Teoría de NúmerosDra. Noemí L. Ruiz LimardoRevisado 2011 © Derechos de Autor Reservados

1. Conocer las definiciones básicas relacionadas con factorización

2. Hallar la factorización prima de un número

3. Conocer el significado de MCM y MFC

4. Usar la factorización prima para hallar el MCM y MFC

5. Hallar el MCM y MFC de números dados.

Objetivos

Números que se multiplican para obtener un producto

Ejemplos de factores de 12: 12 y 1 ya que 12 . 1 = 12 3 y 4 ya que 3 . 4 = 12 6 y 2 ya que 6 . 2 = 12

Factores de 12: 12, 1, 6, 2, 4, 3

Factores

Número natural mayor que 1 cuyos únicos factores son él mismo y 1.

Ejemplo de números primos:

2 , 3, 5

Menciona otros

Número Primo

Conjunto de los Números Primos

29,17,{ 2, 5, 13, 23,7,3, 11, 19, 31, …}Observa que:• El conjunto es infinito.• El número primo menor es 2.• El único número primo que es par

es 2, los demás son impares.• No todos los impares son primos,

por ejemplo, el 9 es impar pero no es primo.

• Ver lista de números primos hasta el 100

Número natural que no es primo, o sea, tiene otros factores además de él mismo y uno.

Ejemplo de números compuestos:

4 , 9, 15, 64

Menciona otros

Número Compuesto

Una potencia es cuando tenemos un número (base) elevado a un exponente.

Ejemplo:

32

43

Exponentes y Potencias

Significa que se multiplica la base tantas veces como diga el exponente.

Una potencia es cuando tenemos un número llamado base) elevado a un exponente. Significa que se multiplica la base tantas veces como diga el exponente

Ejemplo: 32

43

Exponentes y Potencias

= 3 x 3 = 9

= 4 x 4 x 4 = 64

Proceso mediante el cual se descompone un número como el producto (multiplicación) de dos o más números.

Ejemplo:

10 = 5 . 2

12 = 4 . 3

Factorización...

Proceso mediante el cual se descompone un número como el producto (multiplicación) de dos o más números primos.

Ejemplo:

7 = 7 . 1

6 = 2 . 3

Factorización prima...

Todo número natural compuesto puede expresarse de una forma única, como un producto de factores primos.

Teorema Fundamental de la Aritmética...

Un número a es divisible por b, si al dividir a por b se obtiene un número entero.

Ejemplo:

10 es divisible por 2 ya que al dividir 10 por 2 se obtiene el entero 5.

Divisibilidad...

Reglas de divisibilidadEs divisible

por:Si: Ejemplo:

2 Último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8) 9,894

3 Suma de los dígitos es múltiplo de 3 897,432

5 Último dígito es 0 ó 5 890 ó 7,635

7 Al duplicar el último dígito y luego restar el resultado del número sin su último dígito, se obtiene un múltiplo de 7. (Repetir el proceso tantas veces como sea necesario hasta ver si el resultado obtenido es múltiplo de 7.)

409,311

11 Al sumar los dígitos alternos (uno sí y uno no) y restar la cantidad menor de la mayor, se obtiene un múltiplo de 11.

847,667,942

Ejercicios de práctica para determinar cuando un número es divisible por 2, 3, 5, 7, y 11.

315

630

45,815

123,456,789

987,654,321

142,891

409,311

Determina si los números son divisibles por 2, 3, 5, 7, 11

Más ejemplos en próxima pantalla.

409,311

458,485

287,824

8,493,969

847,667,942

453,896,248

552,749,913

Determina si los números son divisibles por 2, 3, 5, 7, 11

Factorización Prima de un Número

Método del árbol para hallar la factorización prima de un número

• Se buscan dos factores cualesquiera del número que se va a factorizar y se colocan como dos ramas del árbol.

• Si el factor es un número primo, la rama del árbol termina.

Continúa en próxima pantalla.

Método del árbol para hallar la factorización prima de un número

• Si el factor no es primo, se buscan dos factores cualesquiera y se colocan como dos ramas del árbol bajo la ramificación anterior.

• El proceso continúa hasta que se obtienen números primos en todas las ramas del árbol.

• Ver proceso en las próximas pantallas.

Método del árbol de factorización

• Halla la factorización prima de 63

3 21

63

3 7

La factorización prima de 63 es:

32 . 7

3 y 21 son dos factores cualesquiera de 63

Como el 3 es primo, termina la rama, como el 21 no es primo continúa ramificándose el árbol

Termina el proceso cuando se obtienen ramas que tiene solo números primos

Los factores primos que están repetidos se expresan en potencias

Método del árbol de factorización

• Hallar la factorización prima de 504

2 252

504

2 126

2 63

3 21

3 7La factorización prima de 504 es:

23 . 32 . 7

Ejercicios de práctica

240

300

360

425

663

885

Halla la factorización prima de los siguientes números

MCD y MCM

Proceso para hallar el Máximo Factor Común (MFC) (o Máximo Común Divisor-MCD) de dos o más números• Halla la factorización prima de cada

número.• Expresa los factores que se repiten

como una potencia.• Determina los factores que son

comunes a todos los números.• Selecciona, de los factores

comunes, las potencias menores.• Multiplica todos los factores

obtenidos en el paso anterior.

Ejemplo: Hallar el MFC de 360 y 2700

• La factorización prima de cada uno, expresado como potencias de factores es:360 = 23 . 32 . 5 2700 = 22 . 33 . 52

• Los factores comunes son:

2, 3, 5• Selecciona las potencias menores

de cada uno:

22 . 32 . 5 • Multiplicando todo tenemos que

MFC = 22 . 32 . 5 = 180

Proceso para hallar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números

• Halla la factorización prima de cada número.

• Expresa los factores que se repiten como una potencia.

• Determina los factores que son comunes a todos los números.

• Selecciona, de los factores comunes, las potencias mayores.

• Selecciona todos los demás factores (los que no fueron comunes)

• Multiplica todos los factores obtenidos en los dos últimos pasos.

Ejemplo: Hallar el MCM de 135, 280, y 300

• La factorización prima de cada uno, expresado como potencias de factores es:

135 = 33 . 5 280 = 23 . 5 . 7 300 = 22 . 3 . 52

• De los factores comunes selecciona las potencias mayores:

23 . 33 . 52

• Los factores no comunes son:

7• Multiplicando todo tenemos que

MFC = 23 . 33 . 52 . 7 = 37,800

Ejercicios de práctica

70 y 120

180 y 300

480 y 1800

168 y 504

28, 35 y 56

252, 308 y 504

Halla el MFC de los números a continuación

Más ejemplos en próxima pantalla.

24 y 32

35 y 56

45 y 75

48, 54 y 60

16, 120 y 216

Halla el MCM de los números a continuación

¿Para qué o cuándo se usa el MFC?

Uno de los usos más importantes es cuando se simplifica una fracción

En este caso se halla el MFC del numerador y el denominador y se divide ambos por esta cantidad.

Se usa el MFC...

¿Para qué o cuándo se usa el MCM?

Uno de los usos más importantes es cuando se suman fracciones con denominadores diferentes.

Cuando se busca un denominador común a dos o más fracciones lo que se busca es el MCM de los denominadores.

Se usa el MCM...

Fin de la Lección

Números Primos hasta 100

29,17,{ 2, 5, 13, 23,7,3, 11, 19, 31, 37,41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...}