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AULA 360
Semana 1: Números Reales y sus OperacionesTaller de Preparación para Prueba
PLANEA
Ing. Jonathan Quiroga Tinoco
Conalep Tehuacán
P.T.B. en ADMO, SOMA y EMEC
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AULA 360
Los números enteros y susoperaciones
1. Los números enteros. Representación y valor absoluto
2. Ordenación de los números enteros
3. Operaciones con números enteros
4. Propiedades de los números enteros
5. Operaciones combinadas
UNIDAD 04
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
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1. Los números enteros. Representación y valor absoluto
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
• El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos, N, el cero y los números negativos. Lo representamos con la letra Z.Z = {…, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
• Los utilizamos para expresar temperaturas bajo cero, fechas históricas, altitudes, latitudes, deudas,…
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1. Los números enteros. Representación y valor absoluto
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
El valor absoluto de un número entero es el mismo número con signo positivo. Se expresa escribiendo el número entre barras.
|+ a| = |− a| = a
|+ 12| = |− 12| = 12
Dos números enteros son opuestos o simétricossi tienen distinto signo y el mismo valor absoluto.
|+ 7| = |− 7| = 7 Þ op (– 7) = 7
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2. Ordenación de los números enteros
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
• La forma más sencilla de ordenar los números enteros es mediante su representación en la recta numérica.
• Un número entero a es mayor que un número entero b, a > b, si a está a la derecha de b en la recta numérica, mientras que es menor si se encuentra a la izquierda. También podemos decir que :a > b Û a – b > 0 a < b Û a – b < 0
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3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
Para sumar dos o más números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los sumandos y se deja el mismo signo. El resultado siempre es un número entero.
(+8) + (+3) + (+5) = (+16)(–6) + (–8) + (–9) = (–23)
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3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
Para sumar dos o más números enteros de distinto signo se suman por separado los del mismo signo y después se restan sus valores absolutos, el menor del mayor, y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. El resultado es un número entero.
(–5) + (+4) + (–3) = (–5) + (–3) + (+4) =
= (–8) + (+4) = (–4)
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3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y se obtiene así otro número entero.
(–7) – (–3) = (–7) + (+3) = (–4)
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3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
Para multiplicar dos o más números enteros se multiplican sus valores absolutos. El signo del producto se obtiene mediante la regla de los signos.
+ · + = + (+ 3) · (+ 5) = (+15)+ · – = – (+ 4) · (– 5) = (– 20)– · + = – (– 7) · (+ 2) = (– 14)– · – = + (– 6) · (– 3) = (+18)
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3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos. El signo de la división se obtiene mediante la regla de los signos.
+ : + = + (+ 15) : (+ 5) = (+3)+ : – = – (+ 18) : (– 2) = (– 9)– : + = – (– 12) : (+ 4) = (– 3)– : – = + (– 24) : (– 6) = (+4)
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3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
La potencia de un número entero es otro número entero que se halla multiplicando la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.
• Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva.
(+5)2 = 25
• Si la base es negativa, la potencia será positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar.
(– 3)2 = (+9) (– 3)3 = (– 27)
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3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
Solo se puede realizar la raíz de un número entero positivo y de cero.
= ± b Û (± b)2 = aÖ9 = ± 3 Û (±3)2 = 9
La raíz de un número entero negativo no existe.
a
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4. Propiedades de los números enteros
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
La suma y la multiplicación de números enteros tienen las siguientes propiedades:
Suma Multiplicación
Conmutativa (–3) + (+ 4) = (+ 4) + (–3) (–3) · (+ 4) = (+ 4) · (–3)
Asociativa [(+ 5) + (+ 7)] + (– 9) =
= (+ 5) + [(+7) + (–9)]
[(+ 5) · (+ 7)] · (– 9) =
= (+ 5) · [(+7) · (–9)]
Elemento neutro (–6) + 0 = (– 6) (+ 5) · 1 = (+ 5)
Elemento opuesto o simétrico
(+3) + (– 3) = 0
Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma
(–2) · [(+7) + (–3)] = (–2) · (+7) + (–2) · (–3)
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4. Propiedades de los números enteros
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
Las potencias de números enteros tienen las siguientes propiedades.
Multiplicación am · an = am + n (–6)3 · (–6)2 = (–6)3 + 2
División am : an = am – n (–6)3 : (–6)2 = (–6)3 - 2
Potencia de una potencia (am)n = am · n [(–6)2 ]3·= (–6)2 · 3
Potencia de cero y de uno
a0 = 1
a1 = a
(–6)0 = 1
(–6)1 = (–6)
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5. Operaciones combinadas
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
Las operaciones entre paréntesis son las primeras que debes realizar. También puedes eliminarlas de la siguiente manera:• Si delante del paréntesis hay un signo positivo, los signos de los números que hayan dentro del mismo no se modifican.
3 + (–7 + 6) = 3 – 7 + 6 = 2• Si delante del paréntesis hay un signo negativo, cambiarán de signo todos los números que se encuentren dentro.
5 – (–3 + 8) = 5 + 3 – 8 = 0
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5. Operaciones combinadas
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
Cuando hay varias operaciones juntas debes seguir el siguiente orden:1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis y corchetes.2.º Calcular las potencias y las raíces.3.º Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de aparición. 4.º Efectuar las sumas y restas de izquierda a derecha.
[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22
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5. Operaciones combinadas
LOS NÚMEROS ENTEROS
1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS
[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22 =
= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 22 =
= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 4 =
= (+16) + (– 2) = (+14)
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Números fraccionarios y sus operaciones
1. Fracciones
2. Simplificación y ampliación de fracciones
3. Comparación y ordenación
4. Operaciones con fracciones
5. Operaciones combinadas
UNIDAD 05
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
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1. Fracciones
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Una fracción es el cociente entre dos números enteros a y b tales que b ≠ 0.El denominador b indica las partes iguales en que se divide la unidad.El numerador a indica las partes que se toman de las que se ha dividido la unidad.• Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo .
62
ba
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1. Fracciones
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Una fracción es impropia si el denominador es menor que el numerador. Por ejemplo .
• Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Las fracciones equivalentes cumplen que el producto de extremos es igual al producto de medios.
es equivalente a Û a · d = b · c
69
ba
dc
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2. Simplificación y ampliación de fracciones
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Fracción ampliadaSe multiplica el numerador y el denominador por un mismo número mayor que 1.
43
86
2 · 42 · 3 ==
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2. Simplificación y ampliación de fracciones
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Fracción simplificadaSe divide el numerador y el denominador entre un divisor común mayor que 1.
• Fracción irreducibleEs aquella en la que el máximo común divisor del numerador y denominador (m. c. d.) es 1, es decir, son primos entre sí.
43
2 : 82 : 6
86 ==
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3. Comparación y ordenación
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Reducir fracciones a común denominador consiste en hallar otras con el mismo denominador que sean equivalentes a las originales. Este denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
• Para comparar fracciones se reducen a común denominador y se comparan los numeradores. Será mayor la que tenga mayor numerador.
1520
159
34
53 y153) , m.c.m.(5y ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ®¾
=
159
1520 >
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3. Comparación y ordenación
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• También se pueden comparar fracciones en la recta numérica. Dividimos la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y situamos la fracción en el punto que coincide con el número de partes que indica el numerador. La fracción mayor será la que quede situada a la derecha.
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4. Operaciones con fracciones. Adición y sustracción
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Si tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador común.
• Si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y después se suman o restan los denominadores y se mantiene el denominador común.
49
46
43 =+ 4
342
45 =-
63
610
21
35 +=+
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4. Operaciones con fracciones. Adición y sustracción
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
Las propiedades de la suma de fracciones son las siguientes:
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Elemento opuesto
32
41
41
32 +=+
32
45
31
32
45
31 ++=++
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
34
10
34 =+
10
30
35
35 ==-+
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
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4. Operaciones con fracciones. Multiplicación y división
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Al multiplicar dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores.
· = ba
dc
d · bc · a
158
54
32 =×
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4. Operaciones con fracciones. Multiplicación y división
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Las propiedades de la multiplicación de fracciones son las siguientes:
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Elemento opuesto
Distributiva respecto a la suma o la resta
32 · 4
141 · 3
2 =
32 · 2
1 · 52
32 · 2
1 · 52
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
38
11 · 3
8 =
11
2020
45 · 5
4 ==
21 · 3
4 45 · 3
421
45 · 3
4 ±=±÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
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4. Operaciones con fracciones. Multiplicación y división
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Al dividir dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.
: =ba
dc
c · bd · a
1514
75:3
2 =
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4. Operaciones con fracciones. Potencias
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Para calcular la potencia de una fracción se multiplica la fracción por sí misma tantas veces como indique el exponente.
También se puede calcular elevando numerador y denominador al exponente al que está elevada la fracción.
!!! "!!! #$ veces nn
ba · ... · b
a · ba
ba =
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
n
nn
ba
ba =
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
169
43
43
43
43
2
22==×=
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
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4. Operaciones con fracciones. Potencias
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
• Se pueden realizar las mismas operaciones con las potencias de fracciones que con las potencias de base entera:
Multiplicación de potencias de la misma base
División de potencias de la
misma base
Potencia de una potencia
qpqp
ba
ba · b
a +
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ =
qpqp
ba
ba : b
a -
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ =
q · pqp
ba
ba
÷øö
çèæ
úúû
ù
êêë
é÷øö
çèæ =
7252
5
43
43
43 ·4
3÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ ==+ 53838
21
21
21 : 2
1÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ ==- 62 · 323
53
53
53
÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ
úúú
û
ù
êêê
ë
é
÷÷ø
öççè
æ==
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5. Operaciones combinadas
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
Cuando se realizan varias operaciones con fracciones se debe seguir el siguiente orden:1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis del más interno al más externo.
2.º Calcular las potencias y las raíces.
3.º Realizar las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha según el orden de aparición.
4.º Hallar las sumas y las restas de izquierda a derecha según el orden de aparición.
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AULA 360
5. Operaciones combinadas
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS
1617
4851
4848
4872
4827
11218
169
149
32
94:4
1
149
32
32:4
1
123
32
311:2
1
2
222
==-+=
=-+=
=-+=
=-+=
=-+-
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
·
·
·
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Potencias y raíces
1. Potencias
2. Operaciones con potencias
3. Cuadrados perfectos
4. Raíces cuadradas
UNIDAD 02
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
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1. Potencias
POTENCIAS Y RAÍCES
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
• Una potencia es una multiplicación en la que todos los factores son iguales:
• Las potencias están formadas por dos elementos:Base: es el factor que se repite.Exponente: es el número de veces que se repite la base.
n
n veces
a ·a ... · a · a · a =!"!#$
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1. Potencias. Potencias de base 10
POTENCIAS Y RAÍCES
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
• Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente.
105 = 100 000• Las potencias de base 10 tiene la ventaja de
facilitar la escritura de números muy grandes de forma abreviada.
5 000 000 000 = 5 · 109
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2. Operaciones con potencias
POTENCIAS Y RAÍCES
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
• El producto de potencias con la misma base es otra potencia con esa misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores.
am · an = am + n
34 · 32 = 34 + 2 Þ 81 · 9 = 36 Þ 729 = 729• El cociente de potencias con la misma base es
igual a otra potencia con la misma base cuyo exponente es la diferencia de los exponentes del dividendo y del divisor.
am : an = am – n
34 : 32 = 34 - 2 Þ 81 : 9 = 32 Þ 9 = 9
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2. Operaciones con potencias
POTENCIAS Y RAÍCES
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
• Las potencias de exponente 1 son iguales a la base, es decir, cualquier número elevado a la unidad es ese mismo número.
a1 = a71 = 7
• Cualquier número, distinto de cero, elevado a cero es siempre igual a la unidad.
a0 = 170 = 1
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2. Operaciones con potencias
POTENCIAS Y RAÍCES
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
• La potencia de un producto de varios factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.
(a · b)m = am · bm
(8 · 3)2 = 82 · 32 Þ 242 = 64 · 9 Þ 576 = 576• La potencia de un cociente es el cociente
de las potencias del dividendo y del divisor.(a : b)m = am : bm
(15 : 3)2 = 152 : 32 Þ 52 = 225 : 9 Þ25 = 25
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2. Operaciones con potencias
POTENCIAS Y RAÍCES
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
• La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(am)n = am · n
(72)3 = 72 · 3
493 = 76
117 649 = 117 649
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3. Cuadrados perfectos
POTENCIAS Y RAÍCES
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
• Un cuadrado perfecto es aquel número que se obtiene de elevar al cuadrado un número natural.
Observando la siguiente figura es fácil deducir que:
1 = 12 9 = 32 25 = 52
4 = 22 6 = 42 36 = 62
Luego los números 1, 4, 9, 16, 25 y 36 son cuadrados perfectos.
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4. Raíces cuadradas
POTENCIAS Y RAÍCES
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
• La raíz cuadrada de un número natural a esotro número natural b tal que elevado alcuadrado sea igual al número dado a.
= b Û (b)2 = aa
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4. Raíces cuadradas
POTENCIAS Y RAÍCES
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
En toda raíz cuadrada distinguimos:
Radical: es el signo de la radicalización.
Radicando, a: es el número del que calculamos la raíz cuadrada.
Índice: es el es exponente al que está elevada la potencia.
Raíz, b: es el resultado de la operación.
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4. Raíces cuadradas
POTENCIAS Y RAÍCES
1º ESO | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS
• Cuando al hacer la operación raíz cuadradade un número obtenemos un resultadoexacto, estaremos antes una raíz cuadradaexacta.
• Cuando el último resto es distinto de cerotenemos una raíz cuadrada entera.
• No existen las raíces cuadradas de losnúmeros negativos.
25625 =
...,3028801=