1

Portfolio Management

IDEAInstituto para el Desarrollo Empresarial de Argentina

2

IDerivados

Introducción

3

Naturaleza de los Derivados

• Un derivado es un instrumento cuyo valor depende de otras variables que reciben el nombre de subyacentes o activos subyacentes

4

Ejemplos de Derivados

• Swaps

• Opciones

• Contratos de Futuros (o Futuros)

5

Usos de los Derivados

• Para cubrir riesgos• Para reflejar una perspectiva sobre la

futura dirección del mercado• Para obtener una ganancia por

arbitraje• Para cambiar la naturaleza de una

obligación o un activo

6

Tipos de Activos Subyacentes

Activos No Financieros

- Commodities AgrícolasPor ej. Cereales, oleaginosas, productos cárnicos

-MetalesPor ej. Cobre, magnesio, aluminio

-Metales PreciososPor ej. Oro, plata, platino

-Energía Por ej. Crudo, gasoil, gas natural

-ÍndicesPor ej. Fertilizantes, fletes

Activos Financieros -Tipos de Interés

- Divisas

-Índices Bursátiles

7

Mercados de Contratación de Futuros

• Chicago Board of Trade (CBOT)

• Chicago Mercantile Exchange (CME)

• BM&F (Sao Paulo, Brazil)

• LIFFE (London)

• TIFFE (Tokyo)

• ROFEX (Rosario)

• MATBA (Buenos Aires)

8

Mercados de Contratación de Opciones

• Chicago Board Options Exchange

• American Stock Exchange

• Philadelphia Stock Exchange

• Pacific Stock Exchange

• European Options Exchange

• Australian Options Market

• Rosario Futures Exchange

9

Contratos de Futuros

• Un contrato de futuros es un acuerdo para comprar o vender un activo en un determinado momento en el futuro por un determinado precio– A diferencia de un contrato disponible (o

spot) donde hay un acuerdo para comprar o vender el activo inmediatamente (o en un período muy corto de tiempo)

10

Precio de los Futuros

• El precio de los futuros para un contrato en particular es el precio al cual se acuerda comprar o vender

• Es determinado por la oferta y demanda en el recinto del mercado de la misma forma que un precio disponible

11

Ejemplos de Contratos de Futuros

• Acuerdo para:

– Comprar 100 tns de trigo a US$96/tn. en Enero-01 (ROFEX)

– Vender 100 onzas de oro a US$400 en Diciembre-00 (COMEX)

– Vender £62.500 a 1,500 US$/ £ (CME)

12

Terminología

• La parte que ha acordado:– Comprar: tiene lo que se llama una

posición Larga (long)– Vender: tiene lo que se llama una

posición Corta (short)

13

Ejemplo

• Agosto: un inversor toma una posición long en futuros en ROFEX para comprar 100 tns de soja a US$160 en Abril del año siguiente

• Abril: el precio de la soja es de US$170/tn

Cuál es la ganancia del Inversor?

14

Opciones

• Un CALL es una opción para Comprar un determinado activo en una determinada fecha por un cierto precio

• Un PUT es una opción para Vender un determinado activo en una determinada fecha por un cierto precio

15

Futuros vs Opciones

• Un Contrato de Futuros da a su poseedor la Obligación de comprar o vender a un cierto precio

• Una Opción da a su tenedor el Derecho pero no la obligación a comprar o vender a un determinado precio

16

Mercados Extrabursátiles (OTC)

• Los Contratos son acordados por teléfono

(no en el recinto del Mercado)• Los contratos son entre dos instituciones

financieras o entre una institución financiera y un cliente corporativo

• Precio de Ejercicio y Vencimiento no necesariamente se corresponden con aquellos especificados por el Mercado

17

Tipos de Traders

• Hedgers

• Especuladores

• Arbitragistas

Algunas de las mayores pérdidas de operar con Derivados ocurren porque los individuos que en principio querían cubrir riesgos terminan siendo especuladores

18

Ejemplos de Hedging

• Una compañía Argentina pagará £250.000 por importaciones desde Inglaterra y decide cubrirse usando una posición compradora en 4 Futuros

• Un Inversor posee 500 acciones de IBM cuyo valor corriente es $102 por acción. Un put con un precio de ejercicio de $100 cuesta $4. El Inversor decide cubrirse comprando 5 contratos put

19

Ejemplo de Especulación

• Un Inversor con $8.000 para invertir cree que el precio de las acciones de Exxon van a subir en los próximos tres meses. El valor corriente de la acción es $80 y el precio de las opciones a tres meses de un precio de ejercicio de $82 es $3.3

• Cuáles son las estrategias alternativas?

20

Oro: Una oportunidad de Arbitrage?

• Supongamos que:– El precio spot (disponible o contado) es

US$390– La cotización del futuro de oro a un año es

de US$425– La tasa de interés en dólares de un año es

5% anual• Hay alguna oportunidad de Arbitrage?

21

I IMecánica de los Mercados de

Futuros y Forward

22

Contratos de Futuros

• Disponibles para una amplia variedad de subyacentes

• Operados en los Mercados• Especificaciones que necesitan ser

definidas:– Qué puede ser entregado– Dónde puede ser entregado, y – Cuándo puede ser entregado

23

Ejemplo de una operatoria de Futuros

• Un inversor toma una posición compradora en 2 contratos de Futuros oro el 5 de Junio– Tamaño del contrato 100 oz..

– Precio del Futuro: US$400

– Márgenes requeridos: US$2000/contrato

– Márgen de Mantenimiento: US$1500/contrato

24

Gcia Gcia Margin

Precio del Diaria Acumulada Account Margin

Futuro (Pérdida) (Pérdida) Balance Call

Día (US$) (US$) (US$) (US$) (US$)

400.00 4,000

5-Jun 397.00 (600) (600) 3,400 0. . . . . .. . . . . .. . . . . .

13-Jun 393.30 (420) (1,340) 2,660 1,340 . . . . . .. . . . .. . . . . .

19-Jun 387.00 (1,140) (2,600) 2,740 1,260 . . . . . .. . . . . .. . . . . .

26-Jun 392.30 260 (1,540) 5,060 0

+

= 4,000

3,000

+

= 4,000

<

25

Otros puntos importantes sobre Futuros

• Son fijados diariamente• Cancelar una posición en futuros

involucra ingresar en una operación compensada

• La mayoría de los contratos son cancelados antes de su vencimiento

26

Terminología

• Open interest (interés abierto): número total de contratos sin cancelar – Número equivalente de posiciones a largo o

posiciones a corto.• Settlement price (precio de ajuste): el precio

justo al final de la campana cada día. • Volume of trading (volumen de operación): El

número de operaciones en 1 día.

27

Preguntas

• Cuando una nueva operación se completa, cuales son los posibles efectos en el open interest?

• Puede el volumen de operación ser mayor que el interés abierto?

28

Regulación de los Futuros

• La regulación se designa para proteger el interés público.

• Los reguladores tratan de prevenir prácticas cuestionables de trading

29

Accounting & Tax

• Si un contrato se usa para– Hedging: es lógico reconocer ganancias

(pérdidas) en el mismo momento que el producto cubierto

– Especulación: es lógico reconocer ganancias (pérdidas) en base al marking to market

• Esto es lo que se trata de lograr con los futuros en EEUU y otros países.

30

Contratos a Plazo

• Un contrato a plazo es un acuerdo para comprar o vender un activo en un determinado momento en el futuro a un cierto precio.

– No hay ajuste diario.Al final de la vida del contrato una parte compra el activo por el precio acordado con la otra parte.

31

Como Funciona un Contrato a Plazo

• El contrato es un acuerdo over-the-counter (OTC) entre 2 compañías.

• No hay intercambio de dinero cuando se negocia por primera vez y el contrato es ajustado al vencimiento

• El valor inicial del contrato es cero.

32

El Precio a Plazo

• El precio a plazo para un contrato es el precio de entrega que sería aplicable al contrato si fuera negociado hoy (es el precio de entrega que haría el contrato valer exáctamente cero).

• El precio a plazo puede ser diferente para contratos de diferentes vencimientos

33

Ejemplo

• 8 de Mayo: una compañía entra en un contrato a LARGO para COMPRAR £1,000,000 @ 1.8381 US$/£ en 90 días. 6 de Agosto: la tasa de intercambio es 1.8600 US$/£

• De acuerdo a los términos del contrato, la compañía paga US$1,838,100 y recibe £1,000,000;

• La ganancia de la compañía es de US$21,900 ya que la libra puede ser vendida inmediatamente por US$1,860,000.

34

Ganancia de una Posición a LARGO

Ganancia

Precio del ActivoSubyacente

35

Ganancia de una Posición a CORTO

Ganancia

Precio del ActivoSubyacente

36

Contratos a Plazovs Contratos de Futuros

Contrato privado entre dos partes Negociados en mercados

Contrato no estándar Contrato estándar

Usualmente una fecha especificadade entrega

Rango de fechas deentrega

Ajustado al vencimiento

Ajustado diariamente

La entrega o el ajuste de dinerofinal usualmente ocurre

El contrato se cierrageneralmente antes del vencimiento

A PLAZO FUTUROS

• TABLA 2.6 (p. 39)

37

Los Precios de contratos a Plazo vs los Precios de Futuros

• En teoría, el precio de un contrato de futuro debería ser casi el mismo que el precio de un contrato a plazo con el mismo activo y la misma fecha de vencimiento

38

IIIDETERMINACIÓN DE

PRECIOS FORWARDS Y FUTUROS

39

Capitalización Contínua

• En el límite en que capitalizamos más y más frecuentemente obtenemos las tasas de interés con capitalización contínua

• $100 crecen al $100eRT cuando lo invertimos a una tasa con capitalización contínua R por un período T

• $100 recibidos en un momento T se descuentan a $100e-RT al momento cero cuando la tasa de descuento con capitalización contínua es R

40

Fórmulas de Conversión

• Definimos

Rc: tasa de capitalización contínua

Rm: tasa equivalente con capitalización m veces por año

Rc=m ln(1+Rm/m)

Rm=m[exp(Rc/m)-1]

41

Venta en Corto

• La venta en corto implica vender activos que no poseemos

• Nuestro broker pide prestados los activos de otro cliente y los vende en el mercado en la forma habitual

42

Venta en Corto (II)

• En el mismo momento debemos comprar los activos nuevamente que deben ser reemplazados en la cuenta del cliente

• Debemos pagar dividendos y otros beneficios que el propietario de los activos recibiría

43

Tasa Repo

• La tasa repo es la tasa de interés relevante para muchos arbitristas

• Un repo (acuerdo de recompra) es un acuerdo en donde una institución financiera vende activos a otra institución financiera y acuerda recomprarlos luego a un precio levemente superior

• La diferencia entre el precio de venta y el precio de compra es la tasa ganada

44

Ejemplo del Oro

• Para oro F = S (1 + r )T donde

F : precio forward, S : precio spot, & r : tasa de interés a T -años (Suponemos que

no hay costos de almacenaje )• Si r es capitalizada continuamente en lugar de

anualmente

F = S er T

45

Extensión del Ejemplo del oro

• Para cualquier inversión en activos que no distribuye ingresos y no tiene costos de almacenamiento

F = S er T

46

Cuando una Inversión en un Activo Genera Ingresos Conocidos en Dólares

F = (S – I )er T

donde I es el valor presente del ingreso

47

Cuando una Inversión en un Activo Genera una Tasa de

Dividendo Conocida

F = S e(r–q )T

Suponemos que el activo genera un retorno durante un tiempo t igual a qS t donde q es la tasa del dividendo y S es el precio del activo

48

Valuación de un Contrato Forward

• Suponemos que • K : precio de entrega en un contrato forward y • F : precio forward que debería aplicarse al

contrato hoy• El valor de un contrato forward comprado ƒ, es

ƒ = (F – K )e–r T

• De forma similar, el valor de un contrato forward vendido es

(K – F )e–r T

49

Precios Forward vs. Precios Futuros

• Los precios forward y precios futuros se consideran habitualmente iguales. Cuando las tasas de interés son inciertas ellos son en teoría pequeñamente diferentes:

- Una fuerte correlación positiva entre las tasas de interés y el precio del activo implica que el precio del futuro es pequeñamente superior al precio forward

- Una fuerte correlación negativa implica lo contrario

50

Índices Accionarios

• Pueden ser vistos como inversión en un activo que paga una tasa de dividendos contínua

• La relación entre los precios futuros y precios spot es

F = S e(r–q )T Donde q es el rendimiento del dividendo

sobre el portfolio representado por el índice

51

Índices Accionarios (II)

• Para que la fórmula sea verdadera es importante que el índice represente una inversión en un activo

• En otras palabras, los cambios en el índice se deben corresponder con los cambios en el valor de un activo negociable

• El índice Nikkei visto como un número en dólares no representa un activo de inversión

52

Arbitraje de Índices

• Cuando F>Se(r-q)T un arbitrista compra el subyacente al índice y vende futuros

• Cuando F<Se(r-q)T un arbitrista compra futuros y vende el subyacente al índice

53

Arbitraje de Índices (II)

• Arbitrar índices comprende operaciones simultáneas en futuros y diferentes acciones

• A menudo se usa una computadora para generar las operaciones

• Ocasionalmente (ej “el Lunes Negro”) operaciones simultáneas no son posibles y la relación teórica de no arbitraje entre F y S no puede ser mantenidas

54

Futuros sobre Monedas

• Una moneda extranjera es análoga a un activo que provee una tasa de dividendos contínua

• La tasa de dividendos contínua es la tasa de interés libre de riesgo del país extranjero

• A esto sigue que rf es la tasa de interés libre de riesgo extranjera

55

Futuros sobre Activos de Consumo

F S e(r+u )T

donde u es el costo de almacenaje por unidad de tiempo como un porcentaje del valor del activo

De otra forma,

F (S+U )er T

donde U es el valor actual de los costos de almacenaje.

56

Cost of Carry

• El cost of carry, c , es el costo de almacenaje mas los costos financieros menos el ingreso ganado

• Para un activo de inversión F = SecT • Para un activo de consumo F S ec T • La tasa de conveniencia sobre el activo de

consumo, y , se define como F = S e(c–y )T

57

Precios Futuros y Precios Spot Esperados en el Futuro

• Supongamos k es el retorno requerido esperado por un inversor sobre un activo

• Podemos invertir F e –r T ahora para conseguir ST nuevamente al vencimiento del contrato de futuros

• Esto muestra que:

F = E (ST )e(r–k )T

58

Precios Futuros y Precios Spot Esperados en el Futuro (II)

• Si el activo tiene – Riesgo no sistemático, entonces

k = r , & F es una estimación imparcial de ST

– Riesgo sistemático positivo, entonces

k > r , & F < E (ST )– Riesgo sistemático negativo, entonces

k < r , & F > E (ST )

59

IVCOBERTURAS DE PRECIO

60

Coberturas compradoras y vendedoras

• Una cobertura compradora (long hedge) se realiza cuando se sabe que se comprará un determinado activo en el futuro y se quiere fijar hoy el precio

• Una cobertura vendedora (short hedge) se realiza cuando se sabe que se venderá un determinado activo en el futuro y se quiere fijar hoy el precio

61

Riesgo de Base

• Base es la diferencia entre el precio spot y el precio futuro

Base = S - F

• El riesgo de base surge debido a la incertidumbre sobre el valor de la base cuando la cobertura es levantada

62

Tiempo

Precio del Futuro

Precio Spot

Precio Spot

Precio del Futuro

(a) (b)

Convergencia del precio del futuro al precio spot

Tiempo

63

Cobertura Compradora (Long Hedge)

• Supongamos que

F1 : Precio del Futuro Inicial

F2 : Precio del Futuro Final

S2 : Precio del Spot al Final

• Para cubrir la compra del activo (S2) se compra el contrato de Futuros (F1 )

• Costo del Activo=S2 -F2+F1 = F1 + Base

64

Cobertura Vendedora (Short Hedge)

• Supongamos que

F1 : Precio del Futuro Inicial

F2 : Precio del Futuro Final

S2 : Precio del Spot al Final

• Para cubrir la venta del activo (S2) se vende el contrato de Futuros (F1 )

• Precio obtenido por el activo:

S2 -F2+F1 = F1 + Base

65

Selección del Contrato de Futuros

• Elegir el contrato de futuro que venza con posterioridad a la fecha en que se levantará la cobertura

• Cuando no existen contratos de Futuros sobre el activo a ser cubierto, seleccionar el contrato de futuros cuyos precios tengan la mayor correlación con el activo a ser cubierto. Exiten en éste caso dos componentes de la base

66

Ratio de mínima varianza

• La proporción de la exposición en el activo que debería ser cubierta con contratos de Futuros es

donde

S : Precio Spot,

F : Precio Futuro,

S : desvío estándar de S , F : desvío estándar de F

coeficiente de correlación entre S & F

F

Sh

67

Rolando la cobertura en el tiempo

• Podemos usar una serie de contratos de Futuros para incrementar el tiempo de la cobertura

• Cada vez que cambiamos de un contrato de Futuros a otro incurrimos en riesgo de base

68

VOpciones

Introducción

69

Activo SubyacenteOpciones Negociadas en los

Mercados

• Acciones

• Moneda Extranjera

• Índices Accionarios

• Futuros

70

Especificación de las Opciones Negociadas

• Fecha de vencimiento

• Precio de Ejercicio

• Europeas o Americanas

• Call o Put (clase de opción)

71

Terminología

Opciones At-the-money (ATM)

Opciones In-the-money (ITM)

Opciones Out-of-the-money (OTM)

72

Terminología(II)

• Clase de Opciones

• Serie de Opciones

• Valor Intrínseco

• Valor Tiempo

73

Opciones al Vencimiento

X = Precio de Ejercicio, ST = Precio del Activo Subyacente al Vto.

Call Comprado Call Vendido

ST STX

X

Put Comprado Put Vendido

ST STX

X

74

Dividendos & Stock Splits

• Supongamos que poseemos N opciones con un Precio de Ejercicio de X:– No se hacen ajustes a los términos de las

opciones por dividendos en efectivo– Cuando hay un n-por-m stock split,

• el precio de ejercicio se reduce a mX/n • El número de opciones aumenta a nN/m

– Los dividendos se manejan de una manera similar a los stock splits

75

Márgenes • Los Márgnes nos son requeridos cuando vendemos

opciones

• Cuando una opción descubierta es vendida el márgen es, por ejemplo, el mayor entre:

1 Un total del 100% del procedente de la venta más el 20% del precio de la acción subyacente menos el monto por el cual la opción está OTM (si lo estuviere)

2 Un total del 100% del procedente de la venta más un 10% del precio de la acción subyacente

76

Stock Options para Ejecutivos

• Opción emitida por una compañía a ejecutivos

• Cuando la opción es ejercida la compañía emite más acciones

• Generalmente se emiten at-the-money

77

Stock Options para Ejecutivos (II)

• Llegan a ser ofrecidas después de un período de tiempo

• No pueden ser vendidas

• A menudo finalizan en un tiempo entre 10 o 15 años

78

VI

OpcionesPropiedades Básicas de las Opciones sobre acciones

79

Simbología

• c : Precio de un call Europeo

• p : Precio de un call Europeo

• S : Precio de la Acción

• X : Precio de Ejercicio

• T : Vida de la opción

• : Volatilidad del precio de la acción

• C : Precio de un call Americano

• P : Precio de un Put Americano

• ST : Precio de la acciòn en el momento T

• D : Valor Presente de los dividendos esperados durante la vida de la opción

• r : Tasa libre de Riesgo con Vencimiento en el momento T con capitalización continua

80

Efecto de las distintas variables en el Precio de la Opción sobre

Acciones

c p C PVariable

SXTrD

+ + –+

? ? + ++ + + ++ – + –

–– – +

– + – +

81

Calls: ¿Oportunidad de Arbitraje?

• Supongamos que:

c = 3 S = 20

T = 1 r = 10%

X = 18 D = 0

• ¿Hay aquí alguna oportunidad de arbitraje?

82

Puts: ¿Oportunidad de Arbitraje?

• Supongamos que:

p = 1 S = 37

T = 0.5 r = 5%

X = 40 D = 0

• ¿Hay aquí alguna oportunidad de arbitraje?

83

Paridad Put - Call

• Considere los siguientes portfolios:

• Portfolio A: Call Europeo sobre una acción + VP del precio de ejercicio en efectivo

• Portfolio B: Put Europeo sobre una acción + la acción

• Ambos valen MAX(ST , X ) al vencimiento de las opciones

• Por lo tanto, deben valer también lo mismo hoy

• Esto significa que

c + Xe -rT = p + S

84

Oportunidad de Arbitraje

• Supongamos que:

c = 3 S = 31

T = 0.25 r = 10%

X =30 D = 0

• ¿Cuales son las posibilidades de arbitraje cuando?

p = 2.25 ?

p = 1 ?

85

Supuestos del Modelo Black Scholes

• El precio de las acciones sigue un camino aleatorio

• El cambio en el precio de la acciòn en el timpo t es S. Por lo tanto, el retorno en el tiempo t es S/S

• Dicho retorno se distribuye normalmente, con media t y desvío estándar t

86

La propiedad lognormal• Estos supuestos implican que el ln ST se ditribuye

normalmente con media:

y desvío estándar:

• Dado que el logaritmo natural de ST es normal, ST tiene una distribución lognormal

ln ( / )S T 2 2

T

87

Conceptos subyacentes en el modelo Black & Scholes

• Tanto el precio de la opción como de la acción dependen de la misma fuente de incertidumbre

• Podemos formar un portfolio consistente en una acción y una opción que elimine dicha fuente de incertidumbre

• Este porfolio es libre de riesgo por un instante y por lo tanto su rendimiento debe ser en ese instante la tasa libre de riesgo

88

Propiedades de la Fórmula Black & Scholes

• Cuando S es muy grande c tiende a

S – VP(X) y p tiende a cero

• Cuando S es muy chico c tiende a cero y p tiende a VP(X) - S

89

VII

OpcionesExtensión a Monedas, Índices

y Futuros

90

Opciones Europeas sobre acciones que pagan un dividendo contínuo

Tenemos la misma distribución de probabilidad del precio de la acción en el momento T en cada uno de los siguientes casos:

1. La acción comienza en el precio S y brinda un dividendo contínuo = q

2. La acción comienza en el precio Se–q T y no paga dividendos

Por lo tanto, podemos valuar las opciones europeas sobre acciones que pagan un dividendo como si no pagaran dividendo reduciendo el precio actual desde S a S e–q T

91

Opciones europeas sobre monedas

1. Una moneda extranjera es un activo que produce un “rendimiento contínuo” igual a rf

2. Podemos utilizar las fórmulas de opciones sobre acciones que pagan un dividendo contínuo haciendo:

S = Tipo de cambio actual

q = rƒ

92

Tasa de crecimiento de los precios de los Futuros

•Un contrato de futuro no requiere inversión inicial

•En un mundo neutral al riesgo el rotorno esperado debería ser cero

•Por lo tanto, la tasa de crecimiento esperada para el precio del futuro debería ser cero

•El precio del futuro puede entonces ser tratado como una acción que paga un dividendo contínuo de r

93

Opciones europeas sobre futuros

•Podemos usar la fórmula de opciones sobre acciónes que pagan dividendos contínuos haciendo:

S = Actual precio del Futuro (F )

q = Tasa libre de riesgo (r )

•Haciendo q = r asegura que el rendimiento esperado de F en un mundo neutral al riesgo sea cero

94

Valores mínimos de opciones europeas

Call Put

Acciones sin Div.

c > S -Xe -rT p > Xe -rT - S

Indices Accionarios

c > Se -qT -Xe -rT p > Xe -rT - S -qT

Monedas c > Se -rfT -Xe -rT p > Xe -rT - S -rfT

Futuros c > (F-X)e-rT p > (F-X)e-rT

95

Paridad Put-Call para opciones europeas

Acciones sin Div. c + Xe -rT = p + S

Indices Accionarios

Monedas

Futuros rTrT FpXc e e

TrrT fSpXc e e

qTrT SpXc e e

96

Black-Scholes para Opciones Europeas

Acciones sin dividendos Índices Accionarios

Monedas Futuros

c S N d X N d

p X N d S N d

qT rT

rT qT

dS X r q T

T

dS X r q T

T

e e (12.4)

e e 2.5)

p. 263

p. 263

where

( ) ( )

( ) ( )

ln( / ) ( / )

ln( / ) ( / )

1 2

2 1

1

2

2

2

2

2

c S N d X N d

p X N d S N d

rT

rT

dS X r T

T

dS X r T

Td T

e

e

where

( ) ( )

( ) ( )

ln( / ) ( / )

ln( / ) ( / )

1 2

2 1

1

2

2

2

2

21

c F N d X N d

p X N d F N d

d T

rT

rT

dF X T

T

dF X T

T

e

e

where

( ) ( )

( ) ( )

ln( / ) /

ln( / ) /

1 2

1 2

1

2

2

2

1

2

2

c S N d X N d

p X N d S N d

r T rT

rT r T

f

f

dS X r r

fT

T

dS X r r

fT

T

e e

e e

where

( ) ( )

( ) ( )

ln( / ) ( / )

ln( / ) ( / )

1 2

2 1

1

2

2

2

2

2

97

VIII

OpcionesIntroducción a los

árboles Binomiales

98

Precio del Activo = $20

Precio del Activo = $18

Modelo Binomial Simple

• El precio del activo es actualmente de $20

• En tres meses estará en $22 o $18Precio del Activo = $22

99

Una Opción CallUna opción Call a 3 meses sobre el activo que tiene un precio de ejercicio de 21

Precio del Activo = $20

Precio de la Opción=?

Precio del Activo = $22Precio de la Opción = $1

Precio del Activo = $18Precio de la Opción = $0

100

• Consideremos el Portfolio:

– Comprado en acciones– Vendido en 1 opción call

El Portfolio no tiene riesgo cuando: 22– 1 = 18

= 0.25

22– 1

18

Construyendo un Portfolio sin Riesgo

101

Valuando el Portfolio( Tasa Libre de Riesgo del 12% )

El Portfolio sin riesgo es:

comprado 0.25 accionesvendido 1 opción call

El valor del Portfolio en 3 meses es: 220.25 – 1 = 4.50

El valor del Porfolio hoy es: 4.5e – 0.120.25 = 4.3670

102

Valuando la Opción

Este Portfolio está: comprado en 0.25 accionesvendido en 1 opción

vale 4.367 El valor de las acciones es

5.000 (= 0.2520 ) El valor de la opción entonces es de

0.633 (= 5.000 – 4.367 )

103

Generalización

Un derivado que termina en una fecha T y depende de un activo S

Su ƒu

Sd ƒd

S ƒ

104

Generalización (II)

Consideremos que el portfolio está comprado en acciones y vendido en un derivado

El portfolio es sin riesgo cuando Su – ƒu = Sd – ƒd or

Sd – ƒd

Su – ƒu

ƒu df

Su Sd

105

Generalización (III)

Valor del Portfolio al momento T es Su – ƒu

Valor del Portfolio hoy es (Su – ƒu )e–rT

Otra forma de expresar el valor del portfolio hoy es S – ƒ

Por lo tanto

ƒ = S – (Su – ƒu )e–rT

106

Generalización (IV)

Sustituyendo por obtenemos

ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e–rT

donde

pd

u d

rT

e

107

Delta () es la tasa de cambio en el precio de una opción sobre un activo sobre el cambio en el precio del activo subyacente

El valor de varía de nodo a nodo

Delta

108

At each node: Upper value = Underlying Asset Price 27.43885 Lower value = Option Price 0Values in red are a result of early exercise. 26.58474

0Strike price = 18 25.75721 25.75721Discount factor per step = 0.9970 0 0Time step, dt = 0.0250 years, 9.13 days 24.95544 24.95544Growth factor per step, a = 1.0030 0 0Probability of up move, p = 0.5396 24.17862 24.17862 24.17862Up step size, u = 1.0321 0 0 0Down step size, d = 0.9689 23.42599 23.42599 23.42599

0 0 022.69679 22.69679 22.69679 22.69679

0 0 0 021.99028 21.99028 21.99028 21.990280.001616 0 0 0

21.30577 21.30577 21.30577 21.30577 21.305770.009826 0.003521 0 0 0

20.64256 20.64256 20.64256 20.64256 20.642560.032974 0.019513 0.00767 0 0

20 20 20 20 20 200.081032 0.060318 0.038383 0.016709 0 0

19.37744 19.37744 19.37744 19.37744 19.377440.137884 0.108535 0.074629 0.036402 0

18.77426 18.77426 18.77426 18.77426 18.774260.229691 0.19146 0.142996 0.079302 0

18.18985 18.18985 18.18985 18.189850.373184 0.329635 0.268857 0.17276

17.62364 17.62364 17.62364 17.623640.588597 0.550524 0.492768 0.37636

17.07505 17.07505 17.075050.895938 0.884228 0.87103

16.54354 16.54354 16.543541.306606 1.348785 1.456461

16.02857 16.028571.810155 1.91751

15.52963 15.529632.362689 2.470366

15.046232.899854

14.577873.422132

Node Time: 0.0000 0.0250 0.0500 0.0750 0.1000 0.1250 0.1500 0.1750 0.2000 0.2250 0.2500

Put Europeo sobre acciones:S: 20

r: 12%

t= 0.25 años

X = 18

109

At each node: Upper value = Underlying Asset Price 27.43885 Lower value = Option Price 0Values in red are a result of early exercise. 26.58474

0Strike price = 18 25.75721 25.75721Discount factor per step = 0.9970 0 0Time step, dt = 0.0250 years, 9.13 days 24.95544 24.95544Growth factor per step, a = 1.0030 0 0Probability of up move, p = 0.5396 24.17862 24.17862 24.17862Up step size, u = 1.0321 0 0 0Down step size, d = 0.9689 23.42599 23.42599 23.42599

0 0 022.69679 22.69679 22.69679 22.69679

0 0 0 021.99028 21.99028 21.99028 21.990280.001616 0 0 0

21.30577 21.30577 21.30577 21.30577 21.305770.010058 0.003521 0 0 0

20.64256 20.64256 20.64256 20.64256 20.642560.034308 0.020017 0.00767 0 0

20 20 20 20 20 200.085736 0.062954 0.039482 0.016709 0 0

19.37744 19.37744 19.37744 19.37744 19.377440.146568 0.113685 0.077023 0.036402 0

18.77426 18.77426 18.77426 18.77426 18.774260.245519 0.201392 0.148211 0.079302 0

18.18985 18.18985 18.18985 18.189850.401629 0.348466 0.280218 0.17276

17.62364 17.62364 17.62364 17.623640.638925 0.585437 0.517519 0.37636

17.07505 17.07505 17.075050.983508 0.94697 0.924949

16.54354 16.54354 16.543541.456461 1.456461 1.456461

16.02857 16.028571.971429 1.971429

15.52963 15.529632.470366 2.470366

15.046232.953773

14.577873.422132

Node Time: 0.0000 0.0250 0.0500 0.0750 0.1000 0.1250 0.1500 0.1750 0.2000 0.2250 0.2500

Put Americano sobre acciones:S: 20

r: 12%

t= 0.25 años

X = 18

110

VIIIOpciones

Estrategias especulativas

111

Tres estrategias alternativas

Tomar una posición en una opción y en el activo subyacente

Tomar un posición en 2 o más opciones de un mismo tipo (Spread)

Tomar una posición en puts y calls (Combinación)

112

Opciones Sintéticas

Ganancia

STX

Ganancia

ST

X

Ganancia

ST

X

Ganancia

STX

(a) (b)

(c)

(d)

113

Bull Spread con Calls

X1 X2

Ganancia

ST

114

Bull Spread con Puts

X1 X2

Ganancia

ST

115

Bear Spread con Calls

X1 X2

Ganancia

ST

116

Bear Spread con Puts

X1 X2

Ganancia

ST

117

Butterfly con Calls

X1 X3

Ganancia

STX2

118

Butterfly con Puts

X1 X3

Ganancia

STX2

119

Spread Calendario con Calls

Ganancia

ST

X

120

Spread Calendario con Puts

Ganancia

ST

X

121

Straddle Comprado

Ganancia

STX

122

Strip y Strap

Ganancia

X ST

Ganancia

X ST

Strip Strap

123

Strangle Comprado

X1 X2

Ganancia

ST