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COLEGIO JOSE ANTONIO GALAN
MATEMATICAS, GRADO DECIMO
PROFESOR: FREDY RODRIGUEZ
Grado DécimoMatemáticas
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los dos catetos.
DEFINICION
a
b
c 222 cba
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b , y la medida de la hipotenusa es c , se establece
que:
Grado DécimoMatemáticas
HISTORIAEl Teorema de Pitágoras lleva este nombre
porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica.
Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores
que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para
resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado
ningún documento que exponga teóricamente su relación.
Grado DécimoMatemáticas
HISTORIA
El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un
mayor número de demostraciones diferentes,
utilizando métodos muy diversos. Una de las causas
de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de
Magíster matheseos.
Grado DécimoMatemáticas
EJEMPLO
Encontrar el valor de la hipotenusa
En este triángulo nos están dando el valor de los catetos y debemos hallar el valor de la
hipotenusa.
Para el triángulo se tiene que a = 40 y b = 9
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
222 cba 222 940 c2811600 c21681 c
c41
Y de aquí que:
Solución:
c1681
c = ?
a =
b =
EJEMPLO
Encontrar el valor del cateto b de la figura:
c = 40
a = 5
b = ?
Aplicando el Teorema de Pitágoras:222 cba
222 405 b222 540 b
2516002 b
15752 bY de aquí que:
1575b
739,b
EJERCICIO 1
.
Hallar el valor de la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo:
a = 7 cm
b = 12 cm
c = ?
EJERCICIO 2
Hallar el valor del cateto b del triángulo rectángulo:
a = 36,2 cm
c = 65,3 cm
b = ?
EJERCICIO 3
Halla la altura de un triángulo isósceles cuyos Lados miden c = 5 cm. y a = b = 4 cm.
c = 5 cm.
b = 4 cm. a
= 4
cm
.h
EJERCICIO 4
El tamaño de las pantallas de televisión viene dado por la longitud en pulgadas
de la diagonal de la pantalla (una pulgada equivale a 2,54 cm). Si un
televisor mide 34,5 cm de base y 30 cm de altura, ¿cuál será su tamaño?
30 cm.
34,5 cm.
d
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RAZONES TRIGONOMETRICAS
Sea ABC, un triángulo rectángulo:
a
bc
θ
β
A
BC
El lado es el cateto opuesto al ángulo θ y el cateto adyacente al ángulo β
AC
El lado es el cateto opuesto al ángulo β y el cateto adyacente al ángulo θ
BC
El lado es la hipotenusaAB
El ángulo C mide 90º
Los ángulos agudos θ y β son complementarios
º90 mm
Grado DécimoMatemáticas
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Se llaman Razones trigonométricas o Relaciones trigonométricas, a la razón (cociente) existente entre los lados de un triángulo rectángulo.
Las seis relaciones trigonométricas para el ángulo θ se definen por:
a
bc
θ
β
A
BC
Coseno θ = Cos θ =Cateto adyacente
Hipotenusa
Tangente θ = Tan θ =Cateto opuesto
Cateto adyacente
Cotangente θ = Cot θ =Cateto adyacente
Cateto opuesto
Secante θ = Sec θ = Cateto adyacenteHipotenusa
Seno θ = Sen θ =Cateto opuesto
Hipotenusa c
b
c
a
a
b
b
a
a
c
Cosecante θ = Csc θ = Cateto opuestoHipotenusa
b
c
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EJERCICIO 1
a = 21,2
b = 13,5c = 45,3β
A
BC
Halla las relaciones trigonométricas para el ángulo β de la figura anterior :
Grado DécimoMatemáticas
EJERCICIO 2
Construya cada uno un triángulo rectángulo donde el ángulo θ = 60º y halle cada una de las relaciones trigonométricas del ángulo θ
Grado DécimoMatemáticas
EJERCICIO 3
Los triángulos ABC y ADE son rectángulos con el ángulo α común a los dos triángulos. Hallar el valor de las razones trigonométricas del
ángulo α
15
1236
13
39
5
αAB
C
D
E
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EJERCICIO 4
Hallar el valor de las razones trigonométricas para el ángulo β del siguiente triángulo rectángulo:
9 cm
12 cm
β
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EJERCICIO 5
Si se sabe que , calcular las demás funciones
trigonométricas para el ángulo θ
2
6θ sec