Fisica Ejercicios Resueltos Soluciones La Interaccion Gravitatoria-Gravedad Selectividad

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La interacción gravitatoria

1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qué parte de su órbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoño-invierno dura seis días menos que el de primavera-verano.

DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierragiraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante.Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelioqueenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestáenposiciónopuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,épocadelasestacionesotoño-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodootoño-inviernoduraseisdíasmenosqueeldeprimavera-verano.

2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el número de años terrestres que dura un año marciano.

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:

Tr

2

3= cte.

Portanto,TrT

T

cte.2

3=

TrM

M

cte.2

3=

Además,sabemosquer rM T= 1 468, ⋅ .Igualando:

T

r

T

r

T

r

T

r

T

M

M

T

T

M

T

T

T

M

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1 468

1 4

= =→ →

→

( , )

,

⋅

6681 468 1 468 1 78

32 2 3 2 3= = = =T T T T T TT M T M T→ →, , ,⋅ ⋅ ⋅ TT

Porlotantohay1,78añosterrestresencadaañomarciano.

3. El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuántas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Júpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol.


Portanto,

Además,sabemosque .Igualando:

Porlotanto,ladistanciadeJúpiteralSoles5,24vecesmayorqueladistanciadelaTierraalSol.

4. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,75 ⋅ 107 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 ⋅ 109 km. Determina en cuál de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cuánto mayor es en uno de ellos que en el otro.(C. Madrid. Junio, 1999)

Elmomentoangularseconserva:

Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayorquelavelocidadenelafelio.

5. Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 ⋅ 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 ⋅ 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones.

Dato: 1 UA = 1,496 ⋅ 1011 m.

Denuevoseconservaelmomentoangular:

Además,sabemosque:

23,5°23,5°

SolAfelio(veranoen

elhemisferionorte)

Perihelio(inviernoenelhemisferio

norte)

(El dibujo no está a escala.)

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Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qué parte de su órbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoño-invierno dura seis días menos que el de primavera-verano.

DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierragiraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante.Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelioqueenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestáenposiciónopuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,épocadelasestacionesotoño-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodootoño-inviernoduraseisdíasmenosqueeldeprimavera-verano.

La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el número de años terrestres que dura un año marciano.(C. Valenciana. Septiembre, 2003)


Portanto,

Además,sabemosque .Igualando:

T

r

T

r

T

r

T

r

T

M

M

T

T

M

T

T

T

M

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1 468

1 4

= =→ →

→

( , )

,

⋅

6681 468 1 468 1 78

32 2 3 2 3= = = =T T T T T TT M T M T→ →, , ,⋅ ⋅ ⋅ TT

Porlotantohay1,78añosterrestresencadaañomarciano.

El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuántas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Júpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol.

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:T

r

2

3= cte.

Portanto,T

rT

T

cte.2

3=

TrJ

J

cte.2

3=

Además,sabemosqueT TJ T= 12 ⋅ .Igualando:

T

rTr

Tr

T

r

r r

J

J

T

T

T

J

T

T

J

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

12

12 1

= =

=

→ →

→

( )⋅

TTJ T J T T33 2 3 2312 12 5 24→ →r r r r r= = =⋅ ⋅ ⋅,

Porlotanto,ladistanciadeJúpiteralSoles5,24vecesmayorqueladistanciadelaTierraalSol.

4. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,75 ⋅ 107 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 ⋅ 109 km. Determina en cuál de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cuánto mayor es en uno de ellos que en el otro.

Elmomentoangularseconserva:

L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio

afelio perkm

⋅

⋅ ⋅

r

v v

→

→ 5 26 109, = iihelio

perihelio afelio

km⋅ ⋅8 75 10

5 26

7,

,

→

→ v v= ⋅⋅⋅⋅10

8 75 1060 11

9

7,,= ⋅ vafelio

Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayorquelavelocidadenelafelio.

5. Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 ⋅ 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 ⋅ 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones.

Dato: 1 UA = 1,496 ⋅ 1011 m.

Denuevoseconservaelmomentoangular:

L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio

afelio pem/s

⋅

⋅ ⋅

r

r r

→

→ 3 48 104, = rrihelio m/s⋅ ⋅3 53 104,

Además,sabemosque:

r r

rafelio perihelio

af

UA m+ = =1 446 216 32 109, , ⋅ →→ eelio periheliom= −216 32 109, ⋅ r

Perihelio(inviernoenelhemisferio

norte)

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2


Sustituyendo:

( , ) ,216 32 10 3 48 109 4⋅ ⋅ ⋅m m/sperihelio perih− =r r eelio

perihelio

m/s

m

⋅ ⋅

⋅ ⋅

3 53 10

216 32 10 3

4

9

,

,

→

→ r =,,

, ,,

48 10

3 48 10 3 53 10107 38 1

4

4 4

⋅⋅ ⋅

⋅m/s

m/s m/s+= 009 m

Entonces:

rperihelio m m= − =216 32 10 107 38 10 108 94 19 9, , ,⋅ ⋅ ⋅ 009 m

6. Si la órbita de un planeta es elíptica, ¿en qué punto de su trayectoria tendrá velocidad lineal máxima? ¿Y si la órbita fuera circular?

UnaconclusióndelasegundaleydeKepleresqueelmomentoangulardelosplanetasesconstante:

L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio⋅ r

Silaórbitaeselíptica,suvelocidadlinealserámáximaenelperihelio,yaqueahíladistanciaalcentrodegiro(rperihelio)esmenor.

Silaórbitafueracircular,suvelocidadlinealserálamismaentodalaórbita.

7. Un cuerpo de masa m1 está separado una distancia d de otro cuerpo de masa m2 y entre ellos existe una fuerza de atracción WF. Calcula el valor de la fuerza si:

a) m1 duplica su masa.b) m1 reduce su masa a la mitad.c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce

a la mitad.d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica.

a) Sim m'1 12= ⋅ :

F Gm m

dF G

m m

d

F Gm m

d

''

'

'

= =

=

⋅⋅

⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

1 22

1 22

1 2

2

2

→ →

→22

2→ F F' = ⋅

Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica.

b) Sim m'1 11

2= ⋅ :

F Gm m

dF G

m m

d

F Gm m

''

'

'

= =

=

⋅⋅

⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

1 22

1 2

2

1

12

12

→ →

→ 222

12d

F F→ ' = ⋅

Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellostambiénsereducealamitad.

c) Si :

Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerzasecuadruplica.

d) Si :

Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereducealacuartaparte.

8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compró en el supermercado de su calle y que pesaba 250 g. ¿Cuánto pesará en la Luna si la mide con una balanza de resorte? ¿Y si la mide con una balanza de platos?

Conunabalanzadeplatospesaráexactamentelomismo,yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetienesumismamasa.

Conunabalanzaderesortelamedidaseveríaafectadaporlagravedad.

9. ¿Dónde tendrá más masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? ¿Dónde pesará más?

TendrálamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesarámásenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar.

10. La masa del planeta Júpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su diámetro es 11 veces mayor. ¿Cuál es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? (En realidad, Júpiter es gaseoso y no tiene una superficie sólida como la Tierra o Marte.)

833523 _ 0005-0032.indd 10 14/5/09 08:11:19

3


Sustituyendo:

( , ) ,216 32 10 3 48 109 4⋅ ⋅ ⋅m m/sperihelio perih− =r r eelio

perihelio

m/s

m

⋅ ⋅

⋅ ⋅

3 53 10

216 32 10 3

4

9

,

,

→

→ r =,,

, ,,

48 10

3 48 10 3 53 10107 38 1

4

4 4

⋅⋅ ⋅

⋅m/s

m/s m/s+= 009 m

Entonces:

Si la órbita de un planeta es elíptica, ¿en qué punto de su trayectoria tendrá velocidad lineal máxima? ¿Y si la órbita fuera circular?

UnaconclusióndelasegundaleydeKepleresqueelmomentoangulardelosplanetasesconstante:

Silaórbitaeselíptica,suvelocidadlinealserámáximaenelperihelio,yaqueahíladistanciaalcentrodegiro(rperihelio)esmenor.

Silaórbitafueracircular,suvelocidadlinealserálamismaentodalaórbita.

Un cuerpo de masa m1 está separado una distancia d de otro cuerpo de masa m2 y entre ellos existe una fuerza de atracción WF. Calcula el valor de la fuerza si:

a) m1 duplica su masa.b) m1 reduce su masa a la mitad.c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce

a la mitad.d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica.

a) Si :

Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica.

b) Si :

Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellostambiénsereducealamitad.

c) Sid d' =1

2⋅ :

F Gm m

d

F Gm m

d' '=

=⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

1 2

2

1 2

212

14

→ →

→→ →F Gm m

dF F' '= =4 41 2

2⋅ ⋅

⋅⋅

Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerzasecuadruplica.

d) Sid d' = 2 ⋅ :

F Gm m

dF G

m md

F Gm

' '

'

= =

=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅ ⋅

1 22

1 2

2

1

2 41

4

( )→ →

→ ⋅⋅⋅

md

F F22

1

4→ ' =

Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereducealacuartaparte.

8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compró en el supermercado de su calle y que pesaba 250 g. ¿Cuánto pesará en la Luna si la mide con una balanza de resorte? ¿Y si la mide con una balanza de platos?

Conunabalanzadeplatospesaráexactamentelomismo,yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetienesumismamasa.

Conunabalanzaderesortelamedidaseveríaafectadaporlagravedad.

P m gP m g PTierra Tierra

Luna LunaLuna

==

⋅⋅ → == P

ggTierra

Luna

Tierra⋅

9. ¿Dónde tendrá más masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? ¿Dónde pesará más?

TendrálamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesarámásenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar.

10. La masa del planeta Júpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su diámetro es 11 veces mayor. ¿Cuál es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? (En realidad, Júpiter es gaseoso y no tiene una superficie sólida como la Tierra o Marte.)

P F GM m

R= G = ⋅

⋅2

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4


EnlaTierraPT=750N.EnJúpiter:

P GM m

RG

M mR

GM

JJ

J

T

T

T= = ⋅⋅ ⋅⋅

= ⋅ ⋅⋅⋅2 2 2

318

11

318

11( )

⋅⋅=

= ⋅ = ⋅ =

mR

P P

( )T

T J750 N 1971 N

2

2 2

318

11

318

11→

11. En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg.

a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del triángulo.

b) ¿Y si el cuerpo que está en el baricentro fuese de 100 kg?(Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianas de un triángulo.)

Elbaricentrodeltriánguloeselpuntoenquesecortansusmedianas;

seencuentraaunadistanciadecadavérticeiguala2h3

.

Paraeltriángulodelproblema:

hh

= − = = =6 33

5 20

32 2 5,20 m

m1,73 m→ ,

2

3

2 5 20

3

⋅=

⋅=

h , m3,47 m

Dibujamoslafuerzaquecadamasaejercesobreelcuerpoqueestáenelbaricentro.Porelprincipiodesuperposición,lafuerzaresultantedelsistemapuedeobtenersecomoWFT=WFA+WFB+WFC.

Elmódulodecadaunadelastresfuerzasesidéntico:

F Gm m

di

i2

2

N m

kg

kg kg= ⋅

⋅= ⋅

⋅⋅

⋅−2

112

6 67 105 10

3 47,

, mmN

2= ⋅ −2 77 10 10,

(i=A,B,C.)

Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzasenfuncióndesuscomponentescartesianas.DescomponemosWFAyWFBensuscomponenteshorizontalyvertical:

• WFA=−F⋅cosα⋅Wi−F⋅senα⋅Wj

• WFB=+F⋅cosβ⋅Wi−F⋅senβ⋅Wj

•WFC=F⋅Wj

WFT=WFA+WFB+WFC→→ WFT=(−F⋅cosα⋅Wi−F⋅senα⋅Wj)+ (F⋅cosβ⋅Wi−F⋅senβ⋅Wj )+ F⋅Wj

Teniendoencuentaquelosángulosαyβsoniguales:WFT=−2⋅F⋅senα⋅Wj+F⋅Wj=−2⋅F⋅0,5⋅Wj+F⋅Wj=0

Conclusión:WFT=0Nparacualquiermasaquesecoloqueenelbaricentrodeuntriángulo.

12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente:

a) Explica por qué un mismo astro aparece unas veces más brillante que otras.

b) Explica el movimiento retrógrado de Marte.

a) UnastroapareceavecesmásbrillanteporquesudistanciaalaTierravaríaenfuncióndelpuntodelepicicloenelqueseencuentrenensudeferente.

6m 6m

C

B

6m

2h3

h3

5kg

5kg 5kg

10kg

WFC

WFB

WFA

Aα β

833523 _ 0005-0032.indd 12 14/5/09 08:11:21

5


EnlaTierraPT=750N.EnJúpiter:

En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg.

a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del triángulo.

b) ¿Y si el cuerpo que está en el baricentro fuese de 100 kg?(Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianas de un triángulo.)

Elbaricentrodeltriánguloeselpuntoenquesecortansusmedianas;

seencuentraaunadistanciadecadavérticeiguala .

Paraeltriángulodelproblema:

Dibujamoslafuerzaquecadamasaejercesobreelcuerpoqueestáenelbaricentro.Porelprincipiodesuperposición,lafuerzaresultantedelsistemapuedeobtenersecomoWFT=WFA+WFB+WFC.

Elmódulodecadaunadelastresfuerzasesidéntico:

F Gm m

di

i2

2

N m

kg

kg kg= ⋅

⋅= ⋅

⋅⋅

⋅−2

112

6 67 105 10

3 47,

, mmN

2= ⋅ −2 77 10 10,

(i=A,B,C.)

Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzasenfuncióndesuscomponentescartesianas.DescomponemosWFAyWFBensuscomponenteshorizontalyvertical:

sen senα β= = =1 73

3 470 5

,

,,

cos,

, cosα β= = =3

3 470 86

•WFA=−F⋅cosα⋅Wi−F⋅senα⋅Wj

• WFB=+F⋅cosβ⋅Wi−F⋅senβ⋅Wj

•WFC=F⋅Wj

WFT=WFA+WFB+WFC→→ WFT=(−F⋅cosα⋅Wi−F⋅senα⋅Wj)+ (F⋅cosβ⋅Wi−F⋅senβ⋅Wj )+ F⋅Wj

Teniendoencuentaquelosángulosαyβsoniguales:WFT=−2⋅F⋅senα⋅Wj+F⋅Wj=−2⋅F⋅0,5⋅Wj+F⋅Wj=0

Conclusión:WFT=0Nparacualquiermasaquesecoloqueenelbaricentrodeuntriángulo.

12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente:

a) Explica por qué un mismo astro aparece unas veces más brillante que otras.

b) Explica el movimiento retrógrado de Marte.

a) UnastroapareceavecesmásbrillanteporquesudistanciaalaTierravaríaenfuncióndelpuntodelepicicloenelqueseencuentrenensudeferente.

A B

C

α α

WFC

WFBxWFAx

WFByWFAy

WFBWFA

B

5kg

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6


b) LosplanetasgiranalrededordelaTierrasiguiendounatrayectoriadepequeñascircunferencias(epiciclos)cuyocentrodescribeunacircunferencia(deferente)concentroenlaTierra.Durantelamitaddelepiciclo,elmovimientodelplanetaparecequeavanzaconrespectoalaTierra;yenlaotramitad,retrocedeconrespectoalaTierra.

13. Utilizando un modelo heliocéntrico, justifica el movimiento retrógrado de Marte.

ElmovimientoretrógradodeMarteeslatrayectoria«irregular»quesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobservadesdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunquelaTierralohaceconmayorrapidez.

LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyecciónenlabóvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemosobservareneldibujo,laproyeccióndelasdistintaslíneasvisualesprovocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanzayretrocede(movimientoretrógrado).

14. Si el Sol está en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor, da una explicación de por qué no se observa paralaje estelar; es decir, por qué no se ve que cambie la posición de una estrella en el firmamento al cambiar la posición de la Tierra.

Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadasdelaTierra.

15. En el lenguaje común decimos que el Sol sale por el este y se pone por el oeste. ¿Qué tipo de modelo de universo estamos empleando cuando hacemos esta afirmación?

Geocéntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencialaTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelaciónaella.

16. Una partícula se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado alejándose continuamente de un punto que tomamos como origen del movimiento y en dirección radial. Su momento angular:

a) Es constante.

b) Es cero.

c) Aumenta indefinidamente.

Porladefinicióndemomentoangular:

⏐WL⏐=⏐Wr×Wp⏐=⏐Wr⏐⋅⏐m⋅Wv ⏐⋅senα

SilosvectoresdeWryWvtienenlamismadirecciónysentido,resultaqueformanunángulode0°,porloquesen0°=0yelresultadoesnulo,L=0.Respuestacorrecta:b).

17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partícula se acerca continuamente al origen.

Laúnicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,enestecaso,losvectoresformanunángulode180°,pero,nuevamente,sen180°=0yelresultadoesnulo,L=0.

18. Una partícula se mueve en un plano con movimiento rectilíneo y uniforme. Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquiera de ese plano, va a ser constante.

Elmomentoangularesconstantesinovaríaconeltiempo.

Elvectorm⋅Wv esparaleloaWv.Elproductovectorial

=Wv×(m⋅Wv )es0,yaqueelsenodelánguloqueformanes0.

Silapartículasemueveconmovimientorectilíneoyuniforme:

Tierra

Deferente

Epiciclo

Tierra

Tierra

Marte

Marte

Sol

SolEstrellas

fijasMovimientoobservadodeMarte

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b) LosplanetasgiranalrededordelaTierrasiguiendounatrayectoriadepequeñascircunferencias(epiciclos)cuyocentrodescribeunacircunferencia(deferente)concentroenlaTierra.Durantelamitaddelepiciclo,elmovimientodelplanetaparecequeavanzaconrespectoalaTierra;yenlaotramitad,retrocedeconrespectoalaTierra.

Utilizando un modelo heliocéntrico, justifica el movimiento retrógrado de Marte.

ElmovimientoretrógradodeMarteeslatrayectoria«irregular»quesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobservadesdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunquelaTierralohaceconmayorrapidez.

LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyecciónenlabóvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemosobservareneldibujo,laproyeccióndelasdistintaslíneasvisualesprovocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanzayretrocede(movimientoretrógrado).

Si el Sol está en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor, da una explicación de por qué no se observa paralaje estelar; es decir, por qué no se ve que cambie la posición de una estrella en el firmamento al cambiar la posición de la Tierra.

Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadasdelaTierra.

15. En el lenguaje común decimos que el Sol sale por el este y se pone por el oeste. ¿Qué tipo de modelo de universo estamos empleando cuando hacemos esta afirmación?

Geocéntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencialaTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelaciónaella.

16. Una partícula se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado alejándose continuamente de un punto que tomamos como origen del movimiento y en dirección radial. Su momento angular:

a) Es constante.

b) Es cero.

c) Aumenta indefinidamente.

Porladefinicióndemomentoangular:

⏐WL⏐=⏐Wr×Wp⏐=⏐Wr⏐⋅⏐m⋅Wv ⏐⋅senα

SilosvectoresdeWryWvtienenlamismadirecciónysentido,resultaqueformanunángulode0°,porloquesen0°=0yelresultadoesnulo,L=0.Respuestacorrecta:b).

17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partícula se acerca continuamente al origen.

Laúnicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,enestecaso,losvectoresformanunángulode180°,pero,nuevamente,sen180°=0yelresultadoesnulo,L=0.

18. Una partícula se mueve en un plano con movimiento rectilíneo y uniforme. Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquiera de ese plano, va a ser constante.

Elmomentoangularesconstantesinovaríaconeltiempo.

d Ldt

d r pdt

d rdt

m v rd m v

dt=

×= × ⋅ + ×

⋅=

( ) ( )( )

( )0

W W W WWW

Elvectorm⋅Wv esparaleloaWv.Elproductovectoriald rdt

m v v m v× ⋅ = × ⋅( ) ( )W

W

=Wv×(m⋅Wv )es0,yaqueelsenodelánguloqueformanes0.

Silapartículasemueveconmovimientorectilíneoyuniforme:

d m vdt

dLdt

L( )⋅

= = =0 0→ → cte.W

Deferente

Epiciclo

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8


19. Si una partícula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas:

a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Permanece constante.

Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular,d Ldt

r F= ×W

W W .

Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccióndelradio.SilapartículadescribeunmovimientocircularbajolaaccióndeestafuerzasecumpliráWr×WF=0,porloqueWLnopresentarávariaciónrespectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac).

20. En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol:

a) Se conserva el momento angular y el momento lineal. b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria. c) Varía el momento lineal y se conserva el momento angular.

Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccióndefuerzascentrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular.

Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante,porloquesumomentolinealnoseconservará.RecuérdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueveconvelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperihelioserámayorqueenelafelio.

21. Las órbitas de los planetas son planas porque:

a) Se mueven con velocidad constante.b) Se mueven bajo la acción de una fuerza central.c) Los planetas son restos materiales de una única estrella.

Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante,yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaformadesuórbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajolaaccióndeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante,ydeellosederivaquelasórbitassonplanas.

RecuérdesequeWLesentodomomentoperpendicularaWryWp ;paraqueladireccióndeWLnocambie,WryWp debendefinirsiempreelmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescribanórbitasplanas.

22. Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantánea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante.

UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetassemuevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera:

WL1=WL2→Wr1×(m⋅Wv1)=Wr2×(m⋅Wv2)

Simplificamosm:Wr1×Wv1=Wr2×Wv2= Wcte.

23. Explicar por qué los cometas que orbitan elípticamente alrededor del Sol tienen más velocidad cuando se encuentran cerca que cuando se encuentran lejos del Sol, considerando el carácter de fuerza central de la fuerza gravitatoria.

(C. F. Navarra. Septiembre, 2006)

Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaleydeKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarreáreasigualesentiemposiguales.

Poresto,cuandoelcometaestámáscercadelSol,tendráquerecorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismaáreaquelarecorridaenelmismotiempocuandoestáalejadodelSol.Paraello,debemoversemásrápido.

24. Dos satélites, A y B, cuyas masas son tales que mA = 50mB se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son vB = 2vA. El radio de la órbita de B será:

a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A.b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A.

Sitienenelmismomomentoangular:

LA=LB→mA⋅vA⋅rA=mB⋅vB⋅rB→→50⋅mB⋅vA⋅rA=mB⋅2⋅vA⋅rB→50⋅rA=2⋅rB

Porlotanto,larespuestacorrectaeslad).

25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio que redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa, ¿cómo sería su periodo de revolución alrededor del Sol?:

a) Igual. b) De 2 años. c) De 4 años.

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Si una partícula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas:

a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Permanece constante.

Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular, .

Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccióndelradio.SilapartículadescribeunmovimientocircularbajolaaccióndeestafuerzasecumpliráWr×WF=0,porloqueWLnopresentarávariaciónrespectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac).

En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol:

a) Se conserva el momento angular y el momento lineal. b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria. c) Varía el momento lineal y se conserva el momento angular.

Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccióndefuerzascentrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular.

Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante,porloquesumomentolinealnoseconservará.RecuérdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueveconvelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperihelioserámayorqueenelafelio.

Las órbitas de los planetas son planas porque:

a) Se mueven con velocidad constante.b) Se mueven bajo la acción de una fuerza central.c) Los planetas son restos materiales de una única estrella.

Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante,yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaformadesuórbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajolaaccióndeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante,ydeellosederivaquelasórbitassonplanas.

RecuérdesequeWLesentodomomentoperpendicularaWryWp ;paraqueladireccióndeWLnocambie,WryWp debendefinirsiempreelmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescribanórbitasplanas.

Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantánea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante.

UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetassemuevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera:

WL1=WL2→Wr1×(m⋅Wv1)=Wr2×(m⋅Wv2)

Simplificamosm:Wr1×Wv1=Wr2×Wv2= Wcte.

23. Explicar por qué los cometas que orbitan elípticamente alrededor del Sol tienen más velocidad cuando se encuentran cerca que cuando se encuentran lejos del Sol, considerando el carácter de fuerza central de la fuerza gravitatoria.

Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaleydeKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarreáreasigualesentiemposiguales.

Poresto,cuandoelcometaestámáscercadelSol,tendráquerecorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismaáreaquelarecorridaenelmismotiempocuandoestáalejadodelSol.Paraello,debemoversemásrápido.

24. Dos satélites, A y B, cuyas masas son tales que mA = 50mB se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son vB = 2vA. El radio de la órbita de B será:

a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A.b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A.

Sitienenelmismomomentoangular:

LA=LB→mA⋅vA⋅rA=mB⋅vB⋅rB→→50⋅mB⋅vA⋅rA=mB⋅2⋅vA⋅rB→50⋅rA=2⋅rB

Porlotanto,larespuestacorrectaeslad).

25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio que redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa, ¿cómo sería su periodo de revolución alrededor del Sol?:

a) Igual. b) De 2 años. c) De 4 años.

Máslento

Másrápido

AfelioSol

Perihelio

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10


DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire

alrededordelSol,

Porlotanto,lavelocidadyelradiodeórbitavaríandeformainversa:vserámayorcuantomenorsear.Además,lavelocidadnodependedelamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab).

28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,49 ⋅ 108 km y que la Tierra tarda 365,256 días en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.(P. Asturias. Junio, 2006)

CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol,FG=FC:

Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:

29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de órbitas circulares.

b) Rhea y Titán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 días terrestres en recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Rhea es 5,27 ⋅ 108 m, calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno.

G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.(Aragón. Septiembre, 2006)

a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendoórbitaselípticas.ElSolestáenunodelosfocosdelaelipse.

2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;esdecir,elvectordeposicióndecadaplanetaconrespectoalSol(elradiovector)barreáreasigualesentiemposiguales.

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira

alrededordelSol,T

r

2

3= cte.LavariacióndelradiodelaTierra

noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaríesutamaño.Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuentalaleydegravitaciónuniversal.

CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol:FG=FC.

mvr

GM m

rT

S T⋅ ⋅⋅2

2=

Sabiendoquev rT

r= =ωπ

⋅ ⋅2

,sustituyendoydespejando:

22

22

22

2 3π

πTr

rG

Mr

Tr

G M

= =⋅

⋅⋅

⋅S

S

→ ( )

Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra,sinodelradiodesuórbita.Larespuestacorrectaeslaa).

26. ¿Qué cambio experimentaría el periodo de revolución de la Tierra alrededor del Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen?


alrededordelSol,T

r

2

3= cte.LavariacióndelradiodelaTierra

noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaríesumasa.Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuentalaleydegravitaciónuniversal.


mvr

GM m

rT

S T⋅ ⋅⋅2

2=

Sabiendoquev rT

r= =ωπ

⋅ ⋅2


22

22

22

2 3π

πTr

rG

Mr

Tr

G M

= =⋅

⋅⋅

⋅S

S

→ ( )

Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumendelaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningúncambio.

27. Un objeto que describe órbitas circulares alrededor del Sol irá más rápido: a) Cuanto mayor sea el radio de la órbita.b) Cuanto menor sea el radio de la órbita.c) Cuanto mayor sea la masa del objeto.

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11


T 2▶

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire

alrededordelSol,T

r

2

3= cte.

ωπ π

π

π= = =

⋅

⋅

= =2 2

2

2

2 2

2

3

2

Tvr

Tr

v

rvr

vr

→ ; →

( )

( )cte.

⋅⋅ cte.

Porlotanto,lavelocidadyelradiodeórbitavaríandeformainversa:vserámayorcuantomenorsear.Además,lavelocidadnodependedelamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab).

28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,49 ⋅ 108 km y que la Tierra tarda 365,256 días en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol,FG=FC:

mvr

GM m

rT

S T⋅ ⋅⋅2

2=

Sabiendoquev rT

r= =ωπ

⋅ ⋅2


m Tr

rG

M m

rM

TT

S TS⋅

⋅⋅

⋅2

2

22

2

ππ

= =→

=

2 3

6

2

31 558 10

⋅

⋅

rG

M

→

→ Ss

π,

22 11

11 2

1 49 10

6 67 101 965 1⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅− −

( ,

,,

m)

N m kg

3

2= 0030 kg

29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de órbitas circulares.

b) Rhea y Titán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 días terrestres en recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Rhea es 5,27 ⋅ 108 m, calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno.

G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.



dAdt

= cte.


alrededordelSol, LavariacióndelradiodelaTierra

noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaríesutamaño.Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuentalaleydegravitaciónuniversal.



Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra,sinodelradiodesuórbita.Larespuestacorrectaeslaa).

¿Qué cambio experimentaría el periodo de revolución de la Tierra alrededor del Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen?


alrededordelSol, LavariacióndelradiodelaTierra

noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaríesumasa.Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuentalaleydegravitaciónuniversal.



Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumendelaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningúncambio.

Un objeto que describe órbitas circulares alrededor del Sol irá más rápido: a) Cuanto mayor sea el radio de la órbita.b) Cuanto menor sea el radio de la órbita.c) Cuanto mayor sea la masa del objeto.

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12


3. Paratodoslosplanetas:Ta

k2

3= (constante).Dondeaes

elsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.

Demostramosestaleyconlaleydegravitaciónuniversal.Paraunplanetaquedescribeunaórbitacircular:

F F mvr

GM m

rG C T

S T= =→ ⋅ ⋅⋅2

2

Sabiendoquev rT

r= =ωπ

⋅ ⋅2

,sustituyendo:

2 22

2

πT

r

rG

Mr

⋅

= ⋅ S →rT

GM3

2 22= ⋅ =S

( )πcte.

b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambossatélites:

T

r

T

r12

13

22

23

2

8 35 27 10=

⋅=→

( )

( , )

(4,52 días

m

15,9 ddías

T

)2

3r→

→rT15,9 días m

4,52 días=

⋅ ⋅=

( ) ( , )

( ),

2 8 3

23

5 27 101 222 109⋅ m

ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformadoporesteplanetayunodesussatélites,porejemplo,Rhea.

CuandounsatéliteestáenórbitaalrededordeSaturnoFG=FC:

mvr

GM m

rR

S R⋅ ⋅⋅2

2=

Sabiendoquev rT

r= =ωπ

⋅ ⋅2


22

22

2

ππT

r

rG

Mr

MT

= =

⋅⋅ S

S→

2 3

⋅rG

TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresadosenunidadesSI:

MT

rG

SR

R

s

=

=

=

2

2

390 528 10

2 3

3

π

π

⋅

⋅,

2 8

11 2

5 27 10

6 67 10⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅− −

( ,

,

m)

N m kg

3

22

S kg

→

→ M = 568 015 1024, ⋅

30. Júpiter es un planeta que está rodeado de una serie de lunas que giran en torno a él de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol. Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Júpiter.

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatélitesquegiran

alrededordeunmismoplanetaverifican:

Portanto,

Igualando:

YparaGanimedes:

31. El periodo de revolución de Marte alrededor del Sol es de 687 días. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilómetros, calcular la distancia de Marte al Sol. (Suponer que las órbitas descritas son circunferencias.)(C. F. Navarra. Junio, 2007)

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran

alrededordelSolverifican:

Igualando:

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13


3. Paratodoslosplanetas: (constante).Dondeaes

elsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.

Demostramosestaleyconlaleydegravitaciónuniversal.Paraunplanetaquedescribeunaórbitacircular:

Sabiendoque ,sustituyendo:

→

b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambossatélites:

→

ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformadoporesteplanetayunodesussatélites,porejemplo,Rhea.

CuandounsatéliteestáenórbitaalrededordeSaturnoFG=FC:


TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresadosenunidadesSI:

30. Júpiter es un planeta que está rodeado de una serie de lunas que giran en torno a él de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol. Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Júpiter.

Nombre Radio orbital, en 106 m Periodo (días)

Ío 421,6 1,769

europa 3,551

ganimedes 1070

calisto 1882 16,689

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatélitesquegiran

alrededordeunmismoplanetaverifican:Tr

2

3= cte.

Portanto,TrI

I

cte.2

3=

TrE

E

cte.2

3=

T

rG

G

cte.2

3=

Igualando:

T

r

T

rr

T

TrE

E

I

IE

E

II

2

3

2

3

2

233

2

2

3 551

1 7694= = =→ ⋅ ⋅

,

,221 6 670 8933 , ,= →

→ rEuropa m= ⋅670 89 106,

YparaGanimedes:

T

r

T

rT

rr

TG

G

I

IG

G

II

2

3

2

3

3

32

3

3

1070

421 61 7= = =→ ⋅ ⋅

,, 669 7 1522 = , →

→ TGaminedes 7,152 días=

31. El periodo de revolución de Marte alrededor del Sol es de 687 días. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilómetros, calcular la distancia de Marte al Sol. (Suponer que las órbitas descritas son circunferencias.)

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran

alrededordelSolverifican:Tr

2

3= cte.

T

rM

M

2

3=

T

rT

T

cte.2

3=

Igualando:

T

rTr

rTT

rM

M

T

TM

M

TT

2

3

2

3

2

233

2

233 687

365150= = =→ ⋅ ⋅ ==

=

228 67

228 67 106

,

,

→

→ rM km⋅

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14


32. Europa, satélite de Júpiter descubierto por Galileo en 1610, describe una órbita completa de 6,71 ⋅ 105 km de radio cada 3 días, 13 horas y 14,6 minutos. Calcula:

a) La velocidad lineal de Europa con relación a Júpiter. b) La masa de Júpiter. Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2/kg2.

Obtenemoselperiodoensegundos:

T = +324 60 60

113

60días

h

1 día

min

1 h

s

minh

min

1 h⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

60

1

14 660

1306 876 103

s

min

mins

mins

+

+ =, ,

a)v rT

r= =

=

ωπ π

⋅ ⋅⋅

2 2

306 876 103, s

⋅ ⋅ =

= ⋅

6 71 10

13 74 10

9

3

,

,

m

m/s

b) CuandoEuropaestáenórbitaalrededordeJúpiter,FG=FC:

m

vr

GM m

r

Mv r

G

EJ E

J

2m/s)

⋅ ⋅⋅

⋅=

⋅ ⋅

2

2

2 313 74 10

=

=

→

→ ( , 66 71 10

6 67 101 899 10

8

11 227,

,,

⋅⋅ ⋅

⋅−

m

N m /kgkg

2=

33. Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo igual a 2,3 ⋅ 106 s y se encuentra a una distancia media de la Tierra de 384 400 km.

Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2/kg2.

CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierraFG=FC:

mvr

GM m

rL

T L⋅ ⋅⋅2

2=

Sabiendoquev rT

r= =ωπ

⋅ ⋅2


22

22

2

ππT

r

rG

Mr

MT

= =

⋅⋅ T

T→

2 3rG

→

→ MT

3

s

m)=

2

2 3 10

388 400 10

66

2 3π,

(

⋅⋅

⋅,,

,67 10

6 35 1011 2

24

⋅ ⋅ ⋅⋅

− −N m kgkg

2=

34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT. Calcula:

a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.b) El periodo de rotación en días.

Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s2; RT = 6,37 ⋅ 106 m.

a) CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierra,FG=FC:

[1]

EnlasuperficiedelaTierra:

[2]

Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelaciónr=60 ⋅ RT:

b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:

35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen más rápido los cuerpos:

a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rápido.

Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminadaporlaaceleraciónquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolodependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistanciaquelosseparadelcentrodeesecuerpo.

Comoseapreciaenlafórmula,enausenciaderozamientotodosloscuerposcaenconlamismaaceleración;portanto,conlamismarapidez.Larespuestacorrectaeslac).

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15


Europa, satélite de Júpiter descubierto por Galileo en 1610, describe una órbita completa de 6,71 ⋅ 105 km de radio cada 3 días, 13 horas y 14,6 minutos. Calcula:

a) La velocidad lineal de Europa con relación a Júpiter. b) La masa de Júpiter. Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2/kg2.

Obtenemoselperiodoensegundos:

T = +324 60 60

113

60días

h

1 día

min

1 h

s

minh

min

1 h⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

60

1

14 660

1306 876 103

s

min

mins

mins

+

+ =, ,

a)

b) CuandoEuropaestáenórbitaalrededordeJúpiter,FG=FC:

m

vr

GM m

r

Mv r

G

EJ E

J

2m/s)

⋅ ⋅⋅

⋅=

⋅ ⋅

2

2

2 313 74 10

=

=

→

→ ( , 66 71 10

6 67 101 899 10

8

11 227,

,,

⋅⋅ ⋅

⋅−

m

N m /kgkg

2=

Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo igual a 2,3 ⋅ 106 s y se encuentra a una distancia media de la Tierra de 384 400 km.

Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2/kg2.

CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierraFG=FC:


→ MT

3

s

m)=

2

2 3 10

388 400 10

66

2 3π,

(

⋅⋅

⋅,,

,67 10

6 35 1011 2

24

⋅ ⋅ ⋅⋅

− −N m kgkg

2=

34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT. Calcula:

a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.b) El periodo de rotación en días.

Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s2; RT = 6,37 ⋅ 106 m.


mvr

GM m

rv G

Mr

LT L T⋅ = ⋅

⋅= ⋅

2

22→ [1]

EnlasuperficiedelaTierra:

g GMR

g R G M= ⋅ ⋅ = ⋅T

TT T22→ [2]

Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelaciónr=60 ⋅ RT:

v GMr

g RR

g R

v

22

60 60

9 86 6 37

= ⋅ =⋅⋅

=⋅

=⋅

T T

T

T

2m/s

→

→ , , ⋅⋅= ⋅

10

601 023 10

63mm/s,

b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:

v rT

R= ⋅ = ⋅ωπ2

60 T →

→ Tv

R= ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

⋅=

260

2 60 6 37 10

1 023 102 3

6

3

π πT

m

m/s

,

,, 55 106⋅ s →

→ T = ⋅ ⋅ ⋅ =2 35 106, s1 h

3600 s

1 días

24 h27,17 días

35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen más rápido los cuerpos:

a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rápido.

F GM m

rg mG

T= ⋅⋅

= ⋅2

Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminadaporlaaceleraciónquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolodependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistanciaquelosseparadelcentrodeesecuerpo.

Comoseapreciaenlafórmula,enausenciaderozamientotodosloscuerposcaenconlamismaaceleración;portanto,conlamismarapidez.Larespuestacorrectaeslac).

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36. Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g.

a) Si hiciésemos la experiencia en la Luna, ¿cuántas pesas tendríamos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?

b) ¿Y si hiciésemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: gT = 9,8 m ⋅ s−2; gL =1,7 m ⋅ s−2.

Conunabalanzadeplatoshabráquecolocarlamismacantidaddepesas.

Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveríaafectadaporlagravedad.

P m gP m g

P

Tierra TierraLuna Luna

Lun

==

⋅⋅ →

→ aa TierraLuna

TierraTierra= =P

gg

P⋅ ⋅17

9 8

,

,

m/s

m/ss= PTierra ⋅ 0 173,

37. Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuál es su peso? ¿Y cuál sería su peso…

a) … si la masa de la Tierra se reduce a la mitad?b) … si el radio de la Tierra se reduce a la mitad? c) … si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: g0 = 9,8 m ⋅ s−2.

P=FG=m ⋅ g.

a) EnlaTierra:

g GMR

g P= = = =⋅ = ⋅ ⋅ −T

T

2 2m/s kg 9,8m s N2 0 9 8 70 686, →

b) SiMM

'TT=

2:

g G

M

Rg

P m g mg P

'

' '

=

= =

⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

T

T

NN

22

2 2

686

2343

2→

→

c) SiRR'T

T=2

:

g GM

RG

M

Rg

P m

'

'

=

⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅

T

T

T

T

2 4

42 2

→

→ gg m g P' = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅4 4 4 686 2744= = =N N

d) Si :

38. ¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrípeta a que está sometido en la superficie de la Tierra?

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; RT = 6370 km; MT = 5,98 ⋅ 1024 kg.

ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.UtilizamosunidadesdelSI:

[1]

ParacalcularlafuerzacentrípetatenemosencuentaqueelcuerpoqueestáenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotaciónidénticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1día.UtilizamosunidadesdelSI:

[2]

Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:

39. Calcula la aceleración de la gravedad en un punto que está situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).

Llamamosg0alvalordelaaceleracióndelagravedadenlasuperficiedelaTierraysuponemosquevale9,8m/s2.

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Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g.

a) Si hiciésemos la experiencia en la Luna, ¿cuántas pesas tendríamos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?

b) ¿Y si hiciésemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: gT = 9,8 m ⋅ s−2; gL =1,7 m ⋅ s−2.

Conunabalanzadeplatoshabráquecolocarlamismacantidaddepesas.

Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveríaafectadaporlagravedad.

Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuál es su peso? ¿Y cuál sería su peso…

a) … si la masa de la Tierra se reduce a la mitad?b) … si el radio de la Tierra se reduce a la mitad? c) … si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: g0 = 9,8 m ⋅ s−2.

P=FG=m ⋅ g.

a) EnlaTierra:

g GMR

g P= = = =⋅ = ⋅ ⋅ −T

T

2 2m/s kg 9,8m s N2 0 9 8 70 686, →

b) Si :

c) Si :

d) SiMM

RR' 'T

TT

Ty= =2 2

:

g G

M

RG

M

Rg

P

'

'

=

⋅ = ⋅ = ⋅

=

T

T

T

T

2

2

2

4

22 2

→

→ mm g m g P⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅' 2 2 2 686 1372= = =N N

38. ¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrípeta a que está sometido en la superficie de la Tierra?

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; RT = 6370 km; MT = 5,98 ⋅ 1024 kg.

ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.UtilizamosunidadesdelSI:

P F GM m

r= = ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅⋅

−G

T2

1124

66 67 10

5 98 10

6 37 10,

,

( , )),

29 83⋅ = ⋅m m [1]

ParacalcularlafuerzacentrípetatenemosencuentaqueelcuerpoqueestáenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotaciónidénticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1día.UtilizamosunidadesdelSI:

F mvr

mr

rm

TrC = ⋅ = ⋅

⋅= ⋅ ⋅

2 2 2 2

2

2ω π( ) →

→ F m mC = ⋅⋅

⋅ ⋅ = ⋅( )

( ),

2

24 36006 37 10 0 034

2

26π

, [2]

Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:

PF

mmC

=⋅

⋅=

9 83

0 034289

,

,

39. Calcula la aceleración de la gravedad en un punto que está situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).

Llamamosg0alvalordelaaceleracióndelagravedadenlasuperficiedelaTierraysuponemosquevale9,8m/s2.

g GM

R hG

MR R

GMR

g

=+

=+

=⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅( ) ( )2 2 260

1

61T

T T

T

T2

→

→ == = = −g02

22

61

m/s

3721m/s

9 82 63 10 3,, ⋅

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40. La Luna describe una órbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 días. Calcula: a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna

atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra.

c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m, ¿con qué velocidad llegará al suelo?

d) ¿Con qué velocidad llegará al suelo si se deja caer desde una altura de 10 m de la Tierra?

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; MT = 5,98 ⋅ 1024 kg; RT = 4RL; RT = 6370 km.


mvr

GM m

rL

T L⋅ ⋅⋅2

2=

Sabiendoquev rT

r= =ωπ

⋅ ⋅2

,sustituyendo(unidadesSI)

ydespejando:

2

2

22

2

π

πT

r

rG

Mr

r G MT

= =⋅

⋅ ⋅ ⋅L

L

T

LL T

L→

23 →

→ rL

2=

−6 67 10 5 98 10

27 3 24 60 6011 24, ,,

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

π

=

=

23

6383 06 10, ⋅ m

b) Enestecaso:

F GM m

rG

MM

rT

T L

L

TT

L

N

= =

−

⋅⋅

⋅⋅

=

= ⋅ ⋅

2 2

11

81

1

816 67 10, ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

m kg( kg)

( m)2 2

2

2− =

5 98 10

383 06 10200

24

6

,

,,668 1018⋅ N

LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentidocontrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra.

c) Elcuerpoquecaetendráunmovimientouniformementeacelerado.Vendrádeterminadoporlasecuaciones:

v v at y y v t a t= + = + ⋅ + ⋅0 0 021

2;

Suponemosquev0=0yqueelorigendetiemposyespaciosestáenelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento.Laaceleraciónseráencadacasoladelagravedad;utilizandounsistemadereferenciacartesiano,tendrásignonegativo.

TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mserá:

Portanto:

Elsignonegativoindicaqueestádescendiendo.

d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior.Calculamoselvalordegenesepunto;comoantes,esmuysimilaralvalorenlasuperficie:

Portanto:


41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamaño, ¿cuál será su peso? Dato: gT = 9,8 m ⋅ s−2.

P=FG=m ⋅ g.EnlaTierra:

Enelplaneta(MP=MT/10; RP=RT):

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19


La Luna describe una órbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 días. Calcula: a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna

atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra.

c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m, ¿con qué velocidad llegará al suelo?

d) ¿Con qué velocidad llegará al suelo si se deja caer desde una altura de 10 m de la Tierra?

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; MT = 5,98 ⋅ 1024 kg; RT = 4RL; RT = 6370 km.


Sabiendoque ,sustituyendo(unidadesSI)

ydespejando:

b) Enestecaso:

F GM m

rG

MM

rT

T L

L

TT

L

N

= =

−

⋅⋅

⋅⋅

=

= ⋅ ⋅

2 2

11

81

1

816 67 10, ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

m kg( kg)

( m)2 2

2

2− =

5 98 10

383 06 10200

24

6

,

,,668 1018⋅ N

LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentidocontrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra.

c) Elcuerpoquecaetendráunmovimientouniformementeacelerado.Vendrádeterminadoporlasecuaciones:

Suponemosquev0=0yqueelorigendetiemposyespaciosestáenelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento.Laaceleraciónseráencadacasoladelagravedad;utilizandounsistemadereferenciacartesiano,tendrásignonegativo.

TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mserá:

g Gm

R hL

L

L

=+

= −⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅( ),

,

211

24

6 67 10

5 98 1081

6370 100 104

1 943 2+

= , m/s2

y g t t

t

= − − = − ⋅

=⋅

12

1012

1 94

10 2

1 9

2 2L

2m m/s

m

⋅ ⋅→ →

→

,

, 44m/s2= 3,21 s

Portanto:

v g t t vL L L= − = − ⋅ = − ⋅ = −⋅ 1 94 1 94 3 21, , ,m/s m/s s 6,22 → 33m/s


d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior.Calculamoselvalordegenesepunto;comoantes,esmuysimilaralvalorenlasuperficie:

g GM

R hT =

+= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

T

T( ),

,

(211

246 67 10

5 98 10

6370 1033 2109 83

+=

), m/s2

y g t t

t

= − − = − ⋅

=⋅

12

1012

9 83

10 2

9 8

2 2T

2m m/s

m

⋅ ⋅→ →

→

,

, 33 m/s2= 1,43 s

Portanto:

v g tT T2m/s s= − = − ⋅ = −⋅ 9 83 1 43, , 14,06 m/s


41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamaño, ¿cuál será su peso? Dato: gT = 9,8 m ⋅ s−2.

P=FG=m ⋅ g.EnlaTierra:

g GMR

TT

T

2m/s= =⋅ 2 9 8,

Enelplaneta(MP=MT/10; RP=RT):

g GMR

G

M

RG

M

RgP

P

P

T

T

T

TT

10= = = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 2 2

1

10

1

10

1

10⋅⋅

⋅ ⋅

9 8

0 98 10 0 98 9 8

,

, , ,

m/s

m/s kg m/s

2

2 2

=

= = = =→ P m g NN

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20


42. a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslación de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la órbita.

b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «la gravedad en la superficie de Venus es el 90 % de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gravitación universal, G, el valor obtenido sería el 90% del medido en la Tierra».



dAdt

= cte.

3. Paratodoslosplanetas:Ta

k2

3= (constante).

DondeaeselsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.

ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetasdebenmoversemásrápidoalestarmáscercadelSol(perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplicaunalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoestémásalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo.

b) LaconstanteGesuniversal,porloquenovaríaentrelaTierrayVenus;loquevaríaeselvalordelaaceleracióndelagravedad,g,encadacaso:

g GMR

g GMR

VenusVenus

VenusTierra

Tierra

Ti

= ⋅ = ⋅2

;eerra

2

43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra. ¿El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sería igual, mayor o menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor, ¿en qué proporción?

ConunrazonamientoidénticoaldelejercicioanteriordemostraremosquegenEgabbacseráeldoblequeenlaTierra.SiRP=2RT:

ComoP=FG=m ⋅ g,resultaqueelpeso(2m⋅gT)seráeldoblequeenlaTierra.

44. La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra su diámetro, 10 veces mayor que el terrestre, y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.

a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg.b) Calcule el tiempo que tarda Júpiter en dar una vuelta completa

alrededor del Sol, expresado en años terrestres.

Datos: g = 10 m ⋅ s−2; radio orbital terrestre = 1,5 ⋅ 1011 m.

(Andalucía, 2007)

a) .

Si

b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira

alrededordelSolverifica:

Portanto, Además,rJ=5 ⋅ rT.Igualando:

Portanto,elperiododeJúpiteresde11,18añosterrestres.

Máslento

Másrápido

SolAfelio Perihelio

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a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslación de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la órbita.

b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «la gravedad en la superficie de Venus es el 90 % de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gravitación universal, G, el valor obtenido sería el 90% del medido en la Tierra».

(Andalucía, 2007)



3. Paratodoslosplanetas: (constante).

DondeaeselsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.

ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetasdebenmoversemásrápidoalestarmáscercadelSol(perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplicaunalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoestémásalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo.

b) LaconstanteGesuniversal,porloquenovaríaentrelaTierrayVenus;loquevaríaeselvalordelaaceleracióndelagravedad,g,encadacaso:

43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra. ¿El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sería igual, mayor o menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor, ¿en qué proporción?

ConunrazonamientoidénticoaldelejercicioanteriordemostraremosquegenEgabbacseráeldoblequeenlaTierra.SiRP=2RT:

dmV

dM

R

dM

R

M M= =

⋅

= =

⋅

=→ →PP

T

TT

T

P T43

2 43

83 3π π( )

g GM

Rg G

MR

GMR

gTT

T

PP

P

T

TT= = ⋅ = ⋅ =⋅

2 2 2

8

22→

( )

ComoP=FG=m ⋅ g,resultaqueelpeso(2m⋅gT)seráeldoblequeenlaTierra.

44. La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra su diámetro, 10 veces mayor que el terrestre, y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.

a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg.b) Calcule el tiempo que tarda Júpiter en dar una vuelta completa

alrededor del Sol, expresado en años terrestres.

Datos: g = 10 m ⋅ s−2; radio orbital terrestre = 1,5 ⋅ 1011 m.

a)P F m g g GMR

= = =GJ

J

y⋅ ⋅J 2.

SiM M R R g GM

RgJ T J T

T

TTy= = = =300 10

300

103

2⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

⋅→ J( )

→→

→ P m g= ⋅ = =J 75 kg 3 10 m/s 2250 N⋅ ⋅

b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira

alrededordelSolverifica:Tr

2

3= cte.

Portanto,T

rT

T

cte.2

3=

T

rJ

J

cte.2

3= Además,rJ=5 ⋅ rT.Igualando:

Tr

Tr

Tr

Tr

TT TJ

J

T

T

J

T

T

T

JT

2

3

2

3

2

3

2

3

2

32

5 5=

⋅= =→ → →

( ) JJ T

J T T

2 3 2

3

5

5 11 18

= ⋅

= ⋅ =

T

T T T

→

→ , ⋅

Portanto,elperiododeJúpiteresde11,18añosterrestres.

Perihelio

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22


Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquieraseveráatraídoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrarioalaqueejercelaLunasobreél.

Porladefinicióndefuerzagravitatoria:

YqueremosqueFGT=FGL:

[1]

Ademássabemosque y .Retomando[1]:

Desarrollandolaecuaciónde2.°gradoydescartandoelresultadonegativo,resulta:

Ylasoluciónesindependientedelamasadelcuerpo.

47. En los vértices inferiores de un rectángulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que está en el tercer vértice, si la altura del rectángulo es de 3 m.

LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg,respectivamente.WFACserálafuerzaejercidasobreelcuerpoCde2kgporelcuerpoA;yWFBC,laejercidaporelcuerpoB.

45. Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequeña masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vértices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:

a) A y B se acercarán uno al otro más rápidamente.b) C y X se acercarán uno al otro más rápidamente.c) Se acercarán ambas parejas con la misma aceleración.

Larapidezconlaqueuncuerposeacercaaotrodependedesuaceleración.Talycomoestánanunciadaslasposiblesrespuestas,estudiamoselacercamientodecadaparejademasasconindependenciadelapresenciadelaotrapareja.

LafuerzaconqueseatraenlasmasasAyBes:

F GM M

dG = ⋅

⋅2

M:masadeA,B,C.

m:masadeX.

Comolosdoscuerpostienenlamismamasa:

F M a GMd

a aG A B= ⋅ = =⋅ →2

LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes:

F GM m

dG = ⋅

⋅2

LaaceleracióndeloscuerposCyXesdistinta:

F m a GM m

dm a G

Md

a

F M a GM

GX X X X

GC C

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

→ →

→

2 2

mmd

M a Gmd

a2 2

= ⋅ =⋅ C C→

ElcuerpoCsemueveconmenoraceleraciónquecualquieradelosotrostres;portanto,laparejaA,BseacercaunoalotroconmásrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemoveráhaciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha;C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda.

46. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 ⋅ 108 m, ¿en qué punto debiera situarse un satélite de 10 toneladas para que sea igualmente atraído por ambas? ¿Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas? Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra.

B

A

C

X

dd

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23


Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquieraseveráatraídoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrarioalaqueejercelaLunasobreél.

Porladefinicióndefuerzagravitatoria:

F GM m

dF G

M md

GTT

GLL= ⋅

⋅= ⋅

⋅

12

22

;

YqueremosqueFGT=FGL:

GM m

dG

M md

Md

Md

⋅⋅

⋅⋅

=T L T L

12

22

12

22

= → [1]

Ademássabemosqued d d d M M1 28

18

23 84 10 3 84 10 0 012+ = = − =, , ,⋅ ⋅ ⋅m m y L T→ yd d d d M M1 2

81

823 84 10 3 84 10 0 012+ = = − =, , ,⋅ ⋅ ⋅m m y L T→ .Retomando[1]:

M

d

M

ddT T

( , )

,, ( ,

3 84 10

0 0120 012 3 8

82

222 2

2

⋅=

⋅⋅

−=→ 44 108

22⋅ − d )

Desarrollandolaecuaciónde2.°gradoydescartandoelresultadonegativo,resulta:

d

d2

6

18 6

37 906 10

3 84 10 37 906 10 346

=

= − =

,

, ,

⋅

⋅ ⋅

m

y m m ,,094 106⋅ m

Ylasoluciónesindependientedelamasadelcuerpo.

47. En los vértices inferiores de un rectángulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que está en el tercer vértice, si la altura del rectángulo es de 3 m.

LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg,respectivamente.WFACserálafuerzaejercidasobreelcuerpoCde2kgporelcuerpoA;yWFBC,laejercidaporelcuerpoB.

Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequeña masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vértices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:

a) A y B se acercarán uno al otro más rápidamente.b) C y X se acercarán uno al otro más rápidamente.c) Se acercarán ambas parejas con la misma aceleración.

Larapidezconlaqueuncuerposeacercaaotrodependedesuaceleración.Talycomoestánanunciadaslasposiblesrespuestas,estudiamoselacercamientodecadaparejademasasconindependenciadelapresenciadelaotrapareja.

LafuerzaconqueseatraenlasmasasAyBes:

Comolosdoscuerpostienenlamismamasa:

LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes:

LaaceleracióndeloscuerposCyXesdistinta:

ElcuerpoCsemueveconmenoraceleraciónquecualquieradelosotrostres;portanto,laparejaA,BseacercaunoalotroconmásrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemoveráhaciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha;C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda.

Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 ⋅ 108 m, ¿en qué punto debiera situarse un satélite de 10 toneladas para que sea igualmente atraído por ambas? ¿Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas? Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra.

(P. Asturias. Septiembre, 1999)

C

X

d

Tierra Luna

d2d1

PWFGT WFGL

2kg

B A

C

α

1kg0,5kg

WFAC

WFBC3m

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WFACtieneladirecciónysentidoqueseindica,yelmóduloserá:

F Gm m

dAC

A C

AC2

N kg

kg

kg kg= ⋅

⋅= ⋅

⋅⋅

⋅2

116 67 100 5 2

,,−

337 41 10

212

mN

2= −, ⋅

Enformavectorial:WFAC= −WFAC⋅Wj= −7,41⋅10−12⋅WjN

LadistanciaqueseparalasmasasCyBes:

3 5 5 832 2+ = , m

WFBCtieneladirecciónysentidoqueseindica,yelmóduloserá:

F Gm m

dBC

B C

BC2

N kg

kg

kg kg= ⋅

⋅= ⋅

⋅⋅

⋅2

116 67 101 2

5,

,−

8833 92 10

212

mN

2= −, ⋅

Parapoderhacerlasumadeambasfuerzas,expresamosWFBCdeformavectorial.Obtendremossuscomponentesproyectandolafuerzasobrelosejescartesianos:

WFBC= −FBC⋅cosα⋅Wi− FBC⋅senα⋅Wj→

→ F i jBC = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅− −3 92 105

5 833 92 10

35 83

12 12,,

,,

N ==

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− −3 36 10 2 02 1012 12, ,i j N

W W W

WW

Porsuperposición:WFT=WFAC+WFBC.

F j iT = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅− − −( , ) ( , ,7 41 10 3 36 10 2 02 1012 12 122

12 123 36 10 9 43 10

⋅

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− −

j

F i j

N) →→ T N, ,

W

W W W

W W W

Elmóduloserá:

FT N= − ⋅ + − ⋅ = ⋅− − −( , ) ( , )3 36 10 9 43 10 1 1012 2 12 2 11

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