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UNIDAD IFUNCIÓN POTENCIA Y MODELOS CUADRÁTICOS
N.OE.10.2.3J. Pomales / septiembre 2008
Radicales
rSimplifica
¿Qué es un cuadrado perfecto?
• Un número es cuadrado perfecto si puede desarrollarse como producto de dos factores iguales.
Ejemplos de cuadrados perfectos:
4 por que 2 · 2 = 4
25 por que 5 · 5 = 25
81 por que 9 · 9 = 81
Haz una lista de:
• Cuadrados perfectos
1·1 = 1 9·9 = 812·2 = 4 10·10 = 1003·3 = 9 11·11 = 1214·4 = 16 12·12 = 1445·5 = 25 13·13 = 1696·6 = 36 14·14 = 196 7·7 = 49 15·15 = 225 8·8 = 64 16·16 = 256
• Cubos perfectos
1·1·1 = 1 9·9·9 = 7292·2·2 = 8 10·10·10 = 1000
3·3·3 = 27 11·11·11 = 1331
4·4·4 = 64 12·12·12 = 1728
5·5·5 = 125 13·13·13 = 2197
6·6·6 = 216 14·14·14 = 2744
7·7·7 = 343 15·15·15 = 3375
8·8·8 = 512 16·16·16 = 4096
Reflexiona
2
12
1
2
1
2
1
155353
Usando una de las propiedades de los
exponentes, podemos decir que
155353 Esto es
Este resultado nos lleva a aceptar el siguiente principio o propiedad de los radicales que nos ayuda a simplificar
radicales:
Para dos numerales reales a y b:
0,0; baabba
EjemplosSimplifica:a) b)
23
29
2918
26
236
23672
Fíjate que al expresar el radicando como el producto de dos factores, uno de los factores debe ser el cuadrado perfecto mayor, que es factor del radicando.
EjerciciosSimplifica:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)45
50
18
8
3 16
54
27
12
53
25
23
22
3 22
63
33
32
Importante
• Decimos que un radical está en su forma más simple si el radicando no contiene factores que sean cuadrados perfectos.
• La raíz cuadrada de un número se puede simplificar si uno de los factores es un cuadrado perfecto.
• De ahora en adelante, a menos que se diga lo contrario, todas las variables tienen valores positivos.
Importante
• Al asumir que todas las variables son valores positivos no tenemos que utilizar el valor absoluto como lo hacíamos antes.
• Ahora el resultado lo podremos presentar así xx
xx
2
2
EjemplosSimplifica:a) b)
xx
xx
xx
xxx
34
34
316
31648
2
23
3
3
33 33
33 33 4
22
22
28
2816
aa
aa
aa
aaa
Los pasos intermedios sombreados se pueden realizar en la mente pero en lo que desarrollas
y afinas la destreza debes realizarlos todos.
Simplifica cada uno de los siguientes radicales:
15102
86
16
48
4
54
3 4
3 3
3
a
a
x
2273
2010
98
75
20
32
53
42
2
4
yx
ba
a
xx
x
b
35
223
105
16
40
64
3
4
5
9)
13)
17)
21)
25)
10)
14)
18)
22)
26)
11)
15)
19)
23)
12)
16)
20)
24)
Solución:
610
34
22
62
2
23
3
3
3
aa
a
x
146
210
27
35
52
22
2
2
4
xyxy
ab
a
x
xx
b
15
6
22
4
102
222
59)
13)
17)
21)
25)
10)
14)
18)
22)
26)
11)
15)
19)
23)
12)
16)
20)
24)
¿Qué hacer cuándo hay una fracción dentro de un radical?
Si a ≥ 0 y b > 0 , entoncesb
a
b
a
Ejemplos
3
4
9
16
9
16
5
32
25
12
25
12a) b)
Por conveniencia, queremos que el denominador esté sin radical. ¿Qué ocurre cuándo no es así?
Racionalizar el denominadorEs el proceso por el cual nos deshacemos del radical que está en el denominador para convertirlo en un número racional.
2
6
2
2
2
3
2
3
2
3
Como , multiplicar por él no altera la expresión sino que la transforma en una fracción equivalente.
12
2
EjemplosRacionaliza el denominador en cada caso:a)
b)
c)
7
35
7
7
7
5
7
5
7
5
12
42
6
6
62
7
24
7
24
7
5
5
5
5
555
22 aaaa
Simplifica los radicales:
)16(9
7
22
11
7
32
11
2
9
53
62
75
3
8
3
25
6
3
2
a
a
27)
39)
36)
33)
30)
42)
169
48
10
5
3
3
22
273
12
9
4
10
5
4
3
9
10
3
y
y
169
5
2
2
5
2
5
3
2
5
24
9
3
8
12
5
2
1
3
5
aa
a
x
a
a
45)
48)
28)
40)
37)
34)
31)
43)
46)
49)
29)
41)
38)
35)
32)
44)
47)
50)
Solución
12
2
8
22
2
23
15
302
5
4
6
5
6
2a
a
a
27)
39)
36)
33)
30)
42)
54
2
3
62
9
2
3
32
2
2
3
3
10
y
7
13
15
5
302
3
3
62
6
15
2
2
a
a
ax
a
45)
48)
28)
40)
37)
34)
31)
43)
46)
49)
29)
41)
38)
35)
32)
44)
47)
50)
En resumen
• Un radical está en su forma más simple si se cumplen las condiciones siguientes:
– El radicando no contiene factores que sean cuadrados perfectos, excepto al 1.
– No hay radicales en el denominador de una fracción.
– El radicando no contiene una fracción.
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