Post on 23-Jan-2016
Probabilidad y Estadística
X = x
Unidad de muestreo
Mediremos un atributo
Variable aleatoriaValor que toma la variable aleatoria
Probabilidad y Estadística
Sea S el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable aleatoria X, que llamaremos Espacio de Estado
Al espacio de estado S lo dotaremos con una probabilidad, de tal manera que “refleje” de buena manera, como modelo, la situación que queremos estudiar (predecir)
Conforme sea la estructura de S obtendremos probabilidad discreta o no discreta
Probabilidad y Estadística
Si S es el conjunto de los números reales, o un intervalo de números reales, ¿cómo definimos una probabilidad?
Supongamos que S es el conjunto R de los números reales, entonces si existe una función f real no negativa tal que
1)( dxxf
Probabilidad y Estadística
Entonces esta función define una probabilidad sobre los números reales R, de la manera siguiente
b
a
dxxfbXa )(Pr
Y este valor se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria X se encuentre entre los valores a y b
Probabilidad y Estadística
•Un capítulo esencial en la teoría de la probabilidad es “mostrar buenas” funciones reales no negativas que satisfagan que la integral sobre toda la recta real sea 1.
•Pero lo esencial es que este tipo de funciones, que se llaman funciones de densidad, efectivamente generen probabilidades que sean frecuentes en la naturaleza y en los procesos humanos.
x
exf(
2
1)(
La función de densidad “normal”
media
varianza
Probabilidad y Estadística
x
exf(
2
1)(
b
a
dxxfbXa )(Pr
a bX
La densidad normal
Probabilidad y Estadística
Propiedades de la densidad “normal”
dxeXEx(
2
1
22)( XEXEXV
x
exf(
2
1)(
Puntos de inflexión (la curva cambia de concavidad)
Papel de la desviación estándar en la densidad normal
Muchos fenómenos siguen este tipo de curva
Una tabla de frecuencia
Probabilidad y Estadística
Unidad de muestreo
Medimos un mismo atributo sobre n unidades de muestreo
nn xXxXxX ,,, 2211
Y el gráfico de frecuencia fue así ...
Inferencia Estadística
Probabilidad y EstadísticaInferencia Estadística
Población
Con estos simples gráficos parece claro que el atributo X de la población, en base a la muestra que se tomo, se distribuye según una ley de densidad normal
¿qué parámetros tiene la población?
Probabilidad y EstadísticaInferencia Estadística
Población
Se “estiman” estos parámetros mediante máxima verosimilitud
n
iix
nx
1
1
2
1
2
1
1
n
ii xx
nS
Probabilidad y EstadísticaInferencia Estadística
x 2SCon los valores de y
trataremos de inferir los verdaderos valores de y
Se sabe que si cada variable nXXX ,,, 21
sigue una densidad normal con y entonces
S
nXtn
)(1
sigue una ley de densidad llamada t - student con n - 1 grados de libertad (tiene casi la misma forma que la normal)
Intervalo de confianza para
Probabilidad y EstadísticaInferencia Estadística
1
t n( ) 1
t2
t2
S
nXT
)(
T
Probabilidad y EstadísticaInferencia Estadística
1)(
Pr22
tS
nXt
1
t n( ) 1
t2
t2
T
1)Pr(n
StX
n
StX
Intervalo para la media con una confianza de 1-
Probabilidad y EstadísticaInferencia Estadística
Se sabe que si cada variable nXXX ,,, 21
sigue una densidad normal con y entonces
2
2)1(
Sn
J
sigue una ley de densidad llamada Ji-cuadrado con n - 1 grados de libertad (está concentrada en el eje positivo)
Intervalo de confianza para
Probabilidad y EstadísticaInferencia Estadística
0 5 10 15 20 25 300
1 a b
21( )n
J
Pr(( ) ( )
)n S
b
n S
a
1 11
22
2
1)1(
Pr2
2
bSn
a
Intervalo para la varianza con confianza de 1-
Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística
),( 21 NX según distribuye se
),( 22 NY según distribuye se
Ambas variables miden el mismo atributo, pero en distintas poblaciones
Diferencia de medias
Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística
),( 21 NX según distribuye se
),( 22 NY según distribuye se
nn xXxXxX ,,, 2211
mm yYyYyY ,,, 2211
n
XX
n
ii
1
1
)(1
2
2
n
XXS
n
ii
X
m
YY
m
ii
1
1
)(1
2
2
m
YYS
m
ii
Y
Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística
2
)1()1( 222
mn
SmSnS YX
C
Un estimador de la varianza basada en las dos muestras es
Por otro lado, se demuestra que
))/1/1(,( 221 mnNYX como distribuye se
mnS
YXT
C /1/1
)()( 21
Sigue una distribución t-student con n+m-2 grados de libertad
Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística
Por lo tanto un intervalo de confianza (1- ) para la diferencia de medias está dado por
)/1/1()( 2)2( mnStYX Cmn
Percentil (1-100 de la distribución t-student con n+m-2 grados de libertad
Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística
),( 211 NX según distribuye se
),( 222 NY según distribuye se
Ambas variables miden el mismo atributo, pero en distintas poblaciones
Cociente de varianzas
Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística
),( 211 NX según distribuye se
),( 222 NY según distribuye se
nn xXxXxX ,,, 2211
mm yYyYyY ,,, 2211
n
XX
n
ii
1
1
)(1
2
2
n
XXS
n
ii
X
m
YY
m
ii
1
1
)(1
2
2
m
YYS
m
ii
Y
Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística
),( 211 NX según distribuye se
),( 222 NY según distribuye se
nn xXxXxX ,,, 2211
mm yYyYyY ,,, 2211
g.l. 1-n con cuadrado-Ji una según distribuye se 21
2
1
)1(
XSnJ
g.l. 1-m con cuadrado-Ji una según distribuye se 22
2
2
)1(
YSmJ
Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística
g.l. 1-n con cuadrado-Ji una según distribuye se 21
2
1
)1(
XSnJ
g.l. 1-m con cuadrado-Ji una según distribuye se 22
2
2
)1(
YSmJ
Ambas son independientes. Entonces
)1/(
)1/(
2
1
mJ
nJF
Sigue una distribución F de Fisher con (n - 1) grados de libertad en el numerador y (m - 1) grados de libertad en el denominador.
Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística
0 5 10 15 20 25 300
1
)2/,1,1( mnF )2/1,1,1( mnF
)1,1( mnF
1Pr )2/1,1,1(21
2
22
2
)2/,1,1( mnY
Xmn F
S
SF
Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística
0 5 10 15 20 25 300
1
)2/,1,1( mnF )2/1,1,1( mnF
)1,1( mnF
)2/,1,1(
22
)2/1,1,1(
22 /,
/
mn
YX
mn
YX
F
SS
F
SS
Intervalo de confianza para la razón 22
21