Post on 18-Feb-2016
RANGO DE UNA MATRIZEs el número de l íneas de esa matr iz ( f i las o columnas) que son
l inealmente independientes.
Una l ínea es l inealmente dependiente de otra u otras cuando se
puede establecer una combinación l ineal entre el las.
Una l ínea es l inealmente independiente de otra u otras cuando
no se puede establecer una combinación l ineal entre el las.
El rango de una matr iz A se simbol iza: rang(A) o r(A ) .
También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula . Ut i l izando esta def in ic ión se
puede calcular e l rango usando determinantes.
OPERACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE CON UNA MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE ÉSTE VARÍE
1. Intercambiar dos líneas entre sí.
2. Suprimir una línea que tenga todos sus elementos nulos.
3. Suprimir una línea que sea proporcional a otra.
4. Suprimir una línea que sea combinación lineal de otra/s
5. Multiplicar o dividir una línea por un número distinto de cero.
6. Sustituir una línea i de este modo: Li = a·Li + b·Lj
7. Sustituir una línea i de este modo : Li = Li + a·Lj
Las propiedades anteriores NO pueden ser aplicadas en el cálculo de
determinantes, pues alterarían el valor de los mismos, excepto en el caso 7. Sin
embargo, todas ellas pueden utilizarse para averiguar el rango de una matriz sin
que se modifique el valor de éste.
Como mínimo, el rango de una matriz siempre será 1, salvo para la matriz nula,
cuyo rango es cero.
Para poder calcular el rango de una matriz ésta no tiene por qué ser
necesariamente cuadrada.
Una matriz cuadrada de orden "n", como máximo su rango es n.
Una matriz cuadrada de orden "n" es inversible (regular) si el rango es n. Es decir,
cuando las filas (columnas) son linealmente independientes.
Didiremos que dos matrices A y B son equivalentes ( A~B) si tienen el mismo
rango.
Cálculo por el método de Gauss Podemos descartar una l ínea si :
Todos sus coef ic ientes son ceros.
Hay dos l íneas iguales.
Una l ínea es proporcional a otra.
Una l ínea es combinación l ineal de otras.
F 3 = 2F 1
F 4 es nula
F 5 = 2F 2 + F 1
r(A) = 2. En general consiste en hacer nulas el máximo número de l íneas
posible, y e l rango será el número de f i las no nulas.
F 2 = F 2 - 3F 1
F 3= F 3 - 2F 1
Por tanto r(A) = 3.
Finalmente, el rango es el número de filas distintas de cero que aparecen en la
matriz.
EJEMPLO:
Cálculo del rango de una matriz por determinantes
1 . Podemos descartar una l ínea si :
Todos sus coef ic ientes son ceros.
Hay dos l íneas iguales.
Una l ínea es proporcional a otra.
Una l ínea es combinación l ineal de otras.
Suprimimos la tercera columna porque es combinación l ineal de
las dos pr imeras: c 3 = c 1 + c 2
2. Comprobamos si t iene rango 1, para el lo se t iene que cumpl ir
que al menos un elemento de la matr iz no sea cero y por tanto su
determinante no será nulo.
|2|=2≠0
3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatr iz cuadrada de orden
2, tal que su determinante no sea nulo.
4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatr iz cuadrada de orden
3, tal que su determinante no sea nulo.
Como todos los determinantes de las submatr ices son nulos no
t iene rango 3, por tanto r(B) = 2 .
5. Si t iene rango 3 y existe alguna submatr iz de orden 4, cuyo
determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo
se trabaja para comprobar s i t iene rango superior a 4.
Valores y Vectores Propios
Sea A una matriz cuadrada, un número real se dice que es un valor propio o un
eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector
cero, x tal que:
Ax = x
Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el
vector resultante mantiene su dirección, posiblemente solo su longitud y/o sentido
se modifique. El vector x se llama vector propio o eigenvector asociado al valor
propio.
Para la matriz A indique cuales vectores son vectores propios.
Solución
Debemos multiplicar cada vector por la matriz A y ver si el vector resultante es un
múltiplo escalar del vector.
V1 sí es vector propio de A asociado al valor propio 3.
V2 no es vector propio de A.
V3 sí es vector propio de A asociado al valor propio -1.
V4 no es vector propio de A.
Si es un valor propio de A y si x es el vector no nulo tal que Ax = x entonces x
se dice vector propio de A correspondiente al valor propio
Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para la matriz
Solución: La ecuación característica queda:
o sea:
factorizando:
con lo cual obtenemos dos valores propios:
buscamos ahora los correspondientes vectores propios:
para = -1:
El sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones de la forma x= [x1, x1]t. Así,
por ejemplo x=[1 1]t es un vector propio correspondiente a = -1.
para = 2:
Nuevamente el sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones de la forma
x[x1, 0.4x1]t. Así, por ejemplo x =[5 2]t es un vector propio correspondiente a
= 2.
Como puede verse del ejemplo anterior, a un valor propio en general le
corresponden una infinidad de vectores propios este conjunto infinito es un
espacio vectorial y se denomina el espacio propio correspondiente
a
obsérvese además que para un k dado, su espacio propio correspondiente es el
espacio nulo de la matriz
(A- I).