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SEL Métodos Directos

Mg. Hermes Pantoja Carhuavilca

Universidad Nacional de IngenieriaFacultad de Ingenieria Mecánica

Métodos Numérico

SEL MétodosDirectos

Mg. HermesPantoja C.

Métodos DirectosGeneralidades sobreMétodos Directos

Eliminación Gaussiana

Pivoteo

Factorización LU

Universidad Nacional deIngenieria

Facultad de IngenieriaMecánica

Agenda

Métodos DirectosGeneralidades sobre Métodos DirectosEliminación GaussianaPivoteoFactorización LU

Métodos Directos3 Generalidades sobre

Métodos Directos

Pivoteo

Factorización LU

Generalidades sobre métodos directos

I Encuentra una solución en un número finito deoperaciones(en ausencia de errores de redondeo)transformando el sistema en un sistema equivalente quesea ”más fácil” de solucionar.

I Triangulares (Superior o Inferior), Diagonales, .

4 Eliminación Gaussiana

Pivoteo

Factorización LU

I Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER),la matriz A es transformada en una matriz triangularsuperior (todos los elementos debajo de la diagonal soncero).

I Sustitución hacia atrás es usada para resolver unsistema triangular superior

Pivoteo

Factorización LU

Primer Paso de Eliminación

Pivoteo

Factorización LU

Segundo Paso de Eliminación

Pivoteo

Factorización LU

Sustitución Regresiva

Pivoteo

Factorización LU

Ejemplo

EjemploUtilizando Eliminación Gaussiana resolver:

3x1 + 2x2 + 4x3 = 1x1 + x2 + 2x3 = 2

4x1 + 3x2 − 2x3 = 3

Pivoteo

Factorización LU

Ejemplo

Método de Eliminación Gaussiana

• Sistema equivalente:

Solución:

3/53/21/3

14 2 3

10 Pivoteo

Factorización LU

Pivoteo

I Computadoras usan precisión aritmética finita.

I Pequeños errores son introducidos en cada operaciónaritmética, propagación de errores

I Cuando los elementos pivotales son muy pequeños, losmultiplicadores podrían ser muy grandes.

I La adición de números de magnitud diferente puedeconducir a la pérdida de significación.

I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.

11 Pivoteo

Factorización LU

Pivoteo

Ejemplo (Sin Pivoteo)

12 Pivoteo

Factorización LU

Pivoteo

Ejemplo (Con Pivoteo)

13 Pivoteo

Factorización LU

Procedimiento con Pivoteo

14 Pivoteo

Factorización LU

Pivoteo por Filas

I Más comúnmente llamado procedimiento de pivoteoparcial.

I Busque la columna pivotal.

I Encuentre el mas grande elemento en magnitud.

I Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.

15 Pivoteo

Factorización LU

Pivoteo por Filas

16 Pivoteo

Factorización LU

Ejemplo de Pivoteo por Filas

| )1()1( bA

3||max4

apivote

tenemos 2,k , Para

En la etapa k, escoger para pivote el elemento de mayormódulo entre aik, i=k,k+1,...,n;

17 Pivoteo

Factorización LU

Pivoteo Completo

18 Pivoteo

Factorización LU

Ejemplo de Pivoteo Completo

Luego, intercambiamos las filas 2 y 3 y las columnas 2 y 4:

| )1()1( bA

77||max4 34

apivoanji

ij tenemos 2,ke Para

Pivoteo

19 Factorización LU

Algoritmo de la factorización LU

Descomposición de una matriz como producto de dostriangularesSupongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triángular inferior y Utriangular superior.

LUx = b,⇔ Ly = b, Ux = y

TeoremaUna matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en elalgoritmo de Gauss para encontrar una matriz escalonadapor filas que sea equivalente por filas a la matriz A no esnecesario aplicar operaciones elementales ( de filas).

Pivoteo

Diferentes Formas de Factorización

Pivoteo

Forma de Crout

I Cálculo de la primera columna de L li1 = ai1

I Cálculo de la primera fila de U u1j =a1jl11

I Cálculo alternado de las columnas de L y filas de U

lij = aij −∑

aj−1k=1likukj j ≤ i , i = 1, 2, . . . , n

uij =aij −

∑ai−1

k=1likukjlii

i ≤ j , j = 2, 3, . . . , n

Pivoteo

Descomposición de Cholesky

Descomposición de Cholesky. Sea A una matriz siméticay definida positiva, existe una única matriz triangular inferiorL con lii > 0 tal que

A = LLT

Esto esa11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... . . . ...an1 an2 . . . ann

l11 0 0 0l21 l22 . . . 0...

... . . . ...ln1 ln2 . . . lnn

l11 l12 . . . l1n0 l22 . . . l2n...

... . . . ...0 0 . . . lnn

Pivoteo

Note queI

a11 = l211 ⇒ l11 =√a11

l11 es un número real positivo ya que a11 > 0 por que Aes definida positiva.

ai1 = li1l11 ⇒ li1 =ai1l11

Pivoteo

I Como

aij = li1lj1 + li2lj2 + . . . + lij ljj ; j = 1, 2, . . . , i − 1

lij =aij −

∑aj−1

k=1lik ljkljj

; j = 1, 2, . . . , i − 1

Pivoteo

I Ademásaii = l2i1 + . . . + l2ii

lo que implica

lii =[aii −

i−1∑k=1

Pivoteo

Descomposición de Cholesky-MatLab

Pivoteo

Ejemplo:

EjemploDada la matriz A

6 15 5515 55 22555 225 979

Factorizar utilizando descomposición de Cholesky.Solución:A es simetrica y definida positiva, en efecto:det(6) > 0;

6 1515 55

)= 105 > 0

det(A) = 3920 > 0

Pivoteo

Continuación

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