UNIDAD IFUNCIÓN POTENCIA Y MODELOS CUADRÁTICOS

N.OE.10.2.3J. Pomales / septiembre 2008

Radicales

rSimplifica

¿Qué es un cuadrado perfecto?

• Un número es cuadrado perfecto si puede desarrollarse como producto de dos factores iguales.

Ejemplos de cuadrados perfectos:

4 por que 2 · 2 = 4

25 por que 5 · 5 = 25

81 por que 9 · 9 = 81

Haz una lista de:

• Cuadrados perfectos

1·1 = 1 9·9 = 812·2 = 4 10·10 = 1003·3 = 9 11·11 = 1214·4 = 16 12·12 = 1445·5 = 25 13·13 = 1696·6 = 36 14·14 = 196 7·7 = 49 15·15 = 225 8·8 = 64 16·16 = 256

• Cubos perfectos

1·1·1 = 1 9·9·9 = 7292·2·2 = 8 10·10·10 = 1000

3·3·3 = 27 11·11·11 = 1331

4·4·4 = 64 12·12·12 = 1728

5·5·5 = 125 13·13·13 = 2197

6·6·6 = 216 14·14·14 = 2744

7·7·7 = 343 15·15·15 = 3375

8·8·8 = 512 16·16·16 = 4096

Reflexiona

2

12

1

2

1

2

1

155353

Usando una de las propiedades de los

exponentes, podemos decir que

155353 Esto es

Este resultado nos lleva a aceptar el siguiente principio o propiedad de los radicales que nos ayuda a simplificar

radicales:

Para dos numerales reales a y b:

0,0; baabba

EjemplosSimplifica:a) b)

23

29

2918

26

236

23672

Fíjate que al expresar el radicando como el producto de dos factores, uno de los factores debe ser el cuadrado perfecto mayor, que es factor del radicando.

EjerciciosSimplifica:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)45

50

18

8

3 16

54

27

12

53

25

23

22

3 22

63

33

32

Importante

• Decimos que un radical está en su forma más simple si el radicando no contiene factores que sean cuadrados perfectos.

• La raíz cuadrada de un número se puede simplificar si uno de los factores es un cuadrado perfecto.

• De ahora en adelante, a menos que se diga lo contrario, todas las variables tienen valores positivos.

Importante

• Al asumir que todas las variables son valores positivos no tenemos que utilizar el valor absoluto como lo hacíamos antes.

• Ahora el resultado lo podremos presentar así xx

xx

2

2

EjemplosSimplifica:a) b)

xx

xx

xx

xxx

34

34

316

31648

2

23

3

3

33 33

33 33 4

22

22

28

2816

aa

aa

aa

aaa

Los pasos intermedios sombreados se pueden realizar en la mente pero en lo que desarrollas

y afinas la destreza debes realizarlos todos.

Simplifica cada uno de los siguientes radicales:

15102

86

16

48

4

54

3 4

3 3

3

a

a

x

2273

2010

98

75

20

32

53

42

2

4

yx

ba

a

xx

x

b

35

223

105

16

40

64

3

4

5

9)

13)

17)

21)

25)

10)

14)

18)

22)

26)

11)

15)

19)

23)

12)

16)

20)

24)

Solución:

610

34

22

62

2

23

3

3

3

aa

a

x

146

210

27

35

52

22

2

2

4

xyxy

ab

a

x

xx

b

15

6

22

4

102

222

59)

13)

17)

21)

25)

10)

14)

18)

22)

26)

11)

15)

19)

23)

12)

16)

20)

24)

¿Qué hacer cuándo hay una fracción dentro de un radical?

Si a ≥ 0 y b > 0 , entoncesb

a

b

a

Ejemplos

3

4

9

16

9

16

5

32

25

12

25

12a) b)

Por conveniencia, queremos que el denominador esté sin radical. ¿Qué ocurre cuándo no es así?

Racionalizar el denominadorEs el proceso por el cual nos deshacemos del radical que está en el denominador para convertirlo en un número racional.

2

6

2

2

2

3

2

3

2

3

Como , multiplicar por él no altera la expresión sino que la transforma en una fracción equivalente.

12

2

EjemplosRacionaliza el denominador en cada caso:a)

b)

c)

7

35

7

7

7

5

7

5

7

5

12

42

6

6

62

7

24

7

24

7

5

5

5

5

555

22 aaaa

Simplifica los radicales:

)16(9

7

22

11

7

32

11

2

9

53

62

75

3

8

3

25

6

3

2

a

a

27)

39)

36)

33)

30)

42)

169

48

10

5

3

3

22

273

12

9

4

10

5

4

3

9

10

3

y

y

169

5

2

2

5

2

5

3

2

5

24

9

3

8

12

5

2

1

3

5

aa

a

x

a

a

45)

48)

28)

40)

37)

34)

31)

43)

46)

49)

29)

41)

38)

35)

32)

44)

47)

50)

Solución

12

2

8

22

2

23

15

302

5

4

6

5

6

2a

a

a

27)

39)

36)

33)

30)

42)

54

2

3

62

9

2

3

32

2

2

3

3

10

y

7

13

15

5

302

3

3

62

6

15

2

2

a

a

ax

a

45)

48)

28)

40)

37)

34)

31)

43)

46)

49)

29)

41)

38)

35)

32)

44)

47)

50)

En resumen

• Un radical está en su forma más simple si se cumplen las condiciones siguientes:

– El radicando no contiene factores que sean cuadrados perfectos, excepto al 1.

– No hay radicales en el denominador de una fracción.

– El radicando no contiene una fracción.

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O

DUDAS