Post on 04-Jul-2015
Tema IXFunciones Exponenciales y
Logarítmicas
Precálculo
Función Exponencial
• La función exponencial básica es f(x) = bx, donde la base b es una constante y el exponente x es la variable independiente.
( ) , donde 0, 1x b bx bf
BaseExponente
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2
-1
0
1
2
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1
0
1
2
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1
0
1
2
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0
1
2
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0
1
2
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1
2
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1
2
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8Esta recta se conoce como una asíntota, una recta a la cual la función graficada se acerca a medida que los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños.
Función Exponencial
Una función de la forma ( ) , donde
0 y 1, es una función de
la cual aumenta a medida que
aumenta.
Cuando 0 1, la función es llama
crecimien
da una
fun
to
exponencial,
decaimiento exponeci ncón de
xf x ab
a b
x
b
, la cual
disminuye a medida que aume
i
.
al
ntax
Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.
1. f(x) = 1.5x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.
1. g(x) = 30(0.8)x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4-3-2-1
123456789
10111213141516171819202122232425262728293031
x
y
Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.
1. h(x) = 5(1.2)x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.
1. f(x) = 10(3/4)x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.
1. f(x) = 100(1.05)x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Crecimiento y Decaimiento
1( )t
aA rt
Cantidad Final
Cantidad Inicial
Razón de Cambio
Número de Periodos de Tiempo
En la fórmula, la base de la expresión exponencial, 1 + r, es llamado el factor de crecimiento. Similarmente, 1 – r, es el factor de decaimiento.
Aplicaciones
• Tony compró una guitarra Gibson del 1959 por $12,000 en el año 2000. Los expertos estiman que su valor aumentará un 14% por año. Utiliza una gráfica para encontrar cuando el valor de la guitarra será $60,000.
Aplicaciones
• La población de una ciudad, la cual era inicialmente 15,500, ha ido disminuyendo a una razón de 3% al año. Escribe una función exponencial y grafica la función. Utiliza la gráfica para predecir cuando la población llegará a los 8,000.
Graficando Relaciones Inversas
• Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.
x 0 1 2 4 8
y 2 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Graficando Relaciones Inversas
• Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.
x 1 3 4 5 6
y 0 1 2 3 5
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Graficando Relaciones Inversas
• Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.
x 0 1 5 8 9
y 2 5 6 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Escribiendo Funciones InversasEncuentra la inversa de las siguientes funciones.
1) ( ) 2
2) ( )3
23) ( )
3
4) ( ) 54
5) ( ) 5 7
6) ( ) 3 7
f x x
xf x
f x x
xf x
f x x
f x x
Escribiendo y Graficando Funciones Inversas
Grafica ( ) 3 6. Luego escribe y grafica la inversa.f x x
f(x)=3x+6
f(x)=x/3-2
f(x)=x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Escribiendo y Graficando Funciones Inversas
1Grafica ( ) 5. Luego escribe y grafica la inversa.
2f x x
f(x)=-x/2-5
f(x)=-2x-10
f(x)=x
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
Escribiendo y Graficando Funciones Inversas
2Grafica ( ) 2. Luego escribe y grafica la inversa.
3f x x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Aplicaciones
• Juan compró un CD por Internet con un 20% de descuento del precio regular. El pagó $2.50 por el envío. El cargo total fue $13.70 ¿Cuál es el precio regular del CD?
Logaritmos
• Un logaritmo es el exponente al cual se eleva una base específica para obtener un valor dado.
• Puedes escribir una ecuación exponencial como una logarítmica y viceversa.
logx
bb a a x
Ecuación Exponencial Ecuación Logarítmica
Escribe cada ecuación exponencial en forma logarítmica
Ecuación Exponencial Forma Logarítmica
53 2431
225 5
410 10,0001 1
66
ba c
Propiedades Especiales de Logaritmos
Para cualquier base 0 y 1.b b
log 1b b
log 1 0b
FORMA LOGARÍTMICA FORMA EXPONENCIAL EJEMPLO
Logaritmo de Base b
Logaritmo de 1
1b b
0 1b
10
1
log 10 1
10 10
10
0
log 1 0
10 1
10
Un logaritmo con base 10 es llamado un .
Si no se escribe una base para algún logaritmo se asume que es 10.
Ejemplo:
logaritmo
log5 lo
comú
g
n
5.
Evaluando Logaritmos Mentalmente
4
25
5
7
Evalúa utilizando matemática mental.
1) log1000
12) log
4
3) log 0.00001
4) log 0.04
5) log 0.01
6) log 125
7) log 243
Propiedad de Producto de Logaritmos
log log logb b bmn m n
3 3 3 3
Ejemplo:
log 1000 log 10 100 log 10 log 100
Propiedad de Producto de Logaritmos
• Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible.
1. log5625 + log525
2. log42 + log432
3. log64 + log69
Propiedad de Cociente de Logaritmos
log log logb b b
mm n
n
5 5 5
Ejemplo:
16log log 16 log 2
2
Propiedad de Cociente de Logaritmos
• Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible.
1. log232 – log24
2. log749 – log77
3. log5100 – log54
Propiedad de Potencia de Logaritmos
log logp
b ba p a
3
Ejemplo:
log10 3log10 3 1 3
Propiedad de Potencia de Logaritmos
• Expresa como un producto. Simplifica si es posible.
1. log3812
2. log5(1/5)3
3. log2326
4. log5252
Propiedades Inversas de Logaritmos
10
7
10
log log 2
log log 10 7
10 2b
x
b
x
b x
b x
Álgebra Ejemplo
Propiedades Inversas de Logaritmos
• Simplifica cada expresión.
1. log883x + 1
2. log5125
3. log3311
4. log381
Propiedades Inversas de Logaritmos
• Simplifica cada expresión.
2
5
2
log 8
log 10
log 27
1. 2
2. 5
3. 2
x
Fórmula de Cambio de Base
loglog
log
ab
a
xx
b
24
2
Ejemplo:
log 8 3log 8
log 4 2
Fórmula de Cambio de Base
• Evalúa las siguientes expresiones.
1. log927
2. log816
3. log328
Ecuación Exponencial
• Una ecuación exponencial es una ecuación que contiene una o más variables como un exponente.
• Para resolver ecuaciones exponenciales puedes utilizar lo siguiente:
Si , entonces ( 0, 1).
Si , entonces log log (
x yb b x y b b
a b a b a b
Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
61) 8 2x x 22) 5 200x
23) 3 27x 4) 7 21x
Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
35) 2 15x 8 36) 9 27x x
17) 4 5x
Ecuaciones Logarítmicas
• Una ecuación logarítmica es una ecuación con una expresión logarítmica que contiene una variable.
• Para resolver ecuaciones logarítmicas puedes utilizar lo siguiente:
Si log log entonces .b bx y x y
Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
31) log 5 2x 2) log 45 log3 1x
2
43) log 7x 4) log log 9 1x x
Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
5) 3 log8 3log x 6) 2log log 4 0x
67) log 2 1 1x 4 48) log 100 log 1 1x
Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
4
59) log 8x 12 1210) log log 1 1x x
Fórmula de Interés Compuesto
1
ntr
A Pn
Donde:A es la cantidad total,P es el principal,r es la taza de interés anual,n es la cantidad de veces que el interés es compuesto al año yt es el tiempo en años.
Interés Continuo
• Asume que se invierte $1 a un 100% de interés (r = 1) compuesto n veces en un año. Lo cual puede ser representado por la función:
11
n
f nn
Interés Continuo
• A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente.
• Examinemos la gráfica de f(n).
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y
Interés Continuo
• A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente.
• Examinemos la gráfica de f(n).
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y
El número natural e
2.718281828459...e
Graficando Funciones Exponenciales
Grafica la función 2xf x e
-2 -1 1 2 3 4
2
4
6
8
10
12
14
x
y
Graficando Funciones Exponenciales
Grafica la función 3xf x e
-2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
8
10
12
x
y
Logaritmo Natural
log lne x x
Simplificando Expresiones con e o ln
• Simplifica.3.21) ln e
2 ln 12)
te
5 ln3) xe
3.24) ln e
2 ln5) xe
46) ln x ye
Fórmula de Interés Compuesto Continuamente
rtA Pe
Donde:A es la cantidad total,P es el principal,r es la taza de interés anual,t es el tiempo en años.
Aplicaciones a Economía
• ¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $1000 invertido al 5% durante 10 años compuesto continuamente?
• ¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $100 invertido al 3.5% por 8 años y compuesto continuamente?
Media – Vida
• La media – vida de una sustancia es el tiempo que le toma a la mitad de la sustancia descomponerse o convertirse en otra sustancia durante el proceso de decaimiento.
• El proceso de decaimiento natural está modelado por la siguiente función.
0
ktN t N e
Cantidad inicial
Constante de decaimiento
Tiempo
Cantidad restante
Aplicación a Paleontología
• Un paleontólogo descubre un fósil de un tigre dientes de sable en California. El analiza el fósil y concluye que el espécimen contiene 15% de su carbono-14 original. El carbono-14 tiene una media vida de 5730 años. Determina la edad del fósil.
• Determina cuanto le tomaría a una muestra de 650 mg de cromio-51, el cual tiene una media vida de 28 días, para decaer a 200 mg.