Distribución Probabilidad (Variable Aleatoria Discreta)

Distribución de Probabilidad

Variables discretas

Álvaro José Flórez

1Escuela de Estadística

Facultad de Ingeniería

Febrero - Junio 2014

Introducción

La teoría estadística estudia fenómenos cuyos comportamientos nopueden ser predeterminados (experimentos aleatorios).

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimentoaleatorio se denomina espacio muestral.

En un experimento aleatorio frecuentemente hay más interés porciertos valores numéricos que se pueden deducir de los resultados delexperimento que por el espacio muestral. Por ejemplo: Al lanzar dosdados se puede estar interesado en la suma de los resultados.

Variable Aleatoria

Dado un experimento aleatorio con el espacio muestral S, una variblealeatoria X es una función de�nida sobre S que asigna a cadaelemento de S un número real.

Ejemplo:

• Suma del resultado del lanzamiento de dos dados,X : {2, 3, . . . , 11, 12}.

• Tasa de desempleo en el siguiente mes, X = [0, 1]

Variable Aleatoria

Una forma de clasi�car a las variables aleatorias es según los valoresque toman y se tienen dos tipos:

Variables aleatorias discretas. son aquellas que toman valores enun conjunto �nito o in�nito enumerable, por lo general los númeronaturales.Variables aleatorias continuas. son aquellas que toman valores enun intervalo, entendiendo que el conjunto de los número reales es unintervalo de forma (−∞,∞).

Distribución de probabilidad

Dada una variable aleatoria X, estamos interesados en calcularprobabilidades acerca de los valores que toma. Puesto que cada sucesotiene una determinada probabilidad de ocurrencia, se puede puede trasladardicha probabilidad al valor correspondiente de X.

X es la suma del resultado del lanzamiento de dos dados

P (X = 2) = {(1, 1)} = 136

P (X = 3) = {(1, 2), (2, 1)} = 236

P (X = 4) = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} = 336

...P (X = 11) = {(6, 5), (5, 6)} = 2

36P (X = 12) = {(6, 6)} = 1

36

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es la

descripción de las probabilidades asociadas a cada valor posible de X.

Distribución de probabilidad

Si una v.a toma valores x1, x2, . . . , xn la regla que asocia a cadauno de ellos las probabilidades p1, p2, . . . , pn respectivamente, sedenomina función de probabilidad.

X : Suma del resultado del lanzamiento de dos dados.

P (X = x) =

{6−|7−x|

36 si x = 2, 3, . . . , 120 en otro caso

2 4 6 8 10 12

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

Suma del resultado de dos dados

Pro

babi

lidad

3 5 7 9 11

Distribución de probabilidadSea X una variable aleatoria discreta (x1, x2, . . . , xn). Se llamará a p(x) ≡P (X = x) función de probabilidad de la variable aleatoria X, si satisfacelas siguientes propiedades:

• p(x) ≥ 0 para todos los valores x de X.

•∑n

i=1 p(xi) = 1

La función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X es laprobabilidad de que X sea menor o igual a un valor especí�co de x y estádada por:

F (x) ≡ P (X ≤ x) =∑xi≤x

p(xi)

Se cumple que:

• 0 ≤ F (x) ≤ para cualquier x

• F (xi) ≥ F (xj), si xi ≥ xj• P (X > x) = 1− F (x)

Ejemplos

En un proceso de inspección de elementos fabricados por unamáquina se observan 3 elementos para determinar si se puedeclasi�car como correcto o defectuoso. Suponiendo que la probabilidadde que el elemento sea defectuoso es de 0.05. Sea la variable aleatoriaX el número de piezas que están defectuosas. Determine la funciónde probabilidad de X

Ejemplos

Suponga que se tiene tres oportunidades para lanzar una monedahasta que aparezca una cara. El juego termina en el momento en elque cae una cara o después de los tres intentos. Si en el primero,segundo o tercer lanzamiento aparece cara, el jugador recibe $500,$1000, $2000. Si no cae cara en ninguno de los lanzamientos eljugador pierde $5000.

Determine la distribución de probabilidad para la ganancia de unjuego.

¾Estaría usted dispuesto a jugar?

Ejemplo

Simulación de 100 juegos (100 lanzamientos, cuota $5.000

0 20 40 60 80 100

−40

−20

020

40

partidas

Gan

anci

a en

mile

s

J. Perdidos 24J. Ganados 76

¾Como puedo hacer para que el juego sea justo para ambas partes?

Valor esperado

La esperanza (Valor esperado) de una variable aleatoria tiene susorígenes en los juegos de azar. En este sentido, el valor esperadorepresenta la cantidad de dinero promedio que el jugador estádispuesto a ganar o perder después de un número grande de apuestas.Este valor, que representa centralidad, al igual que la varianza, quedescribe dispersión, sirven de medidas que resumen una distribuciónde probabilidad

La media o valor esperado de una variable discreta X, se denotacomo µ o E(X), es:

E(X) =n∑i=1

xip(xi)

Ejemplo

Simulación de 100 juegos (100 lanzamientos, cuota $6.000)

0 20 40 60 80 100

−60

−40

−20

020

40

partidas

Gan

anci

a en

mile

sJ. Perdidos 46J. Ganados 54

Para que un juego sea justo es necesario que E(X) = 0

Varianza

La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersiónde la distribución de probabilidad de esta.

La varianza de X, se denota como σ2 o V ar(X), es:

V ar(X) =

n∑i=1

(xi − E(X))2 p(xi)

Representa la distancia cuadrática promedio a la media. La raízcuadrada de la varianza recibe el nombre de desviación estándar.

Propiedades

Para cualquier constante a y b se cumple que:

Para la media

• E(aX) = aE(X)

• E(X + b) = E(X) + b

• E(aX + b) = aE(X) + b

Para la varianza

• V ar(aX) = a2V ar(X)

• V ar(X + b) = V ar(X)

• V ar(aX + b) = a2V ar(X)

Ejemplo

Una compañía proveedora de productos químicos tiene en existencia100 libras de un producto que vende a los clientes en lotes de 5 libras.Sea X = número de lotes que pide un cliente seleccionado al azar ysuponga que X tiene la siguiente función de probabilidad:

X 1 2 3 4p(X) 0.2 0.4 0.3 0.1

1 Calcule E(X) y V (X)

2 Calcule el número esperado, y la varianza, de libras sobrantesdespués que se envía el pedido al cliente.

Modelos probabilísticos

Los modelos probabilísticos son usados para modelar el comportamiento dela población. Por lo general se tienen en cuenta familias de distribucionesen lugar de distribuciones particulares. Estas familias están totalmentede�nidas por uno o más parámetros, que varían ciertas características dela distribución.

Estos modelos son de gran utilidad para diversos problemas prácticos. Laelección de un modelo para representar un fenómeno de interés debe sermotivada tanto por la comprensión de la naturaleza del fenómeno, comopor la veri�cación de la distribución seleccionada a través de la evidenciaempírica.

En el caso discreto algunas de estas distribuciones son: Binomial, Poisson,

Hipergeométrica.

Distribuciones de probabilidad

Proceso Bernoulli

Un experimento Bernoulli debe tener las siguientes propiedades:

• El experimento consiste en n intentos repetidos.

• Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasi�carsecomo un éxito o como un fracaso.

• La probabilidad de éxito (p), permanece constante para todoslos intentos.

• Los experimentos son independientes. Saber el resultado de

una observación no te indica nada sobre las restantes

observaciones

Distribución Binomial

De�nición:

Un experimento Bernoulli puede resultar en un éxito con unaprobabilidad p y un fracaso con una probabilidad 1 − p. Entoncesla distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X,que determina el número de éxitos en n ensayos independientes, es:

p(x) =

(nx

)px(1− p)n−x x = 0, 1, . . . , n

Donde 0 ≤ p ≤ 1.

E(X) = np V (X) = np(1− p)

Distribución Binomial

Fig: Representación grá�ca

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Binomial(N=10,p=0.1)

Número de éxitos

Y

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Número de éxitos

Y

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Número de éxitos

Y

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30


Número de éxitos

Y

Ejemplos

Un examen de estadística consta de 5 preguntas cada una de ellas concuatro respuestas de las cuales una sola es correcta. Un alumno respondeal azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las preguntas). ¾Cuál es laprobabilidad de que resuelva bien a 3 o más preguntas?

Un catador de vinos a�rma que el 90% de las veces puede distinguir entreun vino �no y uno corriente con sólo degustar un sorbo. Para comprobarsu a�rmación, se le aplicará una pequeña prueba: degustar 9 muestras devino y decidir en cada caso si se trata de vino �no o corriente. El criteriopara aceptar su a�rmación es que si acierta por lo menos en 6 muestras seaceptará su a�rmación, y en caso contrario se rechazará como falsa.

Determine la probabilidad de si el sujeto no conoce nada de vinos y sóloestá adivinando, logre pasar esa prueba.Calcule la probabilidad de aun suponiendo que es cierto lo que a�rma (quees capaz de acertar el 90% de las veces), no logre pasar la prueba.

Distribución Hipergeométrica

Sea N el número total de objetos en una población �nita, de manera talque k de éstos es de un tipo y N−k de otros. Si se selecciona una muestraaleatoria de la población constituida por n objetos de la probabilidad deque x sea de un tipo exactamente y n − x sea del otro, está dada por lafunción de probabilidad hipergeométrica:

p(x) =

(kx

)(N − kn− x

)(Nn

) , x = max(0, n+ k −N), . . . ,mın(k, n);

x ≤ k, n − x ≤ N − k, N,n, k enteros positivos. El valor esperado y lavarianza quedan de�nidos como:

E(X) =nk

NV (X) = np(1− p)

(N − nN − 1

)

Ejemplo

La policía sospecha que en un camión cargado con 40 bultos de arrozse han camu�ado paquetes de cocaína. Para con�rmar su sospecha,la policía escoge al azar 5 bultos para inspeccionarlos. Si en efecto, delos 40 bultos de arroz, que contiene el camión, 10 tienen camu�adascocaína, ¾Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de losbultos de la muestra contenga cocaína?

Cinco individuos de una población animal se cree está cerca de laextinción en cierta región, fueron capturados, marcados y liberadospara mezclarse con la población. Después que tuvieron la oportunidadde mezclarse, se seleccionó una muestra aleatoria de 10 de estosanimales. Si en realidad hay 25 animales de este tipo en la región,¾Cuál es la probabilidad de que se encuentren más de 2 animalesmarcados?

Distribución Poisson

Distribución muy útil en la que la variable aleatoria representa elnúmero de eventos independientes que ocurren a una velocidadconstante en el tiempo o espacio. Algunos ejemplos comunes son:

• Número de fallas que presenta una máquina por día

• Número de defectos por metro de cable.

• Cantidad de fracturas por km2 en la super�cie de una caldera.

• Número de hormigas de una cierta especie por m3 de tierra.

Proceso Poisson

Algunas condiciones que se deben cumplir en un proceso poisson son:

• El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempoo región especí�co es independiente del número que ocurre encualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espaciodisjunto.

• La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en unintervalo de tiempo muy corto o una región pequeña esproporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamañode la región.


Sea X una variable aleatoria que representa el número de eventosaleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobreel tiempo o el espacio. Se dice entonces que la variable aleatoria Xtiene una distribución de Poisson con función de probabilidad:

p(X) =λx

x!e−λ, x = 0, 1, 2, . . .

Para λ > 0. La media y la varianza son:

E(X) = λ V (X) = λ


Fig: Representación grá�ca

0 5 10 15 20

0.0

0.1

0.2

0.3

Poisson(λ=1)

Número de eventos por intervalo

Y

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Poisson(λ=3)


Y

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

Poisson(λ=5)


Y

0 5 10 15 20

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

Poisson(λ=10)


Y

Ejemplo

El número de grietas en un tramo de una autopista que son losu�cientemente importantes como para requerir reparación sigue unadistribución Poisson con una media de 1.2 grietas por kilometro ¾Cuáles la probabilidad de que se requiera reparar máximo 2 grietas en untramo de 1 kilometro?¾Cuál es la probabilidad de que en trayecto de 5 kilómetros no seencuentre ninguna grieta?

Se puede emplear un proceso Poisson para representar la ocurrenciade cargas estructurales con el tiempo. Suponga que el tiempopromedio entre ocurrencias de cargas es medio año.¾Cuántas cargas se espera que ocurran durante dos años?¾Cuál es la probabilidad de que ocurran más de cinco cargas durantedos años?

Otras distribuciones de probabilidad

Algunas otras distribuciones de probabilidad discretas son:

• Uniforme.

• Geométrica

• Binomial Negativa.

• Multinomial

Bibliografía

Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y

métodos. Mc Graw Hill, México, vol. 1 edition.

Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y

ciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition.

Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadística

aplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.

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