Post on 25-Jul-2015
Diseño de Experimentos: Leyes de Probabilidades
Algunas definiciones que usaremos antes de entrar a ejercicios:
Probabilidad: Se refiere al estudio del azar e incertidumbre, en los cuales ocurren uno
de los varios resultados posibles.
Experimento: Cualquier acción que genera observaciones y puede ser repetible.
Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
Suceso o evento: Es cualquier conjunto del espacio muestral.
Propiedades de las Probabilidades:
1) )(AP )(1' AP−= , A’ = complemento de A
2) P( vacío) = 0
3) P(A )()()() BAPBPAPB IU −+= , A y B son sucesos.
4) P(A )()() BPAPB •=I , cuando A y B son sucesos independientes.
P( )()()A
BPAPBA •=I , cuando A y B son sucesos dependientes.
5)
P(A )()()()()()()() CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCB UUIIIUU +−−−++=
6) ( )'()'()' BABA IU = , ( )'()'()' BABA UI = , Leyes de Morgan.
Todas estas propiedades se pueden demostrar a partir de diagramas de Venn (que son
los típicos círculos que se hacen para hacer conjuntos)
A través del siguiente ejercicio veremos que son de gran utilidad éstas propiedades.
Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un dado.
Lo primero que haremos será asignar nombres a los sucesos:
A= que salga 4 en el primer lanzamiento.
B= que salga 4 en el segundo lanzamiento.
Método 1:
Ahora escribiremos el espacio muestral: (primer lanzamiento, segundo lanzamiento)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(2,1) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(3,1) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(4,1) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(5,1) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(6,1) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
Aquí obtenemos todos los casos posibles del problema: 36
Como tenemos la posibilidad de obtener al menos un 4 en cualquiera de los
lanzamientos:
P ⟩⟨= )6,4(),5,4(),3,4(),2,4(),1,4(),4,6(),4,5(),4,4(),4,3(),4,2(),4,1()( BAU
Teniendo todos los casos favorables al problema: 11, podemos ocupar la siguiente
fórmula:
P(A) = lesCasosPosib
ablesCasosFavor
Con esto contestamos al problema:
P(A36
11) =BU
Conclusión: Por lo tanto la probabilidad de obtener al menos un 4 al lanzar dos veces un
dado es de 11/36 (Se puede expresar en cantidad porcentual).
Método 2:
Sin tener necesidad de hacer el espacio muestral, podemos hacer las probabilidades de
los 2 eventos por separado:
P(A) = 6
1 P(B) =
6
1
Determinamos P(A36
1
6
1
6
1)()() =•=•= BPAPBI
A continuación usaremos: P(A )()()() BAPBPAPB IU −+=
P(A36
11
36
1
6
1
6
1) =−+=BI
Llegamos a los mismo usando una de las propiedades de las probabilidades.
Observación: Se puede hacer de otras formas y llegar al mismo resultado, usando las
distintas propiedades de las probabilidades, otra forma sería determinando el
complemento, lo que para este problema sería complicado.
No olvidar también escribir la conclusión al terminar el problema, porque es la forma de
traducir los resultados entregados.
Sebastián González Manríquez Ayudantía EIQ 344
Fórmula de Bayes:
Sean E y F eventos o sucesos:
P()'()'/()()/(
)()/()
DPDEPDPDEP
DPDEP
E
D
•+•
•=
Esta fórmula se utiliza cuando tenemos 2 sucesos que están relacionados entre sí, y
cuando un problema tiene elementos a comparar (Pueden ser de 2 hacia delante).
A través del siguiente ejemplo se explica el uso de ésta fórmula:
En una etapa de la producción de un artículo se aplica soldadura y para eso se usan tres
diferentes robots. La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa varía para cada
uno de los tres, así como la proporción de artículos que cada uno procesa, de acuerdo a
la siguiente tabla.
robot defectuosos Art. Procesados
A 0.002 18 %
B 0.005 42 %
C 0.001 40 %
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener artículos defectuosos producidos por las tres
máquinas?
b) Si tomo un artículo al azar y resulta con defectos en la soldadura, ¿cuál es la
probabilidad de que haya sido soldado por el robot C?
Para la pregunta a) sólo existe un suceso que es: D = obtener un artículo defectuoso.
Por lo que no es necesario usar Bayes.
Se necesitarán los sucesos A, B y C (que son los robots).
Asignaremos probabilidades:
P(A)= Probabilidad de que el artículo sea procesado por el robot A.
P(B)= Probabilidad de que el artículo sea procesado por el robot B.
P(C)= Probabilidad de que el artículo sea procesado por el robot C.
P(D/A)= Probabilidad de que el artículo defectuoso sea del robot A.
P(D/B)= Probabilidad de que el artículo defectuoso sea del robot B.
P(D/C)= Probabilidad de que el artículo defectuoso sea del robot C.
Nuestra idea es empezar por descomponer el evento “defectuoso” en “viene del robot
A” y es “defectuoso” o “viene del robot B y es defectuoso” o “viene del robot C y es
defectuoso”. A continuación, la fórmula de probabilidad total:
P(D)= P(A) • P(A
D) + P(B) • P( )
B
D + P(C)• P( )
C
D
Sebastián González Manríquez Ayudantía EIQ 344
En la tabla tenemos las probabilidades:
P(D)= 0,18 002,0• + 0,42 005,0• + 0,4 001,0• = 0,00286
Conclusión: Por lo tanto, la probabilidad de que salga un artículo defectuoso es del
0,286%.
Para la pregunta b) podemos usar Bayes, ya que nos dice la probabilidad de que el
producto sea defectuoso, pero además se agrega un suceso secundario: de que sea del
robot C. Acá tenemos 2 sucesos relacionados entre sí.
Por lo que queremos calcular sería: P( )D
C
Entonces aplicamos Bayes:
P( )D
C =
)/()()/()()/()(
)/()(
BDPBPADPAPCDPCP
CDPCP
•+•+•
•
P( )D
C=
005,042,0002,018,0001,04,0
001,04,0
•+•+•
•
P( )D
C= 0,1399 14,0≈
Conclusión: La probabilidad de tener un artículo defectuoso y que sea del robot C es del
14%.
Análogamente, si queremos calcular las probabilidades de que resulten defectuosos y
para cada robot serían:
P(B/D) = 0,7343 y P(A/D) = 0,1259
Lo que se podría concluir que el robot A es el más eficiente.
Sebastián González Manríquez Ayudantía EIQ 344
Probabilidad Condicional:
P(E /F) = )(
)(
FP
FEP I
Estoes cuando 2 eventos o sucesos son dependientes entre sí.
Para determinar el número de eventos posibles si nos importa el orden, usamos la
permutación:
nPr = )!(
!
rn
n
−
Si no nos importa el orden, usamos la combinatoria:
nCr = )!(!
!
rnr
n
r
n
−•=
Ejercicio: (Permutación)
En muchos estados de USA, las patentes de los automóviles, se identifican por 3 letras y
3 números. ¿Cual es el número total si ninguna letra de patentes posibles puede usarse
más de una ocasión en la misma patente?
Tenemos que n = 26(según el número de letras del alfabeto americano)
k = 3 (las 3 letras que hay en las patentes)
26P
3 = 15600
)!326(
!26=
−
Por lo tanto, el número de patentes es de 15600, con ésta condición de letras.
Ejercicio: (Combinatoria)
Van a enviarse 5 jueces federales a cierto estado. El jefe del senado estatal envía al
presidente una lista que contiene los nombres de 10 hombres y 4 mujeres. Si el
presidente decide que de los 5 jueces 3 deben ser hombres y 2 mujeres.¿De cuántas
maneras puede lograrse lo anterior, empleando a los candidatos de la lista?
Tenemos en el caso de los hombres: n = 10
r = 3
120)!310(!3
!10
3
10=
−•=
Sebastián González Manríquez Ayudantía EIQ 344
En el caso de las mujeres: n = 4
r = 2
6)!24(!2
!4
2
4=
−•=
Puesto estos resultados el número de maneras de que puedan suceder estos eventos es:
72061202
4
3
10=•=
•
Por lo tanto, en número de maneras en el que se pueden elegir 2 mujeres y 3 hombres es
de 720.
Sebastián González Manríquez Ayudantía EIQ 344
Distribución de Bernoulli: Nos dice que un experimento se hace una sola vez y tiene 2 resultados: acierto (1) y
fracaso (0). Por lo tanto, hay sólo 2 soluciones:
p+q=1
De ésta distribución derivan:
Distribución Discreta binomial: Que es hacer n veces el experimento de Bernoulli.
P(x=k)= knkknkpp
k
npp
knk
n −−−••
=−••
−•)1()1(
)!(!
!
k = número de aciertos
n =número de ensayos
p =probabilidad de éxito
Ejemplo:
La probabilidad de que un estudiante de la Escuela de Ingeniería Química finalice
cualquiera de las 2 carreras de ésta escuela es del 30%. Hallar la probabilidad de que un
grupo de 7 estudiantes matriculados en primer año finalice cualquiera de las carreras:
a) Ninguno finalice la carrera.
b) Todos finalicen la carrera.
Sea el suceso: A=finalizar la carrera
P(A)= 0,3
a) Entonces: p= 0,3
n= 7
k= 0
P(x=0)= 0824,0)3,01()3,0()!07(!0
!7 070=−••
−•
−
La probabilidad de que ninguno de los 7 finalice la carrera es del 8,24%.
b) Acá es lo mismo, n y p no cambian, sólo k=7.
P(x=7)= 0002,0)3,01()3,0()!77(!7
!7 777=−••
−•
−
La probabilidad de que finalicen todos es del 0,2%.
Sebastián González Manríquez Ayudantía EIQ 344
Distribución discreta de Poisson: Se usa cuando: p<0,1 y np •=λ <10
P(x=k)=exponencial!k
kλλ
•−
k= número de aciertos.
Ejercicio:
Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son muy inteligentes.
Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy
inteligentes.
Tenemos que: p= 0,03
n=100
k= 5
310003,0 =•=λ
P(x=5)= e =•−
!5
353 0,1
La probabilidad de que 5 de alumnos de Contabilidad sean muy inteligentes es del 10%.
Distribución discreta multinomial: Es similar a la binomial, con la diferencia de que pueden haber múltiples resultados.
P(x 1=x 1 , x 2 =x 2 , x 3=x
3….) =
3
3
2
2
1
1
321 !.....!!
! xxxPPP
xxx
n•••
••
Ejercicio:
Supóngase que el 23% de las personas que asisten a cierto partido de baseball viven a
menos de 10 millas del estadio, el 59% de ellas viven a entre 10 y 50 millas del estadio,
y el 18% vive a mas de 50 millas. Se seleccionan al azar 20 personas entre los
asistentes al partido (que son miles). Calcular la probabilidad de que siete de los
seleccionados vivan a menos de 10 millas, ocho vivan entre 10 y 50 millas, y cinco
vivan a mas de 50 millas del estadio. Tenemos que: n= 20
x1= 7
x 2 = 8
x 3= 5
P 1= 0,23
P 2 = 0,59 P 3= 0,18
Sebastián González Manríquez Ayudantía EIQ 344
Entonces reemplazamos en la ecuación:
P(x 1=7, x 2 =8, x 3=5) = 0094,018,059,023,0
!5!8!7
!20 587=•••
••
Por lo tanto, la probabilidad de que 7 vivan a menos de 10 millas, ocho vivan entre 10
y 50 millas, y cinco vivan a mas de 50 millas del estadio es del 0,94%.
Distribución discreta hipergeométrica: Al igual que en la binomial hay sólo 2 resultados, la diferencia es que los ensayos son
dependientes entre sí.
P(x=k)=
−
n
N
kn
N
k
N 21
, dónde: )!(!
!
nNn
N
n
N
−•=
y todas los demás lo mismo.
N = N 1+N 2
Ejercicio:
Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de
tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo.
a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?
a) Tenemos que : k = 4 ( piezas del proveedor local)
N1= 100
N 2002 =
N= 300
n= 4 (piezas seleccionadas al azar)
P(x=4) =
−
4
300
04
200
4
100
= 0,0119.
La probabilidad de que todas las piezas seleccionadas al azar sean del proveedor local es del
1,19%.
Sebastián González Manríquez Ayudantía EIQ 344
b) Tenemos que k 2≥ , por lo que calcularemos:
P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)
Los demás valores se mantienen constantes, sólo cambia el k.
P(x 408,00119,0098,0298,0
4
300
44
200
4
100
4
300
34
200
3
100
4
300
24
200
2
100
)2 =++=
−
+
−
+
−
=≥
La probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local es del 40,8%.
Distribución discreta multi hipergeométrica:
Presenta más objetos para seleccionar al azar, a diferencia de la anterior que sólo se acomodaba para dos casos, ésta la podemos ocupar para n casos.
P(x 1=x 1 , x 2 =x 2 , x 3=x
3, x 4 =x 4 ,…..) =
n
N
x
N
x
N
x
N
x
N.......
4
4
3
3
2
2
1
1
Dónde: x 1=x1 : Indica que el suceso x 1 aparece x 1 veces (antes era el k, sólo que ahora existen
distintos k). Lo demás es todo igual que la hipergeométrica.
Ejercicio:
En una caja de lápices hay 10 de color amarillo, 3 de color azul y 4 de color rojo. Se extraen 7
lápices, ¿cual es la probabilidad de que 5 sean amarillos y 2 rojos?
Tenemos que: N1= 10
N 2 = 3
N 3= 4
N= N 1+ N 2 + N 3= 17
x1= 5
x 2 = 0
x 3= 2
n = x 1+ x 2 + x 3= 7
Sebastián González Manríquez Ayudantía EIQ 344
P(x1= 5, x 2 =0, x 3= 2) = 0777,0
17
7
2
4
0
3
5
10
=
La probabilidad de que los 5 lápices sean amarillos y 2 rojos es del 7,77%.
Sebastián González Manríquez Ayudantía EIQ 344