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Tabla de contenido Página
Ecuaciones diferenciales no homogéneas 3
Solución de una ecuación diferencial no homogénea con 3
coeficientes constantes
Método de variación de parámetros 11
Resumen 13
Bibliografía recomendada 14
Nexo 14
Autoevaluación formativa 15
5
2
Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN
Facultad de Ingeniería de Sistemas.
Sistema de Educación Abierta y a Distancia.
Santa Fe de Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por
escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
JAIME PRECIADO LOPEZ
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MARIANA BAQUERO DE PARRA
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SAENZ
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Impreso en: GRAFICAS SAN MARTIN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Santa Fe de Bogotá, D.C.
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3
Ecuaciones diferenciales no homogéneas En este fascículo trabajaremos en la búsqueda de solución a ecuacio-
nes diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes;
emplearemos dos métodos: el método de coeficientes indeterminados y
el de variación de parámetros; reconoceremos la solución general de
una ecuación de este tipo como la suma de las soluciones de la ecua-
ción homogénea asociada y la particular.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Halla correctamente la solución de una ecuación diferencial homo-
génea asociada.
Emplea correctamente el método de coeficientes indeterminado para
solucionar ecuaciones diferenciales no homogéneas.
Emplea correctamente el método de variación de parámetros para so-
lucionar ecuaciones diferenciales no homogéneas.
Soluciona correctamente ecuaciones no homogéneas con coeficientes
constantes.
Solución de una ecuación diferencial no homogénea con coeficientes constantes
Vamos a buscar la solución de ecuaciones lineales u homogéneas del
tipo
yyadx
dya
dx
yda
dx
yda
n
n
nn
n
n
011
1
1 (1)
Podemos resumir el procedimiento para resolver una ecuación del tipo
(1) en tres pasos:
5
4
1. Hacemos 0)(xg de modo que (1) se convierte en una ecua-
ción homogénea con coeficientes constantes y la resolvemos; a
la solución encontrada se le acostumbra llamar solución homo-
génea asociada y se nota por hy .
2. Buscamos una solución particular de la ecuación no homogénea
(1); a dicha solución se le acostumbra llamar solución particular
py .
3. Sumamos los resultados de los pasos 1 y 2 para encontrar la so-
lución general y , es decir, ph yyy
Al estudiar estos tres pasos, detalladamente, vemos que el paso No. 1
no presenta dificultad porque en el fascículo anterior resolvimos este ti-
po de ecuaciones; el paso No. 3 hace referencia tan solo a la suma de
las soluciones encontradas, pero el paso No. 2 es nuevo y para llevarlo
a cabo podemos utilizar el método conocido como método de los coe-
ficientes indeterminados. Para hallar la solución particular py , consi-
deremos la ecuación:
)("
xgyayay 21
Podemos encontrar py para esta ecuación con base en ensayos de
acuerdo con la expresión )(xg , así:
a. Si 01
1
1 dxdxdxdxgm
m
m
m
)( podemos
ensayar la solución particular
01
1
1 CxCxCxCym
m
m
mp
b. Si x
bexg)( podemos ensayar como solución particular
x
p Cey
5
5
c. Si xCsenxbxg cos)( podemos probar la solución
particular
xCsenxByp cos
d. Si alguno de los términos de )(xg es una solución de la ecua-
ción homogénea, multiplicamos por x nuestra solución.
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos para especificar el
método.
Ejemplo
Resolvamos la ecuación 549 yy"
(1).
Sigamos los tres pasos descritos en la metodología
Paso No. 1: resolvemos la homogénea asociada a la ecuación dada
09 yy"
la ecuación auxiliar es
092 m
o
033 ))(( mm
así tenemos dos raíces reales y distintas, por tanto la solución es
xx
n eCeCy3
2
3
1
Paso No. 2: encontremos la solución particular py para nuestra ecua-
ción 54)(xg ; como )(xg es un polinomio de grado cero, proba-
mos una solución particular con un polinomio también de grado cero
kyp ; remplazamos py y sus derivadas en la ecuación dada sabien-
do que:
5
6
0
0
"
'
p
p
p
y
y
ky
así nuestra ecuación 549 yy"
se convierte en 5490 k
de donde 6k , por tanto
6py
Paso No. 3: hacemos ph yyy y obtenemos la solución general:
63
2
3
1 xxeCeCy
Ejemplo
Resolvamos 6244 xyyy'"
Paso No. 1
044 yyy'"
la ecuación auxiliar es
0442 mm
o
022m
así tenemos que 2m es una raíz real y repetida, por tanto
xx
h xeCeCy2
2
2
1
Paso No. 2
Como 62 xxg )( probamos con una solución
BAxyp
Si obtenemos las derivadas de py entonces
5
7
0
"
'
p
p
y
Ay
Si reemplazamos y por py en la ecuación dada
6244 xyyy'"
obtenemos
62440 xBAxA )(
que podemos escribir como
62444 xBAAx )(
si igualamos los coeficientes tenemos
24 A y 644 BA
resolviendo
2
1A y 1B
por tanto
12
1 xy
p
Paso No. 3
pn yyy
12
12
2
2
1 xxeCeCy
xx
Ejemplo
Resolvamos x
eyyy412 '"
Paso No. 1
012 yyy'"
5
8
la ecuación auxiliar es
0122 mm
o
022m
así tenemos raíces reales y distintas, por tanto
xx
n eCeCy3
2
4
1
Paso No. 2
Como x
exg4)( ensayamos
x
p eCy4
3
las derivadas son
x
p
x
p
eCy
eCy
4
3
4
3
16
4
"
'
si reemplazamos py y sus derivadas en la ecuación dada tenemos:
xxxxeeCeCeC
44
3
4
3
4
3 12416
o
xe
40
Lo cual es un resultado incorrecto que debíamos esperar, ya que la so-
lución que estamos ensayando es un término de la solución de la ecua-
ción homogénea; para solucionar el problema debemos multiplicar por
x nuestra solución propuesta, como se dijo en el numeral d); así debe-
mos probar con:
x
p xeCy4
3
Veamos:
xx
p
xx
p
xeCeCy
xeCxeCy
4
3
4
3
4
3
4
3
168
4
"
'
5
9
reemplazando en la ecuación
xxxxxxexeCxeCxeCxeCeC
44
3
4
3
4
3
4
3
4
3 124168
equivalente a
xxeeC
44
37
así
7
13 C
por tanto
x
p xey4
7
1
Paso No. 3
ph yyy
xxxxeeCeCy
43
2
4
17
1
Ejemplo
Resolvamos xsenxyyy '"
Paso No. 1
Debemos resolver la ecuación homogénea
0 yyy'"
la ecuación auxiliar es
012 mm
de donde las raíces son complejas y corresponden a
2
31 im
empleando la identidad de Euler, podemos escribir la solución
homogénea asociada como
5
10
xsenCxCey
x
n2
3
2
321
2 cos
Paso No. 2
Como xsenxxg )( podemos probar con
xDxCxsenxxBAsenxyp coscos
la primera y segunda derivadas de py son
xDxCxsenxxBCsenxDAy
DxsenxxCxsenxBCxDAy
p
p
coscos
coscos
"
'
22
si reemplazamos en la ecuación
xsenxyyy '"
tenemos:
xsenxxCxDxsenxxCDAsenxDCB coscos22
igualando coeficientes tenemos:
0
1
02
02
C
D
CDA
DCB
resolviendo tenemos:
10 2;B1;A DC ;
así remplazando en py obtenemos:
xxxsenxyp coscos 2
Paso No. 3
ph yyy
5
11
Joseph Louis Lagrange
(1736 – 1813). Nació en
Turín. Director de la se-
cción de matemáticas de
la Academia de Berlín.
xxxsenxxsenCxxCeyx
coscoscos
2
2
3
2
321
2
13.1
En los siguientes problemas usa el método de coeficientes indetermi-
nados para resolver las ecuaciones diferenciales.
1. 226 xyyy '"
2. xyy 4 '"
3. x
eyyy 65 '" 4.
xeyyy 296 '"
5. x
eyyy334 '"
6. x
eyyy2322 '"
7. senxyyy 22 '" 8. xyy 224 cos
"
Método de variación de parámetros
Para encontrar la solución py de una ecuación diferencial, puede ha-
cerse uso de un método conocido como variación de parámetros el
cual es atribuido a Joseph Louis Lagrange; este método lo podemos
describir de manera directa y resumir así:
Si )(xu1 y )(xu2 son soluciones independientes de la ecuación ho-
mogénea asociada, existe una solución particular de la ecuación no ho-
mogénea dada por
)()()()( xuxvxuxvyp 2211
en donde se satisface
02211 )()()()(''
xuxvxuxv
y
)()()()()(''''
xgxuxvxuxv 2211
los ejemplos que siguen, muestran la forma de encontrar las funciones
)(xv1 y )(xv2 .
5
12
Ejemplo
Resolvamos xxyy cot.csc"
La ecuación homogénea asociada es
012 m
de donde las raíces son complejas, la solución es:
senxCxCyn 21 cos
si llamamos xxu cos)( 1 y senxxu )(2 entonces podemos decir
que:
senxxvxxvyp )(cos)( 21
con las condiciones
021 senxxvxxv )(cos)(''
y
xxxxvsenxxv cotcsccos)()('' 21
si despejamos )('
xv1 y )(
'xv2
de este sistema de ecuaciones
obtenemos:
xxv cot)(' 1
y
xxv2
2 cot)('
por tanto
senx
xdxdxxvxv
ln
cot)()('
11
xx
xdxdxxvxv
cot
cot)()('
2
22
así
5
13
xsenxxsenxxy
senxxxxsenxy
p
p
coslncos
cotcosln
así la solución general es:
ph yyy
xsenxxsenxxsenxCxCy coslncoscos 21
Agrupando términos podemos escribir esta solución como:
xsenxsenxxsenxCxCy lncoscos 23
Siempre que podamos aplicar el método de los coeficientes in-
determinados, debemos hacerlo ya que es más eficaz y rápido
que el método de variación de parámetros.
13.2
En los siguientes problemas resuelve las ecuaciones diferenciales
mediante variación de parámetros
1. 2523 xyyy'"
2. x
eyy24 "
3. xyy cot"
En este fascículo hemos aprendido a resolver ecuaciones diferenciales
no homogéneas con coeficientes constantes haciendo uso de dos mé-
todos, el método de coeficientes indeterminados y el de variación de pa-
rámetros; con ellos hemos hecho evidente que la solución general de
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14
una ecuación no homogénea corresponde a la suma de la solución de
la homogénea asociada y la solución particular, es decir, ph yyy .
Rainville, Earl D. y Otros. Ecuaciones Diferenciales. México: Ed. Prentice
Hall, octava edición, 1997, cap. 4.
Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.
México: Ed. Inter. – Thomson Editores, sexta edición, 2000, cap. 4.
En el próximo fascículo veremos los operadores diferenciales y el opera-
dor anulador de una función; además, buscaremos la solución de siste-
mas de ecuaciones diferenciales por el método de los operadores, un
equivalente al método de eliminación, empleado para resolver sistemas
de ecuaciones no diferenciales.
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Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 13
Nombre_____________________________________________________________________
Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________
Ciudad __________________________________________ Semestre _________________
1. Resuelve, por el método de los coeficientes indeterminados, las ecuaciones siguien-
tes:
a. xsenyy 39 "
b. x
esenxyy29 "
2. Resuelve por el método de variación de parámetros
123
x
x
e
eyyy
'"