Taller-Reinicio-Circuitos Eléctricos I Julio 15 2015

CONSTRUIMOS FUTUROCONSTRUIMOS FUTURO

Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas

Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones

ESCUELA DE INGENIERÍASELÉCTRICA, ELECTRÓNICA

Y DE TELECOMUNICACIONES


TALLER DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

José Alejandro Amaya, M.I., Dr. (C).

Rubén Darío Cruz, M.Sc., Ph.D.

3

INTRODUCCIÓN

¿El valor de R1 es:?

4

INTRODUCCIÓN

Temas:

DEFINICIONES BÁSICAS

Carga, corriente, tensión, potencia, energía,

elemento de circuito, elementos pasivos y

activos, red y circuito

LEYES BÁSICAS

Ley de Ohm,

Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK),

Ley de Tensiones de Kirchhoff (LTK),

Relación tensión corriente en terminales de

un circuito.

5

INTRODUCCIÓN

TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS

Arreglos de resistencias en serie y en Paralelo.

Divisor de tensión y de corriente.

Transformación de Fuentes,

Técnica de Análisis de Nodos

Técnica de Análisis de Mallas.

PRIMERA EVALUACIÓN

Equivalente de Thévenin

Equivalente de Norton

Transferencia máxima de potencia.

Principios de superposición y linealidad

Conversión delta – estrella.

6

INTRODUCCIÓN

Temas:

Inductancia y Capacitancia

FUNCIÓN DE EXCITACIÓN SENOIDAL

Característica de la onda senoidal,

valor medio y eficaz (valor r.m.s),

Representación fasorial

Respuesta forzada

Relaciones fasoriales resistencia, condensador e

inductor. Admitancia e Impedancia.

Análisis en el dominio de j y diagramas fasoriales

Superposición y equivalentes de Thévenin y Norton

SEGUNDA EVALUACIÓN

7

INTRODUCCIÓN

Temas:

ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

(TRANSITORIOS).

Condensadores e Inductores, combinaciones

Circuitos RL Típicos

Circuitos RC Típicos

Circuitos RLC Típicos

Respuesta Completa

FRECUENCIA COMPLEJA

8

INTRODUCCIÓN

Temas:

FRECUENCIA COMPLEJA

Función de Transferencia

Polos y ceros

Respuesta Forzada y Respuesta Natural

Respuesta Completa

Análisis generalizado

TERCERA EVALUACIÓN

9

INTRODUCCIÓN

Temas:

POTENCIA

Potencia Instantánea, Potencia Promedio, Potencia

Aparente, Potencia Reactiva

Corrección del factor de potencia,

Máxima transferencia de potencia

Medición de potencia.

CUARTA EVALUACIÓN

10

1. DEFINICIONES BÁSICAS

Carga Eléctrica: Q , q(t) [Coulomb]

Cuantificador de la energía eléctrica.

“Principio de Conservación de la Carga”.

Hay dos tipos de carga: Positiva (+) y Negativa (-).

+ -

Coulombs101,6Q 19

e

11


Tensión Eléctrica: V , v(t). Diferencia de potencial [Volt]

Se define como el trabajo por unidad de carga.

La diferencia de potencial determina la fuerza que origina un

desplazamiento de las cargas. Fuerza Electromotriz.

dq

dWv

+

_

12 [V]

+

_

-12 [V]

12


Corriente Eléctrica: I , i(t) [Ampere]

Rapidez con la que se desplaza la carga eléctrica.

dt

dqi

3 [A]

-3 [A]

13


Potencia: p(t), P [Watts].

Es la tasa a la cual se realiza un gasto de energía.

dt

dWp

dt

dq

dq

dW

dq

dq

dt

dW

dt

dWp

ivp

Potencia consumida

+

_v [V]

i [A]

14


Potencia: p(t), P [Watts].

ivp

+

_4 [V]

-5 [A]

+

_-12 [V]

3 [A]

a) b)

15


Elementos de Circuito

Fuentes independientes de Tensión

+_ Vs

_

+

V+_~ vs

16



Fuentes independientes de Corriente

Is ~ is

17



Fuentes Dependientes

+_ kvx

+_ rix kix

gvx

18

2. LEYES BÁSICAS

LEY DE OHM

La tensión entre los extremos de

materiales conductores es directamente

proporcional a la corriente que fluye a

través del material.

R

+ vR(t) -

iR(t) tRitv RR

Riv R : Resistencia [Ohm]; [].

19

2. LEYES BÁSICAS

LEY DE OHM


20

2. LEYES BÁSICAS

LEY DE OHM


21

2. LEYES BÁSICAS

LEY DE TENSIONES DE KIRCHHOFF

La suma algebraica de las tensiones

alrededor de cualquier trayectoria cerrada

es cero.

_

+

+

+

+ __

_

v1

v2

v3

v4

04321 vvvv

“conservación

de la energía”.

22

2. LEYES BÁSICAS

LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF

La suma algebraica de las corrientes que

entran a cualquier nodo es cero.

04321 iiii

“conservación

de la carga”.

i1

i2

i3i4 salenentran ii

23

2. LEYES BÁSICAS

Ejercicio: Hallar ix y vx en el circuito de la

Figura 1.

Figura 1.

24

2. LEYES BÁSICAS

Figura 1.

+_

40 [V]

+

_20 [V]

2 [A]

3 [A]

+_

12 [V]+

_

8 [V]

4 [A]

1 [A]

25

2. LEYES BÁSICAS

Ejercicio: Hallar Iy , Vx , R1 y R2 en el

circuito de la Figura 2.

Figura 2.

26

2. LEYES BÁSICAS

Figura 2.

3 [A]5 [A]

+_

8 [V]5 [A]+

_20 [V]

+

_

12 [V]+

_3 [V]

27

3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS

Arreglo de resistencias

Resistencias en serie:

321 RRRReq

28


Arreglo de resistencias

Resistencias en paralelo:

321

1111

RRRReq

29


30


31


8 Ω 10 Ω

30 Ω 10 Ω

40 Ω

15 Ω

2 Ω

20 Ω

a

b

32


8 Ω 10 Ω

30 Ω 10 Ω

40 Ω

15 Ω

2 Ω

20 Ω

a

b

33


8 Ω

50 Ω 25 Ω 50 Ω

a

b

22.5 Ω

a

b

2 Ω

8 Ω

12.5 Ω

a

b

2 Ω

34


Divisor de Tensión

321

11

RRR

RVv T

321

22

RRR

RVv T

321

33

RRR

RVv T

35


Divisor de Corriente

321

11

GGG

GII T

321

22

GGG

GII T

321

33

GGG

GII T

RG

1

36


Para el caso de dos resistencias

21

11

RR

RVv T

Divisor de Tensión Divisor de Corriente

21

22

RR

RVv T

21

21

RR

RII T

21

12

RR

RII T

37


Transformación de fuentes

v

SS

R

VI

SiS IRV

iv RR

38


Análisis de Nodos

39


• Análisis de Nodos

40


Análisis de Nodos

2

1

3

2

1

65336

34322

62621

0

11111

11111

11111

I

I

v

v

v

RRRRR

RRRRR

RRRRR

41

3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS Análisis de Nodos: Supernodo

25 V

25 A

8 A

+

–Vy

2 Ω

3 Ω

6 Ω

3·Vy

5 i

7 Ω

iΔ

42


Análisis de Nodos

43


25 V

25 A

8 A

+

–Vy

2 Ω

3 Ω

6 Ω

3·Vy

5 i

7 Ω

iΔ

V2

V1 V3

V4

44


25 V

25 A

8 A

+

–Vy

2 Ω

3 Ω

6 Ω

3·Vy

5 i

7 Ω

iΔ

45


• Análisis de Nodos

46


25 V

25 A

8 A

+

–Vy

2 Ω

3 Ω

6 Ω

3·Vy

5 i

7 Ω

iΔ

VA

VC

VB

VD

47


Análisis de Mallas

48


Análisis de Mallas

49


Análisis de Mallas

00

0

2

1

3

2

1

54343

434322

221

V

V

I

I

I

RRRRR

RRRRRR

RRR

50


Análisis de Mallas

51

3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS Análisis de Mallas: Supermalla

10 V

1 Ω

+ –

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 Ω

52


10 V

1 Ω

+ –

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 Ω

53


10 V

1 Ω

+ –

1 Ω

2 Ω

3 Ω

2 Ω

54

2. LEYES BÁSICAS

Relación tensión corriente en terminales de un circuito.

Considere el circuito de la Figura 2. Haciendo uso de las técnicas de

análisis de circuitos eléctricos desarrolladas a lo largo del curso,

obtenga una expresión que relacione la tensión Vab con la Corriente

Ia .

Figura 2.

55

2. LEYES BÁSICAS

Relación tensión corriente en terminales de un circuito.

Aplicando las leyes básicas se obtiene:

+_

3Ia [V]+

_

6Ix [V]

+

_

4Ix

[V]

Ix [A]

Ix + Ia [A]

axab IIv 36 xa II 210

56

2. LEYES BÁSICAS

Relación tensión corriente en terminales de un circuito.Se desarrolla:

xa II 210

ax II2

15

[1]

[2]

[2] en [1]: aab Iv 630

axab IIv 36

aba VI6

15

57

2. LEYES BÁSICAS

Relación tensión corriente en terminales de un circuito.Realizando la gráfica de Ia vs. Vab :

aba VI6

15

Ia

Vab

5 [A]

30 [V]

Voc= 30 [V]

Isc= 5 [A]

RTH= 6 []

58

2. LEYES BÁSICAS

Relación tensión corriente en terminales de un circuito.Igual relación entre Ia y Vab se obtiene a apartir de un circuito más

simple:

Voc= 30 [V]

Isc= 5 [A]

RTH= 6 []

aab Iv 630Circuito equivalente desde las

terminales a y b.

59


Equivalente de Thévenin

Todo circuito lineal resistivo puede representarse desde

dos terminales a y b por medio de una fuente de tensión

VTH (VOC) en serie con una resistencia RTH (hallada desde

los terminales a y b con todas las fuentes independientes

anuladas).

SC

OCTH

I

VR

OCTH VV

Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones

60


Equivalente de Norton

Todo circuito lineal resistivo puede representarse desde dos

terminales a y b por medio de una fuente de Corriente IN (ISC) en

paralelo con una resistencia RTH (hallada desde los terminales a y

b con todas las fuentes independientes anuladas).

SC

OCTH

I

VR

SCN II

61


62


63


10 A

2·IX

IX

IA

VAB

+

–

3 Ω

4 Ω 6 Ω

a

b

Obtener el Circuito Equivalente de Thévenin visto desde las

terminales a y b:

64


Tensión de Circuito Abierto:

10 A

2·IX

IX

3 Ω

4 Ω 6 Ω

a

b

+

–

VOC

65


10 A

2·IX

IX

ISC3 Ω

4 Ω 6 Ω

a

b

Corriente de Corto-Circuito:

66


2·IX

IX

IRes

3 Ω

4 Ω 6 Ω

a

b

Calculo de la Resistencia de Thévenin: Se anulan todas las

fuentes independientes

VExc

67


2·IX

IX

VRes

3 Ω

4 Ω 6 Ω

a

b

Calculo de la Resistencia de Thévenin: Se anulan todas las

fuentes independientes

IExc

+

–

68


Transferencia de potencia máxima

Una red resistiva suministra la potencia máxima a una resistencia

de carga RL, cuando esta resistencia RL es igual a la resistencia

equivalente de Thévenin RTH de la red.

22

THL

LTHR

RR

RVP

L

TH

THmáxR

R

VP

L 4

2

THL RR

69


Superposición y Linealidad

70



71



Considere el circuito de la Figura 3. Halle una

expresión para IX en función de ia y de Vb.

Figura 3.

72



Aplicando leyes básicas:

Figura 3.

+

_

6Ix [V]

+_

3(ia -1.5Ix) [V]+

_

4Ix

[V]

0.5Ix [A]

ia-0.5Ix [A] ia-1.5Ix [A]

xaxb IiIV 5.136

73



Se despeja Ix :

Figura 3.

bax ViI21

2

7

2

74



Se Considera el efecto de cada fuente por separado. Para ia (Ixa)

se anula Vb :

Figura 3a.

+

_

6Ixa [V]

+_

3(ia -1.5Ixa) [V]+

_

4Ixa

[V]

0.5Ixa [A]

ia-0.5Ixa [A] ia-1.5Ixa [A]

xaaxa IiI 5.136 axa iI 7

2

75



Se Considera el efecto de cada fuente por separado. Para Vb (Ixb)

se anula ia :

Figura 3b.

+

_

6Ixb [V]

+_

4.5Ixb [V]+

_

4Ixb

[V]

0.5Ixb [A]

0.5Ixb [A] 1.5Ixb [A]

bxb VI 2

21bxb VI

21

2

76


SUPERPOSICIÓN Y LINEALIDAD:

Figura 3.

bax ViI21

2

7

2xbxax III

77


Conversión Delta – Estrella (-Y)

x y

z

RA

RBRC

z

x y

R1 R2

R3

CBA

AC

RRR

RRR

1 CBA

BA

RRR

RRR

2 CBA

CB

RRR

RRR

3

78


Conversión Estrella - Delta (Y-)

x y

z

RA

RBRC

z

x y

R1 R2

R3

3

133221

R

RRRRRRRA

1

133221

R

RRRRRRRB

2

133221

R

RRRRRRRC

79


Auto-Inductancia L

L

vL(t)

iL(t)

+_

En C.C. :

s

A

dt

tdiL 0 VtvL 0

L

0 [V]

IL

+_ 0 [V]+

_

IL

dt

tdiLtv L

L

L : Auto-Inductancia [Henry]; [H].

80


Capacitancia C

En C.C. :

s

V

dt

tdvC 0 AtiC 0

VC+

_

0 [A]

dt

tdvCti C

C

C : Capacitancia [Farad]; [F].

C

vC(t)

iC(t)

+_

C

VC

0 [A]

+_

81


• Ejemplo: Oscilador Astable

Microelectronic Circuits, Sixth Edition Sedra/Smith Copyright © 2010 by Oxford University Press, Inc.

Figure 17.29 (a) The 555 timer connected to implement an astable multivibrator. (b) Waveforms of the circuit in (a).

82



83



84

4. ANÁLISIS SENOIDAL

• Función de excitación senoidal

VtCosVtv m

Amplitud Frecuencia

Angular

[Rad/s]

Ángulo de fase

[rad]

f 2f

T1

T: Periodo [s]f: frecuencia de

oscilación [Hz]

85


• Diferencia de fase entre dos ondas senoidales: determina si

una onda está adelantada o atrasada con respecto a otra.

• Características de la onda senoidal

VtCosVtv m 1

VtCosVtv m 2

Dos ondas senoidales cuyas fases se van a comparar deben:

•Escribirse ambas como ondas seno o ambas como coseno.

•Expresarse con amplitudes positivas.

•Tener ambas la misma frecuencia.

86


• Características de la onda senoidal VtCosVtv m 1

VtCosVtv m 2

v2(t) está adelantado con respecto a v1(t).

87


• Características de la onda senoidal VtSenVtv m 1

v2(t)=VmSen(ωt+ϕ) está adelantado con respecto a

v1(t)=VmSen(ωt) .

VtSenVtv m 2

88


• Valor medio de una función f(t):

Valor medio – Valor Eficaz (r.m.s.)

2

1

)(1

12

t

t

dttftt

tf T

dttfT

tf )(1

Periodo T

• Valor r.m.s. De una función f(t) con periodo T:

T

smr dttfT

f 2

... )(1

89


• Valor medio de una función senoidal f(t):

Valor medio – Valor Eficaz (r.m.s.)

01

)(1

T

m

T

dttCosVT

dttfT

tf

Periodo T

• Valor r.m.s. De una función senoidal f(t) conperiodo T:

2

1 2

...m

T

msmr

VdttCosV

Tf

90


Valor eficaz de una tensión senoidal v(t) concomponentes de frecuencia múltiple:

Valor Eficaz (r.m.s.)

333222111 tCosVtCosVtCosVtv mmm

2

...3

2

...2

2

...1... smrsmrsmrsmr VVVV

• Valor eficaz de una corriente senoidal i(t) con Ncomponentes de frecuencia múltiple:

2

...

2

...3

2

...2

2

...1... smNrsmrsmrsmrsmr IIIII

91


Dominio del tiempo

• Representación Fasorial

• Fasor

VtCostv 60201 VV 60201

AtCostix455 AI x

455

VtCostv

VtSentv

z

z

110100

20100

VVz

110100

VtCostv

VtCostv

120150

60150

3

3

VV 1201503

92


• Representación Fasorial

• Fasor

VV 60201

AI x455

VVz110100

VV 1201503

• Diagrama Fasorial

V1

Ix

V3

VZ

93


Circuito RL:

• Respuesta Forzada

VtCosVtv ms AtCosIti m

Del circuito se obtiene la ecuación diferencial:

tvtvtv sLR

tCosVtiR

dt

tdiL m

94


Circuito RL:• Respuesta Forzada

Resolviendo para i(t) se obtiene:

AR

LTantCos

LR

Vti m

1

22

Se observa que se afecta la magnitud y la fase:

LX L Reactancia Inductiva.

95


Circuito RL:• Respuesta Forzada

Calcule la corriente en estado senoidal permanente iL(t)

96


Circuito RC:• Respuesta Forzada

VtCosVtv ms AtCosIti m

Del circuito se obtiene la ecuación diferencial:

tvtvtv sCR

tSenVti

Cdt

tdiR m

1

97


Circuito RC:• Respuesta Forzada

Resolviendo para i(t) se obtiene:

AR

CTantCos

CR

Vti m

1

1

1

2

2

Se observa que se afecta la magnitud y la fase:

C

XC

1Reactancia Capacitiva.

98


• Relaciones en el Dominio del tiempo

RESISTENCIA

INDUCTANCIA

R

+ vR(t) -

iR(t)

tRitv RR

L

+ vL(t) -

iL(t)

dt

tdiLtv L

L

][

][

AtCosIti

VtCosVtv

mR

mR

][2

][

AtCosIti

VtCosVtv

mL

mL

En fase

Atraso

99


• Relaciones en el Dominio del tiempo

CAPACITANCIA

C

+ vC(t) -

iC(t)

dt

tdvCti C

C

][2

][

AtCosIti

VtCosVtv

mC

mc

Adelanto

LjZL Impedancia Inductiva.

C

jZC

1Impedancia Capacitiva.

100


• Relaciones Fasoriales

RESISTENCIA

INDUCTANCIA

R

+ VR -

IR

RZR

L

+ VL -

IL

LjZL

][

][

AII

VVV

mR

mR

IR

VR

][2

][

AII

VVV

mL

mL

IL

VL

2

101


• Relaciones Fasoriales

CAPACITANCIAC

+ VC -

IC

CjZC

1

][2

][

AII

VVV

mC

mC

IC VC

2

102


• Impedancia Inductiva• Impedancia - Admitancia

LjRZ

LjR

Y

1

• Impedancia Capacitiva

C

jRZ

1

CjR

Y

1

1

103


Circuito RLC serie:

• Análisis en el dominio de j

CLjRZ

1

104


Circuito RLC paralelo:

• Análisis en el dominio de j

s

LCj

RY

11

105


Figura 1. Circuito en el Dominio del tiempo

106


Figura 2. Circuito en el Dominio de la frecuencia

107


Figura 3. Ecuaciones de Malla

[1]

[2]

108


109


• Diagramas FasorialesConsidere el circuito de la Figura 1. La fuente senoidal de corriente IS y las

corrientes de las cargas I1 e I2 , se caracterizan por:

S

S

II

AII

AI

AI

2

22

1

0

7

010

Si la corriente I2 está adelantada con respecto a IS un ángulo de 40,540 . ¿En

cuántos grados está I1 adelantada o atrasada con respecto a I2 ?

Figura 1.

110


• Diagramas Fasoriales

21

0

22

1

54,40

7

III

AII

AI

S

Ley del seno

7

54,40

10

0SenSen

I2

I1

IS

40,540

10

7

0

1 21,68

0

2 79,111

Dos soluciones para I2

0

1 25,71

0

2 67,27

0

2

54,40

7

SenSen

I

AI 12,1012

AI 0,522

111


• Diagramas FasorialesAnálisis gráfico:

IS10

079,111

I2

40,540 I1

7

21

0

22

1

54,40

7

III

AII

AI

S

AI

AI

0

2

0

1

54,405

67,277

I1 está atrasada 68,210 con respecto a I2.

112


Ejercicio 2:Considere el circuito de la Figura 2. Variando la

capacidad del condensador C se encuentra que cuando lalectura del ampere-metro A es mínima, es el doble de la lecturadel ampere-metro A1, y la lectura del watt-metro es 1000 Watts.Hallar las tensiones y corrientes indicadas y los valores de R,L y C.

Figura 2.

113


Ejercicio 2: Se analiza el circuito sin instrumentos:

Figura 2a.

Imin=2IC

I=IL+IC

iv

i

vS

CosIW

smArII

smVrV

100

...

...100

114


Ejercicio 2:

I

100

IL

IC

I=IL+IC

iv

i

vS

CosIW

smArII

smVrV

100

...

...100

Imin=2IC v= i

Imin

Imin=10 [Ar.m.s.]RIW L

2

22

min

2

CL III

8,0R

115


Cualquier variable en el circuito será la

resultante de los efectos de cada fuente de

excitación en el circuito.

Si existen fuentes de diferente frecuencia se

hace obligatoria la superposición. Los

resultados se suman sólo en el dominio del

tiempo.

• Superposición

116


Un circuito equivalente de Thévenin obien de Norton de una red con excitaciónsenoidal, es válido para un solo valor defrecuencia.

• Equivalentes de Thévenin y Norton

117


• Equivalente de Thévenin

Todo circuito lineal con excitación senoidal a un único valor

de frecuencia, puede representarse desde dos terminales a y b

por medio de una fuente de tensión fasorial VTH (VOC) en

serie con una Impedancia ZTH (hallada desde los terminales

a y b con todas las fuentes independientes anuladas).

SC

OCTH

I

VZ

OCTH VV

118


• Equivalente de Norton

Todo circuito lineal con excitación senoidal a un único valor

de frecuencia, puede representarse desde dos terminales a y b

por medio de una fuente de corriente fasorial IN (ISC) en

paralelo con una Impedancia ZTH (hallada desde los terminales

a y b con todas las fuentes independientes anuladas).

SC

OCTH

I

VZ

SCN II

119

5. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS

• Inductores

Inductancias en serie:

321 LLLLeq

120


• Inductores

Inductancias en paralelo:

321

1111

LLLLeq

121


• Condensadores

Capacitancias en serie:

321

1111

CCCCeq

122


• Condensadores

Capacitancias en paralelo:

321 CCCCeq

123


• Circuito RL

t<t0: iL(t)=0 [A]

iL(t0-)=0 [A] Condición inicial

t>t0: Se tiene la ecuación diferencial:

0VtiR

dt

tdiL

Resolviendo:

AR

V

R

Vti R

L

tt

e

0

00

124


• Circuito RL

t<t0: iL(t)=0 [A]

Respuesta Completa:

AR

V

R

Vti R

L

tt

e

0

00

Respuesta Forzada Respuesta Natural

tititi nf

Respuesta Natural:

AAti

tt

n e 0

R

L

Constante de tiempo:

t>t0:

125


• Circuito RC

t<t0: vC(t)=0 [V]

vC(t0-)=0 [V]

t>t0: Se tiene la ecuación diferencial:

0Vtv

dt

tdvRC C

C

Resolviendo:

VVVtv RC

tt

C e0

00

126


• Circuito RC

t<t0: vC(t)=0 [V]

t>t0:

VVVtv RC

tt

C e0

00

Respuesta Completa:

Respuesta Forzada Respuesta Natural

tvtvtvnCfCC

Respuesta Natural:

VAtv

tt

nCe

0

CR Constante de tiempo:

t>t0:

127


• Circuito RLC serie

Se tiene la ecuación diferencial:

0

12

2

tiCdt

tdiR

dt

tidL

Se supone solución de la

Forma:

AtsAti e

Derivando y reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:

012 C

RsLs

128


• Circuito RLC serie

En forma general:

LCL

R

L

Rs

1

22

2

2,1

Se obtiene una ecuación algebraica: 012 C

RsLs

Cuya solución es de la forma:

2

0

2

2,1 sL

R

2

LC

10

La forma de la respuesta natural depende de los valores de R, L y C.

129


• Circuito RLC paralelo

Se tiene la ecuación diferencial:

0

112

2

tvLdt

tdv

Rdt

tvdC C

CC

Se supone solución de la

Forma:

VtsAtv eC

Derivando y reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:

0112 L

sR

Cs

130


• Circuito RLC paralelo

En forma general:

LCRCRCs

1

2

1

2

12

2,1

Se obtiene una ecuación algebraica:

Cuya solución es de la forma:

2

0

2

2,1 sRC2

1

LC

10

La forma de la respuesta natural depende de los valores de R, L y C.

0112 L

sR

Cs

131


• Tipos de Respuesta Natural

2

0

2

2,1 s

1. Sobreamortiguado: Dos raíces reales y diferentes.

2. Críticamente amortiguado: Una sola raíz real.

3. Subamortiguado: Dos raíces complejas conjugadas.

2

0

2

2

0

2

2

0

2

tsts

n ee BAtr

21

tBAtr t

n e

tSenBtCosAtr dd

t

n e

22

0 d

132


• Respuesta Natural Sobreamortiguada

2

0

2

tsts

n ee BAtr

21

133


• Respuesta Natural Críticamente Amortiguada

2

0

2

tBAtr t

n e

134


• Respuesta Natural Subamortiguada

2

0

2

tSenBtCosAtr dd

t

n e

22

0 d

135

6. POTENCIA

• Potencia Instantánea p(t)

Análisis para excitación senoidal

titvtp

VtCosVtv vm

AtCosIti im

+_

v(t) [V]

i(t) [A]

WtCosItCosVtp imvm

WtCosIV

CosIV

tp ivmm

ivmm

2

22

136

6. POTENCIA

• Potencia Instantánea p(t)Análisis para excitación senoidal

WtSenSenIV

tCosCosIV

tp

iivmm

iivmm

222

2212

RESISTENCIA

0 iv WtCosIV

tp imm

221

2

R

+ vR(t) -

iR(t) tRitv RR

137

6. POTENCIA

• Potencia Instantánea p(t)

2

iv

INDUCTANCIA

WtSenIV

tp imm

22

2

CAPACITANCIA

2

iv WtSen

IVtp i

mm

222

L

+ vL(t) -

iL(t)

dt

tdiLtv L

L

C

+ vC(t) -

iC(t)

dt

tdvCti C

C

138

6. POTENCIA

• Potencia Promedio P

Potencia Promedio


AtCosIti im +_

v(t) [V]

i(t) [A] VtCosVtv vm

VVV vm

AII im

Fasorialmente:

+_

V [V]

I [A] Z []

WCosIV

P ivmm

2 WCos

IVP mm

2

139

6. POTENCIA

• Potencia Aparente

Potencia Promedio WCosIVP smrsmr ......

Potencia Aparente ........ AVIVS smrsmr

S

P

Q

Potencia Compleja

S=P+jQ

P: Potencia Activa [Watts]

Q: Potencia Reactiva [V.A.R.]

140

6. POTENCIA

• Potencia Compleja

..AVIVS

... smrv VVV

... smri AII +_

V

I Z []

..AVIV S

El ángulo de la Potencia Compleja S es el mismo ángulo de la

Impedancia.

WattsCosIV P ... RAVSenIV Q

141

6. POTENCIA


RESISTENCIA

INDUCTANCIA

R

+ VR -

IR

RZR

L

+ VL -

IL

LjZL

S=P+j0 S

P

SQL

S=0+jQ

142

6. POTENCIA


CAPACITANCIA

SQCS=0-jQ

C

+ VC -

IC

CjZC

1

S

P

Q

Carga Inductiva:

Factor de Potencia en atraso.

S

P

Q

Carga Capacitiva:

Factor de Potencia en adelanto.

143

6. POTENCIA

• Factor de Potencia

S

PPF ..

La proporción entre la Potencia Activa o Promedio con la

potencia Aparente.

......

..smrsmr IV

PPF

En el caso estrictamente senoidal, esta proporción es igual al

coseno de la diferencia de fase entre la tensión y la corriente.

ivCosPF .. CosPF ..

144

6. POTENCIA

• Corrección del Factor de Potencia

S2

2

Q2

S1

1

Q1

P

145

6. POTENCIA


S2

2

Q2

QCS1

1

Q1

P

146

6. POTENCIA


S2

2

Q2

QCS1

1

Q1

P

1TanP 1Q

2TanP 2Q

21 QQ CQ

21 TanTanP CQ

C

C

X

V2

CQ 2

C

C

V

Q

C

147

6. POTENCIA

• Transferencia de Potencia Máxima

Una fuente de tensión independiente VTH en serie con una

impedancia ZTH entrega una potencia promedio (Activa) máxima a

una impedancia de carga ZL, cuando esta impedancia ZL es igual

al conjugado de la impedancia de Thévenin ZTH .

THL ZZ


148

6. POTENCIA

• Transferencia de Potencia Máxima

Una fuente de tensión independiente VTH en serie con una

impedancia ZTH entrega una potencia promedio (Activa) máxima a

una Resistencia de carga RL, cuando esta resistencia RL es igual a

la magnitud de la impedancia de Thévenin ZTH .

THL ZR


22

THTHL XR R

149

6. POTENCIA

• Medición de Potencia [Watt-metro]

Watt-metro: Instrumento que registra la potencia promedio.

Está compuesto principalmente por una Bobina de

Corriente y una Bobina de Potencial (tensión).

Lectura registrada por el Watt-metro.

xx IVxx CosIV W

... smrVxx VVVx

... smrIxx AIIx

150

6. POTENCIA

• Medición de Potencia [Watt-metro]

Bobina de Corriente: Pocas vueltas, gran sección

transversal. De impedancia nula.

Bobina de Tensión: Muchas vueltas, pequeña sección

transversal. De impedancia infinita.

Se conecta en serie.

Se conecta en paralelo.

151

7. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

Fuentes Trifásicas en Y

Tensiones de Fase: Tensión entre una línea y el neutro.

Tensiones de Línea: Tensión entre dos líneas. Tensión

Línea-Línea.

bnanab VVV

cnbnbc VVV

ancnca VVV

Relación entre Tensiones

VL=3·VF

152



Secuencia Positiva o abc

Van

Vbn

Vcn Vab

Vbc

Vca

30o

...0 smrFan VVV

...120 smrFbn VVV

...120 smrFcn VVV

153



...0 smrFan VVV

...120 smrFbn VVV

...120 smrFcn VVV

Secuencia Negativa o acb

Van

Vbn

Vcn Vab

Vbc

Vca

30o

154


Carga conectada en Y

Secuencia Positiva

Secuencia Negativa

155


Carga conectada en Y – Equivalente Monofásico

156


Carga conectada en Y – Equivalente Monofásico

Sistema balanceado

157


Carga conectada en

Secuencia Positiva

Secuencia Negativa

158


Potencia Trifásica

La potencia trifásica instantánea de un sistema

balanceado es constante.

tptptp cba tp3

titvtitvtitv ccnbbnaan tp3

tCosItCosV FF 22tpa

12021202 tCosItCosV FFtpb

12021202 tCosItCosV FFtpc

159


Potencia Trifásica

La potencia trifásica instantánea de un sistema

balanceado es constante.

CosIV FF 3tp3

WattsCosIV FF 33P

Potencia promedio trifásica (Potencia Activa

Trifásica).

160


Potencia Compleja Trifásica

La Potencia Compleja Trifásica es tres veces la Potencia

Compleja Monofásica .

WattsCosIV FF 33P

..3 AV

FF3 IVS

...3 RAVSenIV FF 3Q

..3 AVIV FF 3S

En Magnitud:.

..3 AVIV LL 3S

WattsCosIV LL 33P

...3 RAVSenIV LL 3Q

161


Medición de Potencia Trifásica

T

dttitvT

W1

162


Medición de Potencia Trifásica

T

ccx

T

bbx

T

aax

cba

dttitvdttitvdttitvT

WWW

1

dttitititvT

dttitvdttitvdttitvT

P

T

cbanx

T

ccn

T

bbn

T

aan

1

13

El resultado es independiente del punto de

referencia x.

163


Medición de Potencia Trifásica – Conexión Aaron.

Conectando el punto de referencia x en la línea c.

aac IVaaca CosIVW

bbc IVbbcb CosIVW

...30 smrLab VVV

Secuencia Positiva

...90 smrLbc VVV

...150 smrLca VVV

164



Conectando el punto de referencia x en la línea c.

aac IVaaca CosIVW

bbc IVbbcb CosIVW

...30 smrLab VVV

Secuencia Positiva

...90 smrLbc VVV

...150 smrLca VVV

... smrLa AII

...120 smrLb AII

...120 smrLc AII

Las lecturas de los Watt-metros es entonces:

30CosIVW LLa

30CosIVW LLb

165


Medición de Potencia Trifásica – Conexión Aaron.Conectando el punto de referencia x en la línea c.

Aplicando identidad:

SenIVCosIVW LLLLa 2

1

2

3

SenSenCosCosCos

SenIVCosIVW LLLLb 2

1

2

3

De esta forma:

CosIVWW LLba 3

SenIVWW LLba

3PWW ba

33 QWW ba

166



Conectando el punto de referencia x en la línea b.

aab IVaaba CosIVW

ccb IVccbc CosIVW

30CosIVW LLc

30CosIVW LLa

CosIVWW LLac 3

SenIVWW LLac

167



Conectando el punto de referencia x en la línea a.

bba IVbbab CosIVW

cca IVccac CosIVW

30CosIVW LLb

30CosIVW LLc

CosIVWW LLcb 3

SenIVWW LLcb

168


Medición de Potencia Trifásica – Conexión Inusual.

bca IVbcab CosIVW

...150 smrLca VVV

...120 smrLb AII

270CosIVW LLb

90CosIVW LLb

169


Medición de Potencia Trifásica – Conexión Inusual.

90CosIVW LLb SenIVW LLb

SenIVW LLb 33

33 QWb

En un sistema balanceado se

puede contabilizar la Potencia

Reactiva Trifásica a partir de

la lectura de un Watt-metro.

170


Medición de Potencia Trifásica – ImplicacionesConexión Aaron y Factor de Potencia de la Carga.

Mediante la conexión Aaron se tiene que las lecturas de los

Watt-metros está dada por:

301 CosIVW LL

302 CosIVW LL

Si =60o entonces: 301 CosIVW LL

02 W=60o F.P. = 0,5

El tener una carga con F.P. = 0,5 implica una condición límite

en la naturaleza de las lecturas de los Watt-metros.

171


Medición de Potencia Trifásica – ImplicacionesConexión Aaron y Factor de Potencia de la Carga.

301 CosIVW LL

302 CosIVW LL=60o F.P. = 0,5

Si el F.P. De la carga es superior a 0,5 las lecturas de ambos

Watt-metros es positiva.

Si el F.P. = 0,5 La lectura de uno de los Watt-metros es igual a

cero.

Si el F.P. Es inferior a 0,5 la lectura de uno de los Watt-metros

es negativa.

Si el F.P. Es igual a la unidad los dos Wattmetros registran el

mismo valor.

Si el F.P.=0 registran el mismo valor con signo contrario.

172


Ejercicio:Considere el circuito de la Figura 10. Este circuito es

la configuración de un sistema trifásico tetrafilar equilibrado

de secuencia positiva con VCA =VL0° Vr.m.s.. Las lecturas de

los Watt-metros W1 y W2 son: WW 50001

WW 60002

a) S3=?

b) W3=?

173

8. FRECUENCIA COMPLEJA

Excitación general compleja:

RESISTENCIA

INDUCTANCIA

CAPACITANCIA

tseti

L

+ vL(t) -

iL(t)

dt

tdiLtv L

L

C

+ vC(t) -

iC(t)

dt

tdvCti C

C

R

+ vR(t) -

iR(t)

tRitv RR ts

R eRtv

ts

L esLtv

ts

C eCs

tv

1

js

174


Excitación general compleja:

RESISTENCIA

INDUCTANCIA

CAPACITANCIA

R

+ VR(s) -

IR(s)

RsZR

sL

+ VL(s) -

IL(s)

1/sC

+ VC(s) -

IC(s)

sLsZL

sC

sZC1

175


Función Propia

A una señal para la cual la salida del sistema es

una constante (posiblemente compleja)

multiplicada por la entrada se le conoce como

una función propia (eigenfunction) del sistema, y

el factor de amplitud se conoce como el valor

propio (eigen-value) del sistema.

Las exponenciales son funciones propias de los

circuitos lineales.

tsetv

176


Función de Transferencia: Z(s) y Y(s)

Circuito RLC serie:

sC

sLRsIsVS1

sC

sLRsZ1

sIsV

sZ S

177


Función de Transferencia: Z(s) y Y(s)

Circuito RLC paralelo:

sC

sLRsVsIS

11

sCsLR

sY 11

sVsI

sY S

178


Polos y Ceros de la Función de Transferencia

La función de transferencia es la relación entre alguna variable

de salida y la fuente de excitación en el dominio de la

frecuencia compleja s.

sV

sVsH

S

O

En general la función de transferencia es una función

racional, constituida por un función polinómica en el

numerador N(s) y una función polinómica en el denominador

D(s).

sDsN

sH

sVsHsV SO

Ceros: Las raíces del numerador N(s).

Polos: Las raíces del denominador D(s).

179


Diagrama de Polos y Ceros

Sea H(s) la función de Transferencia:

256

242

ss

sssH Ceros: Las raíces del numerador N(s).

Polos: Las raíces del denominador D(s).

20 sys

4343 jsyjs

180


Respuesta Forzada por medio de la Frecuencia Compleja

Ejercicio: Hallar i(t) en el circuito de la Figura 6. Si vs(t) está

definido por: VtCosetv t

s 10460 2

Figura 6.

Se transforma el circuito al dominio de la frecuencia

compleja s.

181


Respuesta Forzada por medio de la Frecuencia Compleja

VVs 1060

s

sIVs10

32

ss

VI s

1032

42

104232

1060

jj

I

42 js

AI 6,10637,5 AtCoseti t 6,106437,5 2

42 js

182


Respuesta Natural por medio de la Frecuencia Compleja

La respuesta natural está definida por los Polos de la Función

de Transferencia con respecto a la variable de interés.

Ejemplo: En el circuito anterior I(s):

ss

sVsI s

1032

1023 2

ss

s

sV

sI

s

Polos: 01023 2 ss 795,1333,02,1 js

La respuesta natural es de la forma:

AtSenBtCosAeti t

n 795,1795,1333,0

Subamortiguado.

183

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Análisis por medio de la Transformada de Laplace:

Transformada de Laplace:

j

j

st

st

dssFej

tf

dttfesF

0

02

1

Transformada unilateral de Laplace:

0

dttfesF st

s

es

dtesF

tutf

stst 11

00

184


Transformada de Laplace:Para funciones exponenciales.

se

sdtedteesF

tuetf

tststst

t

11

000

Transformada de Laplace: Para funciones senoidales.

22

11

2

1

2

1

sjsjsjtutSen

eej

tSen tjtj

185


Propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad:

Diferenciación en el tiempo:

Desplazamiento en el tiempo:

txbtxatf 21 L sXbsXasF 21

dt

tdxtf L 0xsXssF

0ttxtf L sXesFst

0

2

2

dt

txdtf L 002 xxssXssF

186


Propiedades de la Transformada de Laplace

Desplazamiento en el dominio de s:

Diferenciación en el dominio de s.

Integración en el tiempo:

txtatf e L asXsF

txttf L ds

sdXsF

L sXs

sF 1

t

dxtf

187


Algunos pares de Transformadas de LaplaceFunción escalón unitario:

Función impulso unitario:

Función seno:

Función coseno:

tutf L s

sF1

ttf L 1sF

tutSentf L 22

s

sF

tutCostf L 22

s

ssF

188


Algunos pares de Transformadas de LaplaceFunción escalón unitario:

Función escalón unitario:

Función seno:

Función coseno:

tuetf at L as

sF

1

tuttf L 2

1

ssF

tutSenetf at L 22

assF

tutCosetf at L

22

as

assF

189


Ejemplo: Hallar la transformada de Laplace de :

tutCosetf t 53)( 2

294

63

252

23

22

ss

s

s

ssF

190


Ejemplo: Hallar la transformada inversa de Laplace de :

256

282

ss

ssF

222

43

2638

163

28

s

s

s

ssF

222243

4

4

26

43

38

ss

ssF

Aplicando Transformada inversa:

tutSenetutCosetf tt 45,648)( 33

191


Modelos para los elementos almacenadores de energía:

INDUCTANCIA:

dt

tdiLtv L

L

0LLL iLsIsLsV

s

i

sL

sVsI LL

L

0

192


Modelos para los elementos almacenadores de energía:

CAPACITANCIA:

dt

tdvCti C

C

0CCC vCsVsCsI s

v

sCsIsV C

CC

01

193


Ejercicio : Hallar vx(t) en el circuito de la Figura 7.

Figura 7.

194


Ejercicio :

s

sV

s

sVsV XXX 2

20

5

5

5

12

20

15

5

1

ssV

sX

20

724

20

24

ss

ssVX

195


Ejercicio :

20

724

s

sVX

Aplicando transformada inversa :

tuettv t

x

20724

196


Respuesta a Entrada Cero y Respuesta de Estado Cero.

Transformada de Laplace:

dt

tdf 0fssF

2

2

dt

tfd 002 fsfsFs

En un circuito cualquiera que contenga R, L y C, se obtiene

una ecuación diferencial de segundo orden en adelante:

Ejemplo:

tvtidt

tdi

dt

tidS 127

2

197


Ejemplo: tvti

dt

tdi

dt

tidS 127

2

Con condiciones iniciales: 0';0 ii

Aplicando transformada de Laplace:

sVsIissIisisIs S 12070'02

Agrupando:

71272 ssVsIss S

Despejando I(s):

34

7

34

ss

s

ss

sVsI S

198



Si las condiciones iniciales son cero:

34

7

34

ss

s

ss

sVsI S

0;0

34

ss

sVsI S Respuesta de estado cero.

34

1

sssV

sI

S

Función de Transferencia

199



Si la fuente de excitación es cero:

34

7

34

ss

s

ss

sVsI S

0sVS

34

7

ss

ssI

Respuesta a entrada cero.

200


Ejercicio: Transformada Inversa de Laplace.

Polos simples distintos:

cs

C

bs

B

as

A

csbsas

ssF

32

Multiplicando por (s+a):

cs

Cas

bs

BasA

csbs

s

32

Se evalúa en s=-a:

00

32

A

caba

a as

sFasA

201



Polos simples distintos:

cs

C

bs

B

as

A

csbsas

ssF

32

De igual forma:

as

sFasA

bs

sFbsB

cs

sFcsC

202



Polos simples repetidos:

bs

D

bs

C

bs

B

as

A

bsas

ssF

233

32

Para la constante A:

assFasA

Para la constante B:

DbsCbsBas

Abs

as

ssFbs

23

3 32

Se evalúa en s=-b:

000

32

B

ab

b bs

sFbsB

3

203



Polos simples repetidos:Para la constante B:

DbsCbsBas

Abs

as

ssFbs

23

3 32

Se evalúa en s=-b:

0000

322

C

ab

b bs

sFbsds

dC

3

Para la constante C, se deriva con respecto a s:

DbsCas

Abs

as

Abs

as

a

sFbsds

d

20332

2

32

2

3

204




Para la constante D, se deriva nuevamente con respecto a s:

Para la constante C:

DbsCas

Abs

as

Abs

as

a

sFbsds

d

20332

2

32

2

3

Das

Abs

as

Abs

as

Abs

as

Abs

as

asFbs

ds

d

202336

322

3

3

2

2

2

2

3

3

2

2

205



Polos simples repetidos:Para la constante D, se deriva nuevamente con respecto a s:

Das

Abs

as

Abs

as

Abs

as

Abs

as

asFbs

ds

d

202336

322

3

3

2

2

2

2

3

3

2

2

Se evalúa en s-b:

Dab

a20

3223

bs

sFbsds

dD

3

2

2

2

1

206




bs

E

bs

D

bs

C

bs

B

as

AsF

234

bs

sFbsds

dD

4

2

2

2

1

as

sFasA

bs

sFbsB

4

bs

sFbsds

dC

4

bs

sFbsds

dD

4

3

3

6

1

207



Polos complejos diferentes:

2222

23

5231

1252

ss

sssF

Se expande en fracciones parciales:

22222222

23

52

52

31

31

5231

1252

s

DsC

s

BsA

ss

sssF

A y B :

22

22

22

23

52

523131

52

1252

s

DsCsBsA

s

ss

208



Polos complejos diferentes:A y B :

22

22

22

23

52

523131

52

1252

s

DsCsBsA

s

ss

Se evalúa en el polo correspondiente :

BAjj 33325

1266

325

12

A y B se hallan igualando partes real e imaginaria :

325

422A

325

4B

209



Polos complejos diferentes:C y D :

Se evalúa en el polo correspondiente :

DCjj 55325

5360

325

565

A y B se hallan igualando partes real e imaginaria :

325

1072C

325

113D

DsCs

BsAs

s

ss52

31

3152

31

125222

22

22

23

210




Finalmente se obtiene:

Reemplazando los valores obtenidos y separando :

Se aplica transformada inversa :

22222222

23

52

52

31

31

5231

1252

s

DsC

s

BsA

ss

sssF

2222

2222

52

5

325

113

52

2

325

1072

31

3

325

4

31

1

325

422

ss

s

ss

ssF

211




Se aplica transformada inversa :

2222

2222

52

5

325

113

52

2

325

1072

31

3

325

4

31

1

325

422

ss

s

ss

ssF

tutSenetutCose

tutSenetutCosetf

tt

tt

5325

1135

325

1072

3325

43

325

422

22

212


Transformada Inversa de Laplace.


22222222

23

52

52

31

31

5231

1252

s

DsC

s

BsA

ss

sssF

31

2231Im

3

1

jssFsA

31

2231Re

3

1

jssFsB

52

2252Im

5

1

jssFsC

52

2252Re

5

1

jssFsD

213



Polos complejos repetidos:

Se basa en las funciones seno y coseno :

222

22

as

astutCoset at

222

2

as

astutSenet at

214




222

22

22

222

23

34

34

34

4634

34

1252

s

DsC

s

sBsA

s

sssF

Se multiplica:

DsCssBsA

ss

34344634

1252

2222

23

Se evalúa en el polo correspondiente:

215




DsCssBsA

ss

34344634

1252

2222

23

Se evalúa en el polo correspondiente:

3632114135 2 jBAj

Para las constantes C y D se deriva y se evalúa en el polo correspondiente:

CsDsCsBsA

ss

22

2

343442642

106

18

135A

18

114B

216




Para las constantes C y D se deriva:

CsDsCsBsA

ss

22

2

343442642

106

Evaluando: 033326321142 DjCjBjAj

DjCBAjj 1818661142

2C6

23D

DAjCBj 1861861142

217




Finalmente:

222

22

22

222

23

34

34

34

4634

34

1252

s

DsC

s

sBsA

s

sssF

Aplicando transformada inversa:

tutSenetutCose

tutSenettutCosettf

tt

tt

36

2332

318

1143

18

135

44

44

218


Transformada de Laplace.

Dos pares de Transformadas más:

Seno:

22

s

CossenstutSen

Coseno:

22

s

SenCosstutCos

219


Transformada de Laplace.

Dos propiedades más:

Teorema del valor inicial:

sFss

Límf

0

Teorema del valor final:

sFss

Límtf

s

Lím

0


miércoles, 12 de agosto de

2015

Taller-Reinicio-Circuitos Eléctricos I Julio 15 2015

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