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Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y
Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a
las Ciencias Sociales II
Ejercicio 1 (2008-1-A-1) (a) (1 punto) Dada la matriz A =
a 1
a 0
!, calcule el valor
de a para que A2 sea la matriz nula.
(b) (2 puntos) Dada la matriz M =
1 2
1 1
!calcule la matriz
�M�1 �M t
�2.Solución : Apartado (a). Calculamos la matriz A2:
A2 = A �A = a 1
a 0
!� a 1
a 0
!=
a2 + a a
a2 a
!:
Para que esta matriz sea la matriz nula, todos sus elementos deben ser cero, es decir, debemos
buscar los números que cumplen: 8>>><>>>:a2 + a = 0;
a2 = 0;
a = 0:
Evidentemente, la única solución de este sistema es:
MATRICES Y DETERMINANTES
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a = 0:
Apartado (b). El determinante de la matriz M es:
detM =
����� 1 2
1 1
����� = 1� 2 = �1:Como este determinante es distinto de cero, sabemos que M posee inversa, y ésta es:
M�1 =1
detM� adjM t =
1
�1
1 �2�1 1
!=
�1 2
1 �1
!:
La matriz traspuesta de M es:
M t =
1 2
1 1
!t=
1 1
2 1
!:
El producto de la matriz inversa de M por su traspuesta es:
M�1 �M t =
�1 2
1 �1
!� 1 1
2 1
!=
3 1
�1 0
!:
Y el cuadrado de ésta última es:
�M�1 �M t
�2=
3 1
�1 0
!�
3 1
�1 0
!=
8 3
�3 �1
!:
Por tanto, �M�1 �M t
�2=
8 3
�3 �1
!:
Ejercicio 2 (2008-2-A-1) a) (1�5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dadopor:
1 + 3x 2
x �1
!� 3
y
!=
5
4
!:
b) (1�5 puntos) Calcule la matriz inversa de
0B@ 1 0 1
0 1 0
1 2 0
1CA.
Solución : Apartado (a). Multiplicando las matrices obtenemos: 1 + 3x 2
x �1
!� 3
y
!=
3 (1 + 3x) + 2y
3x� y
!=
9x+ 2y + 3
3x� y
!:
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Para que dos matrices sean iguales, además de ser del mismo orden, deben poseer los mismos
elementos colocados en las mismas posiciones. Por tanto, 1 + 3x 2
x �1
!� 3
y
!=
5
4
!,
9x+ 2y + 3
3x� y
!=
5
4
!,
,(9x+ 2y + 3 = 5;
3x� y = 4,
(9x+ 2y = 2;
3x� y = 4,
(9x+ 2y = 2;
6x� 2y = 8,
,(9x+ 2y = 2;
15x = 10:
De aquí, x = 10=15 = 2=3, y sustituyendo en la primera ecuación:
y =2� 9x2
=2� 9 � 23
2=2� 62
=�42= �2:
Por tanto, la única solución del sistema es:
x =2
3; y = �2:
Apartado (b). Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz. Porejemplo, vamos a aplicar el método de Gauss-Jordan por �las.
(AjI3) =
0B@ 1 0 1
0 1 0
1 2 0
�������1 0 0
0 1 0
0 0 1
1CA ��F 03 = F3 � F1
�
�
0B@ 1 0 1
0 1 0
0 2 �1
�������1 0 0
0 1 0
�1 0 1
1CA ��F 003 = F
03 � 2F 02
�
�
0B@ 1 0 1
0 1 0
0 0 �1
�������1 0 0
0 1 0
�1 �2 1
1CA ��F 0003 = �F 003
�
�
0B@ 1 0 1
0 1 0
0 0 1
�������1 0 0
0 1 0
1 2 �1
1CA ��F iv1 = F 0001 � F 0003
�
�
0B@ 1 0 0
0 1 0
0 0 1
�������0 �2 1
0 1 0
1 2 �1
1CA :
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Por consiguiente, la matriz inversa de la matriz dada es:0B@ 1 0 1
0 1 0
1 2 0
1CA�1
=
0B@ 0 �2 1
0 1 0
1 2 �1
1CA :
Ejercicio 3 (2008-3-A-1) Sean las matrices A =
0 2
3 0
!y B =
a b
6 1
!.
a) (1�5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A �B = B �A.
b) (1�5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X �B �A = I2.
Solución : Apartado (a). Calculemos los productos A �B y B �A:
A �B = 0 2
3 0
!� a b
6 1
!=
12 2
3a 3b
!;
B �A = a b
6 1
!� 0 2
3 0
!=
3b 2a
3 12
!:
Para que estas dos matrices sean iguales, deben coincidir elemento a elemento, y ello ocurrirá
únicamente si 3a = 3 y 3b = 12, de donde concluimos que A y B conmutan si, y sólo si, a = 1 y
b = 4.
Apartado (b). Por otro lado, si a = 1 y b = 0, la matriz B es
B =
1 0
6 1
!:
De esta forma, el determinante de la matriz B es distinto de cero (de hecho, detB = 1), lo que
signi�ca que es una matriz regular, y precisamente su matriz inversa es:
B�1 =1
detB� eBT = 1
1�
1 0
�6 1
!=
1 0
�6 1
!:
Así, la ecuación matricial se resuelve despejando la matrix X:
X �B �A = I2 , X �B = A+ I2 , X = (A+ I2) �B�1 ,
, X =
" 0 2
3 0
!+
1 0
0 1
! #�B�1 =
1 2
3 1
!�
1 0
�6 1
!=
=
�11 2
�3 1
!:
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La matriz
X =
�11 2
�3 1
!es la única solución de la ecuación matricial dada.
Ejercicio 4 (2008-4-B-1) (a) (1 punto) Dadas las matrices F =�2 �1 3
�y C =0B@ 1
5
�2
1CA, calcule los productos C � F y F � C.
(b) (2 puntos) Dadas las matrices A =
2 0
1 �1
!, B =
1 �32 �1
!y C =
1 �1�1 0
!,
calcule la matriz X que veri�que la ecuación X �A�1 �B = C.
Solución : Apartado (a). Los productos que se piden son:
C � F =
0B@ 1
5
�2
1CA � � 2 �1 3�=
0B@ 2 �1 3
10 �5 15
�4 2 �6
1CA ;
F � C =�2 �1 3
��
0B@ 1
5
�2
1CA =��9
�:
C � F =
0B@ 2 �1 3
10 �5 15
�4 2 �6
1CA y F � C =��9
�
Apartado (b). Despejamos la matriz X observando que la matriz A tiene inversa ya que
su determinante es distinto de cero (es importante el lado por el que multiplicamos por A para
que se obtenga la matriz identidad):
X �A�1 �B = C , X �A�1 = B + C , X �A�1 �A = (B + C) �A ,
, X � I2 = (B + C) �A , X = (B + C) �A:
Como:
B + C =
1 �32 �1
!+
1 �1�1 0
!=
2 �41 �1
!;
obtenemos:
X = (B + C) �A = 2 �41 �1
!� 2 0
1 �1
!=
0 4
1 1
!:
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Por consiguiente, la matriz buscada es:
X =
0 4
1 1
!:
Ejercicio 5 (2008-5-B-1) (a) (2 puntos) Halle la matriz X que veri�ca la ecuación
X � 2 5
1 3
!=
1
2
!��3 4
�:
(b) (1 punto) Determine los valores de x e y que cumplen la igualdad: 1 0
3 �1
!� x
y
!=
2 1
�x y
!� 1
1
!:
Solución : Apartado (a). El segundo miembro de la ecuación es: 1
2
!��3 4
�=
3 4
6 8
!:
Como:
det
2 5
1 3
!= 6� 5 = 1 6= 0;
esta matriz posee inversa, y es: 2 5
1 3
!�1=1
1
3 �5�1 2
!=
3 �5�1 2
!:
Por tanto, sólo hay que despejar X:
X =
" 1
2
!��3 4
� #� 2 5
1 3
!�1=
3 �5�1 2
!�
3 �5�1 2
!=
14 �25�5 9
!:
X =
14 �25�5 9
!:
Apartado (b). Calculamos los productos: 1 0
3 �1
!� x
y
!=
x
3x� y
!;
2 1
�x y
!� 1
1
!=
3
y � x
!:
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ANTONIO ANGULO PARRA
Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Si los igualamos, tenemos el sistema:(x = 3;
3x� y = y � x,
(x = 3;
4x = 2y,
(x = 3;
y = 2x,
(x = 3;
y = 6:
Por consiguiente, los números buscados son:
x = 3; y = 6:
Ejercicio 6 (2008-6-B-1) Sean A y B las matrices siguientes:
A =
1 2
0 1
!; B =
0 �12 4
!:
(a) (1 punto) Calcule (A+B) � (A�B).
(b) (2 puntos) Determine la matriz X, cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial
(A+ 2B) �X = 3I2:
Solución : Apartado (a). Es inmediato que:
(A+B) � (A�B) ="
1 2
0 1
!+
0 �12 4
! #�"
1 2
0 1
!� 0 �12 4
! #=
=
1 1
2 5
!�
1 3
�2 �3
!=
�1 0
�8 �9
!:
Apartado (b). Calculamos la matriz:
A+ 2B =
1 2
0 1
!+ 2 �
0 �12 4
!=
1 2
0 1
!+
0 �24 8
!=
1 0
4 9
!:
El determinante de esta matriz es 9 (distinto de cero), por lo que posee inversa, y ésta es:
(A+ 2B)�1 =
1 0
4 9
!�1=1
9
9 0
�4 1
!:
Podemos entonces despejar X como:
(A+ 2B)�X = 3I2 , X = (A+ 2B)�1�(3I2) , X = 3 (A+ 2B)�1�I2 = 3 (A+ 2B)�1 :
Por tanto:
X = 3 (A+ 2B)�1 = 3 � 19
9 0
�4 1
!=1
3
9 0
�4 1
!=
3 0
�43
13
!:
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Así, la matriz buscada es:
X =
3 0
�43
13
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R E S O L U C I Ó N a)
2
1 1 1 0 1 22 1 0 1 1 1
00 2 2 1
1 ; 4 ; 1 ; 62 2 1 2 2
2 2
t a bA X A I
c d
a ca c b d a c
a b c da c b d b d
b d
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− = ⎫⎪− − − − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ = = = =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− = ⎭
Luego, la matriz es 1 41 6
X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
b) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 filas, es decir, de orden (2,m). c) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 columnas, es decir, de orden (m,2).
Sea la matriz 1 12 1
A−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠.
a) Resuelva la ecuación matricial 2tA X A I⋅ + = .
b) ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz B para que pueda efectuarse el producto A B⋅ ?. c) ¿Y para el producto 3 B A⋅ ⋅ ?. SOCIALES II. 2012 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCION B
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= −
Sean las matrices ; y C . 1 62 4
A− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 21 0 1
B−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
0 13 1a
b⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠a) Halle los valores de a y b para que se verifique tB C A⋅ = . b) Resuelva la ecuación matricial 2
2A X A I⋅ − = . SOCIALES II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCION A
R E S O L U C I Ó N
a)
31 1 2 1 6
0 11 0 1 2 4
1
2 12 3 1 2 1 6 4 2 6
3 ; 11 3 2 4 1 2
3 4
t
aB C A
b
aa b b
a ba b a
b
⎛ ⎞− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠− + = − ⎫
⎪− + − − + − − − + = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− = ⎭
b)
22
1 6 1 6 1 6 1 02 4 2 4 2 4 0 1
6 106 6 11 18 1 0 2 4 6 1 21 7; ; ;
2 4 2 4 6 4 0 1 6 18 2 4 42 4 5
a bA X A I
c d
a ca c b d a c
a b c da c b d b d
b d
− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− − = − ⎫
⎪− − − − − − + =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = + ⇒ ⇒ = − = − =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − − = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪+ = ⎭
318
=
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Los alumnos de 2º Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno. a) Presente en una matriz M, de dimensión 3x2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño. b) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, A ( 20 grandes y 30 pequeños) y B (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto. c) Calcule los productos M·A y M·B e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 Kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños?. SOCIALES II. 2012 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCION B
R E S O L U C I Ó N
a) La matriz que nos piden es:
2 15 3
100 80
g pH
M AHa
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
b) Las matrices que nos piden son: y 2030
gA
p⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
3020
gB
p⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
c) Calculamos los productos de matrices:
2 1 7020
5 3 19030
100 80 4400M A
⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎠
2 1 8030
5 3 21020
100 80 4600M B
⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
Tenemos 8 docenas de huevos huevos; 200 terrones de azúcar y 5.000 g de harina. 8 12 96= ⋅ = Vemos que podemos elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. No se pueden elaborar 30 grandes y 20 pequeños, ya que nos faltarían terrones de azúcar.
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Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial 2A X A B C⋅ = − ⋅ , siendo A, B y C las matrices:
1 10 2
A⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
; y . 1 0 11 1 4
B⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
1 01 12 0
C−⎛ ⎞
⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
SOCIALES II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCION A
R E S O L U C I Ó N
2
1 01 1 1 1 1 1 1 0 1
1 10 2 0 2 0 2 1 1 4
2 0
3 03 3 0 1 4 8 1 16 ; ; 2 ;
4 4 8 1 3 1 4 44 1
a bA X A B C
c d
a ca c b d c
a b c dc d b d
d
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠+ = ⎫
⎪+ + = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ = = = −⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪= ⎭
=
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Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero. a) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese mes. b) Calcule la matriz de compras del trimestre. c) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total. SOCIALES II. 2012 SEPTIEMBRE EJERCICIO 1. OPCION B
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a) Las matrices de compras son:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
9 5 18 10 0 03 7 6 14 6 144 6 5 7 5 7
A B A BC C C
E C F C M CC C C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
A B
⎞⎟⎟⎟⎠
b) La matriz de compras del trimestre es:
1
2
3
27 1515 3514 20
A BC
T E F M CC
⎛ ⎞⎜ ⎟= + + = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
c) La matriz de los precios es: 80
100A
PB
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ Lo que factura la fábrica es:
27 15 366080
15 35 4700100
14 20 3120T P
⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
Luego, lo que factura la fábrica al primer cliente es 3660 €, al segundo 4700 € y al tercero 3120 €. En total, factura: 366 0 4700 3120 11480 €+ + =
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