ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

ING. JOSE LUIS CARVALLO

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto de ese plano.El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio de la circunferencia.

C Punto fijo (centro de la circunferencia)

CP = r distancia constante (radio de la circunferencia)

Sí el centro C de la circunferencia coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares, entonces la ecuación de la circunferencia estará dada por la relación.

1) Sí representa una circunferencia real.2) Sí representa una circunferencia de radio cero, llamada también circulo nulo ó circulo punto.3) Sí no existe gráfica real, sus raíces son números imaginarios.

Puntos medios:

Mediatrices:

La parábola, es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.El punto fijo se llama FOCO de la parábola y la recta fija se denomina DIRECTRIZ de la parábola.

D Directriz.a Eje Focal

(Da)f foco.

V Vértice.lr Lado RectoBB’ Cuerda

Focal.CC’ Cuerda.

PF Radio Focal.

Ecuación Ordinaria.

Ecuación Ordinaria.

Ecuación Ordinaria.

Ecuación Ordinaria.

La elipse, es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre esos dos puntos. Los puntos fijos, se llaman FOCOS de la elipse.

f Eje FocalV1V2 Eje Mayor.AA’ Eje Menor.

f1f2 Distancia Focal.C Centro de la elipse.

f1-; f2 Focos de la elipse.V1V2 Vértices de la elipse.

LR Lado Recto.BB’ Cuerda.

DD’ Diámetro.EE’ Cuerda Focal.

Pf1; Pf2 Radios Focales.AC; AC’ Semiejes menores.

CV1; CV2 Semiejes mayores.H e I Directrices.

Eje focal coincide con el eje “X”

Eje focal coincide con el eje “X”

Eje focal coincide con el eje “Y”

La ecuación de la elipse en su forma canónica, es simétrica con respecto a los ejes coordenados y al origen.Excentricidad: es la medida de la forma de la cónica.Sí e=1 se trata de una parábolaSí e>1 se trata de una hipérbola.Sí e<1 se trata de una circunferencia.Una elipse se encuentra limitada por un rectángulo de base 2a, y altura 2b, por lo tanto es una curva cerrada, motivo por el cual no tiene asíntotas horizontales ni verticales.

Eje focal paralelo al eje “X”

Eje focal paralelo al eje “X”

Eje focal paralelo al eje “Y”

•Sí el denominador de x2 es mayor que el denominador de y2 , entonces el eje focal coincide con el eje x.•Si el denominador de y2 es mayor que el denominador de x2, entonces el eje focal coincide con el eje y.

a2 = 25 a= 5 Vértice (+5,0)b2 = 16 b=4 extremos del eje menor

(0,+4)

c2 = a2 - b2

c2 = 25 - 16 = 9 c=3

Focos (+3,0).

Centro: C (2;-1)Semiejes: a=1 y b=2a<b (eje focal paralelo al eje “Y”)Vértices: V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1). 

Focos:

La hipérbola, es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de los dos puntos de ese plano es siempre igual a una constante positiva y menor que la distancia entre los dos puntos fijos de ese plano.Los puntos fijos, se denominan focos.

f Eje FocalN Eje Normal.

V1V2 Eje Transverso.AA’ Eje Conjugado.

V1, V2 Vértices de la hipérbola.F1, f2 Focos de la hipérbola.

C Centro de la hipérbola.LR Lado Recto.

BB’ Cuerda focal.DD’ Diámetro.

EE’ y GG’ Cuerdas.Pf1; Pf2 Radios Focales.

AC; AC’ Semiejes conjugados.CV1; CV2 Semiejes transversos.

H e I Directrices.

)13;0(__)3;0(__)0;0(

1313

24

39

1

149

36)3694(

2

2

2

2

2

2

2

22

22

fvc

cc

bb

aa

bx

ay

xy

xy

023_)2

023_)1

3223

:

1313

1

4)2(22

6)3(2238

3)4(22 2

yx

yx

xyxxba

y

asíntota

eac

e

bEc

aETab

lr