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Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez Pg. 1
R01ELE01. Por un condensador de 0,5(F), con una tensin de 10(V) en t=0, circula una intensidad en
sentido positivo con la tensin de valor: t310)t(i = . Determine u(t) para todo valor de t.
R01ELE02. Dado un condensador de 2(F) determine la tensin resultante si: a) 0t;0)t(i = , e
0t;2)t(i >= ; b) 1t;0)t(i = , e 1t;2)t(i >= ; c) 0t;0)t(i = , e 0t;)30t377cos(4)t(i >+= ; y d)
i(t)=0 para t2. En todos los casos represente grficamente la respuesta.
R01ELE03. La tensin en un condensador de 0,2(F), viene dada por la onda de la
figura. Dibuje la corriente resultante, la potencia y la energa acumulada en fun-
cin del tiempo.
R01ELE04. A una bobina de 0,5(H) con una intensidad de 10(A) en t=0 se le apli-
ca una tensin positiva respecto a la intensidad, de valor: )V(10)t(i t3= . De-
termine: a) i(t) para todo valor de t; y b) el valor mximo de la energa magntica
almacenada por la bobina.
R01ELE05. La corriente en una conexin serie de una resistencia de 3() y una bobina de 3(H) es
i(t)=0 para t
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez Pg. 2
R01ELE09. Dos bobinas de 60(mH) estn conectadas en serie para conseguir una bobina equivalente
de 75(mH). Se supone que el coeficiente de acoplamiento es igual al coseno del ngulo formado por
los ejes de estas dos bobinas. Halle el valor de este ngulo y dibuje la conexin en serie de las dos bo-
binas.
R01ELE10. Complete la notacin de los terminales correspondientes y
encuentre las ecuaciones de las bobinas de la figura. La letra G para el
acoplamiento de las bobinas 1 y 2 ; la letra E para las 1 y 3; la letra F
para las 2 y 3.
R01ELE11. Demuestre que dos bobinas acopladas, L1 y L2, formando un transformador perfecto, (su
coeficiente de acoplamiento es la unidad), son equivalentes a la bobina del primario L1 en paralelo con
un transformador ideal cuya relacin de transformacin vale la raz cuadrada del cociente de las induc-
tancias de las bobinas del primario y del secundario. Cunto vale la relacin de las potencias de en-
trada y salida de este transformador perfecto?
R01ELE12. Las cuatro bobinas estn arrolladas en un mismo circuito
magntico, representado por la lnea de puntos, formando un transfor-
mador ideal. Determine el valor de la onda de potencia instantnea
cedida por el generador. El condensador y la bobina estn inicialmente
descargados. DATOS: )V(1)t(e t= ; C=0,5(F); L=4(H); R=3().
R01ELE13. Un par de bobinas acopladas magntica-
mente se conectan entre s, de las dos formas indica-
das en la figura. En el instante t=1(s) se conecta la
fuente de tensin de valor: e(t)=E0cos(t) (V), que-
dando los terminales 2, 2' a circuito abierto. Calcule
el valor de i(t) y las tensiones: u12 y u22.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez Pg. 3
R01ELE14. En el circuito de la figura, calcule: a) las ten-
siones en bornas de las tres bobinas; y b) la energa alma-
cenada en conjunto por las tres bobinas en el instante
t=0,1(s). DATOS: R1=2();R2=4(); L1=8(H); L2=10(H);
L3=4(H); M12=6(H); M13=5(H); M23=6(H); i1(t)=8sen(t)
(A), t0.
R01ELE15. Determine la onda de potencial del nudo A.
Cunto vale dicho potencial en t=1(s)?; cul es el valor de
la variacin de energa experimentada por el conjunto de las
bobinas en el intervalo [0; 0,5(s)]?
DATOS: Coeficiente de acoplamiento de las bobinas: k=0,5;
]1,0[t;0)t(i:]1,0[t;)A()tsen()t(i]1,0[t;0)t(i:]1,0[t;)A()t2sen()t(i 2211 ==== .
R01ELE16. En el circuito de la figura los coeficientes de acoplamiento de las bobinas son iguales a
0,5. Determine: a) el potencial del nudo A; y b) la energa puesta en juego por la fuente 2i . Las ondas
de intensidad de las fuentes se representan en la figura.
R01ELE17. En el circuito de continua de la figura determine: a) la po-
tencia disipada por las resistencias; b) las potencias cedidas o absorbi-
das por las fuentes; y c) la energa absorbida por el condensador y la
bobina. Las fuentes son de continua.
R01ELE18. Determine la potencia en cada uno de los elementos de la figu-
ra. Qu potencia consumira la fuente de tensin si su valor fuese de 3
voltios?.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez Pg. 4
R01ELE19. En la figura se muestra el esquema muy simplificado de un
circuito de carga para una batera de automvil. Halle: a) la potencia
generada por el alternador en sus terminales, representado por la fuente
real de tensin de 13(V); b) la potencia disipada por el cable de la bate-
ra, representado por la resistencia de 0,5(); c) la potencia cedida a la
batera, representada por la fuente real de 11(V); d) la potencia transformada en energa qumica en la
batera; y e) el rendimiento del conjunto (potencia total almacenada en la batera/ potencia elctrica
total generada).
R01ELE20. Una batera de 12(V) se est cargando con una corriente constante de 3(A) durante 2h y
despus con una corriente que disminuye linealmente desde 3(A) hasta 0(A) durante una hora. Admi-
tiendo que la tensin de la batera vale constantemente 12(V), halle: a) la carga total en amperioshora
y en culombios suministrada a la batera; b) la potencia media comunicada a la batera durante todo el
periodo de carga; y c) la energa total acumulada en la batera.
R01ELE21. La distancia entre el generador y el receptor en una instalacin de continua es de 100(m).
La tensin en el generador es 200(V). Si la tensin en el receptor no puede ser inferior al 95 % de la
del generador, cul ser el valor mximo de la densidad de corriente en la lnea de conexin? Si el
receptor consume 1,5(kW), cul ser la seccin mnima del conductor de cobre y las prdidas en el
mismo? Resistividad del cobre: 1/56( ohm/mmm-2
).
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Por un condensador de 0,5(F), con una tensin de 10(V) en t=0, circula una intensidad en sentido posi-
tivo con la tensin de valor: t310)t(i = . Determine u(t) para todo valor de t.
Solucin:
Con las referencias de la figura adjunta podemos escribir:
( ) ( ) )V(100u0u == + ; 0t:10)t(i t3 >= A partir de la ecuacin de definicin del condensador en impedancia:
( ) ( ) t3t
0
t3t
0
320350dt10210)t(u:dt)t(iC
10u)t(u + =+=+=
Es decir: ( ) 0t:320350)t(u t3 >=
* Para )V(350)t(ulim)(u:tt
==
.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Dado un condensador de 2(F) determine la tensin resultante si: a) 0t;0)t(i = , e 0t;2)t(i >= ; b)
1t;0)t(i = , e 1t;2)t(i >= ; c) 0t;0)t(i = , e 0t;)30t377cos(4)t(i >+= ; y d) i(t)=0 para t2. En todos los casos represente grficamente la respuesta.
Solucin:
a) 0)t(u:0t;0)t(i == ; tdt22
10)t(u:0t;2)t(i
t
0
=+=>=
Luego la respuesta es: 0t;0)t(u = y 0t;t)t(u >= , que representamos en la
figura adjunta.
b) 0)t(u:1t;0)t(i == ; 1tdt22
10)t(u:1t;2)t(i
t
1
=+=>=
Luego la respuesta es: 1t;0)t(u = y 1t;1t)t(u >= , que representamos en
la figura adjunta.
c) 0)t(u:1t;0)t(i == ;
( ) ( ) )6t377(sen37723771dt)6t377cos(42
10)t(u:1t;)6t377cos(4)t(i
t
1
++=++=>+=
Recordamos que la expresin + 30t377 es una expresin
coloquial ya que los sumandos no son homogneos: 377t
est en radianes y 30 est en grados sexagesimales. Por
tanto, ( )6t377 + es la expresin matemtica correcta y la
que hay que utilizar.
En la figura representamos la respuesta. 1t;0)t(u = y
( ) ( ) 1t;)6t377sen(37723771)t(u >++= .
d) 0)t(u:2t;0)t(i == ;
( ) 4t52t3dt)10t6(2
1)t(u:2t;10t6)t(i 2
t
2
+==>=
Luego la respuesta, que representamos en la figura adjunta, es:
2t;0)t(u = y ( ) 4t52t3)t(u:2t 2 +=> .
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
1
2
3
4
5
6
7
8
0.98 0.9 0.99 1 1.00 1.0 1.01 1.0 1.02-8
-6
-4
-2
0
2
4mV
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
La tensin en un condensador de 0,2(F), viene dada por la onda de la figura. Dibu-
je la corriente resultante, la potencia y la energa acumulada en funcin del tiempo.
Solucin:
Para las referencias de la figura, la respuesta es: )t(Du2,0)t(CDu)t(i == (1).
Podemos escribir, a partir de la ecuacin de la onda de intensidad y de la ecuacin de
la respuesta, lo siguiente:
002,0)t(i:0)t(u:3t
2)10(2,0)t(i:)3t(10)t(u:3t2
4)20(2,0)t(i:)5,1t(20)t(u:2t1
2102,0)t(i:t10)t(u:1t0
002,0)t(i:0)t(u:0t
===>
===
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
A una bobina de 0,5(H) con una intensidad de 10(A) en t=0 se le aplica una tensin positiva respecto a
la intensidad, de valor: )V(10)t(i t3= . Determine: a) i(t) para todo valor de t; y b) el valor mximo
de la energa magntica almacenada por la bobina.
Solucin:
Para las referencias de la figura y con: 0t,10)t(u;)t(u10)0(i t3 >=== , podemos
escribir: +=+=
t
0
t3t
0
dt105,0
110dt)t(u
L
1)0(i)t(i . Resolviendo la integral:
a) 0t;3
20
3
50)t(i t3 >=
b) A partir de: )t(iL2
1)t(w 2= , se producir el mximo de w(t), cuando el valor absoluto de i(t) sea
mximo: )A(350i:t:020:0)t(Di mxt3 === .
Por tanto: )J(45,69i5,02
1w 2mxmx ==
* La variacin de la energa experimentada por la bobina en el proceso es:
)J(45,45105,02
145,69)0(w)(ww 2 ===
Compare la solucin dada a este ejercicio con uno anterior: Por un condensador de 0,5(F),; qu
consecuencias puede extraer?
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
La corriente en una conexin serie de una resistencia de 3() y una bobina de 3(H) es i(t)=0 para t
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Una fuente de tensin aplicada a un circuito en serie R-L {R=0,5(); L=0,5(H)} produce una corriente
peridica de onda fundamental la siguiente: "la corriente crece linealmente desde 0A hasta 1(A) en 2
segundos, decreciendo a continuacin hasta 0(A) en 1 segundo." Determine y represente la onda de
tensin de la fuente.
Solucin:
La ecuacin de la respuesta de tensin es: Di5,0i5,0)t(LDi)t(iR)t(u +=+=
En la figura adjunta representamos la onda de intensidad, y cuyo periodo funda-
mental, s3T:3t0:)t(i =
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Dadas dos bobinas acopladas {L1=L2=2(H), M=1(H)}, con flujos coincidentes en ambas, determine: a)
)qu tensin u2 a circuito abierto resultar cuando sea u1=10sen(3t), (V)?. b) Para las intensidades
i1=2sen(2t), (A) e i2=0, )cunto valdr la tensin u1?
Solucin:
El circuito con los flujos coincidentes se representa en la figura. Para este
esquema, las ecuaciones son: 2212
2111
DiLMDiu
MDiDiLu
+=
+= (1)
a) Para 0i2 = (circuito abierto en la bobina 2) y con )t3sen(10u1 = , la ecuacin (1) se escribe como:
)V()t3sen(5u2
1u:
2
1
u
u:
Diu
Di2u1ca2
1
ca2
1ca2
11===
=
=
b) Para )t2sen(2i1 = e 0i2 = , la ecuacin (1) se escribe como:
)V()t2cos(8u:Di2u 111 ==
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Dos bobinas de 1(H) cada una estn unidas en serie. La inductancia equivalente de la asociacin es
2,5(H). a) )Qu coeficiente de acoplamiento tienen las dos bobinas?. b) Si el acoplamiento fuese per-
fecto, )cul sera la inductancia equivalente?
Solucin:
En el esquema adjunto hemos dejado sin marcar el terminal correspon-
diente de la bobina 2, y lo hemos sustituido por las letras A y B.
Con ( )( )DiLMDiLMDiu
DiMLMDiDiLu:iii
22212
1211121
+=+=
====
En las ecuaciones anteriores el signo ms supone que A es el terminal correspondiente al marcado de
la bobina 1; y el signo menos que B es el terminal correspondiente al marcado de la bobina 1.
Con 21 uuu += , la tensin total es: ( ) DiLDiLM2Lu eq21 =+= . Es decir, el circuito puede susti-
tuirse por una bobina equivalente de valor: 21eq LM2LL += . En este caso la inductancia de la bobi-
na equivalente es: 21eq LL5,2L +>= , luego el terminal correspondiente debe ser el marcado con A.
a) Por tanto: ( ) ( ) 25,0LLL21M:LM2LL 21eq21eq ==++= , y el coeficiente de acoplamiento
ser: 25,0LLMk 21 ==
b) Con los terminales correspondientes como en el apartado anterior y el coeficiente de acoplamiento
igual a la unidad, tendremos: )H(4LM2LL:1LLkM:1k 21eq21 =++====
* Fjese que, para 21eq LLL +> , los terminales correspondientes deben ser tales que el sumando MDi
tenga signo positivo; en el caso 21eq LLL +< , 21eq LLL +> , los terminales correspondientes deben
ser tales que el sumando MDi tenga signo negativo.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Dos bobinas de 60(mH) estn conectadas en serie para conseguir una bobina equivalente de 75(mH).
Se supone que el coeficiente de acoplamiento es igual al coseno del ngulo formado por los ejes de
estas dos bobinas. Halle el valor de este ngulo y dibuje la conexin en serie de las dos bobinas.
Solucin:
Si suponemos las bobinas con flujos coincidentes, al ser )cos(k = y 21eq LLL +< , implica que el
coeficiente de acoplamiento debe ser negativo:
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Complete la notacin de los terminales correspondientes y encuentre las
ecuaciones de las bobinas de la figura. La letra G para el acoplamiento
de las bobinas 1 y 2 ; la letra E para las 1 y 3; la letra F para las 2 y 3.
Solucin:
En primer lugar, aplicando las reglas de determinacin del sentido del flujo magntico, dibujamos los
terminales correspondientes en el siguiente esquema.
* La flecha en el circuito magntico simboli-
za el sentido del flujo magntico producido
por cada bobina, para las intensidades sea-
ladas en cada una de ellas.
* Hemos sealado la letra correspondiente al
terminal correspondiente del circuito original
encerrada por una circunferencia.
Para estos terminales correspondientes, las
ecuaciones son:
332231133
323221122
313212111
DiLDiMDiMu
DiMDiLDiMu
DiMDiMDiLu
++=
++=
=
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Demuestre que dos bobinas acopladas, L1 y L2, formando un transformador perfecto, (su coeficiente de
acoplamiento es la unidad), son equivalentes a la bobina del primario L1 en paralelo con un transfor-
mador ideal cuya relacin de transformacin vale la raz cuadrada del cociente de las inductancias de
las bobinas del primario y del secundario. )Cunto vale la relacin de las potencias de entrada y salida
de este transformador perfecto?
Solucin:
El ejercicio plantea la equivalencia entre
los circuitos de la figura.
Esta equivalencia significa que debemos
probar que los dos circuitos tienen las
mismas ecuaciones de entrada y salida.
Para el circuito (1):
221212212
221112111
DiLDiLLDiLMDiu
:DiLLDiLMDiDiLu
+=+=
+=+= (A)
Dividiendo ordenadamente las dos ecuaciones anteriores:
( )( )
(B):L
L
u
u:
L
L
DiLDiLL
DiLDiLL
DiLDiLL
DiLLDiL
u
u
2
1
2
1
2
1
22112
22111
22121
22111
2
1 ==+
+=
+
+=
Si de la ecuacin (A) despejamos 1i obtenemos: 21
21
1
2
1
211
1
1 iL
Lu
DL
1i
DL
DLLu
DL
1i =
=
Es decir, el circuito (1) se representa mediante las ecuaciones: 2
1
2
1
L
L
u
u= e 2
1
21
1
1 iL
Lu
DL
1i =
La primera ecuacin, 2
1
2
1
L
L
u
u= , es idntica a la que se obtendra en el circuito (2) en el transforma-
dor ideal del mismo (compubelo el alumno).
Si aplicamos la LKI al nudo superior de la entrada en el circuito (2) obtenemos:
2
1
21
1
21
1
P1L1 iL
Lu
DL
1i
a
1u
DL
1iii ==+= , que es idntica a la 2 ecuacin obtenida para el circuito
(1).
Por tanto, ambos circuitos tienen las mismas ecuaciones de entrada y salida y, para estos terminales,
son equivalentes.
La relacin de potencias de entrada y salida ser: 2
1
2
1
2
1
22
11
2
1
i
ia
i
i
L
L
iu
iu
p
p==
=
* Resaltamos el hecho de que en el transformador perfecto la relacin de potencias entrada/salida no
es la unidad, como s lo es en el transformador ideal.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Las cuatro bobinas estn arrolladas en un mismo circuito magntico,
representado por la lnea de puntos, formando un transformador ideal.
Determine el valor de la onda de potencia instantnea cedida por el
generador. El condensador y la bobina estn inicialmente descargados.
DATOS: )V(1)t(e t= ; C=0,5(F); L=4(H); R=3().
Solucin:
En el esquema hemos incluido las referencias para las intensidades y
tensiones que nombraremos en las ecuaciones con un subndice igual al elemento de que se trate.
Las ecuaciones son:
tensiones:
=
=
=
=
=
=
e4u
e3u
e2u
:N4
u
N3
u
N2
u
N
e
L
R
C
LRC ;
intensidades: (1)LRCLRC i4i3i2i:0Ni4Ni3Ni2Ni ++== ;
relaciones de admitancias en las cargas:
===
===
===
t
0
t
0
t
0LL
RR
CC
dtedt)e4(4
1dtu
L
1i
ee33
1Cui
De)e2(D2
1CDui
.
Sustituyendo estas relaciones en la ecuacin (1) tendremos:
)A(1t43i:
1e
dte4e3De2i t
t
t
0+=
=
++=
Con este valor de la intensidad cedida por la fuente, la potencia cedida por la misma es:
( ) ( ) )W(1t4)t44(3p:1t431iep tt2tt ++=+== * El alumno puede comprobar que los resultados no dependen de los terminales correspondientes ele-
gidos ni de las referencias consideradas. Elija otras referencia y terminales y resuelva de nuevo.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Un par de bobinas acopladas magnticamente se co-
nectan entre s, de las dos formas indicadas en la fi-
gura. En el instante t=1(s) se conecta la fuente de
tensin de valor: e(t)=E0cos(t) (V), quedando los
terminales 2, 2' a circuito abierto. Calcule el valor de
i(t) y las tensiones: u12 y u22.
Solucin:
(A) Las ecuaciones son, con 0i2 = :MDiu
uDiLe
ca'22
'121
=
==. Eliminando la inten-
sidad: 1t:)tcos(EL
Me
L
Mu:
L
M
e
u0
11
ca'22
1
ca'22 >=== .
De la primera ecuacin: [ ] 1t:)sen()tsen(EL
Mdte
L
1i:eDiL 0
1
t
11
1 >===
Aplicando la LKT: 1t:)tcos(EL
M1e
L
M1e
L
Meuuu 0
111
ca'22'1212 >
+=
+=
==
(B) Las ecuaciones con 0i;0i 32 == son las mismas que en A.
Por tanto: [ ] 1t:)sen()tsen(EL
Mi 0
1
>
= ;
1t:)tcos(Eeu 012 >== ; y 1t:)tcos(EL
Mu 0
1
ca'22 >= , como
puede comprobar el alumno.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En el circuito de la figura, calcule: a) las tensiones en bor-
nas de las tres bobinas; y b) la energa almacenada en con-
junto por las tres bobinas en el instante t=0,1(s). DATOS:
R1=2();R2=4(); L1=8(H); L2=10(H); L3=4(H);
M12=6(H); M13=5(H); M23=6(H); i1(t)=8s en(t) (A), t0.
Solucin:
Para las referencias del esquema y teniendo en cuenta
que las bobinas 2 y 3 estn a circuito abierto, las ecuacio-
nes de las tensiones en las bobinas son:
a) 11331122111 DiMu;DiMu;DiLu ===
Sustituyendo valores obtenemos la respuesta:
)V()tcos(40))tsen(8(D5u
)V()tcos(48))tsen(8(D6u
)V()tcos(64))tsen(8(D8u
:)tsen(8i
3
2
1
1
==
==
==
=
b) La energa almacenada por las tres bobinas ser:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3223311321122
332
322
11 iiMiiMiiMiL2
1iL
2
1iL
2
1w +++= , que para las bobinas 2 y 3 a
circuito abierto se simplifica a: ( ) )t(sen256iL2
1w 2
211 == .
Para t = 0,1(s) su valor es: )J(55,2)1,0(sen256w 2 ==
* Recuerde que el ngulo (0,1) debe ser expresado en radianes.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Determine la onda de potencial del nudo A. )Cunto vale
dicho potencial en t=1(s)?; )cul es el valor de la variacin
de energa experimentada por el conjunto de las bobinas en
el intervalo [0; 0,5(s)]?
DATOS: Coeficiente de acoplamiento de las bobinas: k=0,5;
]1,0[t;0)t(i:]1,0[t;)A()tsen()t(i]1,0[t;0)t(i:]1,0[t;)A()t2sen()t(i 2211 ==== .
Solucin:
En lo que sigue nombramos a las bobinas como: )H(1L1 = ;
)H(2L2 = ; )H(3L3 = y los valores de la induccin mutua,
para cada par de bobinas son: )H(22215.0M12 == ;
)H(23M13 = ; )H(26M23 = .
El potencial del nudo A ser, aplicando la LKT: 4321A uuuuV +++= (1).
Las tensiones reseadas en cada elemento son:
=====t
0142131331232122221 dti
C
1u;DiMDiLu;DiMDiMu;ii1u
Sustituyendo estas tensiones en (1) y operando con los valores de las ondas de intensidad, la onda de
potencial en A es: 1t:0V;1t0:)V(08,0)tcos(94,4)t2cos(07,11)tsen(V AA >=
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En el circuito de la figura los coeficientes de acoplamiento de las bobinas son iguales a 0,5. Determine:
a) el potencial del nudo A; y b) la energa puesta en juego por la fuente 2i . Las ondas de intensidad de
las fuentes se representan en la figura.
Solucin:
El potencial del nudo A es, aplicando la LKT al circui-
to adjunto: 54321A uuuuuV ++++= (1).
Las tensiones en funcin de las intensidades de las
fuentes y con 12 ii = son: ( ) =t
t1011
0
dti2
1tuu ;
( ) 1125124132 Di35,03Di315,0Di3u;i3i3u;Di215,0u;0u +=+=====
Sustituyendo estas tensiones en (1) escribimos: ( ) ( ) 11t
t101A Di25,035,03i3dti
2
1tuV
0
+++
=
Para: 0)0(u;ti:1t0 11 ==
+=
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
A partir de los datos anteriores: ( ) 1154I Di35.03i3uuu ++=+= , operando con la onda de intensi-
dad resulta:
===
+==
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En el circuito de continua de la figura determine: a) la potencia disipa-
da por las resistencias; b) las potencias cedidas o absorbidas por las
fuentes; y c) la energa absorbida por el condensador y la bobina. Las
fuentes son de continua.
Solucin:
En la figura aadimos las referencias de intensidad
y tensin, as como una indicacin de los lazos
donde aplicamos la LKT y los grupos de corte
donde aplicamos la LKI.
Teniendo en cuenta que al ser un circuito en rgi-
men de continua, la bobina es equivalente a un cortocircuito y el condensador a un circuito abierto, las
ecuaciones de las dos LKT que aplicamos son: )A(1I:024I2;)V(4U
)V(4U:0U212:)A(2I
22C
II1
==+=
==+=.
y la ecuaciones de la LKI: )A(1I:0II
)A(3I:0III
442
3321
==
==+
Con el criterio de potencias consumidas, la potencia en las resistencias es:
a) )W(4121IP:)(1R 2211 ==== ; )W(22)1(2IP:)(2R22
22 ==== ;
b) la potencia en las fuentes es:
)W(824IUP 1IA2 === ; )W(632I2P 3V2 === ; )W(4)1(4I4P 4V4 === ;
* Podemos comprobar que el balance de potencias es nulo:
0P:046824PPPPP V4V2A221 ==++=++++
* Recuerde que con el convenio seguido de potencias, las potencias negativas corresponden a elemen-
tos que ceden potencia: la fuente de 2 amperios y la de 4 voltios ceden respectivamente 8 y 4 vatios,
que igualan a la potencia consumida por el resto de los elementos.
* La bobina y el condensador no consumen potencia en rgimen de continua al ser cero la tensin en la
primera y la intensidad en el segundo.
c) La energa almacenada por la bobina y condensador es:
)J(4222
1I2
2
1IL
2
1W 221
2LL ==== ; )J(841
2
1UC
2
1W 22CC ===
* Fjese que, aunque la potencia en L y en C es nula, no lo es la energa almacenada. Esta energa la
almacena la bobina y el condensador al cargarse respectivamente a 2 amperios y 4 voltios.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Determine la potencia en cada uno de los elementos de la figura. )Qu po-
tencia consumira la fuente de tensin si su valor fuese de 3 voltios?.
Solucin:
En el esquema adjunto aadimos las referencias de las tensiones e
intensidades.
En el caso ms general de anlisis hay que determinar la tensin o
intensidad en cada elemento pasivo; la tensin en las fuentes de
intensidad; y la intensidad en cada fuente de tensin.
Para las tensiones e intensidad que se referencian en el esquema tendremos las siguientes ecuaciones:
)A(1431
U
2
UI;)V(1064U:0UUU;)V(623U;)V(4U 124312321 ====+=====
Donde hemos aplicado la LKT al lazo formado por: { }312 U;U;U y la LKI al nudo superior del es-
quema.
Con estos resultados las potencias, siguiendo el convenio pasivo, seran:
)W(4cede:)W(4I4P:)V(4E
)W(30cede:)W(303UP:)A(3I
)W(16consume:)W(161UP:)(1R
)W(18consume:)W(182UP:)(2R
4G
3G
21
22
===
===
===
===
Si 0P0331U3I:3U)V(3EGE141G====== . Es decir la fuente de tensin ni cedera
ni consumira potencia. Podra decirse que la fuente de tensin en este caso se comporta como un cir-
cuito abierto, cuya tensin es de 3 voltios.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En la figura se muestra el esquema muy simplificado de un circuito de
carga para una batera de automvil. Halle: a) la potencia generada por
el alternador en sus terminales, representado por la fuente real de ten-
sin de 13(V); b) la potencia disipada por el cable de la batera, repre-
sentado por la resistencia de 0,5(); c) la potencia cedida a la batera,
representada por la fuente real de 11(V); d) la potencia transformada en energa qumica en la batera;
y e) el rendimiento del conjunto (potencia total almacenada en la batera/ potencia elctrica total gene-
rada).
Solucin:
En el esquema de la figura hemos resaltado las tres partes de
la que consta el circuito, slo bajo el punto de vista puramen-
te descriptivo.
En el circuito aplicamos la LKT en el sentido de la intensi-
dad. La ecuacin resultante es:
)A(125,3I:011I04,0I5,0I1,013 ==++++
a) Potencia en bornas del alternador: )W(65,39IUP:)V(6875,12I1,013U AAltA ====
b) Potencia en bornas de la batera: )W(77,34IUP:)V(125.11I04,011U BBatB ===+=
Es decir, en el alternador, representado por la fuente real de continua de 13(V), como aparece en el
esquema, se ceden o generan 39,65 vatios de los que se consumen 34,77 vatios en la carga de la bate-
ra, representada por la fuente real de tensin de 11 voltios del esquema.
c) Potencia disipada en el conector: )W(88,45,0IP 2Con ==
Puede comprobar el balance de potencias: 0PPP ConBatAlt =++
d) La potencia transformada en energa qumica, almacenada por la batera, es: )W(38,3411IPQui ==
Esta potencia es la que aprovecha la batera, una vez descontada la que se pierde por efecto Joule y
otros en la propia batera.
e) La potencia elctrica generada por el alternador es: )W(625,4013IPGen ==
Esta potencia es la que genera el alternador y que parte de ella se consume por efecto Joule y otras
prdidas en el propio alternador y rectificador.
El rendimiento del conjunto ser: 00
Gen
Qui62,84
625,40
38,34
P
P===
* Si calculamos el rendimiento a partir de las expresiones de las potencias y no de sus valores, pode-
mos escribir: 00
Gen
Qui62,84
13
11
I13
I11
P
P==
== , que como podemos observar, es independiente de las
prdidas y slo depende de la tensin del generador (13 voltios) y de la batera (11 voltios).
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Una batera de 12(V) se est cargando con una corriente constante de 3(A) durante 2h y despus con
una corriente que disminuye linealmente desde 3(A) hasta 0(A) durante una hora. Admitiendo que la
tensin de la batera vale constantemente 12(V), halle: a) la carga total en amperioshora y en culom-
bios suministrada a la batera; b) la potencia media comunicada a la batera durante todo el periodo de
carga; y c) la energa total acumulada en la batera.
Solucin:
La curva de carga de la batera i(t) la representamos en la grfica adjunta.
a) Como ==t
0
dt)t(i)t(q:)t(Dq)t(i , el rea bajo la curva de la intensidad
de carga es la carga total, Q, almacenada por la batera.
)C(2700036005,7Q:)hA(5,73)23(2
123Q ===+=
b) La potencia media cedida a la batera es:
)W(305,74Q4dti4dti123
1dtiu
T
1P
3
0
3
0
T
0med ======
* En este caso, en el que la tensin de carga es constante, podramos haber calculado la potencia media
por: )W(30)h(3
)hA(5,7)V(12
T
Q12I12P medmed =
===
c) La energa total acumulada por la batera es:
)hW(905,712dti12dti12dt)t(pW3
0
3
0
T
0
=====
* En este caso, en el que la tensin de carga es constante, podramos haber calculado la energa total
acumulada por la batera por: )hW(90)hA(5,7)V(12TT
Q12TI12W ====
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
La distancia entre el generador y el receptor en una instalacin de continua es de 100(m). La tensin en
el generador es 200(V). Si la tensin en el receptor no puede ser inferior al 95 % de la del generador,
)cul ser el valor mximo de la densidad de corriente en la lnea de conexin? Si el receptor consume
1,5(kW), )cul ser la seccin mnima del conductor de cobre y las prdidas en el mismo? Resistividad
del cobre: 1/56( ohm/mmm-2
).
Solucin:
Aplicamos la LKT al circuito de la figura, representacin esquemtica
del enunciado: LGLGR RI2UU2UU == , donde LR es la resis-
tencia equivalente a cada tramo de lnea: SlRL = .
Llamando a la densidad de corriente: ( )2mmASI= , podemos
reescribir la ecuacin anterior como: === 10056
12200
S
Il2200
S
lI2200UR (1)
Introducimos la condicin de la tesnsin en R: )V(190U95,0U GR = ; y sustituyendo en (1), obte-
nemos: ( )2R mmA8,2:19010056
12200U = .
Por tanto, el valor mximo de la densidad de corriente es: ( )2mx mmA8,2= .
Para IU1500P RR == , si la seccin de la lnea tiene que ser mnima, debemos maximizar la densidad
de corriente: ( )2mnmnmxR mm82,2S:S1901500P === .
Para esta decisin, las prdidas de la lnea son: ( )mn
2mnmxL
2L
S
100
56
1S2RI2P == , y sustituyendo:
)W(96,78P:96,7828
100SP Lmn
2mxL ===
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En cada uno de los grafos de la figura, determine
dos rboles. Para cada uno de esos rboles, en-
cuentre: a) sus lazos bsicos; b) sus grupos de
corte bsicos; c) sus mallas; es posible, en todos
los grafos, determinar sus mallas?; y c) ecuaciones de dichos lazos, mallas y grupos de corte.
Solucin:
( I1 ) Dibujamos el grafo en un plano y elegimos un rbol donde trazar los lazos bsicos y los grupos
de corte bsicos.
a) Para los lazos bsicos representados, sus ecuaciones son:
=
=
=++
=
0uuu
0uuu
0uuu
0uuu
584
783
672
561
b) Para los grupos de corte bsicos representados, sus ecuaciones son:
=++
=++
=+
=+
0iii
0iii
0iii
0iii
145
438
327
216
c) Como hemos podido representar el grafo del circuito en un plano sin que las ramas se corten en pun-
tos distintos de los nudos el circuito es plano y, las ecuaciones de sus mallas, tomando sentido positivo
el del movimiento de las agujas del reloj, son:
=+
=
=++
=
0uuu
0uuu
0uuu
0uuu
738
584
651
627
( I2 )
Para el rbol elegido (con el mismo grafo que en el caso anterior) las ecuaciones de sus lazos y grupo
de corte bsicos son:
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Lazos Bsicos
=+
=+
=
=+
0uuu
0uuu
0uuu
0uuuuu
387
516
584
15832
; Grupos de corte bsicos
=++
=++
=+
=+
0iiii
0iiii
0iii
0iii
2748
2645
723
261
( II )
Dibujamos el grafo y dos rboles sobre los que el alumno debe encontrar las ecuaciones de los lazos
bsicos y de los grupos de corte bsicos que han sido encontrado.
( III )
Dibujamos el grafo y dos rboles, sobre los cuales el alumno debe dibujar los lazos bsicos y los gru-
pos de corte bsicos. Complete con la escritura de las ecuaciones de lazos y grupos de corte bsicos.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En el circuito de la figura elija un rbol. Respecto a este rbol
disee los lazos y los grupos de corte bsicos; plantee las
ecuaciones de rama y las de los lazos y grupos de corte bsi-
cos; resuelva el circuito y realice un balance de potencia. En
el grfico del circuito todas las resistencias en ohmios, las
intensidades en amperios y las tensiones en voltios.
Solucin:
En la figura representamos un grafo, un rbol del mismo con
sus lazos bsicos y sus grupos de corte bsicos. Hemos nom-
brado a los lazos y grupos con el mismo nmero de la rama
del grafo que los define, pero entre parntesis.
Las ecuaciones de rama son: 2211 I6U;I24U =+= ;
( ) ( )554433 I21U;I236U;I210U +=++=+= ;
( )887766 I42U;I4U;I2U +=== .
Las ecuaciones de los lazos bsicos son:
[ ][ ][ ] 0UUUU:8
0UUU:5
0UUU:4
2738
165
764
=++
=
=+
Las ecuaciones de los grupos de corte bsicos son:
[ ][ ][ ][ ][ ] 0III:7
0III:6
0II:3
0II:2
0II:1
847
546
83
82
51
=+
=++
=
=
=+
Resolvemos el sistema de 16 ecuaciones con 16 incgnitas (hemos usado MATLAB) y encontramos
como solucin para las tensiones de las ramas: [ ]23,4;83,0;9,4;63,1;73,5;23,6;29,11;27,3U =
(el orden en la matriz fila es el del grafo).
El alumno debera calcular las intensidades de cada rama, as como las potencias que se consumen o
ceden en cada elemento ideal.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En el circuito de la figura realice los cambios de fuente necesarios, y
escriba directamente las ecuaciones integro-diferenciales del anlisis
por lazos bsicos.
Solucin:
Cambiamos las fuentes reales de intensidad
por sus equivalentes de tensin, como se re-
presenta en el nuevo esquema y, donde:
( ) 2g222g iRDLe += ; ( )( ) 3g333g iRDC1e += .
Para el grafo y el rbol que se adjuntan, las
ecuaciones por lazos bsicos son:
[ ]( )( )
( )
[ ]( )
( )( )
=++++++
+
+=
++++++
5g3g44775433
16747467
4
2g1g46747467
16716722
1
eeiDM2DLRDLDC1R
iDMDMDMDL:i
eeiDMDMDMDL
iDM2DC1DLDLRDL:i
Las ecuaciones que dan las intensidades de rama en funcin de las intensidades de lazo son:
417164544431211 iii;ii;ii;ii;ii;ii;ii +=======
Aunque no suele darse esta ltima ecuacin, el conjunto mnimo de ecuaciones que permite el clculo
de las intensidades de un circuito lo forman las ecuaciones de los lazos bsicos y las ecuaciones de
conexin ramas-lazos, que hemos determinado.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Use la conversin de fuentes para determinar la potencia puesta
en juego por la fuente real de 100(V) y 5() del circuito de la
figura. En el grfico del circuito todas las resistencias en oh-
mios, las intensidades en amperios y las tensiones en voltios.
Solucin:
Dibujamos las transformaciones realizadas en cada
paso, teniendo en cuenta que slo debe permanecer
invariable la fuente real donde se pide el clculo de su
potencia. La parte modificada se ha resaltado con una
lnea discontinua.
En el ltimo grfico, calculamos la intensidad y la
tensin en bornas de la fuente.
( ) ( ) )A(10535,247,26100I =+=
)V(50I5100U ==
Y la potencia, con el criterio de carga pasiva es:
)W(500IUP == .
Es decir, la fuente real de tensin [100(V) y 5()] cede 500(W) al
resto del circuito.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Analice mediante ecuaciones circulares el circuito de la figura y de-
termine la potencia cedida por la fuente de tensin. Podra analizar
el circuito mediante las ecuaciones de malla? En el grfico del circui-
to todas las resistencias en ohmios y las tensiones en voltios.
Solucin:
Como podemos apreciar en el esquema y en el
grafo el circuito no es plano. Por tanto no puede
analizarse por mallas.
El circuito contiene 10-Ramas y 5-Nudos, lo que
implica un rbol con R-(N-1)=6-LB.
En el grafo hemos elegido un rbol [5-6-7-8] y sus
lazos bsicos, nombrados con la intensidad del es-
labn que los define. Los lazos son:
[ ] { } [ ] { }562:I;56781:I 21 ;
[ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { }6710:I;8769:I;5674:I;783:I 10943
Las ecuaciones de conexin ramas-lazos bsicos son: ;IIII;II;II;II;II 421544332211 =====
101099931810943171094216 II;II;IIII;IIIIII;IIIIII ==+=+=+++=
Las ecuaciones de los lazos bsicos son:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 034824I4824I4824I48I24I4824I:I
2614824I48248I4824I48I24I4824I:I
02448I2448I624486I48I624I62448I:I
26148I48I48I248I0I48I:I
024I24I246I0I2464I624I:I
2612448I2448I62448I48I624I6244812I:I
109432110
10943219
10943214
10943213
10943212
10943211
=+++++++++
=++++++
=++++++++++++
=+++++
=++++++++
=++++++++++++
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos el valor de las intensidades de lazos que resulta:
)A(79,31I;)A(71,20I;)A(33,22I;)A(13,27I;)A(19,18I;)A(58,10I 1094321 ======
Y usando las ecuaciones de conexin ramas-lazos bsicos, las intensidades de las restantes ramas y,
con ellas, la solucin del anlisis del circuito, son:
)A(42,58I;)A(3,4I;)A(64,4I;)A(44,6I 8765 ====
* En estos circuitos es muy importante ser cuidadoso en extremo.
* Debe siempre calcular las intensidades de las ramas a partir de las intensidades de los lazos, ya que
as podr hacer una comprobacin de la LKI en algn nudo y verificar los resultados obtenidos.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Para el circuito de la figura se pide: a) considerando el rbol AB, CD y
BC (rama de la fuente de 5(V), escriba de forma directa las ecuaciones de
anlisis por lazos bsicos del circuito; b) calcule la intensidad y tensin en
cada elemento; y c) balance de potencia, tomando como elemento las
fuentes reales. En el grfico del circuito todas las resistencias en ohmios y
las tensiones en voltios.
Solucin:
a) A partir del grafo y los lazos bsicos que se muestran en l, las
ecuaciones son:
[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 513I1I1I:I
5211I1112I112I:I
51I112I5112I:I
3213
3212
3211
=+++
+=+++++++
=+++++++
b) La solucin del sistema es: )A(2I;)A(6I;)A(3I 321 === .
c) De las ecuaciones de conexin ramas-lazos bsicos encontramos la intensidad en cada rama del cir-
cuito: )A(3III;)A(3III;)A(1IIII 2162153214 =+===== .
Con estas intensidades construimos la siguiente tabla de tensiones y potencias:
Rama 1 2 3 4 5 6
Elemento 5 1 21V 3 1 5V 2 1
I(A) 3 -6 -6 2 1 1 3 -3
U(V) 15 -6 21 6 1 5 6 -3
P(W) 45 36 -126 12 1 5 18 9
-90(W) 6(W)
Hemos seguido, para los signos de las potencias, el criterio de las potencias consumidas.
Podemos comprobar el balance de potencias: )W(90P
)W(9091861245P
.ced
.cons
=
=++++=
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Analice el circuito de la figura por lazos bsicos, sin realizar modificacio-
nes en el mismo y especificando el rbol elegido, y realice un balance de
potencias.
Plantee las ecuaciones por anlisis nodal sin modificar la geometra del
circuito.
En el circuito de la figura, las tensiones de las fuentes de tensin en voltios.
Solucin:
En la figura representamos el rbol elegido y sus lazos bsicos. El rbol
se ha elegido teniendo en cuenta que la fuente ideal debe estar en un esla-
bn. Como se poda incluir en los eslabones tambin la rama de control
de la fuente controlada, as lo hemos hecho.
Hemos nombrado las intensidades de los lazos bsicos con el mismo
nombre que la de la intensidad que circula por el eslabn que define al
lazo.
Con I3I;II 52 == , las ecuaciones de lazos del circuito son:
[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 27030I60I390I:I
4530I40I:I
4520I325I:I
66
62
11
=++
=+
=+
;
cuya solucin es: )A(en;5,0I;5,4I3I;5,1II;8,1I 6521 ====== .
A partir de estas tensiones de los lazos, las intensidades de las ramas son:
)A(en;4III;3,0III;1III;7,2III 568217624513 ========
La tensin en la fuente de intensidad es: )V(294I60I20UUU 83835 =+=+= ; donde hemos aplicado
la LKT a un lazo que contenga la rama de la fuente de intensidad.
Podamos calcular esta tensin escribiendo la ecuacin del lazo bsico que contiene dicha fuente ideal
de intensidad, como hacemos a continuacin: [ ] ( ) ( ) ( ) 55615 U80I20I20I:I =+
Con estas intensidades y tensiones construimos la siguiente tabla resumen:
Rama 1 2 3 4 5 6 7 8
I(A) 1,8 1,5 2,7 -1 -4,5 -0,5 0,3 4
U(V) - - - - 294 -270 45 -
P(W) 16,2 22,5 145,8 30 -1323 135 13,5 960
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En el esquema de la figura representamos el rbol y sus grupos de
corte bsicos. Las tensiones de los grupos de corte se han nombrado
de igual forma que las tensiones de la rama del rbol que los define.
El rbol se ha elegido con la condicin de contener en sus ramas las
fuentes ideales de tensin (R-6; R-7) y tambin contiene la rama de
control de la fuente controlada.
Las ecuaciones de conexin ramas-grupos de corte son: 22 UU = ;
724765236521776655 UUU;UUUUU;;UUUU;UU;UU;UU =++=++====
Con 10UI;270U;45U 267 === , las ecuaciones de los lazos (2) y (5) son:
[ ]
[ ]
==
+
++
++
+
=
++
++
+
++++
10
3UI3
20
1U
5
1
20
1U
5
1
20
1U
5
1
20
1U:U
020
1
60
1
30
1U
5
1
20
1
60
1U
5
1
20
1U
5
1
20
1
60
1
30
1
10
1U:U
276525
76522
* El alumno debiera completar el anlisis, dando la tensin en todas las ramas, as como la intensidad
en las fuentes ideales de tensin.
* Para calcular las intensidades de las F. de T. ideales puede aplicar la LKI a cualquier grupo de corte
que contenga la rama de la F. de T. ideal, o escribir la ecuacin de su grupo de corte bsico, como ha-
cemos a continuacin.
[ ]
[ ] 776527
676526
I60
1
30
1
20
1U
60
1
20
1U
20
1U
60
1
30
1
20
1U:U
I60
1
20
1U
5
1
20
1
60
1U
5
1
20
1U
5
1
20
1
60
1U:U
=
+++
++
+
++
=
++
+++
++
++
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Analice el circuito de la figura en rgimen permanente de continua, me-
diante ecuaciones circulares, y determine la energa almacenada por el
condensador y la bobina.
Plantee las ecuaciones por anlisis nodal sin modificar la geometra del
circuito.
En el circuito de la figura, las tensiones de las fuentes de tensin en vol-
tios.
Solucin:
Como el circuito est en rgimen permanente de continua, en el esque-
ma adjunto representamos el condensador como un circuito abierto y la
bobina como un cortocircuito.
En el siguiente grfico dibujamos el grafo de este circuito y el rbol
elegido con sus lazos bsicos.
Con 34C68L3 I2I2I;UU;II;II ===== , las ecuaciones de los lazos
bsicos son: [ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 83I1I
201I23I:
83I1I:I
201I6I11I:I
83
83
838
8433
=+
=
=+
=+
La solucin del sistema es: )A(3II;)A(1II 8L3 ==== ; y el resul-
tado del anlisis en (A) y (V) es: 2I2I;2I2I 41 ==== ;
3II;0I;2III;3III 876835432 ====+=== ;
18I2UU;12I6I210U 74C214 =+==+=
La energa almacenada por el condensador y la bobina es: ( )( ) )J(5,4IL21W:3I
)J(81UC21W:18U
2CLL
2CCC
===
===
En la figura adjunta representamos el rbol elegido y sus grupos de
corte bsicos. Las ecuaciones son:
[ ]
[ ] ( )
[ ] ( )2
10I2
2
1U
2
1U0U
6
1U:U
I22
1U0U
6
11
2
1U
6
1U:U
2
10
4
20
2
1U
2
1U
6
1U
6
1
4
1
2
1U:U
86536
86535
86533
=
++
=
+
+++
+=
+
++
Y donde ( ) 8U;420UI 83 == .
Para escribir estas ecuaciones hemos supuesto las fuentes reales de tensin cambiadas a fuentes reales
de intensidad. El alumno debiera completar el anlisis por grupos de corte bsicos planteado y com-
probar resultados.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Eligiendo, al menos, como incgnitas las intensidades reseadas en el
circuito de la figura, encuentre las ecuaciones integro-diferenciales
correspondientes al anlisis por ecuaciones circulares de dicho circuito.
Solucin:
Como 2i e 3i deben ser incgnitas del anlisis, sus ramas las tomare-
mos como eslabones. En el grafo adjunto dibujamos un rbol y sus la-
zos con la premisa anterior. Como vemos el grafo slo tiene dos eslabo-
nes, por lo que bastan las dos incgnitas originales para resolver el pro-
blema. Estas ecuaciones son:
[ ] ( )
[ ] ( ) ( ) 13133112231312113
12323131211212
2
2112
eiDM2DLRDLiDMDMDMRDL:i
eeiDMDMDMRDLiDM2DC
1RRDL:i
=++++++
=++++
+++
A este sistema le aadimos la ecuacin de conexin ramas-lazos: 321 iii =
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En el circuito de la figura escriba directamente las ecuaciones de anlisis
por lazos bsicos, eligiendo un rbol adecuado para no realizar transforma-
ciones geomtricas. A partir de las ecuaciones anteriores realice un balan-
ce de potencias indicando si las potencias son consumidas o cedidas.
Plantee las ecuaciones por anlisis nodal sin modificar la geometra del
circuito. En el circuito de la figura, las tensiones de las fuentes de tensin
en voltios.
Solucin:
En la figura se muestra el grafo, el rbol elegido y los lazos bsicos.
El rbol lo hemos elegido de forma que en los eslabones estn las F.
ideales de intensidad y las ramas de control.
Con: 187271 I10UI;I9I9I;II;I10U ====== , las ecuaciones de
los lazos 1I e 7I son:
[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) )A(61,0II
)V(5,5U:)A(55,0I:
4060409I4010I
4025,745II15:
4040I4020I40I:I
I25,7405I510I:I
7
1
71
71
8727
7211
==
==
=++
=+
=++
+=++
Escribiendo las intensidades de rama en funcin de las intensidades de los lazos, y calculando las ten-
siones de las fuentes de intensidad, podemos completar la tabla de resultados siguiente:
Ramas 1 2 3 4 5 6 7 8
I(A) -0,55 -5,46 6,01 -1,16 0,7 0,46 0,61 -5,55
U(V) 6,58 40 4,40 23,48
P(W) 3,08 -35,9 180,69 -46,44 19,42 2,04 7,35 -130,24
Las potencias estn con el convenio de potencias consumidas.
El alumno debiera resolver el anlisis y completar la tabla.
Para el anlisis por ecuaciones nodales, el rbol elegido, as co-
mo sus grupos de corte bsicos, se representan en el esquema de
la figura. Con 7671 U3625,0I25,7U;20UI;UU ==== , las
ecuaciones de los grupos de corte 1U y 7U son:
[ ]
[ ] UI940
1
20
1U
40
1U:U
I95
1U
5
1U
5
1
10
1U:U
747
6411
+=
++
=
+
+
* El alumno debe ordenar y resolver el anlisis, aadiendo las ecuaciones de conexin ramas-grupos
de corte bsicos.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Analice el circuito de la figura mediante ecuacio-
nes de anlisis nodal sin modificar la geometra
del circuito y realice un balance de potencias. En
el circuito de la figura, las tensiones de las fuentes
en voltios y amperios.
Solucin:
Para el anlisis pedido se ha cambiado la F. R.
de tensin en F.R. de intensidad, tal como apa-
rece en la figura adjunta en unin con el grafo,
rbol elegido y grupos de corte bsicos de di-
cho rbol.
El rbol se ha elegido de manera que contenga las F. ideales de tensin y las ramas de control, como
puede comprobar el lector.
Con 656 U2I10U;5UI === ; las ecuaciones de los grupos de corte bsicos 3U y 6U son:
[ ]
[ ]
+=
+++++
+++
+
=
++
++
++
121660
1
5
1
10
1
30
1
5
1U
10
1
30
1
5
1U
30
1
5
1U:U
1630
1
5
1U
30
1
5
1U
10
1
30
1
5
1U:U
6536
6533
Ordenando y resolviendo:
)A(72I:)V(720U:)V(360U
)V(300U:
2860
1
5
1
10
1
30
1
5
1U
30
1
5
1U
1630
1
5
1U
10
1
30
1
5
1U
56
3
63
63
===
=
=
+++
+
=
+
++
Las ecuaciones de conexin ramas-grupos de corte son: )V(60UUUU 6531 =++= ;
)V(360UU;)V(360UUU;)V(60UUUU 676546532 ===+==++= .
Las intensidades en las ramas 1 y 5 (contienen fuentes de tensin) son: ( ) )A(28580UI 11 == ;
[ ] )A(66I:I1610
1
30
1
5
1U
10
1
30
1
5
1U
30
1
5
1U:U 556535 ==
+++
+++
+
Con estos datos confeccionamos la siguiente tabla:
Ramas 1 2 3 4 5 6 7
U(V) 80 - -60 300 -360 -720 360 360 360
I(A) -28 -28 - - - 66 - -12 -
P(kW) -2,24 3,92 0,12 9 12,96 -47,52 25,92 -4,32 2,16
El signo de las potencias est segn el convenio de elementos pasivos. Recuerde que el balance de
potencias, as como el anlisis debe darlos sobre el circuito original, sin cambio alguno.
El alumno debe comprobar los resultados as como encontrar otro rbol y resolver de nuevo.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
El circuito de la figura est en rgimen permanente de continua. De-
termine: a) un rbol y, respecto a l, encuentre sus grupos de corte b-
sicos, escribiendo las ecuaciones del anlisis por grupos de corte, sin
realizar modificaciones geomtricas; y b) qu energa han absorbido
cada uno de los condensadores, si los suponemos descargados inicial-
mente?
Solucin:
Como el circuito est en rgimen permanente de continua, los condensadores, una vez cargados, se
comportan como circuitos abiertos. Basta por tanto calcular la tensin a la que est sometido el conjun-
to de condensadores.
Analizamos por ecuaciones nodales, previo cambio de las F.R. de ten-
sin a F.R de intensidad. En el esquema representamos el grafo, el
rbol elegido y sus grupos de corte. Las ecuaciones son:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 34
1
4
1U
4
1U
4
1U:U
22
1
2
1U
2
1U
2
1U:U
3324
1U
2
1U
4
1
2
11U
4
1U
2
1U:U
324
1U
4
1U
4
1
2
1U:U
222
1U
2
1U1
2
1U:U
5325
4314
543213
5322
4311
=
++
+
=
+
++=
+
+++
+
+=
+
+
+
=
+
+
Resolvemos el sistema para encontrar los datos necesarios para calcular la tensin a la que est some-
tido el conjunto de condensadores: )V(8,0UUU:)V(65
108U;)V(
65
56U 54AB54 =+===
Si ahora en el esquema de la figura aplicamos divisor de tensin, y
tenemos en cuenta que la tensin en un condensador es inversamente
proporcional a su capacidad, las tensiones en cada condensador son:
)V(15
4
4121
41UU;)V(
15
8
4121
21UU AB2AB1 =+
==+
=
)V(32,06141
61UU;)V(48,0
6141
41UU AB5AB3 =+
==+
=
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Con la tensin existente en bornas de cada condensador, sabiendo que la energa almacenada por el
mismo es: 2CC UC2
1W = , y sustituyendo datos, obtenemos el siguiente resultado en mJ:
307W:)F(6C;461284W:)F(4C;142W:)F(4C;284W:)F(2C 44332211 ========
* El alumno puede comprobar el resultado calculando el condensador equivalente a la asociacin y la
energa almacenada por ste. Esta energa ser igual a la suma de las calculadas para cada condensa-
dor.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
El circuito de la figura est en rgimen estacionario
de continua. Tomando al menos como incgnitas las
tensiones UAB y UCD, realice un anlisis mediante
ecuaciones nodales. Qu energa absorben el con-
densador y la bobina, supuestos un estado inicial
nulo?
Solucin:
Recordamos que al realizar un anlisis en rgi-
men de continua, el condensador y la bobina son
equivalentes, respectivamente, a un circuito
abierto y a un cortocircuito. Pasamos la F.R. de
tensin a F.R. de intensidad y elegimos un rbol que cumpla con la condicin del enunciado: debe con-
tener las ramas AB y CD.
El grafo, este rbol y sus grupos de corte bsicos se
muestran en la figura.
Sus ecuaciones son:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]2
U4I41
2
1U1
2
1U1
2
1U:U
22
1
2
1U
2
1U:U
2
U42I421
2
1U1
2
111U1
2
11U:U
2
U4I41
2
1U
2
1U1
2
11U1
2
11
2
1
2
1U:U
14214
313
14212
143211
==
++
+
+
=
++
+=+=
+
++++
++
==
+
+++
++++
Ordenando y resolviendo, los resultados son: )V(1U;)V(2U;)V(2U;)V(0U 4321 ==== .
Con estos resultados y las ecuaciones de conexin ramas-grupos de corte, construimos la tabla siguien-
te.
Ramas 1 2 3 4 5 6 7 8
U(V) 0 1 2 1 2 1 0 0
I(A) 0 - -1 - - - - -
Los datos referidos a la bobina y condensador son:
)J(4UC2
1W:)V(2UU
)J(5,0IL2
1W:)A(1II
2CC3C
2LL3L
====
====
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Analice el circuito de la figura por grupos de corte, especificando el
rbol elegido, y realice un balance de potencias.
Solucin:
En el esquema figuran el grafo, el rbol elegido y sus grupos de cor-
te bsicos. Como puede observar, el rbol contiene la rama de con-
trol de la fuente dependiente. Para este grafo las ecuaciones de cone-
xin ramas-grupos de corte son: 542641 UUU;UUU == ;
653 UUU =
Con 6UU = las ecuaciones de los grupos de corte bsicos son:
[ ] ( )
[ ] ( ) ( ) ( )
[ ] ( ) 012
1
4
1U1U
4
1U:U
40U21U1U0U:U
404
1U0U
2
1
4
1U:U
6546
66545
6544
=
++
+=+
=
+
Ordenando y resolviendo, obtenemos: )V(10UU;)V(30U;)V(50U 654 ==== .
A partir de estos resultados y de las ecuaciones de conexin, construimos la tabla siguiente.
Ramas 1 2 3 4 5 6
U(V) -60 -80 20 -50 30 10
I(A) - 40 - - 20 -
P(kW) 0.9 -3,2 0,4 1,25 0,6 0,05
* Hemos seguido el convenio de potencias consumidas igual a potencias positivas.
* Es importante saber elegir el rbol ms conveniente.
* Elija otro rbol y vuelva a resolver el anlisis.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En el circuito de la figura analice por nudos y realice un balance de po-
tencias. En la figura la fuente de intensidad en amperios y las conduc-
tancias en Siemens (S).
Solucin:
En el grafo del circuito hemos identificado los nudos y marcado el ter-
minal de referencia.
Las ecuaciones de conexin ramas-nudos son: C2A1 UU;UU == ;
CB5B4AB3 UUU;UU;UUU === .
Las ecuaciones nodales son, con AU3I =
[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) )V(23,1U
)V(59,0U
)V(57,0U
0U6UU12
4UU7U2
4U2U5
U12I415U1U0U:C
41U124U2U:B
40U2U23U:A
C
B
A
CBA
CBA
BA
ACBA
CBA
CBA
=
=
=
=+
=+
=
==++
=+++
=+
A partir de este resultado y las ecuaciones de conexin escribimos la siguiente tabla:
Rama 1 2 3 4 5
4I (A) 5(S) 4(A) 2(S)
U(V) 0,57 -1,23 -1,23 -1,15 -1,15 -0,59 0,64
I(A) - 6,79 - 4 - - -
P(W) 0,96 -8,35 7,56 -4,6 2,65 1,37 0,41
En la tabla, el convenio de signo en las potencias, es el de potencias consumidas: P>0
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Analice el circuito de la figura por ecuaciones nodales y realice un balan-
ce de potencias. En la figura, las fuentes en voltios y amperios, respecti-
vamente.
Solucin:
En primer lugar, como puede comprobar el alumno, la intensidad I,
que controla la tensin de la fuente dependiente, es la misma que cir-
cula por la resistencia de 3(); en segundo lugar, cambiamos las F.R.
de tensin en F.R. de intensidad, tal como aparece en el esquema.
En el grfico siguiente representamos el grafo del circuito, sealando
el nudo de referencia para aplica el anlisis por nudos.
Para el grafo de la figura, las ecuaciones de conexin ramas-nudos son:
B43A2BA1 UUU;UU;UUU ==== .
Las ecuaciones de los nudos con 3UI A= son:
[ ] ( )
[ ] ( )
+=+=
++
=+=
+
3
2U2I2241
2
1U1U:U
3
2U4I241U1
3
1U:U
ABAB
ABAA
Ordenando y resolviendo el sistema, obtenemos: )A(1I;)V(2U;)V(3U BA ===
Para el grafo dado: )A(1II;)A(33
UUI2I 3
BA1 ===
+= .
Con todos estos datos y las ecuaciones de conexin ramas-nudos, escribimos la tabla resumen siguien-
te.
Ramas 1 2 3 4
2I (V) 1() 4(A) 1() 1() 2()
U(V) -2 - 3 3 4 - 2
I(A) 3 3 -4 - -1 -1 4
P(W) -6 9 -12 9 -4 2 8
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Analice el circuito de la figura mediante ecuaciones nodales, tomando
como incgnitas: UAB; UBC; UDA. Realice un balance de potencias
expresando si son cedidas o consumidas. En la figura, las fuentes en
voltios y amperios, respectivamente.
Solucin:
Cambiamos la F.R. de tensin a F.R. de intensidad, tal como aparece
en la figura, y construimos un grafo y el rbol que permite las incg-
nitas pedidas en el enunciado.
Para este rbol, con DA3BC2AB1 UU;UU;UU === , las ecuacio-
nes de conexin ramas-grupos de corte son: 314 UUU = ;
3215 UUUU = ; y para la intensidad que circula por la rama
original 3: ( ) 14UI 33 += .
Las ecuaciones de los grupos de corte bsicos son:
[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) )V(67,1U
)V(61,0U
)V(16,1U
24211U2U21U:U
22U23U2U:U
221U2U212U:U
3
2
1
3213
3212
3211
=
=
=
+=+++++
=+++
=+++++
A partir de este resultado y de las ecuaciones de conexin, recogemos en la tabla siguiente el resultado
del anlisis.
Ramas 1 2 3 4 5
4(V) 1(S) 2(A) 2(S)
U(V) 1,16 0,61 -4 - 0,51 -0,09 -0,09
I(A) - - 2,23 2,23 - 2 -
P(W) 2,70 1,10 -9,30 5,41 0,26 -0,19 0,02
* Recuerde que siempre hay que resolver el circuito original, no el que hemos modificado con el cam-
bio de fuentes. De ah el clculo de la intensidad en la rama 3.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Realice un anlisis del circuito de la figura mediante ecua-
ciones nodales, especificando la tensin e intensidad en cada
elemento. Realice un balance de potencias expresando si son
cedidas o consumidas. En la figura, las fuentes en Voltios y
Amperios, respectivamente.
Solucin:
En primer lugar modificamos el circuito para transformar las fuentes
que aparecen en la figura adjunta. El circuito resultante y su grafo se
representan en el grfico que se sita debajo.
Analizamos por nudos, con UC = 14
[ ]
[ ] ( ) )V(75,6U)V(5,7U
120U2
1
2
1U
2
1U:B
12
1U
2
1U
4
1
2
1
2
1U:A
B
A
CBA
CBA
=
=
+=
++
=
++
Las ecuaciones de conexin ramas-nudos son: B2C1 UU;UU == ;
B6A5BA4AC3 UU;UU;UUU;UUU ==== ; y las ecuacio-
nes que permiten el clculo de la intensidad en la fuente de tensin
original: 7II 1E = ; y de la tensin en la fuente de intensidad ori-
ginal: )2(UU 2I = . Con este conjunto completamos la tabla de
resultados siguientes:
Ramas 1 2 3 4 5 6
14(V) 2() 2(A) 1() 1(A) 2()
U(V) 14 14 8,75 -2 6,5 0,75 0,75 7,5 6,75
I(A) -10,25 - -2 - - 1 - - -
P(W) -143,5 98 -17.5 4 21.125 0.75 0,281 14,063 22,781
Las potencias consumidas, las hemos representado por valores positivos.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Para el circuito de la figura se pide: a) considerando el rbol formado por
las ramas AB, AC y AD, escribir, sin modificar el circuito, las ecuaciones
por anlisis de lazos bsicos; b) construir, sin modificar el circuito, las
ecuaciones por anlisis nodal especificando el rbol elegido; y c) realizar
con el resultado de uno de los dos anlisis un balance de potencias en el
circuito. En la figura, las fuentes en Voltios y Amperios, respectivamente.
Solucin:
a) Suponemos que la F. R. de intensidad est cambiada a su equivalente
de tensin. En la figura representamos el grafo, el rbol elegido, que
cumple las condiciones del enunciado, y sus lazos bsicos.
Para este rbol las ecuaciones del anlisis por lazos bsicos son:
[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )64142I4I1I:I
6464I414I414I:I
61I0I18I:I
6546
6545
6544
=++++
+=++++
=+++
Las ecuaciones de conexin ramas-lazos bsicos son: 653542641 III;III;III =+=+= .
b) En la figura adjunta se muestra para el mismo grafo y rbol anterior,
los grupos de corte bsicos. Las ecuaciones del anlisis por grupos de
corte bsicos son, con: U2 = 6
[ ]
[ ] )V(98,9U)V(53,3U
64
1
2
1
14
1U
14
1U
2
1U:U
02
1U
8
1U
8
11
2
1U:U
3
1
3213
3211
=
=
=
+++
=
++
A partir de esta solucin y de las ecuaciones de conexin ramas-grupos de corte bsicos:
316325214 UUU;UUU;UUU +=+=+= ; y de la ecuacin que permite calcular la intensidad
que circula por la fuente de tensin ideal: [ ] 23212 I14
1U
14
1
8
1U
8
1U:U =
++
, construimos la
tabla de resultados siguiente:
Ramas 1 2 3 4 5 6
Elementos 6A 4()
U(V) 3,53 6 9,97 9,97 2,47 3,98 6,44
I(A) - -0,02 -6 - - - -
P(W) 12,47 -015 -59,85 24,87 0,76 1,13 20,77
Las potencias con signo negativo representan potencias cedidas.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Analice por grupos de corte, sin modificar la geometra del circuito, y
realice un balance de potencias. En la figura, las fuentes en Voltios y Am-
perios, respectivamente.
Solucin:
En la figura representamos el grafo del circuito, un rbol, que con-
tiene las fuentes ideales de tensin (ramas 3 y 6), y sus grupos de
corte bsicos. Con U3 = 1(V) y U6 = 2(V), las ecuaciones de los
grupos de corte bsicos son:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 131U1U3U1U1U:U
23U0U32U2U0U:U
31U11U0U111U111U:U
865318
865315
865311
=+++
=++++
=++++++++
La solucin es: )V(43,1U;)V(86,0U;)V(14,1U 851 === .
A partir de las ecuaciones de conexin ramas-grupos de corte bsicos: 314532 UUU;UUU +=+= ;
8631108596317 UUUUU;UUU;UUUU ++=+=+= ; y de las ecuaciones que dan el valor
de la intensidad que circula por cada fuente ideal:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6865316
3865313
I1U11U0U11U11U:U
I1U11U2U2111U111U:U
=+++++
=+++++++++; podemos construir la tabla de resul-
tados siguientes:
Ramas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U(V) -1,14 1,86 1 -0,14 0,86 2 2,14 1,43 0,57 -0,71
I(A) 3 - -0,71 - -2 -2,86 - -1 - -
P(W) -3,43 6,90 -0,71 0,02 -1,71 -5,71 4,59 -1,43 0,98 0,51
* Las potencias estn representadas con el convenio de potencias consumidas si son positivas.
* Recuerde que en el anlisis por grupos de corte bsicos, las fuentes ideales de tensin deben formar
parte del rbol. Si el anlisis es por lazos bsicos, las fuentes ideales de intensidad deben estar en los
eslabones del rbol.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Realice un balance de potencias en el circuito de la
figura. Las fuentes de tensin en Voltios y las de
intensidad en Amperios.
Solucin:
En la figura adjunta representamos el grafo del circuito. Si
ahora, a la vista del grafo, observamos el circuito, vemos que
la rama 6, que contiene la fuente ideal de tensin de 0,5(V),
divide al circuito en dos subcircuitos, representados en los
esquemas siguientes, que pueden ser analizados de forma independiente.
Para el primer subcircuito las ecuaciones son:
( )( ) )V(932014IUU
)A(35,9III
III
5,02014I10I
55
6154
4615
54
=+==
===
==
=++
Para el segundo subcircuito las ecuaciones son:
( ) ( )
)A(055,42III
)A(705,32IIII
)A(035,1420
7,014I
)A(67,1810
2,05,0932
10
2,05,0U2I
62616
21623
2
1
=+=
===
=
+=
=
=
=
A partir de estos datos construimos la tabla de potencias, que en
este caso las daremos por rama y no por elementos.
Rama -1 ( ) ( ) )W(069,131067,1867,18932P 21 =+=
Rama 2 ( ) ( ) )W(8245,9207,0147,0P 22 =+=
Rama 3 ( ) ( ) )W(541,6705,322,0P3 ==
Rama 4 )W(225,8741035,9P 24 ==
Rama 5 ( ) ( ) )W(55,86920931493P 25 =+=
Rama -6 ( ) ( ) )W(0275,21055,425,0P6 ==
0P
6
1kk =
=
* El alumno debiera realizar un anlisis ms formal (p.e. por lazos), comprobando los resultados y
viendo el grado mayor o menor de dificultad.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
El circuito de la figura est en rgimen permanente de continua. Deter-
mine: a) el potencial del nudo A; b) el balance de potencias; y c) la ener-
ga acumulada en el campo elctrico del condensador y en el campo mag-
ntico de la bobina. Las fuentes de tensin en Voltios y las de intensidad
en Amperios.
Solucin:
Como en ejercicios anteriores, al estar el circuito en rgimen permanente
de continua, sustituimos el condensador y la bobina por sus equivalentes en este rgimen: condensador
equivalente a un abierto; bobina equivalente a un cortocircuito.
Con estas premisas el circuito que vamos a analizar y su grafo se mues-
tran en la figura adjunta.
Con 2151643 III;III;II ==== , las ecuaciones del anlisis por ma-
llas son:
( )
)A(5I
)A(35I
)A(5,7I
51I
I2153I
I2101022I
3
2
1
3
32
31
=
=
=
=
+=
+=+
A partir de estos resultados, obtenemos: )A(320III 23L == .
)V(10V;)V(52I10U A4C ===
Por tanto: a) Potencial del nudo A: )V(10VA =
c) Energa magntica en la bobina: )J(22,22IL2
1W 2LL ==
Energa elctrica en el condensador: )J(25,1UC2
1W 2CC ==
b) En la tabla siguiente se recoge el balance de potencias.
Rama 1 2 3 4 5 6
Elemento 10(V) 2() 15(V) 3() 5(V) 1() 2() 2I(A) 10(V)
I(A) 7,5 7,5 35 35 -5 -5 7,5 635 7,5
U(V) -10 - -15 - -5 - - -10 -10
P(W) -75 112,5 -25 8,33 -25 25 112,5 -58,33 -75
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Realice un balance de potencias en el circuito de la figura, expresan-
do si son cedidas o consumidas. Las fuentes de tensin en Voltios.
Solucin:
Cambiamos las F. R. de tensin. real por su equivalente de intensi-
dad y analizamos por nudos. El grafo y el nudo de referencia se mues-
tran en la figura adjunta.
[ ]
[ ] )V(48,11U)V(24,1U
6
18
1
18
1
1
6
1
3
1
5
1U
1
1
5
1U:B
2
4
1
18
1
1
5
1U
1
1
10
1
5
1
2
1U:A
B
A
BA
BA
=
=
+=
+++
+
+=
+
+++
A partir de las tensiones de los nudos las tensiones de rama son:
)V(48,11UUU;)V(72,12UUUU;)V(24,1UUU B64BA32A51 ========= ; y las intensi-
dades en las ramas activas son: ( ) ( ) )A(28,5118UUI;)A(62,224UI BA3A1 =+=== ;
( ) )A(09,1618UI B4 == .
Con estos datos confeccionamos las tabla siguiente:
Rama 1 2 3 4 5 6
Elemento 4(V) 2() 5() 18(V) 1() 18(V) 6() 10() 3()
U(V) 4 - -12,72 -18 - 18 - -1,24 11,48
I(A) -2,62 -2,62 - 5,28 5,28 -1,09 -1,09 - -
P(W) -10,48 13,72 32,36 -95,04 27,89 -19,62 7,12 0,15 43,93
* Fjese que este ejercicio es ms simple, su anlisis, por ecuaciones nodales (2 ecuaciones y dos in-
cgnitas) que por circulares (4 4cuaciones y 4 incgnitas). En este caso el anlisis por nudos, equivale
a una sola malla, como veremos a continuacin.
Modificamos el circuito como se aprecia en
la figura.. En el segundo esquema tenemos
una sola malla, de intensidad:
)A(741,2265315
615310I =
+++
= , que permite
calcular las tensiones de los nudos A y B,
con el objeto de encontrar el anlisis del original: )V(48,11I26U;)V(24,13
5I
3
10U BA =+=== .
* Como puede apreciar existen variados enfoques para el anlisis de un mismo circuito. La prctica le
permitir elegir el mtodo de anlisis ms sencillo y eficaz.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En el circuito de la figura, realice un balance de potencias y determine la
energa almacenada en cada condensador. El circuito est en rgimen per-
manente de continua. Las fuentes de tensin en Voltios, las de intensidad
en Amperios.
Solucin:
Al estar el circuito en rgimen permanente de continua, sustituimos
los condensadores por abiertos. El grafo resultante, el rbol y los la-
zos bsicos se representan en la figura adjunta.
Las ecuaciones de los lazos bsicos, con: 2I;I2I;II 2151 === , son:
[ ] ( ) ( ) )A(2I:)A(1II:72I12I:I 51211 ====++
Completamos el clculo de intensidades con las ecuaciones de cone-
xin ramas-lazos: )A(2II;)A(0III;)A(3III 56524213 ===+===
La tensin en las fuentes de intensidad son:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )V(412I1IU;)V(61I2I21IU 5255122 =+==++= .
( Compruebe que estas ecuaciones, en las que hemos calculado las tensiones de las fuentes de intensi-
dad, son las ecuaciones de los dos lazos bsicos en cuyos eslabones estn dichas fuentes)
Con estos datos las potencias se resumen en la tabla siguiente:
Ramas 1 2 3 4 5 6
Elementos 7(V) 1() 2(A) 2() 1() 2I(A) 2()
P(W) -7 1 -12 18 0 -8 8
Para calcular la energa almacenada por cada condensador, calculamos, en primer lugar, la tensin a la
que estn sometidos.
)V(6,07131
31UU;)V(4,1
7131
31UU:)V(2226UUU F7F362 =
+==
+==+=+= ;
donde hemos usado que la tensin en el condensador es inversamente proporcional a su capacidad; y
que ambos forman un divisor de tensin.
Las energas almacenadas son: ( ) ( ) )J(26,16,072
1W;)J(94,24,13
2
1W
2F7
2F3 ====
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
El circuito de la figura es una versin en corriente continua de una distri-
bucin a 3 hilos, donde RN representa la resistencia del neutro y RL la de
los conductores. a) Calcule la potencia consumida por las cargas R1, R2,
R3; y b) el rendimiento de la instalacin, entendida como relacin entre
potencia cedida por las fuentes y aprovechada en las cargas. d) Si el neu-
tro queda abierto por un fallo en la instalacin, cul es la sobrecarga de
tensin que experimentan las cargas del receptor? RL=0,2(); R1=9,4();
R2=19,4(); R3=11,2(); RN=0,4().
Solucin:
En primer lugar analizamos el circuito. Lo haremos por lazos bsicos,
sobre el grafo y rbol sealado en la figura. Las ecuaciones de conexin
ramas-lazos son: 216325314 III;III;III +=== .
Las ecuaciones de lazos bsicos son:
[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) )A(38,20I
)A(03,6I
)A(83,11I
2402,02,02,11I2,0I2,0I:I
1202,0I4,02,04,19I4,0I:I
1202,0I4,0I4,02,04,9I:I
3
2
1
3213
3212
3211
=
=
=
=++++
=++++
=+++
A partir de aqu, las intensidades en los eslabones son: )A(8,5I;)A(41,26I;)A(21,32I 654 === .
a) La potencia consumida por las cargas es: )W(6675RIRIRIP 3232
221
21asargc =++=
b) La potencia cedida por los generadores es: )W(7036I120I120P 54sgeneradore ==
Luego el rendimiento pedido es: %88,94P
P
sgeneradore
asargc ==
(Fjese que hemos tomado, para la potencia de los generadores, el criterio de potencias generadas co-
mo positivas)
c) Si abrimos el neutro, el circuito queda como aparece en el esquema
adjunto. Para el anlisis suponemos cambiadas las fuentes por una nica
fuente de intensidad y aplicamos el concepto de divisor de intensidad.
( )( ) ( )
)A(49,72,1112,02,014,94,191
4,94,191
2,02,0
240II N2N1 =++++
+
+==
( ) ( ))A(42,20
2,1112,02,014,94,191
2,111
2,02,0
240I N3 =++++
+
=
Por tanto las variaciones de tensin en las cargas son: ( ) )V(6,36RIIRIU 11N1111 === ;
( ) ( ) )V(45,0RIIRIU;)V(1,37RIIRIU 33N333322N2222 ====== .
* Este apartado lo resolveremos ms adelante usando el teorema de compensacin.
* Puede repetir este apartado suponiendo que el neutro pasa a ser un cortocircuito.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Realice un balance de potencias en el circuito de la figura. Las fuen-
tes de tensin en Voltios, las de intensidad en Amperios.
Solucin:
Analizamos por grupos de corte bsicos, con el grafo y rbol de la
figura adjunta.
Las ecuaciones de conexin ramas-grupos de corte son:
3216325314 UUUU;UUU;UUU ++=+=+=
Con 113211 U11I11U;135U;1UI ==== ; las ecuaciones
de los grupos de corte son:
[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) )A(10I
)V(88U:)V(8U
108I2U11
0I4U5
I7,2I8,0101U101U:U
I8,051U511U:U
2
31
21
21
22312
2311
=
==
=+
=
+=+
=++
Para calcular la intensidad I3 usamos la ecuacin del grupo de corte U3:
[ ] ( ) ( ) ( ) )A(6I:7,2I8,0I10151U101U51U:U 3233213 =++=+++
(Podramos haber elegido tambin la LKI aplicada a cualquiera de los nudos de la rama 3)
Con estos resultados y las ecuaciones de conexin ramas-grupos de corte anteriores construimos la
tabla siguiente.
Ramas 1 2 3 4 5 6
Elementos 1() 135(V) 1I11 5() 2,7(A) 10() 2I8,0
U(V) 8 135 -88 -80 47 47 55
I(A) - -10 6 - -2,7 - 8
P(W) 64 -1350 -528 1280 -126,9 220,9 440
Fjese que en este caso es necesario construir tambin la ecuacin de un grupo de corte (el grupo de
corte U2) que contiene una fuente ideal de tensin. Esto es as porque su intensidad es el control de la
fuente controlada de la rama 6.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Realice un balance de potencias en el circuito de la figura.
Las fuentes de tensin en Voltios, las de intensidad en Amperios.
Solucin:
Analizaremos el circuito por lazos bsicos, previa conversin de la
F. R. de intensidad a su equivalente en F. R. de tensin. El grafo, el
rbol y los lazos considerados se muestran en la figura adjunta.
Con 25 I5,0I = , las ecuaciones de lazos bsicos son:
[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 30I10I7
0II
100205,6I720I20I:I
I710I102I:I
21
21
1522
1511
=+
=
+=+
=++
Resolviendo, obtenemos: )A(5I;)A(10II 521 ==
Con estos resultados y las ecuaciones de conexin ramas-lazos: 5145213 III;IIII +== ; y la
ecuacin de la tensin en la rama 6 que contiene la F. R. de intensidad: ( ) 20II5,620U 526 += ;
construimos la tabla de resultados siguiente:
Ramas 1 2 3 4 5 6
Elementos 2() 100(V) )V(I7 1 10() )A(I5,0 2 6,5(A) 20()
I(A) 10 10 -15 5 -5 -6,5 -
U(V) - 100 70 - 50 30 30
P(W) 200 1000 -1050 250 -250 -195 45
Fjese que para la rama 6 hemos calculado su tensin, ya que en el circuito la fuente es de intensidad y
no de tensin. Recuerde que siempre hay que dar el resultado del anlisis y del balance de potencias
sobre el circuito original.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
En el circuito de la figura, R es una resistencia variable.
Cul es el valor de R que hace que la fuente ceda intensidad
nula? Los amplificadores operacionales son ideales y traba-
jan en zona lineal.
Solucin:
En la figura sealamos alguna de las magnitudes del
problema as como los nudos del circuito.
( En todos los ejercicios con AO usaremos la misma
tcnica de identificacin de los nudos, tomando el nme-
ro que identifica al AO precedido de 0 si se trata del nu-
do de salida, y seguido de - si se trata de la entrada inversora y de + si se trata de la entrada no
inversora. Salvo especificacin en contrario usaremos siempre anlisis por nudos.)
Si la fuente cede intensidad nula: 2121 II:0II ==+ , donde: ( ) ( ) RUEI;k15UEI 02211 == .
Por tanto: k15UE
UER:
R
UE
k15
UE
1
02021
=
=
(1).
Analizamos el circuito para determinar las tensiones de los nudos anteriores.
[ ]
[ ]
[ ][ ]
++
++
++
==
=
=
=
+
=
+
2211
22
11
020122
0111
UU;UU
0U:U
0U:U
0k32
1U
k20
1U
k32
1
k20
1U:U
0k45
1U
k15
1E
k45
1
k15
1U:U
Ordenando: E5
24U
0U5U8
0UE302
0201
01 =
=
=
Sustituyendo este valor en (1): ( )
)k(57R:k15E
519ER ==
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Determine en el circuito de la figura el valor de R que satura el amplifica-
dor operacional.
El AO es ideal con tensiones de alimentacin de 10(V).
Solucin:
Analizaremos el circuito, para encontrar el valor de la tensin de salida del AO en funcin de R.
[ ]
[ ]
+
++
=
=
+
=
+
+
UU
0k5
18
k15
1
k5
1U:U
0R
18
R
1
k1
1U
R
1
k1
1U:U 0
Tomando R en k, y simplificando: 2
U6R:
R
1
1
16
1
8
R
U 00 =
++= .
Para que el AO entre en saturacin, la tensin de salida debe ser igual a la de alimentacin del mismo.
Para )k(2R:)V(10U0 =+= , luego el AO no satura a positivo ya que necesitara un valor negativo
de R.
Para )k(8R:)V(10U0 == , luego el AO se satura a negativo para una valor de la resistencia R de
8(k).
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Determine en el circuito de la figura los valores de U e I.
Los amplificadores operacionales son ideales y trabajan en zona
lineal.
Dato: E = 0,5(V).
Solucin:
Supuestos los AO ideales, las intensidades de entrada a los
mismos son nulas; y supuestos en zona lineal, las tensiones de
entrada son: 0UU;5,0EUU 2211 ===== ++ .
Llevando estos resultados al esquema adjunto, tenemos:
)V(5,2Uk4IU:)mA(5,0I:k1IU 1021 =+=== ;
en el AO 2: )V(5U:k5Uk10U 02 == . (2)
Por tanto: )V(5U:)mA(5,0I ==
Fjese que la ecuacin (2) es la ecuacin del nudo de la entrada no inversora.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Encuentre el valor de las tensiones, U1 y U2, en fun-
cin de las intensidades I1 e I2. Analice por nudos.
Los amplificadores operacionales son ideales y traba-
jan en zona lineal. Todas las conductancias tienen el
mismo valor G.
Solucin:
En el esquema adjunto hemos identificado los AO.
Analizamos por nudos, teniendo en cuenta las premisas
del enunciado: AO ideales y en zona lineal.
222
111
UUU
UUU
==
==
+
+
Recuerde que el anlisis por nudos en los circuitos con
AO se extiende a todos los nudos, con excepcin de los
nudos de salida de cada operacional. Las ecuaciones de estos nudos de salida se construyen slo con el
propsito de calcular la corriente de salida de los AO.
[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2)
(3)(1)
2101
21022
02012
1212
12011
011
IGUGU:IGUGUGGU:2
0GUGUGGU:2
RIU:IGU:IGUGUGGU:1
0GUGGU:1
=+
=++
=+
==
=++
=+
Sustituyendo (1) en (2): ( ) (4)2121101 IRU:IGU:U2U ===
Las ecuaciones (3 y (4) son la solucin pedida:
=
=
=
2
1
2
1
12
21
I
I
0R
R0
U
U:
IRU
IRU
* Si observamos la ecuacin matricial, la tensin de entrada depende de la intensidad de salida y la
tensin de salida de la intensidad de entrada. De ah el nombre de rotador o girador con el que se
conoce a este circuito.
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
Ejercicios de Circuitos Salcedo&Lpez
El potencimetro R tiene un valor de 100(k), y vara en el in-
tervalo [0,1: 1]. Determine el intervalo de valores de en que el
AO est en zona lineal. Cul es la variacin de I en funcin de ?
Las tensiones de alimentacin del AO son 7(V). El AO es ideal.
Dato: E = 40(mV).
Solucin:
En el esquema hemos sealado el nudo virtual (A) que marca el
cursor del potencimetro en el mismo, determinando dos seg-
mentos de resistencia.
Analizamos por nudos con: 0UU == + ; y tomamos las resis-
tencias en k, las tensiones en V y las intensidades en mA.
[ ]
[ ]( ) ( )
0R1
1U
R1
1
R
1
50
1U:A
02
1E
50
1U:
0A
A
=
+
+
=