.

Se parte de la expresión general de Brinch-Hansen:

Ph qs d i N cs d i N 12B s d i N

Suponiendo que la rotura se produce en condiciones no drenadas, lo cual es lo

más probable al tratarse de un suelo arcilloso, se puede obtener la presión de

hundimiento trabajando en tensiones totales haciendo: = 0º, c = cu. Con lo

cual resulta:

N0, N 1, N 25.14

Se consideran dos casos para la profundidad de la zapata, que son D = 0 y D

=2 m para estudiar la influencia de esta variable en las dimensiones de la

cimentación a construir.

Coeficientes de forma:

sq=1+ BL

tg=1

sc=1+ NqNc

BL=1+ 1

5.14x1=1.19

Coeficientes de inclinación:

i q=(1− H

V +B2 ccotg) ²=1

i c=iq−1−iqNc tg

=1− 2 HNcB ² Cu

=0.93 para→0

Coeficientes de profundidad (D/B<1):

d q=1+2 tg (1−sin )2 DB

=1 para→0

d c=d q−

1−dqNc tg

=d c+2 tg (1−sin )2 D

BNc tg

=1+2 DNcB

para→0

Para los dos casos de comportamiento resulta:

a) Empotramiento nulo, D=0 d c=1

b) Empotramiento en D=2 m.

d c=1+ 0.78B

=1.1 para B entre 7.43 y8.43

Se realiza a continuación el cálculo de la presión de hundimiento.

Para D = 0, es decir q = x D=0, la presión de hundimiento es:

Ph cu x1.19 x1x0.93x5.14=39.8 t/m²

Y se hace para D= 2m, es decir q = x D=2 x 2=4t/m², la presión de hundimiento resulta:

Ph x1x1x1cu x1.19 x1.1x0.93x5.14=47.5 t/m²

Una vez calculada la presión de hundimiento se pasará al dimensionamiento

mediante la condición de seguridad al hundimiento. El factor de seguridad al

hundimiento viene definido como la relación existente entre la presión de

hundimiento y la presión debida a las cargas verticales.

FS hundimiento=PhP

Siendo:

P= VB ²

= fuerzaverticalarea

Sustituyendo esta última expresión en la fórmula del factor de seguridad, es

posible espejar la dimensión de la zapata en función de las demás variables:

FS= PhV /B ²

B=√V x FS

Ph

Para un valor del factor de seguridad FS = 3 resulta:

Ph=39.8tn

m2⇒B=8.65m

Ph=47.5tn

m2⇒B=7.95m

Para tener en cuenta la excentricidad hay que añadir 2.0.10 m = 0.2 m al ancho

obtenido. En conclusión, B = 8.85 m cuando no se considera empotramiento de

la zapata y B = 8.15 m, cuando sí se considera empotramiento de la zapata (D

= 2 m).

El ancho obtenido sin considerar el empotramiento (es decir, para D = 0) se

puede comparar con el obtenido en el dimensionamiento usando la presión

admisible (apartado a.). La similitud de ambos valores indica que la presión

admisible elegida era adecuada, aunque probablemente podría haber sido un

poco más baja. De hecho, para arcillas, la presión admisible puede

relacionarse con la de hundimiento a través del factor de seguridad al

hundimiento. En este caso tendríamos:

P adm= Ph3

=39.83

=13.3t/m²

Por otro lado, se realizara la comprobación estabilidad al deslizamiento. El

factor de seguridad al deslizamiento se define, dependiendo de las condiciones

de rotura, por:

FS drenado=V tg δ+cB ²H

FS nodrenado=C uB ²H

Siendo δ el ángulo de fricción terreno – zapata y C la cohesión entre terreno –

zapata, Para

δ=23

16.6 y c =0,

Resulta que:

FS drenado=3.42

donde se supone que no hay cohesión. Mientras que en condiciones no

drenadas y adoptando la resistencia el corte de 7 t/m2 resulta: FS nodrenado=6.3

Por último se calcularán los asientos. Para dicho cálculo se usará B = 8.85 m

que es el valor correspondiente a la cimentación apoyada en superficie. La

presión de cálculo correspondiente a esta dimensión es:

P= VB ²

= 996.2 t78.3m ²

=12.7 t /m ²

El asiento total se puede obtener como suma de dos componentes, un asiento

instantáneo que se produce al aplicar la carga, y un asiento de consolidación

que se produce de forma diferida a medida que se disipan las presiones

intersticiales generadas al aplicar la cimentación.

Asiento instantáneo: Se suponen condiciones no drenadas por tratarse de una

arcilla. En estas condiciones, el módulo de Poisson, ya que no se produce

cambio de volumen, es igual a νu = 0.5. El módulo de Young en condiciones no

drenadas se puede estimar a partir de la resistencia al corte sin drenaje

mediante:

E u500Cu=500 x7t

m2=3500

t

m2

Si cu fuera variable con la profundidad, entonces Eu también variaría. La

solución elástica

para zapata flexible permite obtener los asientos de un estrato sobre una base

rígida sometido a una carga rectangular mediante el método elástico:

s=2aq (1−V 2)

EuK a=B

2 q=p=12.7 t /m ²

Si se calcula el asiento en el centro de la zapata, K= K0 donde K0 viene dado

en función de h/a y m, por ejemplo en el caso de zapata cuadrada se tienen

los siguientes valores:

Además la tabla anterior da las opciones de zapata lisa (τ = 0) y de zapata

rugosa (u = 0). El primer caso (zapata lisa) da lugar a valores mayores que el

segundo (zapata rugosa), con lo cual se quedará del lado de la seguridad, por

lo que se supondrá que es el que se produce. Se propone h/a = 2.25 y b/a

=1 para quedar del lado de la seguridad.

Luego:

s=2 x 4.425x 12.7 x (1−0.52)

3500x 0.78=0.02m=2cm

Asiento diferido: Por tratarse del asiento de consolidación puede aplicarse el

método edométrico para su cálculo. En dicho método supone que:

∆’z=∆z

Ya que los Δu son nulos una vez se ha completado la consolidación. Para

aplicar dicho método en condiciones bidimensionales se considera terreno

estratificado de forma que se puede tener el cuenta que la deformación varia

con la profundidad. En este caso divide el estrato en capas de 2.5 m:

Para calcular las tensiones verticales se recurre a la figura de Sovinc (Jiménez

Salas, tomo II, ver Figura 2.3) que corresponde a una solución elástica en

medio limitado inferiormente por base rígida y zapata rectangular:

b /a= B/2B/2

=1 h /b= 104.425

=2.25

Al subdividir el estrato en 4 subestratos de 2.5 m cada uno (unidades t/m2 )

resultan las

tensiones de la siguiente tabla:

Para calcular deformaciones verticales se usa en módulo edometrico que viene

definido por:

Los módulos obtenidos para los estratos 1, 2, 3 y 4 son:

Finalmente el asiento diferido viene dado por la suma:

El asiento total vendrá dado por la suma del asiento instantáneo y el diferido:

Este asiento corresponde al punto en el centro bajo la cimentación.

PROBLEMA 2

El proyecto de un edificio de cuatro plantas contempla el diseño de zapatas

aisladas cuadradas. Debido a la presencia de instalaciones sanitarias y otros

cimientos, las zapatas exteriores serán de 2 m x 2 m, y ejercerán una carga

segura de 500Kn.( Según la figura)

El estudio geotécnico indica que el suelo está compuesto de arcilla, con un

peso unitario de 20 kN/m3 y una resistencia no-drenada al corte de 114 kPa. El

peso unitario del agua es igual a 9,8 kN/m3. El factor de seguridad empleado

en el análisis es de capacidad portante. El nivel freático se encuentra al nivel

del terreno.

Con esta información, se requiere definir la profundidad a la cual deberán

apoyarse las zapatas.

Se tiene el siguiente esquema:

Empleando el método de Vesic:

La ecuación general de capacidad portante es:

qu= c Nc Sc dc + q Nq s q d q+ 0.5 B’ N s d

De la Tabla J.4 , para f¢ = 0°, los factores de capacidad portante son los

siguientes

Nc = 5,14 Nq = 1,00 Ng = 0

Nq/Nc = 0,195 2 tan’ (1-sen’)=0.0

De la tabla j.5, se tiene:

Factores de forma:

S ' c=0.2BL

S' c=(0.2 )( 22 )=0.2

Sq=1.0+ BL

'

Sq=1.0+ 22

tan (0 )=1.00

Factores de profundidad:

d c '=0.4 k

k=DfB

, paraDfB

1

k=tan−1(DfB )rad , para

DfB

1

dq=1+2 tan (1−sen) ² k

dq=1.00

Dado que el nivel freático se encuentra al nivel de la fundación, será necesario

corregir el peso unitario de la arcilla, por lo tanto:

c' satw)

Donde: c = Peso unitario corregido

Luego:

c' )=10.2La ecuación de capacidad portante queda:

qu= c Nc Sc dc + q

Asumiendo:

DfB

1 k=DfB

d' ' ' c=0.4( DfB

)

Reemplazando en la ecuación de capacidad portante, se tiene que:

qu=(114 ) (5.14 ) (0.2 )(0.4Df2 )+(20 )(Df )

qu=(117.19 ) (0.2 Df )+20D f

qu=43.44 D f

Por otro lado la carga segura actuante, será:

qu= 500(2 )(2)

qu=125kPa

qu=qu−DfFS

+Df

Entonces se tendrá que:

125=qu−(20 ) Df

3+(20 ) Df

Reemplazando (1) en (2) se tiene que:

125=( 43 .44 Df )−(20) Df

3+(20)Df

375=83.44 Df

Df =4.49m

Como Df B, entones lo asumido no es correcto, entonces:

k=tan−1(DfB )rad , para

DfB

1

d ' '' c=0.4 k

d' '' c=0.4 tan−1( Df

2 ) dq=1+2 tan (1−sen) ² k

dq=1.00

Reemplazando en la ecuación de capacidad portante, se tendrá que:

qu=(114 ) (5.14 ) (0.2 )(0.4 tan−1 Df2 )+(20 )(Df )

qu=46.88 (tan−1 Df2 )+ (20 )(Df )

Carga segura actuante, será:

qu= 500(2 )(2)

qu=125kPa

qu=qu−DfFS

+Df

125=qu−(20 ) Df

3+(20 ) Df

Reemplazando (1) en (2) se tendrá que:

125=

46.88( tan−1 Df2 )+(20 ) ( Df )−(20 ) ( Df )

3+(20 )(Df )

125=qu−(20 ) ( Df )

3+(20 )( Df )

375=46.88 tan−1( Df2 )+ (60 ) Df

La profundidad será: Df =5.30m

Como Df B, entones lo asumido es correcto.

PROBLEMA 3

Tenemos un terreno compuesto por 6 m de una arena densa ('=38º, n = 2

t/m3) sobre 7 m de una arena media ('=32º, n = 1.8 t/m3), a su vez apoyada

en un macizo rocoso. Se va a proyectar una cimentación superficial de 5 m de

anchura empotrada a 1 m de profundidad, para soportar una carga de 1500 t y

un momento de 100 tm. Predimensionar esta cimentación y estimar sus

asientos suponiendo que el módulo de la arena densa aumenta linealmente

desde 50 MPa a 1m de profundidad hasta 140 MPa a 6 m de profundidad y que

el de la arena media aumenta también linealmente desde 70 MPa a 6 m de

profundidad hasta 100 MPa a 13 m de profundidad.

Se supone que el vector momento actúa perpendicularmente al lado de longitud L que se supone mayor que B.

Las tensiones 1 y 2, máxima y mínima para una sección rectangular sometida a una carga centrada y un momento en la dirección indicada, vienen dadas por:

Se ha confeccionado una tabla para diferentes valores de la longitud L de la cimentación (B =

5 m se encuentra fijada) (tensiones en t/m 2 ):

L 1 2

5 64.8 55.2

10 31.2 28.8

15 20.5 19.5

20 15.3 14.7

También se puede despejar L en función de 1 , resultando:

que para σ1= 40 t/m2 (arena densa sobre arena media) da lugar a L= 7.9 m.

Se elige L = 8 m y se calcula la carga de hundimiento según Hanna, aunque no se trata exactamente de la misma situación que en el esquema propuesto por este autor, ya que existe una base rocosa indeformable. Sin embargo, en el problema 1 ya se vio lo que representaban los términos de la solución de Hanna y se ve posible su aplicación para el caso rectangular añadiendo solamente coeficientes para tener en cuenta la presencia de la base indeformable. La presión de hundimiento calculada según el esquema propuesto por Hanna es:

Siendo:

y con respecto a los coeficientes del término de peso, éstos son:

Al ser B H = 5/7 = 0.7 menor que 1, las figuras de Mandel y Salençon (ver ábacos en Problema 3) dan lugar a q = = 1, lo que significa que la base rígida no afecta prácticamente al desarrollo de las superficies de rotura. Por tanto:

y substituyendo en la expresión de phresulta

Esta phes muy elevada, e implica unas hipótesis de rotura del estrato inferior y

punzonamiento del superior. Otra posibilidad de rotura, sería rotura

generalizada del estrato superior sin efectos en el inferior. Para comprobar que

la hipótesis de rotura es correcta se calculará:

a) Profundidad necesaria de la capa superior para desarrollar la superficie

de rotura (generalizada) en ella, como en el apartado primero del

ejercicio anterior:

puesto que 8.13 m > 5 m (espesor de dicha capa), en principio no se

desarrollará en ella la rotura global.

b) Carga de hundimiento del estrato superior suponiendo que pudiera

desarrollarse la rotura en él:

en la que se han usado los siguientes coeficientes:

En este caso, a pesar de que la profundidad no es suficiente para la rotura

generalizada en el estrato superior, su carga de hundimiento suponiéndolo

indefinido es menor (ph 1<ph Hanna), por tanto, por seguridad se tomaría este

valor (438 t/m 2

) como carga de hundimiento aunque aparentemente no es probable el

desarrollo de este mecanismo de rotura.

Sin embargo, los elevados valores de presión de hundimiento tanto en un

cálculo como en otro incan que la problemática de esta cimentación no será el

hundimiento, lo que se debe a que el terreno es de tipo granular.

Por otro lado se realizará el cálculo de asientos. Para ello debe calcularse la

expresión del módulo de deformación en cada estrato.

Módulo de deformación del estrato superior:

Módulo de deformación del estrato inferior:

Dada la variabilidad de los módulos de deformación, una alternativa sencilla

para el cálculo de los asientos es la discretización en subestratos según el

siguiente esquema:

El siguiente paso es calcular el estado de tensiones verticales en función de la

profundidad:

Donde / q se ha obtenido con la figura dada por Sovinc (1961) (ver Problema 2) y utilizando:

El asiento se obtiene finalmente como:

Según la metodología seguida, el cálculo de este asiento debe hacerse usando

el módulo de deformación edométrico puesto que en la expresión para el

cálculo del asiento se ha tomado solo en términos de variaciones verticales de

tensión. El módulo elástico se ha transformado en edométrico utilizando ν=0.3

en la expresión:

Alternativamente al método usado aquí puede determinarse el asiento

mediante la misma estratificación en el método de Steinbrener, en este caso

con los módulos elásticos (E).

PROBLEMA 5

En un terreno compuesto por arena se proyecta construir una edificación cuyos cimientos consisten de zapatas continuas (o corridas) de 2.20 m de ancho y apoyadas a 2.00 m de profundidad.

Los ensayos de laboratorio indican que los parámetros de resistencia al corte son C' = 0 y ø = 30°. El nivel freático se encuentra a 2.00 m de profundidad. Los resultados de laboratorio indican que los pesos unitarios de la arena son 19 KN/m3 y 20 KN/m3 por encima y por debajo del nivel freático, respectivamente, y el peso unitario del agua es 9.8 KN/m3.

Se pide:

a) Determinar la máxima porción segura de apoyo del suelo, aplicando un factor de seguridad de 3 sobre la carga neta aplicada. Emplear el método de Vesic.

b) Si al final del proyecto, se determina que los cimientos ejercen sobre el terreno una presión de 275 KPa, determinar el factor de seguridad existente bajo esta condición.

Ecuación general de capacidad portante es:

qµ = e Nc Sc dc + q Nq Sq dq + 0.5y B’ Ny Sy dy

Como e’ = 0, entonces:

qµ = q Nq Sq dq + 0.5y B’ Ny Sy dy

Para ø’ = 30°, los factores de capacidad portante son:

Nq = 18.4 Ny = 22.4

2 tan ø’ (1 – sen ø’)2 = 0.289

Factores de forma:

Sq = 10 + B/L tan ø’

SY = 1.0 – 0.4 B/L ≥ 0.6

Para una fundación continua, B/L ≈ 0, ENTOCNES:

SQ = SY = 1

Factores de profundidadDB

= 2

2.20 = 0.91 ≤ 1 K =

DB

=

0.91

dq = 1 + 2 tan ø’ (1 – sen ø’)2k

dq = 1 + (0.289)(0.91) = 1.263

dy = 1

Dado que el nivel freático se encuentra al nivel de la fundación, será necesario corregir el peso unitario de la arena:

0 ≤ d1 ≤ Df

Caso I:

YC = Y’ = (Ysat – Yw)

Donde:

YC = peso unitario corregido

Luego:

YC = Y’ = (20 – 9.8) = 10.2

Reemplazando en la ecuación de capacidad portante, se tendrá que:

qµ = yDf Nq Sq dq + 0.5 yc B’ Ny Sy dy

qµ = (19)(2)(18.4)(1)(1.263) + (0.5)(10.2)(2.20)(22.4)(1.0)(1.0)

qµ = 1134.42 KPa

La carga máxima segura de apoyo, será:

qs =

Despejando FS:

FS= Cargasegura resistenteCarga segura actuante

FS= qsegura− yD f

qactuante− yD f

Al final del proyecto se logra determinar que los cimientos ejercen sobre el terreno el cual tiene una presión de 275 KPa. Entonces:

FS= 403.47−(19)(2)

275−(19)(2)

FS = 1.55 carga máxima segura de apoyo.

PROBLEMA 6

En un terreno compuesto por arena fuerte por encima y por un estrato de proyecta construir una edificación cuyos cimientos consisten de zapatas de

qµ - yDf + yDf

FS

base de 2,0 m y de largo de 3,0 m, el nivel de fundación se encuentra a 1,50 m de profundidad.

Los ensayos en campo de CPTu y de laboratorio indican que los parámetros de resistencia al corte del primer estrato son c′ = 0 kPa y φ′ = 40° ; del segundo son c′ = 0 kPa y φ′ = 34°. El nivel freático no se ha detectado en campo, ni en gabinete del laboratorio. Los resultados de laboratorio indican que los pesos unitarios de la arena son 18 kN/m3 y 19 kN/m3 del primer y segundo estrato respectivamente.

Se pide determinar la carga última de apoyo por el método de suelos estratificados (suelo fuerte bajo suelo débil).

Usamos el método de Meyerhof. La ecuación de capacidad portante para este método es:

Caso II. Arena fuerte sobre arena débil:

qµ = ( Yi (Df + H) N(2)Fsq(2) + ½ y2 BNy(2) Fys(2)) + y1H2(1 + B/L)(1 + 2Df/H) ks tan ø1/B – y1H ≤ q1

Donde:

qµ = Yi Df Nq(1) F qs(1) + ½ Y1 BNY(1) Fys(1)

Y además:

Para los estratos según, los factores de capacidad portante son:

Para el estrato superior; para φ1 = 40° se tiene que:

q2

q1

= Y2 Ny(2)

Y1 Ny(1)

Nq1 = 64.1 Ny1 = 93.6

Para el estrato inferior; para φ1 = 40° se tiene que:

Nq2 = 29,4 Ny2 = 31.1

Para el estrato superior:

Fqs(1) = Fys(1) = 1 + 0,1 kp BL

Donde:

Kp = tan2 (45 + ∅2

)

Kp = tan2 (45 + 402

) = 4,599……………………………… (2)


Fqs(1) = Fys(1) = 1 + 0.1(4.599)(23

) = 1.31

Para el estrato inferior:)

Fqs(2) = Fys(2) = 1 + 0.1Kp BL

………………........................ (3)

Donde:

Kp = tan2 (45 + ∅2

)

Kp = tan2 (45 + 342

) = 3.54……………………………………..(4)


Fqs(2) = Fys(2) = 1 + (0.1)(3.54)(23

) = 1.236

q2q1

= (19)(31.1)(18)(93.6) = 0.3507

Tenemos:

Ks ≅ 6.8

Reemplazando en la ecuación de capacidad portante de Meyerhof:

qµ = (Y1 (Df + H) N(2)Fqs(2) + 1/2YsBNy(2)Fys(2) + Y1H2 (1 + BL

)(1 + 2DfH

)Kstan ø1

B –

Y1H

qµ = [18(1.5 + 0.5)(29.4)(1.236) +(1/2)(19)(2)(31.1)(1.236)] + (18)(0.5)2(1 + 23

)

( 1 + 1.50.5

)6.8 tan (40)

2−¿(18)(0.5)

qµ = 2115.12 KPa

Reemplazando en la ecuación de capacidad portante del estrato superior se tiene que:

q1 = Y1 Df Nq(1) Fqs(1) + 1/2 Y1 BNy(1) Fys(1)

q1 = (18)(1,5)(64.1)(13.1) + (1/2)(18)(2)(93.6)(1.31)

q1 = 4474.305 KPa

Como: qµ ≤ q1

Entonces: qµ = 2115.12 KPa

9) Obtener la presión de hundimiento de una zapata rectangular de 4 m × 6 m ante una carga vertical centrada, que corresponde una zapata apoyada a 1 m de profundidad en los siguientes terrenos:

a) capa de 5 m de arena densa (φ'=40°, γn= 2 t/m3 ) sobre terreno granular (φ'=30°, γn= 1.8 t/m3

b) capa de 3 m de arena (φ'=30°, γn = 1.8 t/m3 ) sobre macizo rocoso.

c) capa de 3 m de arena (φ'=40°, γn= 2 t/m3 ) sobre terreno (cu=2 t/m3 ,γn= 1.8 t/m3 ), con el nivel freático en el contacto entre ambas capas.

a) Se supondrá terreno seco.

Al tener una arena densa sobre una arena suelta, en principio, la hipótesis de rotura que se propone es que se producirá punzonamiento en el estrato superior y rotura global del estrato inferior.

Ph= Ph2 + Y1h2 (1 + (2d/h))Kstg∅ ' 1((1/L)+(1+B)) –

Y1h

Siendo Ph2 la presión de hundimiento del estrato inferior;

Ph2 = ½ Y2BNy2sy2dy2iy2 + q2Nq2sq2dq2iq2

c’ = 0; por otra parte, los coeficientes pueden calcularse como:

q2 = h * y1 = 5m * 2t/m3 = 10t/m2

h = ancho del estrato superior de arena

Nq2 = e πtgΦ'2 * tg2((π/4) + (Φ'2/2)) = 18.4

sq2 = 1 + B/L tg Φ'2 = 1 + 4/6 tg30° = 1.38

dq2 = 1 iq2 = 1 ( al no haber inclinación de la carga)

El coeficiente de empotramiento en el cálculo de Ph2 debe ser dq2 = 1 debido a que no hay empotramiento realmente en la capa inferior sino que el empotramiento está realmente en la capa 1:

Ny2 = 2 (Ny2 + 1) tg ∅ ’2 = 2 X (18.4 + 1) tg 30° = 22.4

sY2 = 1 - 0.4 X B/L = 1 – 0.4 * 4/6 = 0.73

dy2 = 1 iy2 = 1

dy1 = 1

Finalmente la presión de hundimiento en la capa inferior vendrá dada por:

Ph2 = ½ * 1.8 * 4 * 22.4 * 0.73 * 1 * 1 + 10 * 18.4 * 1 .38 * 1 * 1 = 330 t/m2

Ks = 5.5 Ph = 330 + 2 * 42 * (1 + ((2*1)/4)) * 5.5 * tg40° * ((1/6) + (1/4)) – 2 * 4 = 330 + 92

– 8 = 414 t/m2

Profundidad de un hipotético mecanismo de rotura contenido exclusivamente en el estrato superior:

d2 = B exp ((π/4 - Φ'1/2) tg Φ'1)

Puesto que 6.8m > 4m

Ph1 = ½ Y1BNy1Sy1dy1iy1 + q1Nq1Sq1dq1iq1

Siendo:

q1 = 1 * y1 = 1 * 2 = 2 t/m2 Nq1 = 64.20 Ny1 = 109.4

2cos (π/4 + Φ'1/2)= 1.7/B = 6.8m

Sq1 = 1.56 Sy1 = 0.73Iy1 = 1 iq1 = 1

Como: D/B = ¼ < 1, dq1 = 1 + 2tg Φ'1 (1 - sen Φ'1)2 D/B

dq1 = 1.05 dy1 = 1

Por lo tanto dicha carga de hundimiento viene dada por:Ph1 = ½ * 2 * 4 * 109.4 * 0.73 * 1 * 1 + 2 * 64.2 * 1.56 * 1.05 * 1 = 530 t/m2

b) Se supone terreno secoSe tiene una arena suelta sobre un macizo rocoso

Mecanismo de rotura teórico en estrato indefinido:

Ph = qSqdqiqNqξq + C’ ScdcicNcξc+ 1/2BYsydyiyNyξy

donde se ha tomado c' = 0 . ξq, ξc, ξY son unos coeficientes correctores

B/h = 4/2 = 2 ξq= 2.4 ξY= 12

y por tanto la presión de hundimiento se calcula como:

Ph = 1X 1.8 X 1.38 X 1.07 X 18.4 X 2.4 + ½ x 1.8 X 4

X 0.73 X 1 X 22.4 X 1.2 = 117 + 71 = 118 t/m2

donde sq, Nq, sY y NY se han tomado del apartado anterior, y los coeficientes de

profundidad se han calculado como:

dq = 1 + 2 tg 30° (1 - sin 30° )2 X (1/4) = 1.07(D/B = 1/4 = 0.25 < 1)

d Y = 1

c) Se tiene el nivel freático en la interfase entre capas, y por tanto el

terreno superior seco.

Para las dimensiones del estrato y zapata, h = 2 m, B = 4m, se obtiene una

relación:h/B = 2/4 0 0.5 < 1.5

Ph = Ph2

Sustiyendo para Φ1 = 40°

= Ph 2 Ph 0.856

Tan solo queda obtener Ph , que se calculará en condiciones no drenadas, es decir, con Φ’2 igual a cero:

Ph= q2 Nq2 Sq2 dq2iq2 + CuNc2Se2de2ie2

sq2 = dq2= iq2 = 1 sc2 =1 + (Nq2/Nc2)(B/L) = 1+ (1/5.14) = 1.13

dc2 = ic2 = 1 Nc2 = 5.14 q2 = 3 x 2 = 6 t/m2

Ph 2 = 1 x 1 x 1 x 6 +1.13 x 1 x 1 x 5.14 x 2 = 17.6 t/m2

Ph = 17.6 = 20.6 t/m2

0.856

PROBLEMA 7

1 – 2h/B tg Φ'1 (1- sen Φ'1) exp (-(π/2 - Φ'1) tg Φ'1

Se ha planificado la construcción de una zapata flexible a 1.5 m de profundidad. La zapata tendrá un ancho de 2 m, un largo de 3 m y un espesor de 0.3 m en la base, estará constituida por hormigón armado con un peso unitario de 25 kN/m3. La columna que llegue a la base de la zapata tendrá un ancho de 0.3 m x 0.3 m y recibirá una carga vertical de 650 kN y una carga horizontal de 50 kN en la dirección del ancho, al nivel natural del terreno.

Se ha realizado un estudio geotécnico en el sitio y se ha determinado que el perfil del suelo está constituido por una arcilla homogénea que yace sobre una roca muy dura y muy poco permeable a 4 m de profundidad. Los parámetros de resistencia son cu = 45 kPa, ф’ = 4o. Se ha ubicado el nivel freático a 0.5 m por debajo la superficie. El peso unitario del suelo por encima de este corresponde al 18 kN/m3 y 20 kN/m3 para el suelo saturado.

Determine el factor de seguridad en la capacidad de apoyo.

Solución:

El factor de seguridad para este tipo de cargas puede ser evaluado utilizando el método de Meyerhof, por lo que se tendrá que:

∑ F=P z+Ps+Pv

ΣF=25 (2∗3∗0.3+0.3∗0.3∗1.2 )+18 (2∗3∗0.5−0.3∗0.3∗0.5 )+20 (2∗3∗0.7−0.3∗0.3∗0.7 )+650

ΣF=833.63kPa

tanβ= e1.5

tanβ= 50833.63

=0.06=¿β=3.432o

e=1.5∗tan (3.432 )=0.09

B'=B−2e=2−2∗0.09=1.82m

L '=3m

Entonces:

qu' =c N c Fcs Fcd Fci+q Nq Fqs Fqd Fqi+0.5 γB ' N γ F γs F γd F γi

Para los valores de:

c=45 Kpa

ϕ '=0o

Se tiene que:

q=0.5∗18+1∗20=29kPa

Para este caso:

N c=5.14 ;N q=1.00 ; N γ=0

Factores de forma:

F cs=1+B 'L '

N q

N c

=1+

1.823

∗1.0

5.14=1.118

Fqs=1+ B 'L'

tanϕ'=1.00

Factores de profundidad

Df

B=1.5

2≤ 1

F cd=1+0.4Df

B=1+ 0.4∗1.5

2=1.3

Fqd=1.00

Factores de inclinación

F ci=Fqi=(1− β90 )

2

=(1−3.43290 )

2

=0.925

La capacidad última de apoyo será:

q '=45∗5.14∗1.118∗1.3∗0.925+29∗1∗1∗1∗0.925

q '=337 .78k Pa

Entonces:

Qu=q' B' L'=337.78∗1.77∗3

Qu=1793.61 kN❑

La capacidad máxima de apoyo es:

qmax=QBL (1+ 6e

B )=833.632∗3 (1+ 6∗0.09

2 )qmax=176.45kPa

La capacidad mínima de apoyo es:

qmin=QBL (1−6 e

B )=833.632∗3 (1−6∗0.09

2 )qmin=101.42kPa

El factor de seguridad será:

FS=q ' u

qmax

=337.78176.45

FS=1.914

PROBLEMA 8

Para el perfil de suelo que se muestra, se desea calcular la carga máxima segura de apoyo utilizando el método propuesto por Braja M. Das y un factor de seguridad de 3 sobre la carga neta aplicada.

Si:

a) Si se construye la estructura muy lentamente, en un tiempo mayor a 10 años.b) Si se construye la estructura rápidamente, en un tiempo menor a 2 meses.

Solución:

El tiempo de construcción de la estructura es considerablemente largo, por lo tanto se darán condiciones drenadas. Se utilizan los parámetros c = 5 kPa; ф = 32o.

Además se aplicaran correcciones en el cálculo de la capacidad de apoyo por nivel freático.

qu=c∗N c∗Fcs∗Fcd+q'∗N q∗Fqs∗Fqd+0.5 γ '∗B∗N γl∗F γls∗F γld

c=5 kPa;q '=17∗1+(18−9.8 )∗1=25.2kN /m2

γ '=20−9.8=10.2kN /m2

Los factores de capacidad de apoyo son:

∅=320=¿N c=35.49 ;N q=23.18 ; N γ=30.22 ;Nq

N c

=0.65 ; tan∅=0.62

Los factores de forma son:

F cs=1+

BL∗N q

N c

=1+23∗0.65=1.43

Fqs=1+ BL∗tan∅=1+ 2

3∗0.62=1.41

F γs=1−0.4∗BL

=1−0.4∗23

=0.73

Factores de profundidad son:

Df

B=2

2=1=¿condicion a¿

F cd=1+0.4∗D f

B=1+ 0.4∗2

2=1.4

Fqd=1+2∗tan∅∗(1−sen∅ )2∗D f

B=1+

2∗0.62∗(1−0.53 )2∗22

=1.27

F γd=1

La capacidad última de apoyo será:

qu=5∗35.49∗1.43∗1.4+25.2∗23.18∗1.41∗1.27+0.5∗10.2∗2∗30.22∗0.73∗1=1626.3kN

m2

La capacidad segura de apoyo será:

qs=qu−γ∗D

3+γ∗D=

1626.3−(17∗18 )3

+(17∗18 )=746.1kNm2

Debido a que el tiempo de construcción es corto, se consideran condiciones no drenadas, entonces:

cu=65kN

m2;∅=0 ;no seaplicacorreciones

q=17+18=35kN

m2

γ=20kN

m2

La carga última de apoyo será:

qu=c∗N c∗Fcs∗Fcd+q'∗N q∗Fqs∗Fqd

Los factores de capacidad de apoyo son:

∅=0=¿ N c=5.14 ; N q=1.0 ;N q

N c

=0.20 ; tan∅=0

Factores de forma son:

F cs=1+

BN

∗Nq

N c

=1+22∗0.20=1.13

F cs=1+ BL∗tan∅=1

Los factores de profundidad son:

Df

B=2

2=1=¿condicion a¿

F cd=1+0.4∗D f

B=1+ 0.4∗2

2=1.4

Fqd=1+2∗tan∅∗(1−sen∅ )2∗D f

B=1

La capacidad última de apoyo es:

qu=65∗5.14∗1.13∗1.4+35∗1∗1∗1=563.546kN

m2

La capacidad segura de apoyo será:

qs=qu−γ∗D

3+γ∗D=

563.5−(17∗18 )3

+(17∗18 )

qs=391.83kN

m2

PROBLEMA 9

Obtener la presión de hundimiento de una zapata rectangular de 4 m x 6 m ante una carga vertical centrada, que corresponde una zapata apoyada a 1 m de profundidad en los siguientes terrenos:

Capa de 5 m de arena densa (ф’ = 40o, γn = 2.0 t/m3) sobre terreno granular (ф’ = 30o, γn = 1.8 t/m3)

Capa de 3 m de arena (ф’ = 30o, γn = 1.8 t/m3) sobre macizo rocoso.

Capa de 3 m de arena (ф’ = 40o, γn = 2.0 t/m3) sobre terreno (cu = 2.0 t/m3, γn = 1.8 t/m3), con el nivel freático en el contacto entre ambas capas.

a) Se supondrá terreno seco.

Al tener una arena densa sobre una arena suelta, en principio, la hipótesis de rotura que se propone es que se producirá punzonamiento en el estrato superior y rotura global del estrato inferior.

La fórmula de Hanna (1981) se desarrolló para este caso, aunque para zapata corrida. Para zapata rectangular resulta (ver problema 1):

siendo ph 2 la presión de hundimiento del estrato inferior, es decir:

teniendo en cuenta que el término de cohesión es nulo ya que c’ (la cohesión) es cero. Por otra parte, los coeficientes pueden calcularse como:

q2 h 1 5m 2 t m3 10 t m2

h : Ancho del estrato superior de aren

El coeficiente de empotramiento en el cálculo de ph 2 debe ser dq2= 1 debido a que no hay empotramiento en la capa inferior, sino que el empotramiento está realmente en la capa 1:

Como puede verse se ha supuesto que dγ1 = 1 porque de hecho no hay

empotramiento en la capa inferior. Esto es una hipótesis que deja del lado de la

seguridad.

Finalmente, la presión de hundimiento en la capa inferior vendrá dada por:

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