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Diagramas de HasseDiagramas de Hasse
DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
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¿Qué es una relación de Equivalencia?¿Qué es una relación de Orden?¿Qué es la relación menor?¿Qué es la transitividad?¿Qué diferencia un relación de orden parcial de una de orden?
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Al finalizar la sesión, el estudiante construye Diagramas de Hasse, usando las definiciones básicas de Matemática Discreta e interpretando los resultados de forma correcta.
DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
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DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
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Dado el organigrama de una empresa, queremos dar respuesta a las siguientes interrogantes: 1) ¿Qué personas están subordinadas al jefe de contabilidad?2) ¿Quiénes son los superiores del auxiliar?3) ¿Qué personas son jefes?
Si denotamos por letras cada uno de los cargos y llamamos A al conjunto de todos ellos, es claro que la categoría profesional determina una comparación entre los elementos de A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}. Mediante la traducción al lenguaje matemático podemos obtener un gráfico que nos represente el conjunto ordenado.
Primero debemos comprobar que realmente es una relación de orden :
R={{a,a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{a,f},{a,h},{a,i},{b,b},{b,e},{b,f},{b,h},{b,i},{c,c},{d,d},{d,e},{d,f},{d,h},{d,i},{e,e},{e,f},{e,h},{e,i},{f,f},{f,i},{g,g},{g,i},{h,h},{h,i},{i,i}};
DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
Pasamos ahora a responder a las preguntas que nos formulaba el ejemplo:a. los empleados a cargo del jefe contable (e)
{a,b,c,}b. los superiores que tiene el auxiliar
{b,c,d,e,f,h,i}c. Y los jefes de la empresa serán
{d,i}
DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
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Un diagrama de Hasse es una representación de un conjunto parcialmente ordenado finito. La idea del diagrama de Hasse (y de todos los diagramas en general) es eliminar información superflua y concentrarse en la información más relevante relativa al orden. La representación se hace mediante un grafo, o sea un diagrama.
¿QUE ES UN DIAGRAMA DE HASSE?
DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
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Para obtener el diagrama de Hasse conviene seguir los pasos.1.- Eliminar los lazos (aristas que salgan de un vértice y regresan a él), puesto que se tiene que la relación es reflexiva porque es parcialmente ordenada2.- Eliminar la tercera arista de la transitividad. Se sabe que para que una relación R sea transitiva se debe cumplir que si aRb y bRc entonces aRc. Por lo tanto la tercera arista de la transitividad es aRc y esa es precisamente la que se debe eliminar ya que con las dos aristas anteriores es suficiente.3.- Se cambian todas las flechas por líneas.
DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
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R5 = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,12) (2,2) (2,4) (2,12) (3,3)(3,12) (4,4) (4,12) (12,12) }
Dada la Relación R5
¿Hallar el Diagrama de Hasse?
Solución:
Con estos diagramas las relaciones de orden son muy fácil de representar y sobretodo de entender.
EJEMPLO :
Hallamos el grafo correspondiente
DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
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1
R5 = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,12) (2,2) (2,4) (2,12) (3,3)(3,12) (4,4) (4,12) (12,12}
DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
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1
R5 = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,12) (2,2) (2,4) (2,12) (3,3) (3,12) (4,4) (4,12) (12,12) }
1. Eliminamos los pares reflexivos
DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
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1
R5 = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,12) (2,2) (2,4) (2,12) (3,3) (3,12) (4,4) (4,12)}
2. Eliminamos los pares transitivos12
DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
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2
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1Diagrama de Hasse de R5
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3. Eliminamos los sentidos
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R7 = {(a,a) (a,b) (a,c) (b,b) (b,c) (c,c)}
Dado A = { a, b, c}, se cumple que a < b <c, y la Relación R7 = { (a,b) ͼ A x A / a ≤ b},
¿Hallar el Diagrama de Hasse?
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Hallar el diagrama de Hasse definido en A= { x ͼ N / x es divisor de 20}, y la relación R8 = { (a,b) ͼ A x A / a es divisor de b},
R8 = {(1,1) (1,2) (1,4) (1,5 ) (1,10) (1,20) (2,2) (2,4) (2,10) (2,20) (4,4) (4,20) (5,5) (5,10) (10,10) (20,20) }
Demostrar si la siguiente matriz es una relación de orden y si lo es trazar su diagrama de Hasse
DIAGRAMAS DE HASSE DE HASSE
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Si A = {2, 3, 6, 9,12, 36} y
R8 = { (a,b) ͼ A x A / a es divisor de b},
¿Hallar el Diagrama de Hasse?
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Hallar el diagrama de Hasse definido en A= { x ,y, z}, y la relación R8 = { (x,y) ͼ P (A) / x es subconjunto y},
DIAGRAMAS DE HASSE DE HASSE
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ELEMENTO MÁXIMO . En una relación parcialmente ordenada, elemento máximo es el elemento “a” tal que no existe “c>a”
Los elementos máximos son a1, a2,a3
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ELEMENTO MÍNIMO. En una relación parcialmente ordenada elemento mínimo es el elemento “a” tal que no existe “c < a”
Los elementos mínimos son b1, b2, b3
observar que b2,no es comparable con b3
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Cota superior.- Es el valor que sucede a cualquier valor de la relación.
Supremo (Mínima cota superior) .- Es la cota que precede a cualquier cota
Supremo
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Cota Inferior.- Es el valor que precede a cualquier valor de la relación.
Ínfimo (maxima cota inferior) .-Es la cota que sucede a cualquier otro elemento de la relación
Ínfimo
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Retículos (latiz) .- Es un Diagrama de Hasse que posee supremo e ínfimo para cualquier par (a,b)
NO No hay Supremo
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Retículos (latiz) .- Es un diagrama de hasse que posee supremo e ínfimo para cualquier par (a,b)
NO NO Si
Hay dos supremos
Hay dos ínfimos
1. Seymour, Lipschutz. “Matemática
Discreta”. 511 LIPS. Pág.. 340-360
2. Kolman, Bernard. Estructuras de
Matemáticas Discreta para la
Computación. 511.5 CABA. Pág. 230-258
BibliografíaBibliografía
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