Tensegridades: la última geometría de Miguel · 2015-03-09 · Tensegridades: la ultima´...
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Tensegridades: la ´ ultima geometr´ ıa de Miguel David Orden Mart´ ın Miguel y las tensegridades Definici´ on Problema ´ Atomos Herramienta Ejemplos En R 2 En R 3 Otra herramienta Aplicaciones Arte Acampada Arquitectura Biolog´ ıa Ocio Bricolaje Bibliograf´ ıa Tensegridades: la ´ ultima geometr´ ıa de Miguel David Orden Mart´ ın http://www2.uah.es/ordend
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Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Tensegridades:la ultima geometrıa de Miguel
David Orden Martın
http://www2.uah.es/ordend
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
1 Miguel y las tensegridadesDefinicionProblemaAtomosHerramienta
2 EjemplosEn R2
En R3
Otra herramienta
3 AplicacionesArteAcampadaArquitecturaBiologıaOcioBricolaje
4 Bibliografıa
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Miguel y las tensegridades
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
¿Un problema de definicion?
Miguel encuentra las tensegridades en distintas areas, donde semanejan definiciones diversas:
• Fuller: Islands of compression in an ocean of tension.
• Snelson: Continuous tension, discontinuous compressionstructures.
• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.
Esto le lleva a la siguiente afirmacion:
• A mi parecer el tratamiento matematico del problema seha hecho difıcil por la ausencia de una definicion eficaz yoperativa desde el punto de vista geometrico.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
¿Un problema de definicion?
Miguel encuentra las tensegridades en distintas areas, donde semanejan definiciones diversas:
• Fuller: Islands of compression in an ocean of tension.
• Snelson: Continuous tension, discontinuous compressionstructures.
• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.
Esto le lleva a la siguiente afirmacion:
• A mi parecer el tratamiento matematico del problema seha hecho difıcil por la ausencia de una definicion eficaz yoperativa desde el punto de vista geometrico.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
¿Un problema de definicion?
Miguel encuentra las tensegridades en distintas areas, donde semanejan definiciones diversas:
• Fuller: Islands of compression in an ocean of tension.
• Snelson: Continuous tension, discontinuous compressionstructures.
• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.
Esto le lleva a la siguiente afirmacion:
• A mi parecer el tratamiento matematico del problema seha hecho difıcil por la ausencia de una definicion eficaz yoperativa desde el punto de vista geometrico.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
¿Un problema de definicion?
Miguel encuentra las tensegridades en distintas areas, donde semanejan definiciones diversas:
• Fuller: Islands of compression in an ocean of tension.
• Snelson: Continuous tension, discontinuous compressionstructures.
• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.
Esto le lleva a la siguiente afirmacion:
• A mi parecer el tratamiento matematico del problema seha hecho difıcil por la ausencia de una definicion eficaz yoperativa desde el punto de vista geometrico.
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geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
¿Un problema de definicion?
Miguel encuentra las tensegridades en distintas areas, donde semanejan definiciones diversas:
• Fuller: Islands of compression in an ocean of tension.
• Snelson: Continuous tension, discontinuous compressionstructures.
• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.
Esto le lleva a la siguiente afirmacion:
• A mi parecer el tratamiento matematico del problema seha hecho difıcil por la ausencia de una definicion eficaz yoperativa desde el punto de vista geometrico.
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geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Hacia una definicion mas eficaz• Grafo abstracto: G = (V ,E ) con vertices V y aristas E .
• Armazon: inmersion G (P) de un grafo G sobre unconjunto P ⊂ Rd , con segmentos rectos como aristas.
• Auto-tension: asignacion de tensiones wij a las aristas ij ,de forma que cada vertice esta en equilibrio:
Para cada vertice, la resultante de las tensiones es nula.
K4 = ({1, 2, 3, 4}, {12, 13, 14, 23, 24, 34})
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Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Hacia una definicion mas eficaz• Grafo abstracto: G = (V ,E ) con vertices V y aristas E .• Armazon: inmersion G (P) de un grafo G sobre un
conjunto P ⊂ Rd , con segmentos rectos como aristas.
• Auto-tension: asignacion de tensiones wij a las aristas ij ,de forma que cada vertice esta en equilibrio:
Para cada vertice, la resultante de las tensiones es nula.
K4 = ({1, 2, 3, 4}, {12, 13, 14, 23, 24, 34})
p4 p1
p3 p2
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David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Hacia una definicion mas eficaz• Grafo abstracto: G = (V ,E ) con vertices V y aristas E .• Armazon: inmersion G (P) de un grafo G sobre un
conjunto P ⊂ Rd , con segmentos rectos como aristas.• Auto-tension: asignacion de tensiones wij a las aristas ij ,
de forma que cada vertice esta en equilibrio:
Para cada vertice, la resultante de las tensiones es nula.
i
j1
j3 j2
(−2)−→ij1+1
−→ij2+1
−→ij3 =
→0
++
−
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geometrıa deMiguel
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Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Hacia una definicion mas eficaz
Si en un armazon con una auto-tension reemplazamos:
• Aristas ij con wij > 0 → muelles intensores,
• Aristas ij con wij < 0 → muelles extensores,
y eliminamos las aristas ij con wij = 0, obtenemos unatensegridad.
i
j1
j3 j2
(−2)−→ij1+1
−→ij2+1
−→ij3 =
→0
++
−
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geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Hacia una definicion mas eficaz
Si en un armazon con una auto-tension reemplazamos:
• Aristas ij con wij > 0 → muelles intensores,
• Aristas ij con wij < 0 → muelles extensores,
y eliminamos las aristas ij con wij = 0, obtenemos unatensegridad.
p1
p3
p2
p6
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Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Hacia una definicion mas eficaz
Si en un armazon con una auto-tension reemplazamos:
• Aristas ij con wij > 0 → muelles intensores → cables
• Aristas ij con wij < 0 → muelles extensores → barras
y eliminamos las aristas ij con wij = 0, obtenemos unatensegridad.
p1
p3
p2
p6
p5
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Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
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Otraherramienta
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Arte
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Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Problema
Dado un grafo abstracto G ,
1 ¿Puede existir una tensegridad con este grafo?
2 ¿posicion relativa de sus vertices?
G = ({1, . . . , 6},{12, 14, 16, 23, 26, 34, 35, 45, 56})
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Arquitectura
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Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Problema
Dado un grafo abstracto G ,
1 ¿Puede existir una tensegridad con este grafo?
2 ¿posicion relativa de sus vertices?
G = ({1, . . . , 6},{12, 14, 16, 23, 26, 34, 35, 45, 56}) p1
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Problema
Atomos
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Arte
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Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Problema
Dado un grafo abstracto G ,
1 ¿Puede existir una tensegridad con este grafo?
2 Si es ası, ¿posicion relativa de sus vertices?
G = ({1, . . . , 6},{12, 14, 16, 23, 26, 34, 35, 45, 56}) p1
p2
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David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
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Arte
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Arquitectura
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Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Atomos de una tensegridad
• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 y la unicaauto-tension posible (salvo constantes).
Las tensegridades estan compuestas de atomos.
1
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4
1
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Atomos
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Ejemplos
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Otraherramienta
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Arte
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Arquitectura
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Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Atomos de una tensegridad
• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 y la unicaauto-tension posible (salvo constantes).
Las tensegridades estan compuestas de atomos.
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Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
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Ejemplos
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Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Atomos de una tensegridad
• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 y la unicaauto-tension posible (salvo constantes).
Las tensegridades estan compuestas de atomos.
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geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),
sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
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Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
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Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
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Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
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Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
Tensegridades:la ultima
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Problema
Atomos
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Ejemplos
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Aplicaciones
Arte
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Arquitectura
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Ocio
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Bibliografıa
Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
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Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
Tensegridades:la ultima
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Problema
Atomos
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Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
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Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:a
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Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
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Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
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Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
SI
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Ejemplos
En R2
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:a
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1
a
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Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
SI
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Atomos
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Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
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Arquitectura
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Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
NO
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Problema
Atomos
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Ejemplos
En R2
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Aplicaciones
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Ocio
Bricolaje
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:a
3 2
1
a
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Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
NO
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
a
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Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
NO
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Ocio
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:a
3 2
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Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
NO
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Problema
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Ocio
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Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
caracteriza los vertices P sobre los que puede haber unatensegridad con grafo G .
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Problema
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Herramienta
Ejemplos
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Arte
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Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
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Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Aplicaciones
Arte
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Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Atomos
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En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Bricolaje
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Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
p2
p4
p5
p6
1
2
3
4
5
6 2
3
4
5
6
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
2
4
5
6
1
2
3
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5
6 2
3
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5
6
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
p1
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p5
p6 p2
p4
p5
p6p2
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Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
p1
p2
p3
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p4
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p6p2
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p6
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
p1
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p3
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Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
p1
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Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
p1
p2
p3
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p4
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p6p2
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Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
p1
p2
p3
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p6
Los dos triangulos deben estar enposicion perspectiva.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
p1
p2
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p6 p2
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p1
Los dos triangulos deben estar enposicion perspectiva.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
p1
p2
p3
p4
p5
p6 p2
p3
p4
p5
p6
p1
Los dos triangulos deben estar enposicion perspectiva.
¿Una ayuda?
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R2
• Un grafo 3-regular con 6 vertices:
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R2
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R2
• Grafos 3-regulares con 8 vertices:
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R2
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R2
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R2
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R2
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R2
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R3
• Grafo del prisma triangular oblicuo:
p1
p3
p2
p6
p5
p4
Los seis vertices estan en unhiperboloide reglado que contiene lasaristas de uno de los tres ciclos de
longitud cuatro del grafo.
¿MAS DETALLES?
SI NO
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R3
• Grafo del prisma triangular oblicuo:
p1
p3
p2
p6
p5
p4
Los seis vertices estan en unhiperboloide reglado que contiene lasaristas de uno de los tres ciclos de
longitud cuatro del grafo.
¿MAS DETALLES?
SI NO
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Ejemplos en R3
• Grafo del prisma triangular oblicuo:
p1
p3
p2
p6
p5
p4
Los seis vertices estan en unhiperboloide reglado que contiene lasaristas de uno de los tres ciclos de
longitud cuatro del grafo.
¿MAS DETALLES?
SI NO
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Otra herramienta
• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano
(n2
)× nd y se define ası:
• Cada fila corresponde a una arista.• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice y
guarda sus aristas incidentes.
arista 12 →arista 13 →
...
0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0
......
......
. . ....
...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1
1CCCA
Probando esto pero
z}|{p1
ytb
z}|{p2
• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:
w · R(P) = 0
• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Otra herramienta
• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano
(n2
)× nd y se define ası:
• Cada fila corresponde a una arista.
• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice yguarda sus aristas incidentes.
arista 12 →arista 13 →
...
0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0
......
......
. . ....
...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1
1CCCA
Probando esto pero
z}|{p1
ytb
z}|{p2
• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:
w · R(P) = 0
• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Otra herramienta
• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano
(n2
)× nd y se define ası:
• Cada fila corresponde a una arista.
• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice yguarda sus aristas incidentes.
arista 12 →arista 13 →
...
0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0
......
......
. . ....
...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1
1CCCA
Probando esto pero
z}|{p1
ytb
z}|{p2
• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:
w · R(P) = 0
• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Otra herramienta
• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano
(n2
)× nd y se define ası:
• Cada fila corresponde a una arista.• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice y
guarda sus aristas incidentes.
arista 12 →arista 13 →
...
0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0
......
......
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...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1
1CCCA
Probando esto pero
z}|{p1
ytb
z}|{p2
• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:
w · R(P) = 0
• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Otra herramienta
• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano
(n2
)× nd y se define ası:
• Cada fila corresponde a una arista.• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice y
guarda sus aristas incidentes.
arista 12 →arista 13 →
...
0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0
......
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...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1
1CCCA
Probando esto pero
z}|{p1
ytb
z}|{p2
• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:
w · R(P) = 0
• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Otra herramienta
• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano
(n2
)× nd y se define ası:
• Cada fila corresponde a una arista.• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice y
guarda sus aristas incidentes.
arista 12 →arista 13 →
...
0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0
......
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...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1
1CCCA
Probando esto pero
z}|{p1
ytb
z}|{p2
• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:
w · R(P) = 0
• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Otra herramienta
• La matriz de rigidez R(P) de un armazon G (P) tienetamano
(n2
)× nd y se define ası:
• Cada fila corresponde a una arista.• Cada bloque de d columnas corresponde a un vertice y
guarda sus aristas incidentes.
arista 12 →arista 13 →
...
0BBB@p1−p2 p2−p1 0 0 . . . 0 0p1−p3 0 p3−p1 0 . . . 0 0
......
......
. . ....
...0 0 0 0 . . . pn−1−pn pn−pn−1
1CCCA
Probando esto pero
z}|{p1
ytb
z}|{p2
• Ası el equilibrio para una auto-tension w se expresa como:
w · R(P) = 0
• Esta ecuacion tiene variables de dos tipos; wij ’s y xk ’s.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Otra herramienta
• Podemos eliminar las variables wij ’s para, en cada paso dela recomposicion, obtener condiciones para los vertices (enlas variables xk ’s).
• En el ejemplo, tomando los puntos
p1 = (0, 0, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (0, 1, 0), p4 = (1, 0, 0), p5 = (0, 0, 1)
y p6 = (x , y , z) con coordenadas genericas, se obtiene:
x2 − y2 − z2 − x + y + z = 0.
• Este hiperboloide reglado da una condicion necesaria, cuyasuficiencia se puede comprobar tambien simbolicamente.
• Finalmente, este hiperboloide contiene las aristas delcuadrilatero p2p3p4p5 y del resto de descomposicionesposibles se obtienen el resto de cuadrilateros.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
Biologıa
Ocio
Bricolaje
Bibliografıa
Otra herramienta
• Podemos eliminar las variables wij ’s para, en cada paso dela recomposicion, obtener condiciones para los vertices (enlas variables xk ’s).
• En el ejemplo, tomando los puntos
p1 = (0, 0, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (0, 1, 0), p4 = (1, 0, 0), p5 = (0, 0, 1)
y p6 = (x , y , z) con coordenadas genericas, se obtiene:
x2 − y2 − z2 − x + y + z = 0.
• Este hiperboloide reglado da una condicion necesaria, cuyasuficiencia se puede comprobar tambien simbolicamente.
• Finalmente, este hiperboloide contiene las aristas delcuadrilatero p2p3p4p5 y del resto de descomposicionesposibles se obtienen el resto de cuadrilateros.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
Aplicaciones
Arte
Acampada
Arquitectura
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Ocio
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Otra herramienta
• Podemos eliminar las variables wij ’s para, en cada paso dela recomposicion, obtener condiciones para los vertices (enlas variables xk ’s).
• En el ejemplo, tomando los puntos
p1 = (0, 0, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (0, 1, 0), p4 = (1, 0, 0), p5 = (0, 0, 1)
y p6 = (x , y , z) con coordenadas genericas, se obtiene:
x2 − y2 − z2 − x + y + z = 0.
• Este hiperboloide reglado da una condicion necesaria, cuyasuficiencia se puede comprobar tambien simbolicamente.
• Finalmente, este hiperboloide contiene las aristas delcuadrilatero p2p3p4p5 y del resto de descomposicionesposibles se obtienen el resto de cuadrilateros.
Tensegridades:la ultima
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David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
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Arquitectura
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Ocio
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Otra herramienta
• Podemos eliminar las variables wij ’s para, en cada paso dela recomposicion, obtener condiciones para los vertices (enlas variables xk ’s).
• En el ejemplo, tomando los puntos
p1 = (0, 0, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (0, 1, 0), p4 = (1, 0, 0), p5 = (0, 0, 1)
y p6 = (x , y , z) con coordenadas genericas, se obtiene:
x2 − y2 − z2 − x + y + z = 0.
• Este hiperboloide reglado da una condicion necesaria, cuyasuficiencia se puede comprobar tambien simbolicamente.
• Finalmente, este hiperboloide contiene las aristas delcuadrilatero p2p3p4p5 y del resto de descomposicionesposibles se obtienen el resto de cuadrilateros.
Tensegridades:la ultima
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Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
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Ocio
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Otra herramienta
• Podemos eliminar las variables wij ’s para, en cada paso dela recomposicion, obtener condiciones para los vertices (enlas variables xk ’s).
• En el ejemplo, tomando los puntos
p1 = (0, 0, 0), p2 = (1, 1, 1), p3 = (0, 1, 0), p4 = (1, 0, 0), p5 = (0, 0, 1)
y p6 = (x , y , z) con coordenadas genericas, se obtiene:
x2 − y2 − z2 − x + y + z = 0.
• Este hiperboloide reglado da una condicion necesaria, cuyasuficiencia se puede comprobar tambien simbolicamente.
• Finalmente, este hiperboloide contiene las aristas delcuadrilatero p2p3p4p5 y del resto de descomposicionesposibles se obtienen el resto de cuadrilateros.
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
En R3
Otraherramienta
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Esculturas y montajes
http://www.kennethsnelson.net
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Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
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Tiendas de campana
http://www.oregonphotos.com/Backpacking-Revolution1.html
Tensegridades:la ultima
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Problema
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Ejemplos
En R2
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Tiendas de campana
http://danaung.stanford.edu/portfolio/tensegrity
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
Definicion
Problema
Atomos
Herramienta
Ejemplos
En R2
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Cubiertas
http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/GEORGIA/g-anal.html
Tensegridades:la ultima
geometrıa deMiguel
David OrdenMartın
Miguel y lastensegridades
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Esqueleto de las celulas
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Parques infantiles
http://www.news.cornell.edu/chronicle/97/2.20.97/AAAS Connelly.html
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Una sugerencia
http://yakko.bme.virginia.edu/lab/tensegrity coffee table.htm
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Bibliografıa I
D.L.D. Caspar and A. Klug.Physical principles in the construction of regular viruses.In Proceedings of Cold Spring Harbor Symposium onQuantitative Biology, 27:1–24, 1962.
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Bibliografıa II
M. de GuzmanForo de tensegridades.http://usuarios.bitmailer.com/mdeguzman/tensegridad
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Bibliografıa
Bibliografıa III
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Bibliografıa IV
K. Snelson.http://www.kennethsnelson.net
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http://www2.uah.es/ordend
