RANGO DE UNA MATRIZEs el número de l íneas de esa matr iz ( f i las o columnas) que son

l inealmente independientes.

Una l ínea es l inealmente dependiente de otra u otras cuando se

puede establecer una combinación l ineal entre el las.

Una l ínea es l inealmente independiente de otra u otras cuando

no se puede establecer una combinación l ineal entre el las.

El rango de una matr iz A se simbol iza: rang(A) o r(A ) .

También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula . Ut i l izando esta def in ic ión se

puede calcular e l rango usando determinantes.

OPERACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE CON UNA MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE ÉSTE VARÍE

1. Intercambiar dos líneas entre sí.

2. Suprimir una línea que tenga todos sus elementos nulos.

3. Suprimir una línea que sea proporcional a otra.

4. Suprimir una línea que sea combinación lineal de otra/s

5. Multiplicar o dividir una línea por un número distinto de cero.

6. Sustituir una línea i de este modo: Li = a·Li + b·Lj

7. Sustituir una línea i de este modo : Li = Li + a·Lj

Las propiedades anteriores NO pueden ser aplicadas en el cálculo de

determinantes, pues alterarían el valor de los mismos, excepto en el caso 7. Sin

embargo, todas ellas pueden utilizarse para averiguar el rango de una matriz sin

que se modifique el valor de éste.

Como mínimo, el rango de una matriz siempre será 1, salvo para la matriz nula,

cuyo rango es cero.

Para poder calcular el rango de una matriz ésta no tiene por qué ser

necesariamente cuadrada.

Una matriz cuadrada de orden "n", como máximo su rango es n.

Una matriz cuadrada de orden "n" es inversible (regular) si el rango es n. Es decir,

cuando las filas (columnas) son linealmente independientes.

Didiremos que dos matrices A y B son equivalentes ( A~B) si tienen el mismo

rango.

Cálculo por el método de Gauss Podemos descartar una l ínea si :

Todos sus coef ic ientes son ceros.

Hay dos l íneas iguales.

Una l ínea es proporcional a otra.

Una l ínea es combinación l ineal de otras.

F 3 = 2F 1

F 4 es nula

F 5 = 2F 2 + F 1

r(A) = 2. En general consiste en hacer nulas el máximo número de l íneas

posible, y e l rango será el número de f i las no nulas.

F 2 = F 2 - 3F 1

F 3= F 3 - 2F 1

Por tanto r(A) = 3.

Finalmente, el rango es el número de filas distintas de cero que aparecen en la

matriz.

EJEMPLO:

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

1 . Podemos descartar una l ínea si :

Todos sus coef ic ientes son ceros.

Hay dos l íneas iguales.

Una l ínea es proporcional a otra.

Una l ínea es combinación l ineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación l ineal de

las dos pr imeras: c 3 = c 1 + c 2

2. Comprobamos si t iene rango 1, para el lo se t iene que cumpl ir

que al menos un elemento de la matr iz no sea cero y por tanto su

determinante no será nulo.

|2|=2≠0

3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatr iz cuadrada de orden

2, tal que su determinante no sea nulo.

4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatr iz cuadrada de orden

3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatr ices son nulos no

t iene rango 3, por tanto r(B) = 2 .

5. Si t iene rango 3 y existe alguna submatr iz de orden 4, cuyo

determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo

se trabaja para comprobar s i t iene rango superior a 4.

Valores y Vectores Propios

Sea A una matriz cuadrada, un número real se dice que es un valor propio o un

eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector

cero, x tal que:

Ax = x

Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el

vector resultante mantiene su dirección, posiblemente solo su longitud y/o sentido

se modifique. El vector x se llama vector propio o eigenvector asociado al valor

propio.

Para la matriz A indique cuales vectores son vectores propios.

Solución

Debemos multiplicar cada vector por la matriz A y ver si el vector resultante es un

múltiplo escalar del vector.

V1 sí es vector propio de A asociado al valor propio 3.

V2 no es vector propio de A.

V3 sí es vector propio de A asociado al valor propio -1.

V4 no es vector propio de A.

Si es un valor propio de A y si x es el vector no nulo tal que Ax = x entonces x

se dice vector propio de A correspondiente al valor propio

Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para la matriz

Solución: La ecuación característica queda:

o sea:

factorizando:

con lo cual obtenemos dos valores propios:

buscamos ahora los correspondientes vectores propios:

para = -1:

El sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones de la forma x= [x1, x1]t. Así,

por ejemplo x=[1 1]t es un vector propio correspondiente a = -1.

para = 2:

Nuevamente el sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones de la forma

x[x1, 0.4x1]t. Así, por ejemplo x =[5 2]t es un vector propio correspondiente a

= 2.

Como puede verse del ejemplo anterior, a un valor propio en general le

corresponden una infinidad de vectores propios este conjunto infinito es un

espacio vectorial y se denomina el espacio propio correspondiente

a

obsérvese además que para un k dado, su espacio propio correspondiente es el

espacio nulo de la matriz

(A- I).