Probabilidad y Estadística X = x Unidad de muestreo Mediremos un atributo Variable aleatoria Valor...

Probabilidad y Estadística

X = x

Unidad de muestreo

Mediremos un atributo

Variable aleatoriaValor que toma la variable aleatoria


Sea S el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable aleatoria X, que llamaremos Espacio de Estado

Al espacio de estado S lo dotaremos con una probabilidad, de tal manera que “refleje” de buena manera, como modelo, la situación que queremos estudiar (predecir)

Conforme sea la estructura de S obtendremos probabilidad discreta o no discreta


Si S es el conjunto de los números reales, o un intervalo de números reales, ¿cómo definimos una probabilidad?

Supongamos que S es el conjunto R de los números reales, entonces si existe una función f real no negativa tal que

1)( dxxf


Entonces esta función define una probabilidad sobre los números reales R, de la manera siguiente

b

a

dxxfbXa )(Pr

Y este valor se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria X se encuentre entre los valores a y b


•Un capítulo esencial en la teoría de la probabilidad es “mostrar buenas” funciones reales no negativas que satisfagan que la integral sobre toda la recta real sea 1.

•Pero lo esencial es que este tipo de funciones, que se llaman funciones de densidad, efectivamente generen probabilidades que sean frecuentes en la naturaleza y en los procesos humanos.

x

exf(

2

1)(

La función de densidad “normal”

media

varianza


x

exf(

2

1)(

b

a

dxxfbXa )(Pr

a bX

La densidad normal


Propiedades de la densidad “normal”

dxeXEx(

2

1

22)( XEXEXV

x

exf(

2

1)(

Puntos de inflexión (la curva cambia de concavidad)

Papel de la desviación estándar en la densidad normal

Muchos fenómenos siguen este tipo de curva

Una tabla de frecuencia


Unidad de muestreo

Medimos un mismo atributo sobre n unidades de muestreo

nn xXxXxX ,,, 2211

Y el gráfico de frecuencia fue así ...

Inferencia Estadística

Probabilidad y EstadísticaInferencia Estadística

Población

Con estos simples gráficos parece claro que el atributo X de la población, en base a la muestra que se tomo, se distribuye según una ley de densidad normal

¿qué parámetros tiene la población?


Población

Se “estiman” estos parámetros mediante máxima verosimilitud

n

iix

nx

1

1

2

1

2

1

1

n

ii xx

nS


x 2SCon los valores de y

trataremos de inferir los verdaderos valores de y

Se sabe que si cada variable nXXX ,,, 21

sigue una densidad normal con y entonces

S

nXtn

)(1

sigue una ley de densidad llamada t - student con n - 1 grados de libertad (tiene casi la misma forma que la normal)

Intervalo de confianza para


1

t n( ) 1

t2

t2

S

nXT

)(

T


1)(

Pr22

tS

nXt

1

t n( ) 1

t2

t2

T

1)Pr(n

StX

n

StX

Intervalo para la media con una confianza de 1-


Se sabe que si cada variable nXXX ,,, 21

sigue una densidad normal con y entonces

2

2)1(

Sn

J

sigue una ley de densidad llamada Ji-cuadrado con n - 1 grados de libertad (está concentrada en el eje positivo)

Intervalo de confianza para


0 5 10 15 20 25 300

1 a b

21( )n

J

Pr(( ) ( )

)n S

b

n S

a

1 11

22

2

1)1(

Pr2

2

bSn

a

Intervalo para la varianza con confianza de 1-

Inferencia Estadística Probabilidad y Estadística

),( 21 NX según distribuye se

),( 22 NY según distribuye se

Ambas variables miden el mismo atributo, pero en distintas poblaciones

Diferencia de medias




nn xXxXxX ,,, 2211

mm yYyYyY ,,, 2211

n

XX

n

ii

1

1

)(1

2

2

n

XXS

n

ii

X

m

YY

m

ii

1

1

)(1

2

2

m

YYS

m

ii

Y


2

)1()1( 222

mn

SmSnS YX

C

Un estimador de la varianza basada en las dos muestras es

Por otro lado, se demuestra que

))/1/1(,( 221 mnNYX como distribuye se

mnS

YXT

C /1/1

)()( 21

Sigue una distribución t-student con n+m-2 grados de libertad


Por lo tanto un intervalo de confianza (1- ) para la diferencia de medias está dado por

)/1/1()( 2)2( mnStYX Cmn

Percentil (1-100 de la distribución t-student con n+m-2 grados de libertad




Ambas variables miden el mismo atributo, pero en distintas poblaciones

Cociente de varianzas




nn xXxXxX ,,, 2211

mm yYyYyY ,,, 2211

n

XX

n

ii

1

1

)(1

2

2

n

XXS

n

ii

X

m

YY

m

ii

1

1

)(1

2

2

m

YYS

m

ii

Y




nn xXxXxX ,,, 2211

mm yYyYyY ,,, 2211

g.l. 1-n con cuadrado-Ji una según distribuye se 21

2

1

)1(

XSnJ

g.l. 1-m con cuadrado-Ji una según distribuye se 22

2

2

)1(

YSmJ


g.l. 1-n con cuadrado-Ji una según distribuye se 21

2

1

)1(

XSnJ

g.l. 1-m con cuadrado-Ji una según distribuye se 22

2

2

)1(

YSmJ

Ambas son independientes. Entonces

)1/(

)1/(

2

1

mJ

nJF

Sigue una distribución F de Fisher con (n - 1) grados de libertad en el numerador y (m - 1) grados de libertad en el denominador.


0 5 10 15 20 25 300

1

)2/,1,1( mnF )2/1,1,1( mnF

)1,1( mnF

1Pr )2/1,1,1(21

2

22

2

)2/,1,1( mnY

Xmn F

S

SF


0 5 10 15 20 25 300

1

)2/,1,1( mnF )2/1,1,1( mnF

)1,1( mnF

)2/,1,1(

22

)2/1,1,1(

22 /,

/

mn

YX

mn

YX

F

SS

F

SS

Intervalo de confianza para la razón 22

21

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