Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Tensegridades:la ultima geometrıa de Miguel

David Orden Martın

http://www2.uah.es/ordend

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

1 Miguel y las tensegridadesDefinicionProblemaAtomosHerramienta

2 EjemplosEn R2

En R3

Otra herramienta

3 AplicacionesArteAcampadaArquitecturaBiologıaOcioBricolaje

4 Bibliografıa

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Miguel y las tensegridades

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

¿Un problema de definicion?

Miguel encuentra las tensegridades en distintas areas, donde semanejan definiciones diversas:

• Fuller: Islands of compression in an ocean of tension.

• Snelson: Continuous tension, discontinuous compressionstructures.

• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.

Esto le lleva a la siguiente afirmacion:

• A mi parecer el tratamiento matematico del problema seha hecho difıcil por la ausencia de una definicion eficaz yoperativa desde el punto de vista geometrico.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

¿Un problema de definicion?

Miguel encuentra las tensegridades en distintas areas, donde semanejan definiciones diversas:

• Fuller: Islands of compression in an ocean of tension.

• Snelson: Continuous tension, discontinuous compressionstructures.

• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.

Esto le lleva a la siguiente afirmacion:

• A mi parecer el tratamiento matematico del problema seha hecho difıcil por la ausencia de una definicion eficaz yoperativa desde el punto de vista geometrico.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

¿Un problema de definicion?

Miguel encuentra las tensegridades en distintas areas, donde semanejan definiciones diversas:

• Fuller: Islands of compression in an ocean of tension.

• Snelson: Continuous tension, discontinuous compressionstructures.

• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.

Esto le lleva a la siguiente afirmacion:

• A mi parecer el tratamiento matematico del problema seha hecho difıcil por la ausencia de una definicion eficaz yoperativa desde el punto de vista geometrico.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

¿Un problema de definicion?

Miguel encuentra las tensegridades en distintas areas, donde semanejan definiciones diversas:

• Fuller: Islands of compression in an ocean of tension.

• Snelson: Continuous tension, discontinuous compressionstructures.

• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.

Esto le lleva a la siguiente afirmacion:

• A mi parecer el tratamiento matematico del problema seha hecho difıcil por la ausencia de una definicion eficaz yoperativa desde el punto de vista geometrico.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

¿Un problema de definicion?

Miguel encuentra las tensegridades en distintas areas, donde semanejan definiciones diversas:

• Fuller: Islands of compression in an ocean of tension.

• Snelson: Continuous tension, discontinuous compressionstructures.

• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.

Esto le lleva a la siguiente afirmacion:

• A mi parecer el tratamiento matematico del problema seha hecho difıcil por la ausencia de una definicion eficaz yoperativa desde el punto de vista geometrico.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Hacia una definicion mas eficaz• Grafo abstracto: G = (V ,E ) con vertices V y aristas E .

• Armazon: inmersion G (P) de un grafo G sobre unconjunto P ⊂ Rd , con segmentos rectos como aristas.

• Auto-tension: asignacion de tensiones wij a las aristas ij ,de forma que cada vertice esta en equilibrio:

Para cada vertice, la resultante de las tensiones es nula.

K4 = ({1, 2, 3, 4}, {12, 13, 14, 23, 24, 34})

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Hacia una definicion mas eficaz• Grafo abstracto: G = (V ,E ) con vertices V y aristas E .• Armazon: inmersion G (P) de un grafo G sobre un

conjunto P ⊂ Rd , con segmentos rectos como aristas.

• Auto-tension: asignacion de tensiones wij a las aristas ij ,de forma que cada vertice esta en equilibrio:

Para cada vertice, la resultante de las tensiones es nula.

K4 = ({1, 2, 3, 4}, {12, 13, 14, 23, 24, 34})

p4 p1

p3 p2

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Hacia una definicion mas eficaz• Grafo abstracto: G = (V ,E ) con vertices V y aristas E .• Armazon: inmersion G (P) de un grafo G sobre un

conjunto P ⊂ Rd , con segmentos rectos como aristas.• Auto-tension: asignacion de tensiones wij a las aristas ij ,

de forma que cada vertice esta en equilibrio:

Para cada vertice, la resultante de las tensiones es nula.

i

j1

j3 j2

(−2)−→ij1+1

−→ij2+1

−→ij3 =

→0

++

−

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Hacia una definicion mas eficaz

Si en un armazon con una auto-tension reemplazamos:

• Aristas ij con wij > 0 → muelles intensores,

• Aristas ij con wij < 0 → muelles extensores,

y eliminamos las aristas ij con wij = 0, obtenemos unatensegridad.

i

j1

j3 j2

(−2)−→ij1+1

−→ij2+1

−→ij3 =

→0

++

−

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Hacia una definicion mas eficaz

Si en un armazon con una auto-tension reemplazamos:

• Aristas ij con wij > 0 → muelles intensores,

• Aristas ij con wij < 0 → muelles extensores,

y eliminamos las aristas ij con wij = 0, obtenemos unatensegridad.

p1

p3

p2

p6

p5

p4

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Hacia una definicion mas eficaz

Si en un armazon con una auto-tension reemplazamos:

• Aristas ij con wij > 0 → muelles intensores → cables

• Aristas ij con wij < 0 → muelles extensores → barras

y eliminamos las aristas ij con wij = 0, obtenemos unatensegridad.

p1

p3

p2

p6

p5

p4

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Problema

Dado un grafo abstracto G ,

1 ¿Puede existir una tensegridad con este grafo?

2 ¿posicion relativa de sus vertices?

G = ({1, . . . , 6},{12, 14, 16, 23, 26, 34, 35, 45, 56})

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Problema

Dado un grafo abstracto G ,

1 ¿Puede existir una tensegridad con este grafo?

2 ¿posicion relativa de sus vertices?

G = ({1, . . . , 6},{12, 14, 16, 23, 26, 34, 35, 45, 56}) p1

p2

p3

p4

p5

p6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Problema

Dado un grafo abstracto G ,

1 ¿Puede existir una tensegridad con este grafo?

2 Si es ası, ¿posicion relativa de sus vertices?

G = ({1, . . . , 6},{12, 14, 16, 23, 26, 34, 35, 45, 56}) p1

p2

p3

p4

p5

p6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Atomos de una tensegridad

• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 y la unicaauto-tension posible (salvo constantes).

Las tensegridades estan compuestas de atomos.

1

23

4

1

2

4

5

1

23

4

5

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Atomos de una tensegridad

• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 y la unicaauto-tension posible (salvo constantes).

Las tensegridades estan compuestas de atomos.

1

23

4

1

2

4

5

1

23

4

5

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Atomos de una tensegridad

• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 y la unicaauto-tension posible (salvo constantes).

Las tensegridades estan compuestas de atomos.

1

23

4

1

2

4

5

1

23

4

5

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),

sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:

Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:

Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:

a

21

a

Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:

a

3 2

1

a

3 2

1

a

3 2

1

Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:a

3 2

1

a

3 2

1

a

3 2

1

4 4

Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:

Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

SI

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:a

3 2

1

a

3 2

1

a

3 2

1

Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

SI

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:

Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

NO

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:a

3 2

1

a

3 2

1

a

3 2

1

Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

NO

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:

a

21

a

Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

NO

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Descomposicion combinatoria

Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:

1. Si grado(a) ≤ 2:

2. Si grado(a) = 3:

3. Si grado(a) ≥ 4:a

3 2

1

a

3 2

1

a

3 2

1

Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.

EJEMPLOS:

NO

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

caracteriza los vertices P sobre los que puede haber unatensegridad con grafo G .

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

2

4

5

6

1

2

3

4

5

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4

5

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Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

1

2

3

4

5

6 p2

p4

p5

p6p2

p3

p4

p5

p6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p2

p4

p5

p6p2

p3

p4

p5

p6

1

2

3

4

5

6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p2

p4

p5

p6

1

2

3

4

5

6 2

3

4

5

6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p2

p4

p5

p6

1

2

3

4

5

6 2

3

4

5

6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

2

4

5

6

1

2

3

4

5

6 2

3

4

5

6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p1

p2

p3

p4

p5

p6 p2

p4

p5

p6p2

p3

p4

p5

p6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p1

p2

p3

p4

p5

p6 p2

p4

p5

p6p2

p3

p4

p5

p6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p1

p2

p3

p4

p5

p6 p2

p4

p5

p6p2

p3

p4

p5

p6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p1

p2

p3

p4

p5

p6 p2

p4

p5

p6p2

p3

p4

p5

p6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p1

p2

p3

p4

p5

p6 p2

p4

p5

p6p2

p3

p4

p5

p6

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p1

p2

p3

p4

p5

p6

Los dos triangulos deben estar enposicion perspectiva.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p1

p2

p3

p4

p5

p6 p2

p3

p4

p5

p6

p1

Los dos triangulos deben estar enposicion perspectiva.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Recomposicion

Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:

Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con

grafo G .

p1

p2

p3

p4

p5

p6 p2

p3

p4

p5

p6

p1

Los dos triangulos deben estar enposicion perspectiva.

¿Una ayuda?

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

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Bibliografıa

Ejemplos en R2

• Un grafo 3-regular con 6 vertices:

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos en R2

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

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Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos en R2

• Grafos 3-regulares con 8 vertices:

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos en R2

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos en R2

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos en R2

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos en R2

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos en R2

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos en R3

• Grafo del prisma triangular oblicuo:

p1

p3

p2

p6

p5

p4

Los seis vertices estan en unhiperboloide reglado que contiene lasaristas de uno de los tres ciclos de

longitud cuatro del grafo.

¿MAS DETALLES?

SI NO

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos en R3

• Grafo del prisma triangular oblicuo:

p1

p3

p2

p6

p5

p4

Los seis vertices estan en unhiperboloide reglado que contiene lasaristas de uno de los tres ciclos de

longitud cuatro del grafo.

¿MAS DETALLES?

SI NO

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Ejemplos en R3

• Grafo del prisma triangular oblicuo:

p1

p3

p2

p6

p5

p4

Los seis vertices estan en unhiperboloide reglado que contiene lasaristas de uno de los tres ciclos de

longitud cuatro del grafo.

¿MAS DETALLES?

SI NO

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Otra herramienta

• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano

(n2

)× nd y se define ası:

• Cada fila corresponde a una arista.• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice y

guarda sus aristas incidentes.

arista 12 →arista 13 →

...

0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0

......

......

. . ....

...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1

1CCCA

Probando esto pero

z}|{p1

ytb

z}|{p2

• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:

w · R(P) = 0

• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Otra herramienta

• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano

(n2

)× nd y se define ası:

• Cada fila corresponde a una arista.

• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice yguarda sus aristas incidentes.

arista 12 →arista 13 →

...

0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0

......

......

. . ....

...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1

1CCCA

Probando esto pero

z}|{p1

ytb

z}|{p2

• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:

w · R(P) = 0

• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Otra herramienta

• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano

(n2

)× nd y se define ası:

• Cada fila corresponde a una arista.

• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice yguarda sus aristas incidentes.

arista 12 →arista 13 →

...

0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0

......

......

. . ....

...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1

1CCCA

Probando esto pero

z}|{p1

ytb

z}|{p2

• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:

w · R(P) = 0

• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Otra herramienta

• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano

(n2

)× nd y se define ası:

• Cada fila corresponde a una arista.• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice y

guarda sus aristas incidentes.

arista 12 →arista 13 →

...

0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0

......

......

. . ....

...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1

1CCCA

Probando esto pero

z}|{p1

ytb

z}|{p2

• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:

w · R(P) = 0

• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Otra herramienta

• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano

(n2

)× nd y se define ası:

• Cada fila corresponde a una arista.• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice y

guarda sus aristas incidentes.

arista 12 →arista 13 →

...

0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0

......

......

. . ....

...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1

1CCCA

Probando esto pero

z}|{p1

ytb

z}|{p2

• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:

w · R(P) = 0

• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Otra herramienta

• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano

(n2

)× nd y se define ası:

• Cada fila corresponde a una arista.• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice y

guarda sus aristas incidentes.

arista 12 →arista 13 →

...

0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0

......

......

. . ....

...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1

1CCCA

Probando esto pero

z}|{p1

ytb

z}|{p2

• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:

w · R(P) = 0

• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Otra herramienta

• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano

(n2

)× nd y se define ası:

• Cada fila corresponde a una arista.• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice y

guarda sus aristas incidentes.

arista 12 →arista 13 →

...

0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0

......

......

. . ....

...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1

1CCCA

Probando esto pero

z}|{p1

ytb

z}|{p2

• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:

w · R(P) = 0

• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Otra herramienta

• Podemos eliminar las variables wij ’s para, en cada paso dela recomposicion, obtener condiciones para los vertices (enlas variables xk ’s).

• En el ejemplo, tomando los puntos

p1 = (0, 0, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (0, 1, 0), p4 = (1, 0, 0), p5 = (0, 0, 1)

y p6 = (x , y , z) con coordenadas genericas, se obtiene:

x2 − y2 − z2 − x + y + z = 0.

• Este hiperboloide reglado da una condicion necesaria, cuyasuficiencia se puede comprobar tambien simbolicamente.

• Finalmente, este hiperboloide contiene las aristas delcuadrilatero p2p3p4p5 y del resto de descomposicionesposibles se obtienen el resto de cuadrilateros.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Otra herramienta

• Podemos eliminar las variables wij ’s para, en cada paso dela recomposicion, obtener condiciones para los vertices (enlas variables xk ’s).

• En el ejemplo, tomando los puntos

p1 = (0, 0, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (0, 1, 0), p4 = (1, 0, 0), p5 = (0, 0, 1)

y p6 = (x , y , z) con coordenadas genericas, se obtiene:

x2 − y2 − z2 − x + y + z = 0.

• Este hiperboloide reglado da una condicion necesaria, cuyasuficiencia se puede comprobar tambien simbolicamente.

• Finalmente, este hiperboloide contiene las aristas delcuadrilatero p2p3p4p5 y del resto de descomposicionesposibles se obtienen el resto de cuadrilateros.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

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Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Otra herramienta

• Podemos eliminar las variables wij ’s para, en cada paso dela recomposicion, obtener condiciones para los vertices (enlas variables xk ’s).

• En el ejemplo, tomando los puntos

p1 = (0, 0, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (0, 1, 0), p4 = (1, 0, 0), p5 = (0, 0, 1)

y p6 = (x , y , z) con coordenadas genericas, se obtiene:

x2 − y2 − z2 − x + y + z = 0.

• Este hiperboloide reglado da una condicion necesaria, cuyasuficiencia se puede comprobar tambien simbolicamente.

• Finalmente, este hiperboloide contiene las aristas delcuadrilatero p2p3p4p5 y del resto de descomposicionesposibles se obtienen el resto de cuadrilateros.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

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Arte

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Arquitectura

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Ocio

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Bibliografıa

Otra herramienta

• Podemos eliminar las variables wij ’s para, en cada paso dela recomposicion, obtener condiciones para los vertices (enlas variables xk ’s).

• En el ejemplo, tomando los puntos

p1 = (0, 0, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (0, 1, 0), p4 = (1, 0, 0), p5 = (0, 0, 1)

y p6 = (x , y , z) con coordenadas genericas, se obtiene:

x2 − y2 − z2 − x + y + z = 0.

• Este hiperboloide reglado da una condicion necesaria, cuyasuficiencia se puede comprobar tambien simbolicamente.

• Finalmente, este hiperboloide contiene las aristas delcuadrilatero p2p3p4p5 y del resto de descomposicionesposibles se obtienen el resto de cuadrilateros.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

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Bibliografıa

Otra herramienta

• Podemos eliminar las variables wij ’s para, en cada paso dela recomposicion, obtener condiciones para los vertices (enlas variables xk ’s).

• En el ejemplo, tomando los puntos

p1 = (0, 0, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (0, 1, 0), p4 = (1, 0, 0), p5 = (0, 0, 1)

y p6 = (x , y , z) con coordenadas genericas, se obtiene:

x2 − y2 − z2 − x + y + z = 0.

• Este hiperboloide reglado da una condicion necesaria, cuyasuficiencia se puede comprobar tambien simbolicamente.

• Finalmente, este hiperboloide contiene las aristas delcuadrilatero p2p3p4p5 y del resto de descomposicionesposibles se obtienen el resto de cuadrilateros.

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

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Bibliografıa

Aplicaciones

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

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Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

Acampada

Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Esculturas y montajes

http://www.kennethsnelson.net

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geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

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Definicion

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Atomos

Herramienta

Ejemplos

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Aplicaciones

Arte

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Ocio

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Bibliografıa

Tiendas de campana

http://www.oregonphotos.com/Backpacking-Revolution1.html

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geometrıa deMiguel

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Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

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Arte

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Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Tiendas de campana

http://danaung.stanford.edu/portfolio/tensegrity

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

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Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Cubiertas

http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/GEORGIA/g-anal.html

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geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

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Arte

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Arquitectura

Biologıa

Ocio

Bricolaje

Bibliografıa

Esqueleto de las celulas

http://www.childrenshospital.org/research/Site2029/mainpageS2029P23sublevel24.html

Tensegridades:la ultima

geometrıa deMiguel

David OrdenMartın

Miguel y lastensegridades

Definicion

Problema

Atomos

Herramienta

Ejemplos

En R2

En R3

Otraherramienta

Aplicaciones

Arte

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Arquitectura

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Parques infantiles

http://www.news.cornell.edu/chronicle/97/2.20.97/AAAS Connelly.html

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Una sugerencia

http://yakko.bme.virginia.edu/lab/tensegrity coffee table.htm

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Bibliografıa

Bibliografıa I

D.L.D. Caspar and A. Klug.Physical principles in the construction of regular viruses.In Proceedings of Cold Spring Harbor Symposium onQuantitative Biology, 27:1–24, 1962.

R. Connelly and W. Whiteley.Second-order rigidity and prestress stability for tensegrityframeworks.SIAM Journal of Discrete Mathematics, 9(3):453–491,August 1996.

H. Crapo.Structural rigidity.Structural Topology 1:26–45, 1979.

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Bibliografıa II

M. de GuzmanForo de tensegridades.http://usuarios.bitmailer.com/mdeguzman/tensegridad

M. de Guzman and D. Orden.From graphs to tensegrity structures: Geometric andsymbolic approachesPublicacions Matematiques, in press, 2006.

D.E. Ingber.Cellular tensegrity: defining new rules of biological designthat govern the cytoskeleton.Journal of Cell Science, 104:613–627, 1993.

U. Kortenkamp, J. Richter-GebertCinderella. http://www.cinderella.de

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Bibliografıa

Bibliografıa III

R. Motro.Tensegrity: Structural systems for the future.Kogan Page Science, London, 2003.

S. Pellegrino and A.G. Tibert.Review of form-finding methods for tensegrity structures.International Journal of Space Structures,18(4):209–223(15), December 2003.

B. Roth and W. Whiteley.Tensegrity frameworks.Transactions of the American Mathematical Society,265:419–446, 1981.

R.E. Skelton.Deployable tendon-controlled structure.United States Patent 5 642 590, July 1, 1997.

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Bibliografıa IV

K. Snelson.http://www.kennethsnelson.net

J. Szabo and L. Kollar.Structural design of cable-suspended roofs.Akademiai Kiado, Budapest 1984.

A.G. Tibert.Deployable tensegrity structures for space applications.Ph.D. Thesis, Royal Institute of Technology, Stokholm2002.

Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Tensegrity

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David Orden Martın

http://www2.uah.es/ordend