Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y

Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a

las Ciencias Sociales II

Ejercicio 1 (2008-1-A-1) (a) (1 punto) Dada la matriz A =

a 1

a 0

!, calcule el valor

de a para que A2 sea la matriz nula.

(b) (2 puntos) Dada la matriz M =

1 2

1 1

!calcule la matriz

�M�1 �M t

�2.Solución : Apartado (a). Calculamos la matriz A2:

A2 = A �A = a 1

a 0

!� a 1

a 0

!=

a2 + a a

a2 a

!:

Para que esta matriz sea la matriz nula, todos sus elementos deben ser cero, es decir, debemos

buscar los números que cumplen: 8>>><>>>:a2 + a = 0;

a2 = 0;

a = 0:

Evidentemente, la única solución de este sistema es:

MATRICES Y DETERMINANTES

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

ANTONIO ANGULO PARRA ANTONIO ANGULO PARRA

ANTONIO ANGULO PARRA

a = 0:

Apartado (b). El determinante de la matriz M es:

detM =

����� 1 2

1 1

����� = 1� 2 = �1:Como este determinante es distinto de cero, sabemos que M posee inversa, y ésta es:

M�1 =1

detM� adjM t =

1

�1

1 �2�1 1

!=

�1 2

1 �1

!:

La matriz traspuesta de M es:

M t =

1 2

1 1

!t=

1 1

2 1

!:

El producto de la matriz inversa de M por su traspuesta es:

M�1 �M t =

�1 2

1 �1

!� 1 1

2 1

!=

3 1

�1 0

!:

Y el cuadrado de ésta última es:

�M�1 �M t

�2=

3 1

�1 0

!�

3 1

�1 0

!=

8 3

�3 �1

!:

Por tanto, �M�1 �M t

�2=

8 3

�3 �1

!:

Ejercicio 2 (2008-2-A-1) a) (1�5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dadopor:

1 + 3x 2

x �1

!� 3

y

!=

5

4

!:

b) (1�5 puntos) Calcule la matriz inversa de

0B@ 1 0 1

0 1 0

1 2 0

1CA.

Solución : Apartado (a). Multiplicando las matrices obtenemos: 1 + 3x 2

x �1

!� 3

y

!=

3 (1 + 3x) + 2y

3x� y

!=

9x+ 2y + 3

3x� y

!:

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

ANTONIO ANGULO PARRA

MATRICES Y DETERMINANTES

Para que dos matrices sean iguales, además de ser del mismo orden, deben poseer los mismos

elementos colocados en las mismas posiciones. Por tanto, 1 + 3x 2

x �1

!� 3

y

!=

5

4

!,

9x+ 2y + 3

3x� y

!=

5

4

!,

,(9x+ 2y + 3 = 5;

3x� y = 4,

(9x+ 2y = 2;

3x� y = 4,

(9x+ 2y = 2;

6x� 2y = 8,

,(9x+ 2y = 2;

15x = 10:

De aquí, x = 10=15 = 2=3, y sustituyendo en la primera ecuación:

y =2� 9x2

=2� 9 � 23

2=2� 62

=�42= �2:

Por tanto, la única solución del sistema es:

x =2

3; y = �2:

Apartado (b). Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz. Porejemplo, vamos a aplicar el método de Gauss-Jordan por �las.

(AjI3) =

0B@ 1 0 1

0 1 0

1 2 0

�������1 0 0

0 1 0

0 0 1

1CA ��F 03 = F3 � F1

�

�

0B@ 1 0 1

0 1 0

0 2 �1

�������1 0 0

0 1 0

�1 0 1

1CA ��F 003 = F

03 � 2F 02

�

�

0B@ 1 0 1

0 1 0

0 0 �1

�������1 0 0

0 1 0

�1 �2 1

1CA ��F 0003 = �F 003

�

�

0B@ 1 0 1

0 1 0

0 0 1

�������1 0 0

0 1 0

1 2 �1

1CA ��F iv1 = F 0001 � F 0003

�

�

0B@ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

�������0 �2 1

0 1 0

1 2 �1

1CA :

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

ANTONIO ANGULO PARRA

MATRICES Y DETERMINANTES

Por consiguiente, la matriz inversa de la matriz dada es:0B@ 1 0 1

0 1 0

1 2 0

1CA�1

=

0B@ 0 �2 1

0 1 0

1 2 �1

1CA :

Ejercicio 3 (2008-3-A-1) Sean las matrices A =

0 2

3 0

!y B =

a b

6 1

!.

a) (1�5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A �B = B �A.

b) (1�5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X �B �A = I2.

Solución : Apartado (a). Calculemos los productos A �B y B �A:

A �B = 0 2

3 0

!� a b

6 1

!=

12 2

3a 3b

!;

B �A = a b

6 1

!� 0 2

3 0

!=

3b 2a

3 12

!:

Para que estas dos matrices sean iguales, deben coincidir elemento a elemento, y ello ocurrirá

únicamente si 3a = 3 y 3b = 12, de donde concluimos que A y B conmutan si, y sólo si, a = 1 y

b = 4.

Apartado (b). Por otro lado, si a = 1 y b = 0, la matriz B es

B =

1 0

6 1

!:

De esta forma, el determinante de la matriz B es distinto de cero (de hecho, detB = 1), lo que

signi�ca que es una matriz regular, y precisamente su matriz inversa es:

B�1 =1

detB� eBT = 1

1�

1 0

�6 1

!=

1 0

�6 1

!:

Así, la ecuación matricial se resuelve despejando la matrix X:

X �B �A = I2 , X �B = A+ I2 , X = (A+ I2) �B�1 ,

, X =

" 0 2

3 0

!+

1 0

0 1

! #�B�1 =

1 2

3 1

!�

1 0

�6 1

!=

=

�11 2

�3 1

!:

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

La matriz

X =

�11 2

�3 1

!es la única solución de la ecuación matricial dada.

Ejercicio 4 (2008-4-B-1) (a) (1 punto) Dadas las matrices F =�2 �1 3

�y C =0B@ 1

5

�2

1CA, calcule los productos C � F y F � C.

(b) (2 puntos) Dadas las matrices A =

2 0

1 �1

!, B =

1 �32 �1

!y C =

1 �1�1 0

!,

calcule la matriz X que veri�que la ecuación X �A�1 �B = C.

Solución : Apartado (a). Los productos que se piden son:

C � F =

0B@ 1

5

�2

1CA � � 2 �1 3�=

0B@ 2 �1 3

10 �5 15

�4 2 �6

1CA ;

F � C =�2 �1 3

��

0B@ 1

5

�2

1CA =��9

�:

C � F =

0B@ 2 �1 3

10 �5 15

�4 2 �6

1CA y F � C =��9

�

Apartado (b). Despejamos la matriz X observando que la matriz A tiene inversa ya que

su determinante es distinto de cero (es importante el lado por el que multiplicamos por A para

que se obtenga la matriz identidad):

X �A�1 �B = C , X �A�1 = B + C , X �A�1 �A = (B + C) �A ,

, X � I2 = (B + C) �A , X = (B + C) �A:

Como:

B + C =

1 �32 �1

!+

1 �1�1 0

!=

2 �41 �1

!;

obtenemos:

X = (B + C) �A = 2 �41 �1

!� 2 0

1 �1

!=

0 4

1 1

!:

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

Por consiguiente, la matriz buscada es:

X =

0 4

1 1

!:

Ejercicio 5 (2008-5-B-1) (a) (2 puntos) Halle la matriz X que veri�ca la ecuación

X � 2 5

1 3

!=

1

2

!��3 4

�:

(b) (1 punto) Determine los valores de x e y que cumplen la igualdad: 1 0

3 �1

!� x

y

!=

2 1

�x y

!� 1

1

!:

Solución : Apartado (a). El segundo miembro de la ecuación es: 1

2

!��3 4

�=

3 4

6 8

!:

Como:

det

2 5

1 3

!= 6� 5 = 1 6= 0;

esta matriz posee inversa, y es: 2 5

1 3

!�1=1

1

3 �5�1 2

!=

3 �5�1 2

!:

Por tanto, sólo hay que despejar X:

X =

" 1

2

!��3 4

� #� 2 5

1 3

!�1=

3 �5�1 2

!�

3 �5�1 2

!=

14 �25�5 9

!:

X =

14 �25�5 9

!:

Apartado (b). Calculamos los productos: 1 0

3 �1

!� x

y

!=

x

3x� y

!;

2 1

�x y

!� 1

1

!=

3

y � x

!:

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Si los igualamos, tenemos el sistema:(x = 3;

3x� y = y � x,

(x = 3;

4x = 2y,

(x = 3;

y = 2x,

(x = 3;

y = 6:

Por consiguiente, los números buscados son:

x = 3; y = 6:

Ejercicio 6 (2008-6-B-1) Sean A y B las matrices siguientes:

A =

1 2

0 1

!; B =

0 �12 4

!:

(a) (1 punto) Calcule (A+B) � (A�B).

(b) (2 puntos) Determine la matriz X, cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial

(A+ 2B) �X = 3I2:

Solución : Apartado (a). Es inmediato que:

(A+B) � (A�B) ="

1 2

0 1

!+

0 �12 4

! #�"

1 2

0 1

!� 0 �12 4

! #=

=

1 1

2 5

!�

1 3

�2 �3

!=

�1 0

�8 �9

!:

Apartado (b). Calculamos la matriz:

A+ 2B =

1 2

0 1

!+ 2 �

0 �12 4

!=

1 2

0 1

!+

0 �24 8

!=

1 0

4 9

!:

El determinante de esta matriz es 9 (distinto de cero), por lo que posee inversa, y ésta es:

(A+ 2B)�1 =

1 0

4 9

!�1=1

9

9 0

�4 1

!:

Podemos entonces despejar X como:

(A+ 2B)�X = 3I2 , X = (A+ 2B)�1�(3I2) , X = 3 (A+ 2B)�1�I2 = 3 (A+ 2B)�1 :

Por tanto:

X = 3 (A+ 2B)�1 = 3 � 19

9 0

�4 1

!=1

3

9 0

�4 1

!=

3 0

�43

13

!:

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

Así, la matriz buscada es:

X =

3 0

�43

13

!:

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

R E S O L U C I Ó N a)

2

1 1 1 0 1 22 1 0 1 1 1

00 2 2 1

1 ; 4 ; 1 ; 62 2 1 2 2

2 2

t a bA X A I

c d

a ca c b d a c

a b c da c b d b d

b d

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = ⎫⎪− − − − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ = = = =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− = ⎭

Luego, la matriz es 1 41 6

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 filas, es decir, de orden (2,m). c) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 columnas, es decir, de orden (m,2).

Sea la matriz 1 12 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠.

a) Resuelva la ecuación matricial 2tA X A I⋅ + = .

b) ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz B para que pueda efectuarse el producto A B⋅ ?. c) ¿Y para el producto 3 B A⋅ ⋅ ?. SOCIALES II. 2012 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCION B

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

= −

Sean las matrices ; y C . 1 62 4

A− −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 21 0 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

0 13 1a

b⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠a) Halle los valores de a y b para que se verifique tB C A⋅ = . b) Resuelva la ecuación matricial 2

2A X A I⋅ − = . SOCIALES II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCION A

R E S O L U C I Ó N

a)

31 1 2 1 6

0 11 0 1 2 4

1

2 12 3 1 2 1 6 4 2 6

3 ; 11 3 2 4 1 2

3 4

t

aB C A

b

aa b b

a ba b a

b

⎛ ⎞− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠− + = − ⎫

⎪− + − − + − − − + = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− = ⎭

b)

22

1 6 1 6 1 6 1 02 4 2 4 2 4 0 1

6 106 6 11 18 1 0 2 4 6 1 21 7; ; ;

2 4 2 4 6 4 0 1 6 18 2 4 42 4 5

a bA X A I

c d

a ca c b d a c

a b c da c b d b d

b d

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− − = − ⎫

⎪− − − − − − + =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = + ⇒ ⇒ = − = − =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − − = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪+ = ⎭

318

=

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

Los alumnos de 2º Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno. a) Presente en una matriz M, de dimensión 3x2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño. b) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, A ( 20 grandes y 30 pequeños) y B (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto. c) Calcule los productos M·A y M·B e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 Kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños?. SOCIALES II. 2012 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCION B

R E S O L U C I Ó N

a) La matriz que nos piden es:

2 15 3

100 80

g pH

M AHa

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Las matrices que nos piden son: y 2030

gA

p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

3020

gB

p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Calculamos los productos de matrices:

2 1 7020

5 3 19030

100 80 4400M A

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

2 1 8030

5 3 21020

100 80 4600M B

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

Tenemos 8 docenas de huevos huevos; 200 terrones de azúcar y 5.000 g de harina. 8 12 96= ⋅ = Vemos que podemos elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. No se pueden elaborar 30 grandes y 20 pequeños, ya que nos faltarían terrones de azúcar.

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial 2A X A B C⋅ = − ⋅ , siendo A, B y C las matrices:

1 10 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; y . 1 0 11 1 4

B⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 01 12 0

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

SOCIALES II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCION A

R E S O L U C I Ó N

2

1 01 1 1 1 1 1 1 0 1

1 10 2 0 2 0 2 1 1 4

2 0

3 03 3 0 1 4 8 1 16 ; ; 2 ;

4 4 8 1 3 1 4 44 1

a bA X A B C

c d

a ca c b d c

a b c dc d b d

d

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠+ = ⎫

⎪+ + = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ = = = −⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪= ⎭

=

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero. a) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese mes. b) Calcule la matriz de compras del trimestre. c) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total. SOCIALES II. 2012 SEPTIEMBRE EJERCICIO 1. OPCION B

R E S O L U C I Ó N

a) Las matrices de compras son:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

9 5 18 10 0 03 7 6 14 6 144 6 5 7 5 7

A B A BC C C

E C F C M CC C C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

A B

⎞⎟⎟⎟⎠

b) La matriz de compras del trimestre es:

1

2

3

27 1515 3514 20

A BC

T E F M CC

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) La matriz de los precios es: 80

100A

PB

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ Lo que factura la fábrica es:

27 15 366080

15 35 4700100

14 20 3120T P

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

Luego, lo que factura la fábrica al primer cliente es 3660 €, al segundo 4700 € y al tercero 3120 €. En total, factura: 366 0 4700 3120 11480 €+ + =

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com

@fiquimat1

636 865 957

MATRICES Y DETERMINANTES

ANTONIO ANGULO PARRA