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UNIDAD EDUCATIVA HERMANO MIGUEL “LA SALLE” EL TEOREMA DE PITAGORAS: SU ORIGEN Y SU APLICACIÓN EN ESTUDIANTES DE EDUCACION GENERAL BASICA DE LA UNIDAD EDUCATIVA HERMANO MIGUEL “LA SALLE” Monografía previa a la obtención del título de Bachiller General unificado en Ciencias Autores: IZA JIMENEZ Santiago Francisco CC. 172326339-6 LLANO MOYA Jefferson Alexander CC. 172238813-7 Tutor: Lcdo. Álvaro Puente 1
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monografia sobre el teorema de pitagoras realiza en el colegio Hermano Miguel "La Salle" en el año 2013
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UNIDAD EDUCATIVA HERMANO MIGUEL
“LA SALLE”
EL TEOREMA DE PITAGORAS: SU ORIGEN Y SU APLICACIÓN EN
ESTUDIANTES DE EDUCACION GENERAL BASICA DE
LA UNIDAD EDUCATIVA HERMANO MIGUEL
“LA SALLE”
Monografía previa a la obtención
del título de Bachiller General unificado en Ciencias
Autores: IZA JIMENEZ Santiago Francisco
CC. 172326339-6
LLANO MOYA Jefferson Alexander
CC. 172238813-7
Tutor: Lcdo. Álvaro Puente
Quito, febrero, 2014
1
ÍNDICE
CONTENIDO
Páginas Preliminares Pág.
PORTADA
…………………………………………………………………………………I
ÍNDICE II
RESUMEN III
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………….1
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
Planteamiento del problema…………………………………………………2
Formulación del problema……………………………………………………3
Objetivos………………………………………………………………………..4
Justificación…………………………………………………………………....5
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
Fundamentación Teórica…………………………………………………….6
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA
3.1 Métodos utilizados
3.2 Niveles o tipos de investigación………………………………………....7
CAPÍTULO IV
3.3 Población y muestra…………………………………………………........8
Análisis e interpretación de resultados
……………………………………………………………………………….…10
CAPÍTULO V
Aspectos Administrativos…………………………………………………….11
BIBLIOGRAFIA
CONCLUSIONES
RECOMENDACIONES
ANEXOS
2
3
UNIDAD EDUCATIVA HERMANO MIGUEL LA SALLE
TÍTULO: El teorema de Pitágoras: su origen y si aplicación en estudiantes de
educación general básica de la UNIDAD EDUCATIVA HERMANO MIGUEL
“LA SALLE”
AUTORES: IZA JIMENEZ Santiago Francisco
LLANO MOYA Jefferson Alexander
TUTOR: Lcdo. Álvaro Puente
Fecha: Quito, febrero 18 del 2014
4
RESUMEN
El presente proyecto monográfico, tiene como objetivo determinar en que se
basó Pitágoras para la fundamentación del Teorema que lleva su mismo
nombre realizando el estudio de sus orígenes y evolución con el paso de los
años, con datos verídicos, recopilados a través de diferentes escritos
entendidos en el tema. Para después identificar como se emplea este
teorema en los estudiantes de educación general básica de la UNIDAD
EDUCATIVA HERMANO MIGUEL “LA SALLE”
Los métodos que se han aplicado en el presente proyecto monográfico son el
deductivo, cuantitativo, histórico- comparado y descriptivo
Finalmente luego de realizar un análisis e interpretación de los datos
recogidos durante la elaboración de este proyecto monográfico se ha llegado
a la conclusión de que en los estudiantes de educación general básica de la
UNIDAD EDUCATIVA HERMANO MIGUEL “LA SALLE” se aplica de varias
maneras El Teorema de Pitágoras para la resolución de problemas
geométricas, problemas de razonamiento lógico, problemas algebraicos entre
otros.
5
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo monográfico fue realizado con el propósito de entender y
conocer más acerca de la vida del filósofo y matemático Pitágoras de Samos,
además determinar en que se fundamentó y cuáles fueron los experimentos
que realizó, para obtener como resultado final su Teorema.
Para poder estudiar a fondo este tema se ha tomado la decisión de
fraccionarlo en cuatro categorías para lograr realizar un análisis muy
completo, estas categorías son:
LA VIDA DE PITÁGORAS DE SAMOS
¿QUÉ ES EL TEOREMA DE PITÁGORAS?
¿CUÁLES FUERON LOS EXPERIMENTOS QUE REALIZÓ
PITÁGORAS PARA LA DEDUCCIÓN DEL TEOREMA?
¿CÓMO EMPLEAN EN LA ACTUALIDAD ESTE TEOREMA LOS
ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DE LA UNIDAD
EDUCATIVA HERMANO MIGUEL “LA SALLE”
Se han recopilado diferentes documentos bibliográficos como son: libros de
distintas bibliotecas de la ciudad de Quito, diversos escritos del internet de
páginas como Wikipedia, monografías, buenas tareas entre otras, datos de
varios maestros del colegio Hermano Miguel “La Salle” y profesores del Pre
universitario STEVEN HAWKING
Asimismo se han realizado varias encuestas a estudiantes de Educación
General Básica de la UNIDAD EDUCATIVA HERMANO MIGUEL “LA SALLE”
6
La monografía está estructurada de la siguiente manera:
El primer capítulo consta de: El problema, planteamiento del problema,
formulación del problema, los objetivos generales y específicos y la
justificación; el segundo capítulo contiene: marco teórico, la vida de Pitágoras
de Samos, que es el teorema de Pitágoras, cuáles fueron los experimentos
que realizo Pitágoras para su creación, como se emplea este teorema en los
estudiantes de educación general básica de la UNIDAD EDUCATIVA
HERMANO MIGUEL “LA SALLE”
El tercer capítulo consta de la metodología aplicada durante la elaboración de
nuestro proyecto monográfico, así como también los tipos de investigación
aplicadas, la población y el tipo de muestra.
En el cuarto capítulo se hace análisis de los resultados obtenidos durante este
proceso investigativo.
Finalmente se exponen las conclusiones del problema y se dictan algunas
recomendaciones para la solución del mismo.
7
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
“El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae
sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo
Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de
un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a
los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin
embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su
relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera
gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado
egipcio, de proporciones 3-4-5.”1
Uno de los teoremas milenarios más importantes es sin duda alguna el
teorema de Pitágoras, que lleva este nombre debido a su creador Pitágoras
de Samos, famoso filósofo y matemático, quien formuló su teorema cerca del
año 500 a.C. Este teorema es un tema básico que se debe conocer para el
aprendizaje de la materia de trigonometría.
Gracias a éste se han resuelto infinidad de problemas prácticos que han
incidido en el mejoramiento del nivel de vida de la humanidad. Por lo que se
ha hablado mucho acerca de su utilidad y su aplicación para la resolución de
diferentes problemas o planteamientos matemáticos, debido a que se ha
convertido en una temática esencial para el inicio del estudio de la
trigonometría esto sobre todo en los colegios de Quito en especial en la
UEHMLS.
1 http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
8
En la UEHMLS en los años de educación básica media comprendida entre 8vo
y 10mo año de E.G.B los maestros de la asignatura de matemáticas dan a
conocer a sus estudiantes el origen, definición y aplicación del Teorema de
Pitágoras. Los estudiantes serán consultados acerca de sus conocimientos
del tema y su opinión personal sobre el mismo.
Para determinar el origen del teorema, se debe realizar una investigación
profunda del mismo, además de la realización de encuestas para conocer la
aplicación que actualmente se le da dentro de las aulas.
Con la determinación del origen y la aplicación del Teorema de Pitágoras se
buscará el beneficio tanto de los estudiantes como de los maestros que se
encuentran tratando esta temática que se encuentra dentro del pensum de
estudio de trigonometría, dentro de la materia de matemáticas.
9
Fórmula de un cateto del Teorema de Pitágoras
PITÁGORAS DE SAMOS
Fórmula General del TEOREMA DE PITAGORAS expresada en un triángulo rectángulo.
Gráfico del TEOREMA DE PITÁGORAS
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
¿Cuál fue el origen del Teorema de Pitágoras y cuál el objetivo de su
enseñanza en las aulas de la UEHMLS y su aplicación por parte de los
estudiantes?
10
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Determinar en que se basó el matemático Pitágoras de Samos para llegar a la
creación del Teorema de Pitágoras, y a su vez se desea conocer cuál es la
utilización que se da al Teorema de Pitágoras en la educación de
trigonometría y matemáticas, por parte de los estudiantes de Educación
General Básica F(8vo – 10mo) de la UNIDAD EDUCATIVA HERMANO
MIGUEL “LA SALLE”.
OBJETIVO ESPECÍFICOS
Comprender cuales fueron los experimentos realizados por Pitágoras para
llegar a la formulación de este útil teorema.
Analizar las diferentes utilidades y aplicaciones que se le da al Teorema
de Pitágoras en los tiempos actuales, desde un punto de vista de la
educación.
Conocer cuáles son los métodos que emplean los maestros para la
enseñanza del Teorema de Pitágoras a los estudiantes educación general
básica (8vo – 10mo) de la UNIDAD EDUCATIVA HERMANO MIGUEL “LA
SALLE” con respecto al Teorema de Pitágoras.
11
JUSTIFICACIÓN
"Cuando más hacemos, más podemos hacer; cuando estamos más ocupados
es cuando tenemos más tiempo para divertirnos."
(PITÁGORAS DE SAMOS 469 a. C)
El Teorema de Pitágoras ha sido a lo largo de los años uno de los principales
temas de estudio, sobre todo dentro de la trigonometría, para los estudiantes
de la secundaria de la UEHMLS, por lo cual se ha decidido emprender una
investigación científica con el objetivo de conocer cuál es la utilización que se
le da actualmente a este teorema en las aulas de nuestra institución
educativa.
La importancia del Teorema de Pitágoras radica en la utilidad de éste en la
resolución de ejercicios matemáticos, además el teorema tiene varias
aplicaciones para la vida cotidiana ya sea en:
Arquitectura y construcción
“La aplicación más obvia del Teorema de Pitágoras es en el mundo de la
arquitectura y de la construcción, particularmente en referencia a tejados con
formas triangulares y hastiales. El teorema se aplica sólo cuando se trabaja
con triángulos rectángulos o triángulos con ángulos de 90 grados”.2
2 http://www.ehowenespanol.com/usos-vida-real-del-teorema-pitagoras-info_169781/
12
Navegación
“La triangulación es un método usado para señalar una localización cuando
se conocen dos puntos de referencia. Cuando la triangulación se usa sobre
un ángulo de 90 grados, se usa el Teorema de Pitágoras. Los celulares
pueden rastrearse por triangulación. Los sistemas de navegación de vehículo
usan este método. Puede usarse también junto con una brújula para
determinar una localización geográfica. NASA también usa la triangulación
para determinar la posición de las naves espaciales. La NASA envía una
señal a la nave, la cual la devuelva. La triangulación usa estos números para
calcular la posición de la nave en el espacio.”3
3 http://www.ehowenespanol.com/usos-vida-real-del-teorema-pitagoras-info_169781/
13
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1.- VIDA DE PITAGORAS
Pitágoras de Samos (580 a. C. – 495 a. C.) fue
un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro.
Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica,
la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones
numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría
de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica,
una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se
interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre
otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto
en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior
desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente.
(http://es.wikipedia.org/wiki/Pitagoras)
COMENTARIO. Pitágoras fue un filósofo matemático nacido en Grecia
llamado el primer matemático puro fue el fundador de la Hermandad
PITAGÓRICA que formuló principios que influyeron tanto
en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el
posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en
Occidente.
14
2.1.1 HERMANDAD PITAGÓRICA
Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotona, al sur de
Italia, que tuvo numerosos seguidores. Se llamaban a sí mismos
matemáticos (matematikoi), vivían en el seno de esta sociedad de
forma permanente, no tenía posesiones personales y eran
vegetarianos. Hasta 300 seguidores llegaron a conformar este grupo
selecto, que oía las enseñanzas de Pitágoras directamente y debía
observar estrictas reglas de conducta. Sus máximas pueden
sintetizarse como:
Que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza
matemática;
Que la filosofía puede usarse para la purificación espiritual;
Que el alma puede elevarse para unirse con lo divino;
que ciertos símbolos son de naturaleza mística;
Que todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta
FFFF lealtad y secretismo.
En la Hermandad Pitagórica eran aceptados tanto hombres como
mujeres. Aquellos que no pertenecían al núcleo duro del grupo eran
llamados acusmáticos (akousmatikoi). Éstos vivían en sus propias
casas, se les permitía tener posesiones personales y no se les imponía
el vegetarianismo; sólo asistían como oyentes durante el día. Según
Krische, las mujeres pertenecían a este grupo; no obstante, muchas
pitagóricas fueron después reconocidas filósofas y matemáticas.
La escuela practicaba el secretismo y la vida comunal de manera muy
estricta, y sus miembros solían atribuir todos sus descubrimientos a su
fundador. De darles crédito, el alcance y la cantidad de trabajo de
Pitágoras tendría una extensión inverosímil; anulado a esto, no se
conserva ningún escrito de Pitágoras propiamente, por lo que la
distinción entre sus trabajos y los de sus seguidores es de difícil
15
demarcación. Las contribuciones de los pitagóricos y su enorme
influencia fueron determinantes para el desarrollo las matemáticas,
la astronomía y la medicina, entre otras ciencias naturales, y es
razonable dar crédito a Pitágoras por muchos de sus hallazgos.
(http://es.wikipedia.org/wiki/Pitagoras)
COMENTARIO: El matemático Pitágoras fundó su propia
escuela en Crotona al sur de Italia donde los estudiantes tenían
el nombre de los “MATEMATIKIO”. Hasta 300 seguidores
llegaron a conformar este grupo selecto, que oía las enseñanzas
de Pitágoras que les enseñaba:
Que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza
matemática;
Que la filosofía puede usarse para la purificación espiritual;
Que el alma puede elevarse para unirse con lo divino;
Que ciertos símbolos son de naturaleza mística;
Que todos los miembros de la hermandad deben guardar
absoluta lealtad y secretismo.
16
Ciudad de Crotona en la Magna Grecia,
Área de influencia de Pitágoras
Y los pitagóricos.
2.2 ORIGEN DEL TEOREMA DE PITAGORAS:
“El origen del teorema de Pitágoras no se conoce. Pitágoras, filósofo,
físico, astrónomo, matemático griego estudió algunos años en Egipto y
¡descubrió! que los más incultos de los albañiles egipcios realizaban
unas obras perfectas, con ángulos rectos perfectos, utilizando unas
cuerdas de longitud 12 unidades. Dichas cuerdas tenían una señal a la
distancia 3 (del inicio) y siete del inicio ¡es decir estaban distribuidas en
tres 'trozos' de longitudes 3, 4 y 5.”4
El Teorema de Pitágoras nace de su observación y deducción de los
métodos de medición que eran utilizados por los egipcios
esencialmente en la construcción de sus famosas pirámides, las cuáles
utilizaban medidas de ángulos perfectos (90°).
4 http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070629202711AAIrrvu
17
2.3 MATEMATICAS DE LOS PITÁGORICOS Como hemos dicho
más arriba se les atribuyen numerosos e importantes descubrimientos
en el terreno de las Matemáticas. Vamos a destacar algunos:
2.3.1 TEOREMA DE PITAGORAS Se atribuye a la escuela
pitagórica la demostración del Teorema de Pitágoras. Como
hemos dicho más arriba, ya los babilonios y los egipcios, usaban
con una eficacia asombrosa, la relación establecida en
el Teorema de Pitágoras para resolver problemas prácticos, pero
no conocían la demostración
(
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/los_pitagoricos_y_los_n
umeros_irracionales.html)
COMENTARIO: Este Teorema de Pitágoras ha sido utilizado
atreves de todos los tiempos en la sociedad humana como los
egipcios y Babilonios para la creación de sus pirámides y
edificaciones, también es aplicado para la resolución de
problemas matemáticos, algebraicos, de razonamiento lógico,
entre otros.
18
2.3.2 NUMEROS IRRACIONALES “Como consecuencia
del Teorema de Pitágoras, también se les considera
descubridores de los números irracionales. Estos números
contradecían la doctrina básica de la escuela: habían
descubierto que existían números "inexpresables", como ,
que no eran ni enteros ni fraccionarios.”
(http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/
los_pitagoricos_y_los_numeros_irracionales.html)
COMENTARIO: Los Pitagóricos fueron los descubridores de los
números irracionales los cuales no son ni enteros y fraccionarios
como ejemplo
2.3.3 CLASIFICACION DE LOS NÚMEROS La obsesión
por los números y la adoración que les profesaban, condujeron a
los pitagóricos a un estudio minucioso de los números.
Establecieron diversas clasificaciones, entre otras la distinción
entre pares e impares tal y como lo hacemos hoy, también otras
más curiosas. Hemos elegido algunas de ellas y te proponemos
que las pienses para divertirte un rato
19
2.3.3.1NÚMEROS TRIANGULARES Son números
naturales que se pueden expresar en forma de triángulo,
tal y como los de la figura siguiente
(http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/
los_pitagoricos_y_los_numeros_irracionales.html)
COMENTARIO: En la escuela de Pitágoras sus
integrantes hallaron que existen números naturales que
se pueden expresar en forma de un triangulo
2.3.3.2 NÚMEROS CUADRADOS De igual forma que
los anteriores, son números que se pueden expresar en
forma de cuadrados como en la figura siguiente:
(http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/
los_pitagoricos_y_los_numeros_irracionales.html)
COMENTARIO: Los Pitagóricos encontraron que existen
números naturales que se pueden expresar en forma de
un cuadrado
20
2.3.3.3 NÚMEROS PERFECTOS Son los números que son
iguales a la suma de todos sus divisores excepto él mismo, por
ejemplo, el 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3.
COMENTARIO: Existen números que son llamados perfectos ya
que si toman todos sus múltiplos sin contar al mismo número; la
suma de estos da igual al mismo número por ejemplo del 28=
1+2+4+7+14
3.1 TEOREMA DE PITAGORAS El Teorema de Pitágoras se refiere a los
lados de un triángulo rectángulo. Estos lados son: los catetos adyacentes al
ángulo recto, y la hipotenusa.
El Teorema establece entre las longitudes de los lados una relación que
permite calcular la longitud de la hipotenusa cuando se conocen las
longitudes de los catetos.
TEOREMA DE PITAGORAS
a , b (catetos) c (hipotenusa)
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pythagorean.svg
21
Para medir la longitud de los lados, como la de cualquier segmento de recta,
es necesario escoger una “unidad” es decir determinar un segmento arbitrario
cuya longitud se adopte “unidad”. La longitud de cualquier otro segmento se
expresa por un múltiplo o fracción del segmento unitario. Decir que la longitud
de un segmento es tres significa sencillamente que dicho segmento es tres
veces más largo que el unitario escogido. Con este sentido se designan las
longitudes de los catetos por a y b y la de la hipotenusa por c
(FRIEDRICHS K. O. (traducido por Antonio Linares). De Pitágoras a Einstein, Randon House
editorial Norma)
COMENTARIO El teorema es atribuido a Pitágoras y se refiere sobre
un triángulo rectángulo que consta de dos tipos de catetos y una
hipotenusa. El Teorema establece que la hipotenusa va hacer el
segmento más largo del triángulo y para calcular su longitud es
necesario identificar los valores de los otros dos catetos
respectivamente también que para saber un valor de algún segmento
del triángulo es fundamental conocer los valores de los otros dos
segmentos que comprenden el triángulo.
22
3.2 FÓRMULA DEL TEOREMA DE PITAGORAS
El Teorema de Pitágoras se resume en la fórmula
C2= a2 + b2
Constatamos que en este triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto significa que el área
del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas
de los cuadrados construidos sobre los catetos
Esta propiedad que cumplen los lados del triángulo rectángulo que se ha
construido la cumplen todos los triángulos rectángulos y esto logró demostrar
efectivamente Pitágoras
(MANSILLA ROMO Serafín Pitágoras 7; Editorial MS)
23
C2= a2 + b2
COMENTARIO: La fórmula general de Teorema de Pitágoras es
Además que de esta fórmula mencionada se debe despejar para lograr
encontrar los valores de cualquier segmento del triángulo rectángulo.
MANSILLA ROMO Serafín Pitágoras 7; Editorial MS pág.: 136
3.2.1 DEMOSTRACION DEL TEOREMA UTILIZANDO ÁLGEBRA
Podemos ver que a2 + b2 = c2 usando el Álgebra
Mira este diagrama... tiene dentro un triángulo "abc" (en realidad tiene cuatro)
Es un gran cuadrado, cada lado mide a+b, así que el área es:
A = (a+b) (a+b)
Ahora sumamos las áreas de los trozos más pequeños:
Pero, el cuadrado pequeño (inclinado) tiene área A = c²
Y hay cuatro triángulos, cada uno con área A =½ab
Así que los cuatro juntos son A = 4(½ab) = 2ab
Si sumamos el cuadrado inclinado y los 4
triángulos da: A = c²+2ab
El área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado y los 4
triángulos. Esto lo escribimos así:
(a+b)(a+b) = c²+2ab
24
Ahora, vamos a operar a ver si nos sale el teorema de Pitágoras:
Empezamos con: (a+b)(a+b)=
c²+2ab
Desarrollamos (a+b)(a+b): a²+2ab+b²=
c²+2ab
Restamos "2ab" de los dos lados: a²+b² = c²
(http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teoremapitagoras-
demo.html)
COMENTARIO: En esta demostración nos damos cuenta existe un
cuadrado grande que cada lado mide a + b y el área es (a + b) (a + b)
que el triángulo inclinado tiene una área de
A = c² y debajo de cada lado existen 4 triangulo que tienen un área de
2ab y la suma total de todos los elementos son A= c2 +2ab
Al desarrollar todo queda así.
(a+b)(a+b) = c2 + 2ab; a2+2ab+b2= c2 + 2ab
c2= a2+b2 (formula general del teorema)
3.3 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORA EN DIFERENTES
FORMAS
25
3.3.1 CÁLCULO DE LA DIAGONAL DE UN
RECTÁNGULO
El largo L del rectángulo de la figura mide 8 cm y el ancho A, 6
cm ¿Cuánto mide la diagonal d?
d=√L2+¿ A2d=√82+62d=10¿
Esta operación nos da como resultado el valor de la hipotenusa (d)
3.3.2 CÁLCULO DEL LADO DE UN CUADRADO INSCRITO EN UNA
CIRCUNFERENCIA
El radio r de la circunferencia mide 9 cm ¿Cuánto
medirá el lado del cuadrado inscrito?
Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo
rectángulo coloreado en la figura
l=√r2+r2 l=√81+81 l=√162l=12.7
El lado l del cuadrado mide 12.7 cm aproximadamente
3.3.3 CÁLCULO EN PROYECCIÓN DE SOMBRAS
26
A d
L
lQrr
lQ
r
r
La altura de un edificio es de 180 metros de altura, el edificio proyecta
una sombra de 80 metros en el suelo ¿cuantos metros separa desde la
punta del edificio hasta el fin d la sombra en el suelo?
Altura = A (180 m)
Sombra = B (80 m)
Altura 2 = C
C=√1802+802
C=√3880C=196.97metros
La distancia que separa al edificio con la sombra es de 196.97 metros
aproximadamente
3.3.4 CALCULO DE ALTURAS
27
A = 180
B = 80
C
Un globo cautivo está sujeto al suelo con una cuerda.
Ayer, que no había viento estaba a 50 metros de altura. Hoy hace
viento y la vertical del globo se ha alejado 30 metros del punto de
amarre ¿A qué altura se encuentra el globo?
RESPUESTA: La altura que se encuentra el
aaaa globo es 40 metros
(http://matematica1.com/category/teorema-de-pitagoras/)
COMENTARIO: En estos ejercicios nos damos cuenta de cómo
se emplea el teorema de Pitágoras para poder encontrar un
valor de cualquier lado que componen en triangulo rectángulo
CAPÍTULO III
28
50 m
METODOLOGÌA
3.1 MÉTODOS UTILIZADOS
Los métodos utilizados durante la realización de la monografía han
sido: el método deductivo, porque se ha estudiado la temática,
contemplada en sus inicios en el planteamiento del problema que
aborda el tema desde lo general hasta lo particular, al igual que en el
marco teórico que parte desde definiciones y conceptos hasta llegar al
análisis de los resultados de la investigación.
Además se utilizó el método cuantitativo, ya que se elaboró encuestas
para el análisis e interpretación de los resultados.
También el método histórico-comparado, pues se compara el desarrollo
del teorema de Pitágoras desde sus inicios en el año 500 a.C. hasta la
utilización que se le da en la actualidad en los temarios de
matemáticas.
3.2 NIVELES O TIPOS DE INVESTIGACIÓN
Durante el desarrollo de la monografía su utilizaron los siguientes tipos
de investigación: investigación bibliográfica y documental, porque su
investigó en libros, revistas de carácter científico, folletos, documentos,
entre otros; investigación audiovisual puesto que la información que se
recopilo fue del internet; además las encuestas se realizaron en el
interior de la institución educativa (aulas, biblioteca) se habla de una
investigación de campo.
CAPITULO IV
29
4.1 POBLACIÓN Y MUESTRA
4.1.1 POBLACIÓN
Los alumnos de octavo, noveno y décimo de Educación General
Básica del colegio Hermano Miguel; dando un total de 360
estudiantes aproximadamente
4.1.2 MUESTRA
La muestra utilizada fue la no probabilística por cuota, tomando
54 estudiantes del total, es decir 6 estudiantes de cada paralelo.
Nº DE ESTUDIANTES PARALELO TOTAL
6 estudiantes Octavo “A” 6
6 estudiantes Octavo “B” 6
6 estudiantes Octavo “C” 6
6 estudiantes Noveno “A” 6
6 estudiantes Noveno ”B” 6
6 estudiantes Noveno “C” 6
6 estudiantes Décimo “A” 6
6 estudiantes Décimo ”B” 6
6 estudiantes Décimo “C” 6
Total 54
ANALISIS E INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS
30
Una vez finalizado el proceso de tabulación de los datos de acuerdo a
los anexos 1-9 complementados con los siguientes datos:
1) ¿Conoce usted acerca del teorema de Pitágoras?
Pregunta SI % NO % TOTAL
ENCUESTADOS
PORCENTAJE
DE
ENCUESTADOS
Conoce usted
acerca del
teorema de
Pitágoras
38 70.37
%
16 29.63
%
54 100 %
Fuente: Equipo de investigación
70%
30%
CONECE ACERCA DEL TEOREMA DE PITAGORAS
SINO
31
Los 38 estudiantes de la Unidad Educativa Hermano Miguel “La Salle”,
representan el 70.37% de los encuestados que contestaron en forma
afirmativa con la siguiente respuesta: “SI, CONOZCO ACERCA DEL
TEOREMA DE PITAGORAS” y los 16 estudiantes restantes que
representan el 29.63% de los encuestados que contestaron en forma
negativa con la siguiente repuesta “NO, CONOZCO ACERCA DEL
TEOREMA DE PITAGORAS”.
2) ¿Ha utilizado el teorema de Pitágoras?
Pregunta SI % NO % TOTAL
ENCUESTADOS
PORCENTAJE
DE
ENCUESTADOS
Ha utilizado el
Teorema de
Pitágoras 27 50 %
27 50 % 54 100 %
Fuente: Equipo de investigación
SINO
HA UTILIZADO ALGUNA VEZ EL TEOREMA DE PITAGORAS
32
Los 27 estudiantes de la Unidad Educativa Hermano Miguel “La Salle”,
representan el 50% de los encuestados que contestaron en forma
afirmativa con la siguiente respuesta: “SI, HE UTILIZADO EL
TEOREMA DE PITAGORAS” y los 27 estudiantes restantes que
representan el 50% de los encuestados que contestaron en forma
negativa con la siguiente repuesta “NO, HE UTILIZADO EL TEOREMA
DE PITAGORAS”.
3) ¿La fórmula del Teorema de Pitágoras es: a2+b2=c2?
4)
Pregunta SI % NO % TOTAL
ENCUESTADOS
PORCENTAJE
DE
ENCUESTADOS
La fórmula del
Teorema de
Pitágoras es:
a2+b2=c2
40 74.07
%
14 25.93
%
54 100 %
Fuente: Equipo de investigación
33
SI; 74.07
NO; 25.93
LA FORMULA DEL TEOREMA DE PITAGORAS ES a2+b2=c
Los 40 estudiantes de la Unidad Educativa Hermano Miguel “La Salle”,
representan el 74.07% de los encuestados que contestaron en forma
afirmativa con la siguiente respuesta: “SI, LA FORMULA DEL
TEOREMA DE PITAGORAS ES a2+b2=c2” y los 14 estudiantes
restantes que representan el 25.93% de los encuestados que
contestaron en forma negativa con la siguiente repuesta “NO,
a2+b2=c2ES LA FORMULA DEL TEOREMA DE PITAGORAS”.
5) El Teorema de Pitágoras se aplica utilizando que tipo de
triangulo?
El Teorema de Pitágoras se utiliza con que tipo de triángulo
34
ISOSCELES ESCALENO RECTANGULO
TOTAL DE
ENCUESTADOS
PORCENTAJE
Número % Número % Número %
54 100%8 14.81
%
11 20.37
%
35 64.82
%
Fuente: Equipo de investigación
Los 8 estudiantes de la Unidad Educativa Hermano Miguel “La Salle”,
representan el 14.81% de los encuestados contestaron con la siguiente
respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS UTILIZA EL TRIANGULO
ISOSCELES”, los 11 estudiantes que representan el 20.37% de los
35
ISOSCELES ESCALENO RECTANGULO0
10
20
30
40
50
60
70
QUE TRIANGULO UTILIZA EL TEOREMA DE PITAGORAS
ISOSCELES ESCALENO RECTANGULO
encuestados contestaron con la siguiente repuesta “.EL TEOREMA DE
PITAGORAS UTILIZA EL TRIANGULO ESCALENO” los 35 estudiantes
restantes que representan el 64.82% de los encuestados contestaron
con la siguiente repuesta “.EL TEOREMA DE PITAGORAS UTILIZA EL
TRIANGULO RECTANGULO”
6) Diga que tal útil es el teorema Pitágoras en una escala del 1
(poco útil) al 5 ( muy útil) en cada caso
Diga que tal útil es el teorema Pitágoras en una escala del 1 (poco útil) al
5 ( muy útil) en cada caso
MATEMATICAS
1 2 3 4 5 TOTA
L
PORCENTAJ
E
N
º
% N
º
% N
º
% N
º
% N
º
%
54 100%
4 7.40
%
9 16.67
%
1
4
25.93
%
2
2
40.74
%
5 9.26
%
Fuente: Equipo de investigación
36
Los 4 estudiantes de la Unidad Educativa Hermano Miguel “La
Salle”, representan el 7.40% de los encuestados contestaron con la
siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES NADA
UTIL EN MATEMATICAS”, los 9 estudiantes que representan el
16.67% de los encuestados contestaron con la siguiente respuesta:
“EL TEOREMA DE PITAGORAS ES POCO UTIL EN
MATEMATICAS”, los 14 estudiantes que representan el 25.93% de
los encuestados contestaron con la siguiente respuesta: “EL
TEOREMA DE PITAGORAS ES ALGO UTIL EN MATEMATICAS”,
los 22 estudiantes que representan el 40.74% de los encuestados
contestaron con la siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE
PITAGORAS ES UTIL EN MATEMATICAS” y los 5 estudiantes
37
17%
217%
326%
441%
59%
MATEMATICAS
1 2 3 4 5
restantes que representan el 9.26% de los encuestados contestaron
con la siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES
MUY UTIL EN MATEMATICAS”
Diga que tal útil es el teorema Pitágoras en una escala del 1 (poco útil) al 5
( muy útil) en cada caso
TRIGONOMETRIA
1 2 3 4 5 TOTAL PORCENTAJE
N
º
% N
º
% N
º
% Nº % Nº %
54 100%
5 9.26% 6 11.11% 6 11.11% 1
5
27.78% 22 40.74
%
Fuente: Equipo de investigación
38
Los 5 estudiantes de la Unidad Educativa Hermano Miguel “La
Salle”, representan el 9.26% de los encuestados contestaron con la
siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES NADA
UTIL EN TRIGONOMETRIA”, los 6 estudiantes que representan el
11.11% de los encuestados contestaron con la siguiente respuesta:
“EL TEOREMA DE PITAGORAS ES POCO UTIL EN
TRIGONOMETRIA”, los 6 estudiantes que representan el 11.11%
de los encuestados contestaron con la siguiente respuesta: “EL
TEOREMA DE PITAGORAS ES ALGO UTIL EN
TRIGONOMETRIA”, los 15 estudiantes que representan el 27.78%
39
9.26
11.11
11.11
27.78
40.74
TRIGONOMETRIA
1 2 3 4 5
de los encuestados contestaron con la siguiente respuesta: “EL
TEOREMA DE PITAGORAS ES UTIL EN TRIGONOMETRIA” y los
22 estudiantes restantes que representan el 40.74% de los
encuestados contestaron con la siguiente respuesta: : “EL
TEOREMA DE PITAGORAS ES MUY UTIL EN TRIGONOMETRIA”
Diga que tal útil es el teorema Pitágoras en una escala del 1 (poco útil) al 5
( muy útil) en cada caso
RAZONAMIENTO MATEMATICO
1 2 3 4 5 TOTAL PORCENTAJE
Nº % Nº % Nº % N
º
% Nº %
54 100%
8 14.81
%
11 20.37% 15 27.78% 9 16.67% 11 20.37%
Fuente: Equipo de investigación
40
1
2
3
4
5
RAZONAMIENTO MATEMATICO
Los 8 estudiantes de la Unidad Educativa Hermano Miguel “La
Salle”, representan el 14.81% de los encuestados contestaron con
la siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES NADA
UTIL EN RAZONAMIENTO MATEMATICO”, los 11 estudiantes que
representan el 20.37% de los encuestados contestaron con la
siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES POCO
UTIL EN RAZONAMIENTO MATEMATICO”, los 15 estudiantes que
representan el 27.78% de los encuestados contestaron con la
41
siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES ALGO
UTIL EN RAZONAMIENTO MATEMATICO”, los 9 estudiantes que
representan el 16.67% de los encuestados contestaron con la
siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES UTIL EN
RAZONAMIENTO MATEMATICO” y los 11 estudiantes restantes
que representan el 20.37% de los encuestados contestaron con la
siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES MUY UTIL
EN RAZONAMIENTO MATEMATICO”
Diga que tal útil es el teorema Pitágoras en una escala del 1 (poco útil) al 5
( muy útil) en cada caso
ARQUITECTURA
1 2 3 4 5 TOTAL PORCENTAJE
N
º
% Nº % Nº % N
º
% Nº %
54 100%
4 7.40% 21 38.89% 12 22.22% 5 9.26% 12 22.22%
42
Fuente: Equipo de investigación
Los 4 estudiantes de la Unidad Educativa Hermano Miguel “La
Salle”, representan el 7.40% de los encuestados contestaron con la
siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES NADA
UTIL EN ARQUITECTURA”, los 21 estudiantes que representan el
38.89% de los encuestados contestaron con la siguiente respuesta:
“EL TEOREMA DE PITAGORAS ES POCO UTIL EN
ARQUITECTURA”, los 12 estudiantes que representan el 22.22%
de los encuestados contestaron con la siguiente respuesta: “EL
TEOREMA DE PITAGORAS ES ALGO UTIL EN ARQUITECTURA”,
43
7.4
38.89
22.22
9.26
22.22
ARQUITECTURA
1 2 3 4 5
los 5 estudiantes que representan el 9.26% de los encuestados
contestaron con la siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE
PITAGORAS ES UTIL EN ARQUITECTURA” y los 12 estudiantes
restantes que representan el 22.22% de los encuestados
contestaron con la siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE
PITAGORAS ES MUY UTIL EN ARQUITECTURA
Diga que tal útil es el teorema Pitágoras en una escala del 1 (poco útil) al 5
( muy útil) en cada caso
CONSTRUCCION
1 2 3 4 5 TOTAL PORCENTAJE
Nº % Nº % Nº % Nº % Nº %
54 100%2 53.71% 6 11.11 8 14.81% 4 7.40% 7 12.97%
44
9 %
Fuente: Equipo de investigación
Los 29 estudiantes de la Unidad Educativa Hermano Miguel “La Salle”,
representan el 53.71% de los encuestados contestaron con la siguiente
respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES NADA UTIL EN
CONSTRUCCION”, los 6 estudiantes que representan el 11.11% de los
encuestados contestaron con la siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE
PITAGORAS ES POCO UTIL EN CONSTRUCCION”, los 8 estudiantes que
representan el 14.81% de los encuestados contestaron con la siguiente
respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES ALGO UTIL EN
CONSTRUCCION”, los 4 estudiantes que representan el 7.40% de los
encuestados contestaron con la siguiente respuesta: “EL TEOREMA DE
PITAGORAS ES UTIL EN CONSTRUCCION” y los 7 estudiantes restantes
45
154%
211%
315%
47%
513%
CONTRUCCION
que representan el 12.97% de los encuestados contestaron con la siguiente
respuesta: “EL TEOREMA DE PITAGORAS ES MUY UTIL EN
CONSTRUCCION
CAPITULO V
ASPECTOS ADMINISTRATIVOS
5.1 RECURSOS HUMANOS
En la elaboración de la monografía han contribuido las
siguientes personas:
Lcdo. Álvaro Puente ( Tutor de Monografía)
Ing. Karina Cabezas ( Profesora de Investigación)
46
Estudiantes de octavo a decimo de educación
básica general
Lcdo. Cristian @ (entrevista)
5.2 RECURSOS ECONÓMICOS
En la elaboración de la monografía se ha gastado los siguientes
montos:
Primer borrador $ 1.00
Segundo borrador $ 1.50
Tercer borrador $ 2.00
Copias de libros $ 3.75
Folletos $ 3.00
Esferos (3) $ 0.90
Encuestas (54) $ 1.62
Dvd para entrevistas $ 1.60
Pasajes $ 5.00
Impresión final de la monografía $ 8.00
Empastado de monografía $ 20.00
El total gastado en la elaboración de la monografía es de CUARENTA
Y OCHO DOLARES CON TREINTA Y SIETE CENTAVOS.
5.3 RECURSOS MATERIALES
Hojas papel boom
Grapadora
Esferos
Computadora
Cámara de video
Lápiz
Borrador
Regla
Perforadora
Empastados
47
Libros
folletos
BIBLIOGRAFÍA
INTERNET
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
Acceso: 30/11/2013
http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/1triangulos/
teoremapitagoras.html
48
Acceso 05/12/2013
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/teorema.htm
Acceso: 06/12/2013
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras-
demo.html
Acceso: 09/12/2013
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/
los_pitagoricos_y_los_numeros_irracionales.html
Acceso: 09/12/2013
LIBROS
FRIEDRICHS K. O. (traducido por Antonio Linares). De Pitágoras a
Einstein, Randon House editorial Norma
MANSILLA ROMO Serafín Pitágoras 7; Editorial MS
ELI MAOR ( 2007) THE PYTHAGOREAN THEOREM a 4000 year
history editorial Princeton University Press
49
ANEXOS
50
