Tema I. Matrices y determinantes

1. Matrices sobre un cuerpo2. Operaciones con matrices3. Determinante de una matriz cuadrada4. Menor complementario y adjunto5. Cálculo de determinantes6. Inversa de una matriz cuadrada7. Rango de una matriz

©2007 Carmen Moreno Valencia

1. Matrices sobre un cuerpoDefinición. Sea K un cuerpo. Se llama matriz A de m filas y n columnas sobre K al conjunto de mn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas,

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

=

Matrices 2• A = ( aij), i=1, 2, ..., m; aij ŒKj=1, 2, ..., n.

• El elemento que ocupa la fila i y la columna j se representa aij,

• Mmxn(K): Conjunto de todas las matrices sobre K de m filas y n columnas.

Ej.

3 2

1 21 ( )

1 22

Mπ ×

− ∈

−

R

2. Producto por escalares

Matrices 3• Matriz Fila: A ŒM1xn(K)

3 1

13 ( )

2

A M ×

= ∈

R

( ) 1 31 1 ( )A Mπ ×= − ∈ R

• Matriz Columna: AŒMmx1(K)

• Matriz cuadrada de orden n: AŒMnxn(K). Tiene el mismo número de filas que de columnas

• Diagonal Principal de A la forman los elementos de la forma aii (iguales subíndices)

Matrices 4

• Matriz cuadrada diagonal: Sus únicos elementos no nulos son los de la diagonal principal.• Matriz cuadrada unidad In :(o Identidad)Matriz cuadrada diagonal con unos en la diagonal principal y ceros en las restantes posiciones: aii=1; aij=0, iπj

• Matriz triangular Una matriz cuadrada A = ( aij ) se dice que es triangular si, o bien por encima o bien por debajo de la diagonal, los elementos son todos nulos, es decir, aij = 0 para todo i < j o bien aij = 0 para todo i >j

Matrices 5• Dos matrices, A,B ŒMmxn(K) son igualescuando aij=bij, i=1,..., m, j=1,...,n

3

1 2 12 4 3 ( )0 1 0

A M− −

= ∈ −

R

Una submatriz de A es 3 2

1 22 4 ( )0 1

B M ×

− = ∈ −

R

•Se llama submatriz de A a toda matriz obtenida de eliminar filas y/o columnas de A. Ej.

2. Operaciones con matrices1. Suma

Sean A,B ŒMmxn(K). A = ( aij), B = ( bij)

A+B = ( cij) ŒMmxn(K) con cada cij=aij+biji=1,..., m, j=1,...,n

Ej.2 3

2 3

1 1 0 0 0 1, ( )

2 1 0 2 1 1

1 1 1( )

4 2 1

A B M

A B M

×

×

− = = ∈ −

− + = ∈ −

R

R

Matrices 6• (Mmxn(K), +): Grupo Abeliano

• El elemento neutro

1,..,1,..,

0 00 (0)

0 0i mj n==

= =

• La opuesta de A:11 1

1,..,1,..,

1

( )n

ij i mj n

m mn

a aA a

a a==

− − − = − = − −

2. Producto por escalares

λŒK, A ŒMmxn(K)( ) ( )1,.., 1,..,

1,.., 1,..,

11 1

1

i m i mij ijj n j n

n

m mn

A a a

a a

a a

λ λ λ

λ λ

λ λ

= == =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

=

(Mmxn(K), +, ·): Espacio vectorial sobre K

Ejemplo

Matrices 73. Producto de matrices

• AŒMmxn, BŒMnxp , se define la matriz producto C= A · B = (cij), ŒMmxpcij = ai1·b1j + ai2·b2j + ai3·b3j + . . . + ain· bnj

1

k n

ik kjka b

=

=

= ⋅∑

Ejemplo

• A·B: nº de Columnas de A = nº Filas de B

Matrices 8Propiedades• Asociativa A(BC)=(AB)C•Distributiva resp.de la suma A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC• λ·(AB)=(λ·A)B=A(λ·B)

(Mn(K), +, ·): Anillo unitario

Unidad del anillo: In: A· In= In·A=A

• El producto de matrices no es conmutativo:

4. Matriz traspuestaDada A = ( aij) ŒMmxn(K), la matriz Traspuesta de A, At=(bij) ŒMnxm(K), bij=aji, i=1,..,n; j=i,..,m

Matrices 9

Propiedades

• (A+B)t=At+Bt

• (AC)t=CtAt

• (At)t=A• (λA)t=λ(A)t

Sean A, BŒMmxn(K) , C ŒMnxp (K).

Una matriz cuadrada es simétrica siA = At, (aij = aji para todos i, j)

Sus elementos tienen simetría respecto de la diagonal principal.

Matrices 10

Una matriz cuadrada es antisimétrica siA = -At, (aij = -aji para todos i, j)

Los elementos de la diagonal principal son nulos

0 1 2 0 1 21 0 1 , 1 0 12 1 0 2 1 0

tA A− −

= − = − − −

A = -At : A Antisimétrica

Toda matriz cuadrada se descompone como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica:

A=(aij), 2 2ij ji ij ji

ij

ij ij

a a a aa

b c

+ −= + =

= +

( ) :2

ji iji j ji ij

a aLa matriz b es simetrica b b

+= =

( ) :2

ji ijij ji ij

a ala matriz c es antisimetrica c c

−= = −

Luego, (aij)=(bij)+(cij)

y

Matrices 113. Determinante de una matriz cuadrada

• Sea A ŒMn(K), el determinante de A, es un elemento de K dado por la aplicación:

det : ( )det( ) :

nM K KA A A

→= =

1 (1) 2 (2) ( )( ) n nSnsg a a aσ σ σ

σ

σ∈

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ …

• En det(A) aparecen n! sumandos

Determinantes de orden dos

11 12

21 22

a aA

a a

=

2 1 2

1 2 1

2 2

,

1 2( ) 1

1 2

1 2(1 2) ( ) 1

2 1

S

i sg

sg

σ σ

σ σ

σ σ

=

= = = +

= = = −

2n =S2, car(S2)=2!=2

2

1 1 2 2

1 2

1 (1) 2 (2)

1 1 (1) 2 (2) 2 1 (1) 2 (2)

( )

( ) ( )S

A sg a a

sg a a sg a a

σ σσ

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ

σ σ∈

= =

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ + ⋅ =

∑ Matrices 12

11 22 12 21 11 22 12 21( 1) ( 1)a a a a a a a a= + ⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅

11 12A 11 22 21 1221 22

a aa a a a

a a

= = ⋅ − ⋅

2 3A 2 3 4 ( 3) 18

4 3−

= = ⋅ − ⋅ − =

Ejemplo

3n =

Determinantes de orden tres. Regla de Sarrus

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

S3, car(S3)=3!=6

Matrices 13 3 1 2 3 4 5, 6

1 3 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

, , , ,

1 2 3( ) 1

1 2 3

1 2 3(2 3) ( ) 1

1 3 2

1 2 3(1 2) ( ) 1

2 1 3

1 2 3(1 2 3) ( ) 1

2 3 1

1 2 3(1 3 2) ( ) 1

3 1 2

1 2 3(1 3) ( ) 1

3 2 1

S

i sg

sg

sg

sg

sg

sg

σ σ σ σ σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

=

= = = +

= = = −

= = = −

= = = +

= = = +

= = = −

σ σ σσ

σ∈

= = =

= ⋅ ⋅ ⋅ =∑3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 (1) 2 (2) 3 (3)

det( )

( )S

a a aA A a a a

a a a

sg a a a

1 2 3

4 5 6

11 22 33 11 23 32 12 21 33

12 23 31 13 21 32 13 22 31

( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1)

a a a a a a a a a

a a a a a a a a aσ σ σ

σ σ σ

= + + − + − +

+ + + + + − =

Matrices 14

11 22 33 12 23 31 21 32 13

13 22 31 12 21 33 23 32 11

( )( )a a a a a a a a aa a a a a a a a a

= + + −

− + +

1 -2 34 5 -2 = 5+0+(-12) 0+(-8)+2 =10 -1 1

( )-( )

Ejemplo

Matrices 15Propiedades de los determinantesSea A ŒMn(K)

1. tA A=

2. Si en un determinante hay una fila (o columna) de ceros, el determinante es nulo.

3.

11 1 11

1 1

1 1

n in

i in i in

n nn n nn

a a a a

a a a a

a a a a

λλ λ =

Matrices 16

5. Si se intercambia una fila por otra, el determinante cambia de signo

6. Si hay dos filas (columnas) iguales, det(A)=0

11 1 11 1 11 1

1 1 1 1

1 1 1

n n n

i i in in i in i in

n nn n nn n nn

a a a a a a

a b a b b b a a

a a a a a a

= ++ +

4.

7. Si a una fila se le suma una combinación lineal de las restantes filas, el determinante no varía.

8. Si A, BŒMn(K), AB A B=9. Si una fila es combinación lineal de las restantes filas, el determinante es cero

10. (desarrollo de ÍAÍ a través de los elementos de una fila cualquiera). El ÍAÍviene dado por la suma de los productos de los elementos de la fila i por sus correspondientes adjuntos:

ÍA Í= ai1◊Ai1+ ai2◊Ai2+ ai3◊Ai3+...+ ain◊Ain=

1

k n

ik ikka A

=

=

=∑ donde los Aik son los correspondientes adjuntos

11. ai1◊Aj1+ ai2◊Aj2+ ai3◊Aj3+...+ ain◊Ajn=0 (iπj)La suma de los productos de los elementos de una fila -i- por los adjuntos de otra fila -j-, es 0

Matrices 17

Matrices 184. Menor complementario y adjunto

Sea AŒMn(K), y aij un elemento de A. Se llama menor complementario del elemento aij, y se nota αij, al determinante de la submatriz cuadrada de A que resulta de eliminar la fila i y la columna j de A.

Se llama adjunto del elemento aij, y se nota Aij, al valor: Aij=(-1)i+j αij

Matriz adjunta de A, Adj(A)=(Aij), matriz de los adjuntos.

Definiciones

Matrices 19

11

1 310

3 1α

−= = − 12

0 33

1 1α = = −

13

0 11

1 3α

−= =

21

2 28

3 1α

−= =

32

1 23

0 3α

−= =

23

1 21

1 3α = =

31

2 24

1 3α

−= =−

22

1 23

1 1α

−= =

33

1 21

0 1α = = −

−

1 2 20 1 31 3 1

A−

= −

Ejemplo

Menores Complementarios

Adjuntos A11=+α11=-10 A12=-α12=3 A13=+α13=1

A21=-α21=-8 A22=+α22=3 A23=-α23=-1

A31=+α31=4 A32=-α32=-3 A33=+α33=-1

Adjunta de A: 10 3 1( ) 8 3 1

4 3 1Adj A

− = − − − −

5. Cálculo de determinantes Matrices 20

Órdenes dos y tres: Definición / Sarrus

Orden mayor o igual tres

Método del Pivote / Desarrollo por la fila del pivote (prop. 10)

1º Elegir un elemento como pivote (±1), (a11)

11 1

1

n

n nn

a a

Aa a

=

2º Obtener ceros en la fila (columna) del pivote, sumando combinaciones lineales de la columna (fila) del pivote (prop. 7)

11

1

0 0

n nn

a

A

a a

=

3º Desarrollar el determinante por la fila (columna) del pivote.(prop. 10)

Matrices 21

11 11 12 1 11 110 0 nA a A A A a A= + + + =…

Orden n Orden n-1

Ejemplo

1 3

2 1 4

1 0 1 21 1 2 1

1 3 2 22 1 0 1

C C

C C

− +

− +

− −=

−

1 0 0 01 1 3 1

1 3 1 02 1 2 3

−=

− − −

1 111

1 3 11 ( 1) 3 1 0 19

1 2 3A += ⋅ = − =

− − −Por triangulación

Transformar el det(A) en el determinante de una matriz triangular = a11·...·ann

Matrices 22

1 2

5 1 3

1 1 11 1 0

5 3 5

F F

F F

+

− +

− =2 3

1 1 1

0 2 10 2 0

F F+

=−

1 1 10 2 1 1 2 1 20 0 1

= = ⋅ ⋅ =

Ejemplo

6. Matriz inversa• (Mn(K),+,·) Anillo Unitario (no cuerpo)•AŒMn(K) es regular si existe BŒMn(K) tal que A·B=B·A=In (B es la inversa de A: B=A-1)• En otro caso, A es singular

Teorema Sea AŒMn(K). (1)A posee inversa si y sólo si ΩAΩπ0(2)En ese caso, 1 1 ( )tA adj A

A− =

Matrices 23Ejemplo

7. Rango de una matriz• Sea AŒMmxn(K). Un menor de A es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de A.• se llama rango de A al mayor orden posible de un menor no nulo de A.

• r(A)=r(At)• r(A)£minm,n• Si a una fila (columna) se le suma una c.l.del resto (o un múltiplo de otra), el rango no varía.

Propiedades

Matrices 24• Si una fila (columna) es c.l. del resto, el r(A) coincide con el de la submatriz obtenida al eliminar dicha fila (columna) de A

En resumen, el rango de A no varía alrealizar operaciones elementales sobre A, tales como: Intercambio de filas, multiplicar una fila por un escalar, sumar a una fila un múltiplo de otra o una c.l. de las restantes..

Matriz escalonada: Ceros bajo la diagonal principal: aij=0, i>j. •Su rango=nºfilas no nulas completamente

− − = =

3 2 1 50 1 1 4

, ( ) 40 0 7 40 0 0 1

A r A

Ejemplos de matrices escalonadas:

Matrices triangulares

2 1 4 1 00 0 0 2 90 0 0 0 1

B−

=

r(B)=3

Método de Gauss

Para obtener el rango de una matriz A

Transformar A≡···· ≡A´escalonadaOperaciones elementales

Matrices 25

− +

− +

− +

= ≡ − ≡

− ≡ − =

32

1 2

1 3

2 3

1 0 -11 0 -1 3 31 2 -3 1 0 2 -2 21 3 -4 0 0 3 -3 3

1 0 -1 30 2 -2 2 ´0 0 0 0

F F

F F

F F

A

A

Ejemplo

r(A)=r(A´)=2

Matrices 26

Ω1Ωπ0fir(A)≥1¿Rango dos?

fir(A)≥2

¿Rango tres?

Luego el rango es dos

Algoritmo de cálculo del rango