Post on 06-Dec-2015
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CONSTRUIMOS FUTUROCONSTRUIMOS FUTURO
Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas
Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones
ESCUELA DE INGENIERÍASELÉCTRICA, ELECTRÓNICA
Y DE TELECOMUNICACIONES
CONSTRUIMOS FUTUROCONSTRUIMOS FUTURO
TALLER DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
José Alejandro Amaya, M.I., Dr. (C).
Rubén Darío Cruz, M.Sc., Ph.D.
3
INTRODUCCIÓN
¿El valor de R1 es:?
4
INTRODUCCIÓN
Temas:
DEFINICIONES BÁSICAS
Carga, corriente, tensión, potencia, energía,
elemento de circuito, elementos pasivos y
activos, red y circuito
LEYES BÁSICAS
Ley de Ohm,
Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK),
Ley de Tensiones de Kirchhoff (LTK),
Relación tensión corriente en terminales de
un circuito.
5
INTRODUCCIÓN
TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Arreglos de resistencias en serie y en Paralelo.
Divisor de tensión y de corriente.
Transformación de Fuentes,
Técnica de Análisis de Nodos
Técnica de Análisis de Mallas.
PRIMERA EVALUACIÓN
Equivalente de Thévenin
Equivalente de Norton
Transferencia máxima de potencia.
Principios de superposición y linealidad
Conversión delta – estrella.
6
INTRODUCCIÓN
Temas:
Inductancia y Capacitancia
FUNCIÓN DE EXCITACIÓN SENOIDAL
Característica de la onda senoidal,
valor medio y eficaz (valor r.m.s),
Representación fasorial
Respuesta forzada
Relaciones fasoriales resistencia, condensador e
inductor. Admitancia e Impedancia.
Análisis en el dominio de j y diagramas fasoriales
Superposición y equivalentes de Thévenin y Norton
SEGUNDA EVALUACIÓN
7
INTRODUCCIÓN
Temas:
ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
(TRANSITORIOS).
Condensadores e Inductores, combinaciones
Circuitos RL Típicos
Circuitos RC Típicos
Circuitos RLC Típicos
Respuesta Completa
FRECUENCIA COMPLEJA
8
INTRODUCCIÓN
Temas:
FRECUENCIA COMPLEJA
Función de Transferencia
Polos y ceros
Respuesta Forzada y Respuesta Natural
Respuesta Completa
Análisis generalizado
TERCERA EVALUACIÓN
9
INTRODUCCIÓN
Temas:
POTENCIA
Potencia Instantánea, Potencia Promedio, Potencia
Aparente, Potencia Reactiva
Corrección del factor de potencia,
Máxima transferencia de potencia
Medición de potencia.
CUARTA EVALUACIÓN
10
1. DEFINICIONES BÁSICAS
Carga Eléctrica: Q , q(t) [Coulomb]
Cuantificador de la energía eléctrica.
“Principio de Conservación de la Carga”.
Hay dos tipos de carga: Positiva (+) y Negativa (-).
+ -
Coulombs101,6Q 19
e
11
1. DEFINICIONES BÁSICAS
Tensión Eléctrica: V , v(t). Diferencia de potencial [Volt]
Se define como el trabajo por unidad de carga.
La diferencia de potencial determina la fuerza que origina un
desplazamiento de las cargas. Fuerza Electromotriz.
dq
dWv
+
_
12 [V]
+
_
-12 [V]
12
1. DEFINICIONES BÁSICAS
Corriente Eléctrica: I , i(t) [Ampere]
Rapidez con la que se desplaza la carga eléctrica.
dt
dqi
3 [A]
-3 [A]
13
1. DEFINICIONES BÁSICAS
Potencia: p(t), P [Watts].
Es la tasa a la cual se realiza un gasto de energía.
dt
dWp
dt
dq
dq
dW
dq
dq
dt
dW
dt
dWp
ivp
Potencia consumida
+
_v [V]
i [A]
14
1. DEFINICIONES BÁSICAS
Potencia: p(t), P [Watts].
ivp
+
_4 [V]
-5 [A]
+
_-12 [V]
3 [A]
a) b)
15
1. DEFINICIONES BÁSICAS
Elementos de Circuito
Fuentes independientes de Tensión
+_ Vs
_
+
V+_~ vs
16
1. DEFINICIONES BÁSICAS
Elementos de Circuito
Fuentes independientes de Corriente
Is ~ is
17
1. DEFINICIONES BÁSICAS
Elementos de Circuito
Fuentes Dependientes
+_ kvx
+_ rix kix
gvx
18
2. LEYES BÁSICAS
LEY DE OHM
La tensión entre los extremos de
materiales conductores es directamente
proporcional a la corriente que fluye a
través del material.
R
+ vR(t) -
iR(t) tRitv RR
Riv R : Resistencia [Ohm]; [].
19
2. LEYES BÁSICAS
LEY DE OHM
Riv R : Resistencia [Ohm]; [].
20
2. LEYES BÁSICAS
LEY DE OHM
Riv R : Resistencia [Ohm]; [].
21
2. LEYES BÁSICAS
LEY DE TENSIONES DE KIRCHHOFF
La suma algebraica de las tensiones
alrededor de cualquier trayectoria cerrada
es cero.
_
+
+
+
+ __
_
v1
v2
v3
v4
04321 vvvv
“conservación
de la energía”.
22
2. LEYES BÁSICAS
LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF
La suma algebraica de las corrientes que
entran a cualquier nodo es cero.
04321 iiii
“conservación
de la carga”.
i1
i2
i3i4 salenentran ii
23
2. LEYES BÁSICAS
Ejercicio: Hallar ix y vx en el circuito de la
Figura 1.
Figura 1.
24
2. LEYES BÁSICAS
Figura 1.
+_
40 [V]
+
_20 [V]
2 [A]
3 [A]
+_
12 [V]+
_
8 [V]
4 [A]
1 [A]
25
2. LEYES BÁSICAS
Ejercicio: Hallar Iy , Vx , R1 y R2 en el
circuito de la Figura 2.
Figura 2.
26
2. LEYES BÁSICAS
Figura 2.
3 [A]5 [A]
+_
8 [V]5 [A]+
_20 [V]
+
_
12 [V]+
_3 [V]
27
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Arreglo de resistencias
Resistencias en serie:
321 RRRReq
28
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Arreglo de resistencias
Resistencias en paralelo:
321
1111
RRRReq
29
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
30
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
31
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
8 Ω 10 Ω
30 Ω 10 Ω
40 Ω
15 Ω
2 Ω
20 Ω
a
b
32
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
8 Ω 10 Ω
30 Ω 10 Ω
40 Ω
15 Ω
2 Ω
20 Ω
a
b
33
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
8 Ω
50 Ω 25 Ω 50 Ω
a
b
22.5 Ω
a
b
2 Ω
8 Ω
12.5 Ω
a
b
2 Ω
34
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Divisor de Tensión
321
11
RRR
RVv T
321
22
RRR
RVv T
321
33
RRR
RVv T
35
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Divisor de Corriente
321
11
GGG
GII T
321
22
GGG
GII T
321
33
GGG
GII T
RG
1
36
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Para el caso de dos resistencias
21
11
RR
RVv T
Divisor de Tensión Divisor de Corriente
21
22
RR
RVv T
21
21
RR
RII T
21
12
RR
RII T
37
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Transformación de fuentes
v
SS
R
VI
SiS IRV
iv RR
38
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Análisis de Nodos
39
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
• Análisis de Nodos
40
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Análisis de Nodos
2
1
3
2
1
65336
34322
62621
0
11111
11111
11111
I
I
v
v
v
RRRRR
RRRRR
RRRRR
41
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS Análisis de Nodos: Supernodo
25 V
25 A
8 A
+
–Vy
2 Ω
3 Ω
6 Ω
3·Vy
5 i
7 Ω
iΔ
42
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Análisis de Nodos
43
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS Análisis de Nodos: Supernodo
25 V
25 A
8 A
+
–Vy
2 Ω
3 Ω
6 Ω
3·Vy
5 i
7 Ω
iΔ
V2
V1 V3
V4
44
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS Análisis de Nodos: Supernodo
25 V
25 A
8 A
+
–Vy
2 Ω
3 Ω
6 Ω
3·Vy
5 i
7 Ω
iΔ
45
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
• Análisis de Nodos
46
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS Análisis de Nodos: Supernodo
25 V
25 A
8 A
+
–Vy
2 Ω
3 Ω
6 Ω
3·Vy
5 i
7 Ω
iΔ
VA
VC
VB
VD
47
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Análisis de Mallas
48
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Análisis de Mallas
49
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Análisis de Mallas
00
0
2
1
3
2
1
54343
434322
221
V
V
I
I
I
RRRRR
RRRRRR
RRR
50
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Análisis de Mallas
51
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS Análisis de Mallas: Supermalla
10 V
1 Ω
+ –
1 Ω
2 Ω
3 Ω
2 Ω
52
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS Análisis de Mallas: Supermalla
10 V
1 Ω
+ –
1 Ω
2 Ω
3 Ω
2 Ω
53
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS Análisis de Mallas: Supermalla
10 V
1 Ω
+ –
1 Ω
2 Ω
3 Ω
2 Ω
54
2. LEYES BÁSICAS
Relación tensión corriente en terminales de un circuito.
Considere el circuito de la Figura 2. Haciendo uso de las técnicas de
análisis de circuitos eléctricos desarrolladas a lo largo del curso,
obtenga una expresión que relacione la tensión Vab con la Corriente
Ia .
Figura 2.
55
2. LEYES BÁSICAS
Relación tensión corriente en terminales de un circuito.
Aplicando las leyes básicas se obtiene:
+_
3Ia [V]+
_
6Ix [V]
+
_
4Ix
[V]
Ix [A]
Ix + Ia [A]
axab IIv 36 xa II 210
56
2. LEYES BÁSICAS
Relación tensión corriente en terminales de un circuito.Se desarrolla:
xa II 210
ax II2
15
[1]
[2]
[2] en [1]: aab Iv 630
axab IIv 36
aba VI6
15
57
2. LEYES BÁSICAS
Relación tensión corriente en terminales de un circuito.Realizando la gráfica de Ia vs. Vab :
aba VI6
15
Ia
Vab
5 [A]
30 [V]
Voc= 30 [V]
Isc= 5 [A]
RTH= 6 []
58
2. LEYES BÁSICAS
Relación tensión corriente en terminales de un circuito.Igual relación entre Ia y Vab se obtiene a apartir de un circuito más
simple:
Voc= 30 [V]
Isc= 5 [A]
RTH= 6 []
aab Iv 630Circuito equivalente desde las
terminales a y b.
59
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Equivalente de Thévenin
Todo circuito lineal resistivo puede representarse desde
dos terminales a y b por medio de una fuente de tensión
VTH (VOC) en serie con una resistencia RTH (hallada desde
los terminales a y b con todas las fuentes independientes
anuladas).
SC
OCTH
I
VR
OCTH VV
Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones
60
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Equivalente de Norton
Todo circuito lineal resistivo puede representarse desde dos
terminales a y b por medio de una fuente de Corriente IN (ISC) en
paralelo con una resistencia RTH (hallada desde los terminales a y
b con todas las fuentes independientes anuladas).
SC
OCTH
I
VR
SCN II
61
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
62
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
63
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
10 A
2·IX
IX
IA
VAB
+
–
3 Ω
4 Ω 6 Ω
a
b
Obtener el Circuito Equivalente de Thévenin visto desde las
terminales a y b:
64
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Tensión de Circuito Abierto:
10 A
2·IX
IX
3 Ω
4 Ω 6 Ω
a
b
+
–
VOC
65
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
10 A
2·IX
IX
ISC3 Ω
4 Ω 6 Ω
a
b
Corriente de Corto-Circuito:
66
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
2·IX
IX
IRes
3 Ω
4 Ω 6 Ω
a
b
Calculo de la Resistencia de Thévenin: Se anulan todas las
fuentes independientes
VExc
67
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
2·IX
IX
VRes
3 Ω
4 Ω 6 Ω
a
b
Calculo de la Resistencia de Thévenin: Se anulan todas las
fuentes independientes
IExc
+
–
68
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Transferencia de potencia máxima
Una red resistiva suministra la potencia máxima a una resistencia
de carga RL, cuando esta resistencia RL es igual a la resistencia
equivalente de Thévenin RTH de la red.
22
THL
LTHR
RR
RVP
L
TH
THmáxR
R
VP
L 4
2
THL RR
69
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Superposición y Linealidad
70
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Superposición y Linealidad
71
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Superposición y Linealidad
Considere el circuito de la Figura 3. Halle una
expresión para IX en función de ia y de Vb.
Figura 3.
72
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Superposición y Linealidad
Aplicando leyes básicas:
Figura 3.
+
_
6Ix [V]
+_
3(ia -1.5Ix) [V]+
_
4Ix
[V]
0.5Ix [A]
ia-0.5Ix [A] ia-1.5Ix [A]
xaxb IiIV 5.136
73
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Superposición y Linealidad
Se despeja Ix :
Figura 3.
bax ViI21
2
7
2
74
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Superposición y Linealidad
Se Considera el efecto de cada fuente por separado. Para ia (Ixa)
se anula Vb :
Figura 3a.
+
_
6Ixa [V]
+_
3(ia -1.5Ixa) [V]+
_
4Ixa
[V]
0.5Ixa [A]
ia-0.5Ixa [A] ia-1.5Ixa [A]
xaaxa IiI 5.136 axa iI 7
2
75
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Superposición y Linealidad
Se Considera el efecto de cada fuente por separado. Para Vb (Ixb)
se anula ia :
Figura 3b.
+
_
6Ixb [V]
+_
4.5Ixb [V]+
_
4Ixb
[V]
0.5Ixb [A]
0.5Ixb [A] 1.5Ixb [A]
bxb VI 2
21bxb VI
21
2
76
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
SUPERPOSICIÓN Y LINEALIDAD:
Figura 3.
bax ViI21
2
7
2xbxax III
77
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Conversión Delta – Estrella (-Y)
x y
z
RA
RBRC
z
x y
R1 R2
R3
CBA
AC
RRR
RRR
1 CBA
BA
RRR
RRR
2 CBA
CB
RRR
RRR
3
78
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Conversión Estrella - Delta (Y-)
x y
z
RA
RBRC
z
x y
R1 R2
R3
3
133221
R
RRRRRRRA
1
133221
R
RRRRRRRB
2
133221
R
RRRRRRRC
79
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Auto-Inductancia L
L
vL(t)
iL(t)
+_
En C.C. :
s
A
dt
tdiL 0 VtvL 0
L
0 [V]
IL
+_ 0 [V]+
_
IL
dt
tdiLtv L
L
L : Auto-Inductancia [Henry]; [H].
80
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
Capacitancia C
En C.C. :
s
V
dt
tdvC 0 AtiC 0
VC+
_
0 [A]
dt
tdvCti C
C
C : Capacitancia [Farad]; [F].
C
vC(t)
iC(t)
+_
C
VC
0 [A]
+_
81
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
• Ejemplo: Oscilador Astable
Microelectronic Circuits, Sixth Edition Sedra/Smith Copyright © 2010 by Oxford University Press, Inc.
Figure 17.29 (a) The 555 timer connected to implement an astable multivibrator. (b) Waveforms of the circuit in (a).
82
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
• Ejemplo: Oscilador Astable
83
3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS
• Ejemplo: Oscilador Astable
84
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Función de excitación senoidal
VtCosVtv m
Amplitud Frecuencia
Angular
[Rad/s]
Ángulo de fase
[rad]
f 2f
T1
T: Periodo [s]f: frecuencia de
oscilación [Hz]
85
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Diferencia de fase entre dos ondas senoidales: determina si
una onda está adelantada o atrasada con respecto a otra.
• Características de la onda senoidal
VtCosVtv m 1
VtCosVtv m 2
Dos ondas senoidales cuyas fases se van a comparar deben:
•Escribirse ambas como ondas seno o ambas como coseno.
•Expresarse con amplitudes positivas.
•Tener ambas la misma frecuencia.
86
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Características de la onda senoidal VtCosVtv m 1
VtCosVtv m 2
v2(t) está adelantado con respecto a v1(t).
87
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Características de la onda senoidal VtSenVtv m 1
v2(t)=VmSen(ωt+ϕ) está adelantado con respecto a
v1(t)=VmSen(ωt) .
VtSenVtv m 2
88
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Valor medio de una función f(t):
Valor medio – Valor Eficaz (r.m.s.)
2
1
)(1
12
t
t
dttftt
tf T
dttfT
tf )(1
Periodo T
• Valor r.m.s. De una función f(t) con periodo T:
T
smr dttfT
f 2
... )(1
89
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Valor medio de una función senoidal f(t):
Valor medio – Valor Eficaz (r.m.s.)
01
)(1
T
m
T
dttCosVT
dttfT
tf
Periodo T
• Valor r.m.s. De una función senoidal f(t) conperiodo T:
2
1 2
...m
T
msmr
VdttCosV
Tf
90
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Valor eficaz de una tensión senoidal v(t) concomponentes de frecuencia múltiple:
Valor Eficaz (r.m.s.)
333222111 tCosVtCosVtCosVtv mmm
2
...3
2
...2
2
...1... smrsmrsmrsmr VVVV
• Valor eficaz de una corriente senoidal i(t) con Ncomponentes de frecuencia múltiple:
2
...
2
...3
2
...2
2
...1... smNrsmrsmrsmrsmr IIIII
91
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Dominio del tiempo
• Representación Fasorial
• Fasor
VtCostv 60201 VV 60201
AtCostix455 AI x
455
VtCostv
VtSentv
z
z
110100
20100
VVz
110100
VtCostv
VtCostv
120150
60150
3
3
VV 1201503
92
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Representación Fasorial
• Fasor
VV 60201
AI x455
VVz110100
VV 1201503
• Diagrama Fasorial
V1
Ix
V3
VZ
93
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Circuito RL:
• Respuesta Forzada
VtCosVtv ms AtCosIti m
Del circuito se obtiene la ecuación diferencial:
tvtvtv sLR
tCosVtiR
dt
tdiL m
94
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Circuito RL:• Respuesta Forzada
Resolviendo para i(t) se obtiene:
AR
LTantCos
LR
Vti m
1
22
Se observa que se afecta la magnitud y la fase:
LX L Reactancia Inductiva.
95
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Circuito RL:• Respuesta Forzada
Calcule la corriente en estado senoidal permanente iL(t)
96
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Circuito RC:• Respuesta Forzada
VtCosVtv ms AtCosIti m
Del circuito se obtiene la ecuación diferencial:
tvtvtv sCR
tSenVti
Cdt
tdiR m
1
97
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Circuito RC:• Respuesta Forzada
Resolviendo para i(t) se obtiene:
AR
CTantCos
CR
Vti m
1
1
1
2
2
Se observa que se afecta la magnitud y la fase:
C
XC
1Reactancia Capacitiva.
98
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Relaciones en el Dominio del tiempo
RESISTENCIA
INDUCTANCIA
R
+ vR(t) -
iR(t)
tRitv RR
L
+ vL(t) -
iL(t)
dt
tdiLtv L
L
][
][
AtCosIti
VtCosVtv
mR
mR
][2
][
AtCosIti
VtCosVtv
mL
mL
En fase
Atraso
99
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Relaciones en el Dominio del tiempo
CAPACITANCIA
C
+ vC(t) -
iC(t)
dt
tdvCti C
C
][2
][
AtCosIti
VtCosVtv
mC
mc
Adelanto
LjZL Impedancia Inductiva.
C
jZC
1Impedancia Capacitiva.
100
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Relaciones Fasoriales
RESISTENCIA
INDUCTANCIA
R
+ VR -
IR
RZR
L
+ VL -
IL
LjZL
][
][
AII
VVV
mR
mR
IR
VR
][2
][
AII
VVV
mL
mL
IL
VL
2
101
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Relaciones Fasoriales
CAPACITANCIAC
+ VC -
IC
CjZC
1
][2
][
AII
VVV
mC
mC
IC VC
2
102
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Impedancia Inductiva• Impedancia - Admitancia
LjRZ
LjR
Y
1
• Impedancia Capacitiva
C
jRZ
1
CjR
Y
1
1
103
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Circuito RLC serie:
• Análisis en el dominio de j
CLjRZ
1
104
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Circuito RLC paralelo:
• Análisis en el dominio de j
s
LCj
RY
11
105
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Figura 1. Circuito en el Dominio del tiempo
106
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Figura 2. Circuito en el Dominio de la frecuencia
107
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Figura 3. Ecuaciones de Malla
[1]
[2]
108
4. ANÁLISIS SENOIDAL
109
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Diagramas FasorialesConsidere el circuito de la Figura 1. La fuente senoidal de corriente IS y las
corrientes de las cargas I1 e I2 , se caracterizan por:
S
S
II
AII
AI
AI
2
22
1
0
7
010
Si la corriente I2 está adelantada con respecto a IS un ángulo de 40,540 . ¿En
cuántos grados está I1 adelantada o atrasada con respecto a I2 ?
Figura 1.
110
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Diagramas Fasoriales
21
0
22
1
54,40
7
III
AII
AI
S
Ley del seno
7
54,40
10
0SenSen
I2
I1
IS
40,540
10
7
0
1 21,68
0
2 79,111
Dos soluciones para I2
0
1 25,71
0
2 67,27
0
2
54,40
7
SenSen
I
AI 12,1012
AI 0,522
111
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Diagramas FasorialesAnálisis gráfico:
IS10
079,111
I2
40,540 I1
7
21
0
22
1
54,40
7
III
AII
AI
S
AI
AI
0
2
0
1
54,405
67,277
I1 está atrasada 68,210 con respecto a I2.
112
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Ejercicio 2:Considere el circuito de la Figura 2. Variando la
capacidad del condensador C se encuentra que cuando lalectura del ampere-metro A es mínima, es el doble de la lecturadel ampere-metro A1, y la lectura del watt-metro es 1000 Watts.Hallar las tensiones y corrientes indicadas y los valores de R,L y C.
Figura 2.
113
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Ejercicio 2: Se analiza el circuito sin instrumentos:
Figura 2a.
Imin=2IC
I=IL+IC
iv
i
vS
CosIW
smArII
smVrV
100
...
...100
114
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Ejercicio 2:
I
100
IL
IC
I=IL+IC
iv
i
vS
CosIW
smArII
smVrV
100
...
...100
Imin=2IC v= i
Imin
Imin=10 [Ar.m.s.]RIW L
2
22
min
2
CL III
8,0R
115
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Cualquier variable en el circuito será la
resultante de los efectos de cada fuente de
excitación en el circuito.
Si existen fuentes de diferente frecuencia se
hace obligatoria la superposición. Los
resultados se suman sólo en el dominio del
tiempo.
• Superposición
116
4. ANÁLISIS SENOIDAL
Un circuito equivalente de Thévenin obien de Norton de una red con excitaciónsenoidal, es válido para un solo valor defrecuencia.
• Equivalentes de Thévenin y Norton
117
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Equivalente de Thévenin
Todo circuito lineal con excitación senoidal a un único valor
de frecuencia, puede representarse desde dos terminales a y b
por medio de una fuente de tensión fasorial VTH (VOC) en
serie con una Impedancia ZTH (hallada desde los terminales
a y b con todas las fuentes independientes anuladas).
SC
OCTH
I
VZ
OCTH VV
118
4. ANÁLISIS SENOIDAL
• Equivalente de Norton
Todo circuito lineal con excitación senoidal a un único valor
de frecuencia, puede representarse desde dos terminales a y b
por medio de una fuente de corriente fasorial IN (ISC) en
paralelo con una Impedancia ZTH (hallada desde los terminales
a y b con todas las fuentes independientes anuladas).
SC
OCTH
I
VZ
SCN II
119
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Inductores
Inductancias en serie:
321 LLLLeq
120
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Inductores
Inductancias en paralelo:
321
1111
LLLLeq
121
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Condensadores
Capacitancias en serie:
321
1111
CCCCeq
122
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Condensadores
Capacitancias en paralelo:
321 CCCCeq
123
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Circuito RL
t<t0: iL(t)=0 [A]
iL(t0-)=0 [A] Condición inicial
t>t0: Se tiene la ecuación diferencial:
0VtiR
dt
tdiL
Resolviendo:
AR
V
R
Vti R
L
tt
e
0
00
124
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Circuito RL
t<t0: iL(t)=0 [A]
Respuesta Completa:
AR
V
R
Vti R
L
tt
e
0
00
Respuesta Forzada Respuesta Natural
tititi nf
Respuesta Natural:
AAti
tt
n e 0
R
L
Constante de tiempo:
t>t0:
125
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Circuito RC
t<t0: vC(t)=0 [V]
vC(t0-)=0 [V]
t>t0: Se tiene la ecuación diferencial:
0Vtv
dt
tdvRC C
C
Resolviendo:
VVVtv RC
tt
C e0
00
126
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Circuito RC
t<t0: vC(t)=0 [V]
t>t0:
VVVtv RC
tt
C e0
00
Respuesta Completa:
Respuesta Forzada Respuesta Natural
tvtvtvnCfCC
Respuesta Natural:
VAtv
tt
nCe
0
CR Constante de tiempo:
t>t0:
127
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Circuito RLC serie
Se tiene la ecuación diferencial:
0
12
2
tiCdt
tdiR
dt
tidL
Se supone solución de la
Forma:
AtsAti e
Derivando y reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:
012 C
RsLs
128
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Circuito RLC serie
En forma general:
LCL
R
L
Rs
1
22
2
2,1
Se obtiene una ecuación algebraica: 012 C
RsLs
Cuya solución es de la forma:
2
0
2
2,1 sL
R
2
LC
10
La forma de la respuesta natural depende de los valores de R, L y C.
129
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Circuito RLC paralelo
Se tiene la ecuación diferencial:
0
112
2
tvLdt
tdv
Rdt
tvdC C
CC
Se supone solución de la
Forma:
VtsAtv eC
Derivando y reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:
0112 L
sR
Cs
130
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Circuito RLC paralelo
En forma general:
LCRCRCs
1
2
1
2
12
2,1
Se obtiene una ecuación algebraica:
Cuya solución es de la forma:
2
0
2
2,1 sRC2
1
LC
10
La forma de la respuesta natural depende de los valores de R, L y C.
0112 L
sR
Cs
131
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Tipos de Respuesta Natural
2
0
2
2,1 s
1. Sobreamortiguado: Dos raíces reales y diferentes.
2. Críticamente amortiguado: Una sola raíz real.
3. Subamortiguado: Dos raíces complejas conjugadas.
2
0
2
2
0
2
2
0
2
tsts
n ee BAtr
21
tBAtr t
n e
tSenBtCosAtr dd
t
n e
22
0 d
132
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Respuesta Natural Sobreamortiguada
2
0
2
tsts
n ee BAtr
21
133
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Respuesta Natural Críticamente Amortiguada
2
0
2
tBAtr t
n e
134
5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS
• Respuesta Natural Subamortiguada
2
0
2
tSenBtCosAtr dd
t
n e
22
0 d
135
6. POTENCIA
• Potencia Instantánea p(t)
Análisis para excitación senoidal
titvtp
VtCosVtv vm
AtCosIti im
+_
v(t) [V]
i(t) [A]
WtCosItCosVtp imvm
WtCosIV
CosIV
tp ivmm
ivmm
2
22
136
6. POTENCIA
• Potencia Instantánea p(t)Análisis para excitación senoidal
WtSenSenIV
tCosCosIV
tp
iivmm
iivmm
222
2212
RESISTENCIA
0 iv WtCosIV
tp imm
221
2
R
+ vR(t) -
iR(t) tRitv RR
137
6. POTENCIA
• Potencia Instantánea p(t)
2
iv
INDUCTANCIA
WtSenIV
tp imm
22
2
CAPACITANCIA
2
iv WtSen
IVtp i
mm
222
L
+ vL(t) -
iL(t)
dt
tdiLtv L
L
C
+ vC(t) -
iC(t)
dt
tdvCti C
C
138
6. POTENCIA
• Potencia Promedio P
Potencia Promedio
Análisis para excitación senoidal
AtCosIti im +_
v(t) [V]
i(t) [A] VtCosVtv vm
VVV vm
AII im
Fasorialmente:
+_
V [V]
I [A] Z []
WCosIV
P ivmm
2 WCos
IVP mm
2
139
6. POTENCIA
• Potencia Aparente
Potencia Promedio WCosIVP smrsmr ......
Potencia Aparente ........ AVIVS smrsmr
S
P
Q
Potencia Compleja
S=P+jQ
P: Potencia Activa [Watts]
Q: Potencia Reactiva [V.A.R.]
140
6. POTENCIA
• Potencia Compleja
..AVIVS
... smrv VVV
... smri AII +_
V
I Z []
..AVIV S
El ángulo de la Potencia Compleja S es el mismo ángulo de la
Impedancia.
WattsCosIV P ... RAVSenIV Q
141
6. POTENCIA
• Potencia Compleja
RESISTENCIA
INDUCTANCIA
R
+ VR -
IR
RZR
L
+ VL -
IL
LjZL
S=P+j0 S
P
SQL
S=0+jQ
142
6. POTENCIA
• Potencia Compleja
CAPACITANCIA
SQCS=0-jQ
C
+ VC -
IC
CjZC
1
S
P
Q
Carga Inductiva:
Factor de Potencia en atraso.
S
P
Q
Carga Capacitiva:
Factor de Potencia en adelanto.
143
6. POTENCIA
• Factor de Potencia
S
PPF ..
La proporción entre la Potencia Activa o Promedio con la
potencia Aparente.
......
..smrsmr IV
PPF
En el caso estrictamente senoidal, esta proporción es igual al
coseno de la diferencia de fase entre la tensión y la corriente.
ivCosPF .. CosPF ..
144
6. POTENCIA
• Corrección del Factor de Potencia
S2
2
Q2
S1
1
Q1
P
145
6. POTENCIA
• Corrección del Factor de Potencia
S2
2
Q2
QCS1
1
Q1
P
146
6. POTENCIA
• Corrección del Factor de Potencia
S2
2
Q2
QCS1
1
Q1
P
1TanP 1Q
2TanP 2Q
21 QQ CQ
21 TanTanP CQ
C
C
X
V2
CQ 2
C
C
V
Q
C
147
6. POTENCIA
• Transferencia de Potencia Máxima
Una fuente de tensión independiente VTH en serie con una
impedancia ZTH entrega una potencia promedio (Activa) máxima a
una impedancia de carga ZL, cuando esta impedancia ZL es igual
al conjugado de la impedancia de Thévenin ZTH .
THL ZZ
Análisis para excitación senoidal
148
6. POTENCIA
• Transferencia de Potencia Máxima
Una fuente de tensión independiente VTH en serie con una
impedancia ZTH entrega una potencia promedio (Activa) máxima a
una Resistencia de carga RL, cuando esta resistencia RL es igual a
la magnitud de la impedancia de Thévenin ZTH .
THL ZR
Análisis para excitación senoidal
22
THTHL XR R
149
6. POTENCIA
• Medición de Potencia [Watt-metro]
Watt-metro: Instrumento que registra la potencia promedio.
Está compuesto principalmente por una Bobina de
Corriente y una Bobina de Potencial (tensión).
Lectura registrada por el Watt-metro.
xx IVxx CosIV W
... smrVxx VVVx
... smrIxx AIIx
150
6. POTENCIA
• Medición de Potencia [Watt-metro]
Bobina de Corriente: Pocas vueltas, gran sección
transversal. De impedancia nula.
Bobina de Tensión: Muchas vueltas, pequeña sección
transversal. De impedancia infinita.
Se conecta en serie.
Se conecta en paralelo.
151
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Fuentes Trifásicas en Y
Tensiones de Fase: Tensión entre una línea y el neutro.
Tensiones de Línea: Tensión entre dos líneas. Tensión
Línea-Línea.
bnanab VVV
cnbnbc VVV
ancnca VVV
Relación entre Tensiones
VL=3·VF
152
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Fuentes Trifásicas en Y
Secuencia Positiva o abc
Van
Vbn
Vcn Vab
Vbc
Vca
30o
...0 smrFan VVV
...120 smrFbn VVV
...120 smrFcn VVV
153
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Fuentes Trifásicas en Y
...0 smrFan VVV
...120 smrFbn VVV
...120 smrFcn VVV
Secuencia Negativa o acb
Van
Vbn
Vcn Vab
Vbc
Vca
30o
154
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Carga conectada en Y
Secuencia Positiva
Secuencia Negativa
155
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Carga conectada en Y – Equivalente Monofásico
156
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Carga conectada en Y – Equivalente Monofásico
Sistema balanceado
157
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Carga conectada en
Secuencia Positiva
Secuencia Negativa
158
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Potencia Trifásica
La potencia trifásica instantánea de un sistema
balanceado es constante.
tptptp cba tp3
titvtitvtitv ccnbbnaan tp3
tCosItCosV FF 22tpa
12021202 tCosItCosV FFtpb
12021202 tCosItCosV FFtpc
159
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Potencia Trifásica
La potencia trifásica instantánea de un sistema
balanceado es constante.
CosIV FF 3tp3
WattsCosIV FF 33P
Potencia promedio trifásica (Potencia Activa
Trifásica).
160
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Potencia Compleja Trifásica
La Potencia Compleja Trifásica es tres veces la Potencia
Compleja Monofásica .
WattsCosIV FF 33P
..3 AV
FF3 IVS
...3 RAVSenIV FF 3Q
..3 AVIV FF 3S
En Magnitud:.
..3 AVIV LL 3S
WattsCosIV LL 33P
...3 RAVSenIV LL 3Q
161
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica
T
dttitvT
W1
162
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica
T
ccx
T
bbx
T
aax
cba
dttitvdttitvdttitvT
WWW
1
dttitititvT
dttitvdttitvdttitvT
P
T
cbanx
T
ccn
T
bbn
T
aan
1
13
El resultado es independiente del punto de
referencia x.
163
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica – Conexión Aaron.
Conectando el punto de referencia x en la línea c.
aac IVaaca CosIVW
bbc IVbbcb CosIVW
...30 smrLab VVV
Secuencia Positiva
...90 smrLbc VVV
...150 smrLca VVV
164
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica – Conexión Aaron.
Conectando el punto de referencia x en la línea c.
aac IVaaca CosIVW
bbc IVbbcb CosIVW
...30 smrLab VVV
Secuencia Positiva
...90 smrLbc VVV
...150 smrLca VVV
... smrLa AII
...120 smrLb AII
...120 smrLc AII
Las lecturas de los Watt-metros es entonces:
30CosIVW LLa
30CosIVW LLb
165
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica – Conexión Aaron.Conectando el punto de referencia x en la línea c.
Aplicando identidad:
SenIVCosIVW LLLLa 2
1
2
3
SenSenCosCosCos
SenIVCosIVW LLLLb 2
1
2
3
De esta forma:
CosIVWW LLba 3
SenIVWW LLba
3PWW ba
33 QWW ba
166
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica – Conexión Aaron.
Conectando el punto de referencia x en la línea b.
aab IVaaba CosIVW
ccb IVccbc CosIVW
30CosIVW LLc
30CosIVW LLa
CosIVWW LLac 3
SenIVWW LLac
167
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica – Conexión Aaron.
Conectando el punto de referencia x en la línea a.
bba IVbbab CosIVW
cca IVccac CosIVW
30CosIVW LLb
30CosIVW LLc
CosIVWW LLcb 3
SenIVWW LLcb
168
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica – Conexión Inusual.
bca IVbcab CosIVW
...150 smrLca VVV
...120 smrLb AII
270CosIVW LLb
90CosIVW LLb
169
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica – Conexión Inusual.
90CosIVW LLb SenIVW LLb
SenIVW LLb 33
33 QWb
En un sistema balanceado se
puede contabilizar la Potencia
Reactiva Trifásica a partir de
la lectura de un Watt-metro.
170
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica – ImplicacionesConexión Aaron y Factor de Potencia de la Carga.
Mediante la conexión Aaron se tiene que las lecturas de los
Watt-metros está dada por:
301 CosIVW LL
302 CosIVW LL
Si =60o entonces: 301 CosIVW LL
02 W=60o F.P. = 0,5
El tener una carga con F.P. = 0,5 implica una condición límite
en la naturaleza de las lecturas de los Watt-metros.
171
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Medición de Potencia Trifásica – ImplicacionesConexión Aaron y Factor de Potencia de la Carga.
301 CosIVW LL
302 CosIVW LL=60o F.P. = 0,5
Si el F.P. De la carga es superior a 0,5 las lecturas de ambos
Watt-metros es positiva.
Si el F.P. = 0,5 La lectura de uno de los Watt-metros es igual a
cero.
Si el F.P. Es inferior a 0,5 la lectura de uno de los Watt-metros
es negativa.
Si el F.P. Es igual a la unidad los dos Wattmetros registran el
mismo valor.
Si el F.P.=0 registran el mismo valor con signo contrario.
172
7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Ejercicio:Considere el circuito de la Figura 10. Este circuito es
la configuración de un sistema trifásico tetrafilar equilibrado
de secuencia positiva con VCA =VL0° Vr.m.s.. Las lecturas de
los Watt-metros W1 y W2 son: WW 50001
WW 60002
a) S3=?
b) W3=?
173
8. FRECUENCIA COMPLEJA
Excitación general compleja:
RESISTENCIA
INDUCTANCIA
CAPACITANCIA
tseti
L
+ vL(t) -
iL(t)
dt
tdiLtv L
L
C
+ vC(t) -
iC(t)
dt
tdvCti C
C
R
+ vR(t) -
iR(t)
tRitv RR ts
R eRtv
ts
L esLtv
ts
C eCs
tv
1
js
174
8. FRECUENCIA COMPLEJA
Excitación general compleja:
RESISTENCIA
INDUCTANCIA
CAPACITANCIA
R
+ VR(s) -
IR(s)
RsZR
sL
+ VL(s) -
IL(s)
1/sC
+ VC(s) -
IC(s)
sLsZL
sC
sZC1
175
8. FRECUENCIA COMPLEJA
Función Propia
A una señal para la cual la salida del sistema es
una constante (posiblemente compleja)
multiplicada por la entrada se le conoce como
una función propia (eigenfunction) del sistema, y
el factor de amplitud se conoce como el valor
propio (eigen-value) del sistema.
Las exponenciales son funciones propias de los
circuitos lineales.
tsetv
176
8. FRECUENCIA COMPLEJA
Función de Transferencia: Z(s) y Y(s)
Circuito RLC serie:
sC
sLRsIsVS1
sC
sLRsZ1
sIsV
sZ S
177
8. FRECUENCIA COMPLEJA
Función de Transferencia: Z(s) y Y(s)
Circuito RLC paralelo:
sC
sLRsVsIS
11
sCsLR
sY 11
sVsI
sY S
178
8. FRECUENCIA COMPLEJA
Polos y Ceros de la Función de Transferencia
La función de transferencia es la relación entre alguna variable
de salida y la fuente de excitación en el dominio de la
frecuencia compleja s.
sV
sVsH
S
O
En general la función de transferencia es una función
racional, constituida por un función polinómica en el
numerador N(s) y una función polinómica en el denominador
D(s).
sDsN
sH
sVsHsV SO
Ceros: Las raíces del numerador N(s).
Polos: Las raíces del denominador D(s).
179
8. FRECUENCIA COMPLEJA
Diagrama de Polos y Ceros
Sea H(s) la función de Transferencia:
256
242
ss
sssH Ceros: Las raíces del numerador N(s).
Polos: Las raíces del denominador D(s).
20 sys
4343 jsyjs
180
8. FRECUENCIA COMPLEJA
Respuesta Forzada por medio de la Frecuencia Compleja
Ejercicio: Hallar i(t) en el circuito de la Figura 6. Si vs(t) está
definido por: VtCosetv t
s 10460 2
Figura 6.
Se transforma el circuito al dominio de la frecuencia
compleja s.
181
8. FRECUENCIA COMPLEJA
Respuesta Forzada por medio de la Frecuencia Compleja
VVs 1060
s
sIVs10
32
ss
VI s
1032
42
104232
1060
jj
I
42 js
AI 6,10637,5 AtCoseti t 6,106437,5 2
42 js
182
8. FRECUENCIA COMPLEJA
Respuesta Natural por medio de la Frecuencia Compleja
La respuesta natural está definida por los Polos de la Función
de Transferencia con respecto a la variable de interés.
Ejemplo: En el circuito anterior I(s):
ss
sVsI s
1032
1023 2
ss
s
sV
sI
s
Polos: 01023 2 ss 795,1333,02,1 js
La respuesta natural es de la forma:
AtSenBtCosAeti t
n 795,1795,1333,0
Subamortiguado.
183
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Análisis por medio de la Transformada de Laplace:
Transformada de Laplace:
j
j
st
st
dssFej
tf
dttfesF
0
02
1
Transformada unilateral de Laplace:
0
dttfesF st
s
es
dtesF
tutf
stst 11
00
184
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada de Laplace:Para funciones exponenciales.
se
sdtedteesF
tuetf
tststst
t
11
000
Transformada de Laplace: Para funciones senoidales.
22
11
2
1
2
1
sjsjsjtutSen
eej
tSen tjtj
185
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedades de la Transformada de Laplace
Linealidad:
Diferenciación en el tiempo:
Desplazamiento en el tiempo:
txbtxatf 21 L sXbsXasF 21
dt
tdxtf L 0xsXssF
0ttxtf L sXesFst
0
2
2
dt
txdtf L 002 xxssXssF
186
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedades de la Transformada de Laplace
Desplazamiento en el dominio de s:
Diferenciación en el dominio de s.
Integración en el tiempo:
txtatf e L asXsF
txttf L ds
sdXsF
L sXs
sF 1
t
dxtf
187
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Algunos pares de Transformadas de LaplaceFunción escalón unitario:
Función impulso unitario:
Función seno:
Función coseno:
tutf L s
sF1
ttf L 1sF
tutSentf L 22
s
sF
tutCostf L 22
s
ssF
188
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Algunos pares de Transformadas de LaplaceFunción escalón unitario:
Función escalón unitario:
Función seno:
Función coseno:
tuetf at L as
sF
1
tuttf L 2
1
ssF
tutSenetf at L 22
assF
tutCosetf at L
22
as
assF
189
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo: Hallar la transformada de Laplace de :
tutCosetf t 53)( 2
294
63
252
23
22
ss
s
s
ssF
190
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo: Hallar la transformada inversa de Laplace de :
256
282
ss
ssF
222
43
2638
163
28
s
s
s
ssF
222243
4
4
26
43
38
ss
ssF
Aplicando Transformada inversa:
tutSenetutCosetf tt 45,648)( 33
191
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Modelos para los elementos almacenadores de energía:
INDUCTANCIA:
dt
tdiLtv L
L
0LLL iLsIsLsV
s
i
sL
sVsI LL
L
0
192
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Modelos para los elementos almacenadores de energía:
CAPACITANCIA:
dt
tdvCti C
C
0CCC vCsVsCsI s
v
sCsIsV C
CC
01
193
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio : Hallar vx(t) en el circuito de la Figura 7.
Figura 7.
194
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio :
s
sV
s
sVsV XXX 2
20
5
5
5
12
20
15
5
1
ssV
sX
20
724
20
24
ss
ssVX
195
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio :
20
724
s
sVX
Aplicando transformada inversa :
tuettv t
x
20724
196
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Respuesta a Entrada Cero y Respuesta de Estado Cero.
Transformada de Laplace:
dt
tdf 0fssF
2
2
dt
tfd 002 fsfsFs
En un circuito cualquiera que contenga R, L y C, se obtiene
una ecuación diferencial de segundo orden en adelante:
Ejemplo:
tvtidt
tdi
dt
tidS 127
2
197
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo: tvti
dt
tdi
dt
tidS 127
2
Con condiciones iniciales: 0';0 ii
Aplicando transformada de Laplace:
sVsIissIisisIs S 12070'02
Agrupando:
71272 ssVsIss S
Despejando I(s):
34
7
34
ss
s
ss
sVsI S
198
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Respuesta a Entrada Cero y Respuesta de Estado Cero.
Si las condiciones iniciales son cero:
34
7
34
ss
s
ss
sVsI S
0;0
34
ss
sVsI S Respuesta de estado cero.
34
1
sssV
sI
S
Función de Transferencia
199
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Respuesta a Entrada Cero y Respuesta de Estado Cero.
Si la fuente de excitación es cero:
34
7
34
ss
s
ss
sVsI S
0sVS
34
7
ss
ssI
Respuesta a entrada cero.
200
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos simples distintos:
cs
C
bs
B
as
A
csbsas
ssF
32
Multiplicando por (s+a):
cs
Cas
bs
BasA
csbs
s
32
Se evalúa en s=-a:
00
32
A
caba
a as
sFasA
201
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos simples distintos:
cs
C
bs
B
as
A
csbsas
ssF
32
De igual forma:
as
sFasA
bs
sFbsB
cs
sFcsC
202
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos simples repetidos:
bs
D
bs
C
bs
B
as
A
bsas
ssF
233
32
Para la constante A:
assFasA
Para la constante B:
DbsCbsBas
Abs
as
ssFbs
23
3 32
Se evalúa en s=-b:
000
32
B
ab
b bs
sFbsB
3
203
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos simples repetidos:Para la constante B:
DbsCbsBas
Abs
as
ssFbs
23
3 32
Se evalúa en s=-b:
0000
322
C
ab
b bs
sFbsds
dC
3
Para la constante C, se deriva con respecto a s:
DbsCas
Abs
as
Abs
as
a
sFbsds
d
20332
2
32
2
3
204
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos simples repetidos:
Para la constante D, se deriva nuevamente con respecto a s:
Para la constante C:
DbsCas
Abs
as
Abs
as
a
sFbsds
d
20332
2
32
2
3
Das
Abs
as
Abs
as
Abs
as
Abs
as
asFbs
ds
d
202336
322
3
3
2
2
2
2
3
3
2
2
205
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos simples repetidos:Para la constante D, se deriva nuevamente con respecto a s:
Das
Abs
as
Abs
as
Abs
as
Abs
as
asFbs
ds
d
202336
322
3
3
2
2
2
2
3
3
2
2
Se evalúa en s-b:
Dab
a20
3223
bs
sFbsds
dD
3
2
2
2
1
206
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos simples repetidos:
bs
E
bs
D
bs
C
bs
B
as
AsF
234
bs
sFbsds
dD
4
2
2
2
1
as
sFasA
bs
sFbsB
4
bs
sFbsds
dC
4
bs
sFbsds
dD
4
3
3
6
1
207
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos diferentes:
2222
23
5231
1252
ss
sssF
Se expande en fracciones parciales:
22222222
23
52
52
31
31
5231
1252
s
DsC
s
BsA
ss
sssF
A y B :
22
22
22
23
52
523131
52
1252
s
DsCsBsA
s
ss
208
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos diferentes:A y B :
22
22
22
23
52
523131
52
1252
s
DsCsBsA
s
ss
Se evalúa en el polo correspondiente :
BAjj 33325
1266
325
12
A y B se hallan igualando partes real e imaginaria :
325
422A
325
4B
209
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos diferentes:C y D :
Se evalúa en el polo correspondiente :
DCjj 55325
5360
325
565
A y B se hallan igualando partes real e imaginaria :
325
1072C
325
113D
DsCs
BsAs
s
ss52
31
3152
31
125222
22
22
23
210
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos diferentes:
Finalmente se obtiene:
Reemplazando los valores obtenidos y separando :
Se aplica transformada inversa :
22222222
23
52
52
31
31
5231
1252
s
DsC
s
BsA
ss
sssF
2222
2222
52
5
325
113
52
2
325
1072
31
3
325
4
31
1
325
422
ss
s
ss
ssF
211
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos diferentes:
Se aplica transformada inversa :
2222
2222
52
5
325
113
52
2
325
1072
31
3
325
4
31
1
325
422
ss
s
ss
ssF
tutSenetutCose
tutSenetutCosetf
tt
tt
5325
1135
325
1072
3325
43
325
422
22
212
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos diferentes:
22222222
23
52
52
31
31
5231
1252
s
DsC
s
BsA
ss
sssF
31
2231Im
3
1
jssFsA
31
2231Re
3
1
jssFsB
52
2252Im
5
1
jssFsC
52
2252Re
5
1
jssFsD
213
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos repetidos:
Se basa en las funciones seno y coseno :
222
22
as
astutCoset at
222
2
as
astutSenet at
214
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos repetidos:
222
22
22
222
23
34
34
34
4634
34
1252
s
DsC
s
sBsA
s
sssF
Se multiplica:
DsCssBsA
ss
34344634
1252
2222
23
Se evalúa en el polo correspondiente:
215
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos repetidos:
DsCssBsA
ss
34344634
1252
2222
23
Se evalúa en el polo correspondiente:
3632114135 2 jBAj
Para las constantes C y D se deriva y se evalúa en el polo correspondiente:
CsDsCsBsA
ss
22
2
343442642
106
18
135A
18
114B
216
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos repetidos:
Para las constantes C y D se deriva:
CsDsCsBsA
ss
22
2
343442642
106
Evaluando: 033326321142 DjCjBjAj
DjCBAjj 1818661142
2C6
23D
DAjCBj 1861861142
217
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada Inversa de Laplace.
Polos complejos repetidos:
Finalmente:
222
22
22
222
23
34
34
34
4634
34
1252
s
DsC
s
sBsA
s
sssF
Aplicando transformada inversa:
tutSenetutCose
tutSenettutCosettf
tt
tt
36
2332
318
1143
18
135
44
44
218
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada de Laplace.
Dos pares de Transformadas más:
Seno:
22
s
CossenstutSen
Coseno:
22
s
SenCosstutCos
219
9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada de Laplace.
Dos propiedades más:
Teorema del valor inicial:
sFss
Límf
0
Teorema del valor final:
sFss
Límtf
s
Lím
0
CONSTRUIMOS FUTUROCONSTRUIMOS FUTURO
miércoles, 12 de agosto de
2015