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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”8
Unidad 8. Geometría analítica
PÁGINA 181
62 Representa gráficamente los siguientes recintos:
a) °¢£
–1 Ì x Ì 4y Ó 0
b) °¢£x – y Ì 0x Ì 3
c) °§¢§£
x2 + y2 Ì 9y Ó 0x Ì 0
d) °§¢§£
x Ì 0–5 Ì y Ì 05x – 2y Ó –10
a) b)
X–1 4
Y
y = x
x = 3Y
X
c) d)
Y
y Ó 0
x Ì 0
X
x2 + y2 = 9
y Ó –5
y Ì 0
Y
X
5x –
2y =
–10
x Ì 0
■ Problemas “+”
63 Observa la figura adjunta:Parece un trapecio, ¿verdad? Comprueba si realmente lo es. Si no lo es, rectifica las coordenadas del punto D para que sí lo sea.
A(–3, –2)
B(–2, 3) D(12, 3)
C(3, 5)
Veamos si Ä8
BC es paralelo a Ä8
AD :Ä8
BC (5, 2)Ä8
AD (15, 5)//(3, 1)°¢£ 5
3 ? 2
1 8 ABCD no es un trapecio.
Rectificamos el punto D para que Ä8
BC y Ä8
AD sean paralelos. Tomamos D (a, b ):Ä8
BC (5, 2)Ä8
AD (a + 3, b + 2)°¢£ 5a + 3
= 2b + 2
Si, por ejemplo, mantenemos la primera coordenada de D (12, b ):5
12 + 3 = 2
b + 2 8 5b + 10 = 30 8 b = 4
Podemos tomar D (12, 4) (también es válido D (7, 2)).
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64 Halla un punto de la bisectriz del primer cuadrante que diste 5 unidades del punto (8, 7).
Un punto de la bisectriz del primer cuadrante es de la forma (a, a), con a Ó 0.
dist = √(8 – a)2 + (7 – a)2 = 5 8 a2 + 64 – 16a + a2 + 49 – 14a = 25 8
8 2a2 – 30a + 88 = 0 8 a2 – 15a + 44 = 0 8
8 a = 15 ± √225 – 1762
= 15 ± √492
= 15 ± 72
114
Hay dos soluciones: P (4, 4), Q (11, 11).
65 La recta y = 2x + 1 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el punto A(–6, 4). Halla las coordenadas del otro extremo.
Sea B el otro extremo del segmento.
La pendiente de la mediatriz es m = 2.
La recta que contiene a AB tiene pendiente – 12
y pasa por A (–6, 4):
r : y = 4 – 12
(x + 6) 8 2y = 8 – x – 6 8 x + 2y – 2 = 0
El punto de corte de la mediatriz con esta recta r será el punto medio de AB. Lo cal-culamos:
x + 2y = 0y = 2x + 1
°¢£ x + 4x + 2 – 2 = 0 88 5x = 0 8 x = 0
x = 0 8 y = 1; M (0, 1)
A (–6, 4), B (a, b ), M (0, 1)
(–6 + a2
, 4 + b2 ) = (0, 1)
–6 + a = 0 8 a = 64 + b = 2 8 b = –2
El otro extremo del segmento es B (6, –2).
B
A
M
Y
X
y = 2x + 1
66 Tenemos una parcela irregular representada en unos ejes de coordenadas como indica la siguiente figura:Queremos dividirla en dos partes de igual área mediante una recta que pase por el origen de coordenadas. ¿Cuál será la ecuación de esa recta?
4
5
Área parcela = 17 u2
Área trapecio = 5 + b2
· 3 = 172
8 b = 23
4
5
r
P
b
Coordenadas del punto P: (5 – 23
, 3) = (133
, 3)Ecuación de r : m = 3
13/3 = 9
13; y = mx 8 y = 9
13x
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■ Re� exiona sobre la teoría
67 De las siguientes expresiones, indica cuáles son verdaderas:
a) Dos vectores con distinta dirección no se pueden sumar.
b) Dos vectores opuestos tienen igual dirección.
c) Si 8
u = k8
v y k es negativo, entonces 8
u y 8
v tienen distinta dirección.
d) Si 8
u = –8
v, entonces 8
u y 8
v tienen igual módulo.
a) : se pueden sumar vectores de la misma o de distinta dirección.b) : –8
u = (–1) · 8
uc) : tienen la misma dirección y sentidos contrarios.d) .
68 Dibuja un vector que sumado con 8
u nos dé el vector 8
v y di cuáles son sus coordenadas. 8v
8u
El vector que sumado con 8
u nos da 8
v es 8
w; sus coordenadas son (–7, 0).
8v8w
8u
69 Si dos rectas r1 y r2 son perpendiculares, ¿cuál de estas condiciones cumplirán sus pendientes?
a) m1 = 1m2
b) m1 = –m2 c) m1 · m2 = –1 d) m1 + m2 = –1
La c), m1 · m2 = –1, que equivale a m1 = – 1m2
.
70 Sabes que la expresión ax + by + c = 0 es la ecuación de una recta. Di cómo es la recta en los siguientes casos:
a) a = 0 b) b = 0 c) c = 0 d) a = 0, c = 0
a) by + c = 0 es paralela al eje OX.b) ax + c = 0 es paralela al eje OY.c) ax + by = 0 es una recta que pasa por el origen de coordenadas, (0, 0).d) by = 0 8 y = 0. Es el eje OX.
71 ¿Cuál de las rectas r : y = 3x + 1, s : y = – 13
x, t : y + 3x = 0 es perpendicular a
y = 13
x + 1?
La pendiente de y = 13x + 1 es m = 1
3.
La pendiente de una recta perpendicular a ella debe ser –3.
t : y + 3x = 0 es perpendicular a la recta y = 13x + 1.
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72 ¿Cuál de estas dos ecuaciones
x2 + (y + 1)2 = 49
x2 + y2 + 25 = 0
representa una circunferencia? Di su centro y su radio.
x2 + (y + 1)2 = 49
representa una circunferencia.
Su centro es el punto (0, –1), y su radio, 23
.
73 ¿Cuál de estas expresiones nos da la distancia entre P(x1, y1) y Q(x2, y2)?
a) (x2 – x1) + (y2 – y1) b) √(x2 + x1)2 – (y2 + y1)2
c) √(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 d) |x2 – x1| + |y2 – y1|
La c), √(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 .
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