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UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 410. Autoevaluación
I. Conoces la utilidad del lenguaje algebraico para expresar enunciados y propiedades. ¿Sabes asociar unenunciado a una expresión algebraica, y viceversa?
1 Asocia cada enunciado con una de las expresiones algebraicas de la tabla:
a) El doble de un número más su mitad.
b) La diferencia de los cuadrados de dos números.
c) El producto de un número por otro dos unidades mayor.
d) El doble del resultado de restarle 6 a un número.
e)El área de este rectángulo es de 20 m2.
f ) Si a un número le resto 6, obtengo el 70% de ese número.
✮ Mira los ejercicios resueltos de la página 88 de tu libro de texto.
2 Fíjate en la parte coloreada de esta figura:
a) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa su área?
I) 2x 2 II) 4x 2 III) 3x 2 IV) x 2
Área =
b) ¿Y cuál de estas representa su perímetro?
I) 8x II) 4x + 2x√—2 III) 4√
—2x 2 IV) 6x
Perímetro =
✮ Mira los ejercicios resueltos de la página 88 de tu libro de texto.
x
x
x
2x
x
x + 8
x (x + 2) x (x + 8) = 20 2x + x2 x 2 – y 2 x – 6 = 0,7x 2(x – 6)
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 2 de 410. Autoevaluación
II. Coeficiente, grado, monomios semejantes, identidad… son términos que se emplean cuando se traba-ja en Álgebra. ¿Identificas estos términos en las expresiones algebraicas?
3 a) ¿Cuál es el grado y el coeficiente de cada uno de estos monomios?
b) ¿Cuáles de ellos son semejantes?
✮ En la página 89 de tu libro tienes la información que necesitas.
4 Di cuál es el grado de los polinomios siguientes:
✮ Lee la página 90 de tu libro de texto.
5 Entre las siguientes expresiones algebraicas hay algunas identidades. ¿Cuáles son?
a) 2x – 5 = 3 b) 3x 2 – x 2 = 2x 2 c) 3x 2 – 5x + 2 d) 3x (x – 2) = 3x 2 – 6x
✮ Lee la información de la página 88 de tu libro.
III. Sabes que las operaciones con polinomios son básicas para la aplicación del lenguaje algebraico.¿Efectúas dichas operaciones con suficiente agilidad y eficacia?
6 Halla A + B y A – B, siendo A = 2x 3 – 7x 2 + 3 y B = –x 3 + 5x2 – 8x.
A + B =
A – B =
✮ En la página 90 de tu libro se te explica cómo sumar y restar polinomios.
–x 2 2x 3 2xy x 2—2
7x 2y xy
GRADO
COEFICIENTE
x 3 – 5x + 3 3x – 7x 2 + 2 x 2 – 2x 3 + 3x 4
GRADO
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 3 de 410. Autoevaluación
7 Efectúa las siguientes operaciones:
a) (3x – 2)(7x2 – 2x) =
b) (x2 – 1)(2x + 3) – 2x2(3x – 5) =
✮ En las páginas 90 y 91 de tu libro de texto tienes ejemplos de productos de polinomios.
8 Extrae factor común.
a) 3x2y – 6x2 + 9x2y 2 =
b) x3 + 7x2 – x =
c) x2y 2 + xy 2 – x2y =
✮ Mira la página 91 de tu libro de texto.
9 Reduce las siguientes expresiones:
a) 12( – + ) =
b) 4[ (2x + 3) – (5 – x) + 3x] =
c) 30[ – + ] =
✮ En las páginas 90 y 91 de tu libro puedes encontrar información que te ayudará a resolver este ejercicio.
IV. En el Álgebra, las identidades notables aparecen con mucha frecuencia. ¿Las conoces y manejas consoltura?
10 Desarrolla.
a) (3x – 2)2 = b) (x2 + 1)2 = c) ( – )2 =
✮ Mira en la página 92 de tu libro lo que se refiere a las identidades notables.
11 Efectúa los siguientes productos:
a) (3x – 2)(3x + 2) = b) (2x + 7)(2x – 7) = c) ( – )( + ) =
✮ Mira en la página 92 de tu libro lo que se refiere a las identidades notables.
b3
a2
b3
a2
y2
x3
x6
x (x – 1)5
x (x + 1)3
14
12
x4
3x – 86
x – 52
15
23
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 4 de 410. Autoevaluación
12 Expresa como producto.
a) 16x2 + 9 + 24x = b) 4x2 – 1 =
c) x3 – 4x = d) x4 + 25x2 – 10x3 =
✮ En la página 93 de tu libro de texto puedes encontrar información que te ayudará a resolver este ejer-cicio.
13 Simplifica las siguientes expresiones:
a) (2x – 3)2 – 4(x2 – 3x) = b) (2x + 1)(2x – 1) – (x + 2)2 =
✮ En la página 93 de tu libro de texto puedes encontrar información que te ayudará a resolver este ejer-cicio.
V. Has visto que las fracciones algebraicas se utilizan de forma similar a las fracciones numéricas. ¿Sabesoperar con fracciones algebraicas sencillas?
14 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) = b) = c) =
✮ Mira la página 94 de tu libro de texto.
15 Opera y simplifica si es posible.
a) · = b) : = c) : =
✮ Mira en la página 95 de tu libro de texto la información y los ejercicios resueltos.
16 Efectúa las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:
a) – + =
b) – =
c) – + =
✮ Mira los ejercicios resueltos de la página 94 de tu libro.
13
5x
2x – 2
xx + 1
4x – 1
16
7x2
23x
2x + 1
4x2 – 1
x – 23
2x + 1x
3x
2x2
x – 1
x + 3x2 – 9
(x + 1)2
5x + 57x
x2 – 2x
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 410. AutoevaluaciónSoluciones
I. Conoces la utilidad del lenguaje algebraico para expresar enunciados y propiedades. ¿Sabes asociar unenunciado a una expresión algebraica, y viceversa?
1 Asocia cada enunciado con una de las expresiones algebraicas de la tabla:
a) El doble de un número más su mitad.
b) La diferencia de los cuadrados de dos números.
c) El producto de un número por otro dos unidades mayor.
d) El doble del resultado de restarle 6 a un número.
e)El área de este rectángulo es de 20 m2.
f ) Si a un número le resto 6, obtengo el 70% de ese número.
✮ Mira los ejercicios resueltos de la página 88 de tu libro de texto.
2 Fíjate en la parte coloreada de esta figura:
a) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa su área?
I) 2x 2 II) 4x 2 III) 3x 2 IV) x 2
Área =
b) ¿Y cuál de estas representa su perímetro?
I) 8x II) 4x + 2x√—2 III) 4√
—2x 2 IV) 6x
Perímetro =
✮ Mira los ejercicios resueltos de la página 88 de tu libro de texto.
4x + 2x √—2
3x 2
x
x
x
2x
x
x + 8
x (x + 2) x (x + 8) = 20 2x + x2 x 2 – y 2 x – 6 = 0,7x 2(x – 6)
c) e) a) b) f) d)
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 2 de 410. AutoevaluaciónSoluciones
II. Coeficiente, grado, monomios semejantes, identidad… son términos que se emplean cuando se traba-ja en Álgebra. ¿Identificas estos términos en las expresiones algebraicas?
3 a) ¿Cuál es el grado y el coeficiente de cada uno de estos monomios?
b) ¿Cuáles de ellos son semejantes?
–x 2 y son semejantes; 2xy y xy son semejantes.
✮ En la página 89 de tu libro tienes la información que necesitas.
4 Di cuál es el grado de los polinomios siguientes:
✮ Lee la página 90 de tu libro de texto.
5 Entre las siguientes expresiones algebraicas hay algunas identidades. ¿Cuáles son?
a) 2x – 5 = 3 b) 3x 2 – x 2 = 2x 2 c) 3x 2 – 5x + 2 d) 3x (x – 2) = 3x 2 – 6x
Son identidades b) 3x 2 – x 2 = 2x 2 y d) 3x (x – 2) = 3x 2 – 6x.
✮ Lee la información de la página 88 de tu libro.
III. Sabes que las operaciones con polinomios son básicas para la aplicación del lenguaje algebraico.¿Efectúas dichas operaciones con suficiente agilidad y eficacia?
6 Halla A + B y A – B, siendo A = 2x 3 – 7x 2 + 3 y B = –x 3 + 5x2 – 8x.
A + B =
A – B =
✮ En la página 90 de tu libro se te explica cómo sumar y restar polinomios.
3x3 – 12x2 + 8x + 3
x3 – 2x2 – 8x + 3
x 2
2
–x 2 2x 3 2xy x 2—2
7x 2y xy
GRADO 2 3 2 2 3 2
COEFICIENTE –1 2 21—2
7 1
x 3 – 5x + 3 3x – 7x 2 + 2 x 2 – 2x 3 + 3x 4
GRADO 3 2 4
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 3 de 410. AutoevaluaciónSoluciones
7 Efectúa las siguientes operaciones:
a) (3x – 2)(7x2 – 2x) =
b) (x2 – 1)(2x + 3) – 2x2(3x – 5) =
✮ En las páginas 90 y 91 de tu libro de texto tienes ejemplos de productos de polinomios.
8 Extrae factor común.
a) 3x2y – 6x2 + 9x2y 2 =
b) x3 + 7x2 – x =
c) x2y 2 + xy 2 – x2y =
✮ Mira la página 91 de tu libro de texto.
9 Reduce las siguientes expresiones:
a) 12( – + ) =
b) 4[ (2x + 3) – (5 – x) + 3x] =
c) 30[ – + ] =
✮ En las páginas 90 y 91 de tu libro puedes encontrar información que te ayudará a resolver este ejercicio.
IV. En el Álgebra, las identidades notables aparecen con mucha frecuencia. ¿Las conoces y manejas consoltura?
10 Desarrolla.
a) (3x – 2)2 = b) (x2 + 1)2 = c) ( – )2 =
✮ Mira en la página 92 de tu libro lo que se refiere a las identidades notables.
11 Efectúa los siguientes productos:
a) (3x – 2)(3x + 2) = b) (2x + 7)(2x – 7) = c) ( – )( + ) =
✮ Mira en la página 92 de tu libro lo que se refiere a las identidades notables.
a b(—)2 – (—)22 3b3
a2
b3
a2
4x2 – 499x2 – 4
x2 y2 xy—— + —— – ——9 4 3
y2
x3
x4 + 1 + 2x29x2 + 4 – 12x
4x2 + 21xx6
x (x – 1)5
x (x + 1)3
17x + 114
12
3x – 14x4
3x – 86
x – 52
2 1xy (—xy + y – —x)3 515
23
x(x2 + 7x – 1)
3x2(y – 2 + 3y2)
–4x3 + 13x2 – 2x – 3
21x3 – 20x2 + 4x
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 4 de 410. AutoevaluaciónSoluciones
12 Expresa como producto.
a) 16x2 + 9 + 24x = b) 4x2 – 1 =
c) x3 – 4x = d) x4 + 25x2 – 10x3 =
✮ En la página 93 de tu libro de texto puedes encontrar información que te ayudará a resolver este ejer-cicio.
13 Simplifica las siguientes expresiones:
a) (2x – 3)2 – 4(x2 – 3x) = b) (2x + 1)(2x – 1) – (x + 2)2 =
✮ En la página 93 de tu libro de texto puedes encontrar información que te ayudará a resolver este ejer-cicio.
V. Has visto que las fracciones algebraicas se utilizan de forma similar a las fracciones numéricas. ¿Sabesoperar con fracciones algebraicas sencillas?
14 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) = b) = c) =
✮ Mira la página 94 de tu libro de texto.
15 Opera y simplifica si es posible.
a) · = b) : = c) : =
✮ Mira en la página 95 de tu libro de texto la información y los ejercicios resueltos.
16 Efectúa las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:
a) – + =
b) – =
c) – + =
✮ Mira los ejercicios resueltos de la página 94 de tu libro.
x2 – 11x + 303x (x – 2)
13
5x
2x – 2
–x2 + 5x + 4
x2 – 1x
x + 14
x – 1
x2 + 4x – 42
6x2
16
7x2
23x
2x – 1
2x + 1
4x2 – 1
3(2x + 1)x (x – 2)
x – 23
2x + 1x
6xx – 1
3x
2x2
x – 1
1x – 3
x + 3x2 – 9
x + 15
(x + 1)2
5x + 57
x – 27x
x2 – 2x
3x2 – 4x – 59
x2(x2 + 25 – 10x) = x2(x – 5)2x (x2 – 4) = x (x + 2)(x – 2)
(2x + 1)(2x – 1)(4x + 3)2
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 14. Ayuda para sacar factor común
1 Observa y completa las siguientes igualdades:
a) x · (x + 3) = x 2 + x
b) 4a · (2a + 5) = a2 + a
c) x 2 · ( + ) = x 3 + 5x 2
d) · (3a + 5) = 3a2 + 5a
e) 9x 2 + 6x + 15 = · (3x 2 + 2x + 5)
f ) 7a3 + 14a2 + 21 = 7 · ( a3 + a2 + )
g) 15x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 3x 2 · ( x 2 + x + )
h) 20a + 5a2 + 10a3 = a · (4 + a + 2a2)
2 Completa las siguientes igualdades observando que uno de los sumandos que hay dentro del paréntesis esla unidad:
a) 2x · (x + 1) = x 2 + x
b) 5a2 · (3a + 1) = a3 + a2
c) x 2 + x = x · ( + )
d) 4a3 + 2a2 = 2a2 · ( a + )
e) 12x 4 + 18x 3 + 6x 2 = 6x 2 · ( x 2 + x + )
f ) 8a3 + 4a2 + 2a = · (4a2 + 2a + 1)
g) 12x 5 – 24x 3 + 6x 2 = x 2 · ( x 3 – x + )
h) 15a6 – 25a4 + 5a3 = a3 · ( a3 – a + )
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 14. Ayuda para sacar factor comúnSoluciones
1 Observa y completa las siguientes igualdades:
a) x · (x + 3) = x 2 + x
b) 4a · (2a + 5) = a2 + a
c) x 2 · ( + ) = x 3 + 5x 2
d) · (3a + 5) = 3a2 + 5a
e) 9x 2 + 6x + 15 = · (3x 2 + 2x + 5)
f ) 7a3 + 14a2 + 21 = 7 · ( a3 + a2 + )
g) 15x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 3x 2 · ( x 2 + x + )
h) 20a + 5a2 + 10a3 = a · (4 + a + 2a2)
2 Completa las siguientes igualdades observando que uno de los sumandos que hay dentro del paréntesis esla unidad:
a) 2x · (x + 1) = x 2 + x
b) 5a2 · (3a + 1) = a3 + a2
c) x 2 + x = x · ( + )
d) 4a3 + 2a2 = 2a2 · ( a + )
e) 12x 4 + 18x 3 + 6x 2 = 6x 2 · ( x 2 + x + )
f ) 8a3 + 4a2 + 2a = · (4a2 + 2a + 1)
g) 12x 5 – 24x 3 + 6x 2 = x 2 · ( x 3 – x + )
h) 15a6 – 25a4 + 5a3 = a3 · ( a3 – a + )1535
1426
2a
132
12
1x
515
22
5
325
321
3
a
5x
208
31
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 16. Ayuda para manejar las identidades notables
1 Desarrolla aplicando las identidades notables.
a) (x + 3)2 = x2 + x +
b) (5 + x)2 = + x + x2
c) (3x + 1)2 = x2 + x +
d) (x – 7)2 = x2 – x +
e) (2x – 3)2 = x2 – x +
f ) (3x – a)2 = x2 – x +
g) (4x + 3y)2 = x 2 + xy + y 2
h) (x + 2)(x – 2) = x 2 –
i) (5x + 2y)(5x – 2y) = x2 – y2
j) (x2 + 2x)(x2 – 2x) = x4 – x2
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 16. Ayuda para manejar las identidades notablesSoluciones
1 Desarrolla aplicando las identidades notables.
a) (x + 3)2 = x2 + x +
b) (5 + x)2 = + x + x2
c) (3x + 1)2 = x2 + x +
d) (x – 7)2 = x2 – x +
e) (2x – 3)2 = x2 – x +
f ) (3x – a)2 = x2 – x +
g) (4x + 3y)2 = x 2 + xy + y 2
h) (x + 2)(x – 2) = x 2 –
i) (5x + 2y)(5x – 2y) = x2 – y2
j) (x2 + 2x)(x2 – 2x) = x4 – x241
425
41
92416
a26a9
9124
49141
169
11025
961
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 19. Ayuda para calcular productos y cocientes
de fracciones algebraicas
1 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a) · = =
b) · = =
c) : = =
d) : = =
e) : = =+ x2( + )
·
5x
x 2 + 3x4
x2
2 –( + ) ( – )x – 12x
xx + 1
– x
x – x2
(5 – x)
(2 – x)2 – x
35 – x
x
x + x2
x2 + x
( + )( + 3x)
5 + x3x
xx + 2
x +
x +
(x + 3)
(x + 2)7
x + 2x + 3
5
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 19. Ayuda para calcular productos y cocientes
de fracciones algebraicasSoluciones
1 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a) · = =
b) · = =
c) : = =
d) : = =
e) : = =x3 3+ x2
20
x2x 3x( + )5 4·
5x
x 2 + 3x4
2 x2
x 12 –
2xx
x 1( + ) x 1( – )x – 12x
xx + 1
15 – 3 x
2 x – x2
3 (5 – x)
x (2 – x)2 – x
35 – x
x
5 x + x2
3 x2 + 6 x
5x x( + )x 2( + 3x)
5 + x3x
xx + 2
7 21x +
10x +5
7(x + 3)
5 (x + 2)7
x + 2x + 3
5
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 17. Ayuda para simplificar fracciones algebraicas
1 Simplifica estas fracciones algebraicas:
a) = =
b) = =
c) = =
d) = = =
e) = =
f ) = =
g) = =
h) = =
i) = =
j) = =
k) = = –( –
( – ))2
x2 – xx2 – 2x + 1
+
( + )( + )2x2 + 4x + 4
x2 + 2x
–
+
( – )( + )
x4 – 3x2
2x3 + x2
–(x – 2)2
( – )(x – 2)2
x2 – 2x
(x + 1)
( + )x + 1
3x2 + 3x
( – )( – )
x2 – 3x3x – 9
(x + 2)
( + )x + 2
7x + 14
–
+
( – )2( + ·) ( – )(x2 – 4)
(x2 – 4x + 4)2x2 – 8
2x2 – 8x + 8
+(+x (
+
))2
x2 + 2xx2 + 4x + 4
–(3(
–
–
)2
)x2 – 6x + 9
3x – 9
x + 3
5( + )x + 3
5x + 15
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 17. Ayuda para simplificar fracciones algebraicasSoluciones
1 Simplifica estas fracciones algebraicas:
a) = =
b) = =
c) = =
d) = = =
e) = =
f ) = =
g) = =
h) = =
i) = =
j) = =
k) = = x
x – 1
x
x( –
x 1( – )1 )2
x2 – xx2 – 2x + 1
x
x + 2
xx ( + 2 )x( + 2 )2x2 + 4x + 4
x2 + 2x
x2 3–
2x 1+
x2x2 3( – )2xx2 1( + )
x4 – 3x2
2x3 + x2
x
x – 2(x – 2)2
( – )xx 2(x – 2)2
x2 – 2x
1
3x
(x + 1)
( + )x3x 1x + 1
3x2 + 3x
x
3
xx 3( – )x3 3( – )
x2 – 3x3x – 9
1
7
(x + 2)
( + )x7 2x + 2
7x + 14
x – 2
x + 2
x( – 2 )2x( + ·2 ) x( – 2 )2 (x2 – 4)
2 (x2 – 4x + 4)2x2 – 8
2x2 – 8x + 8
x
x + 2
x 2
x(+x (
+
)2 )2
x2 + 2xx2 + 4x + 4
x
3
– 3x 3
x
(3(
–
–
)2
3 )x2 – 6x + 9
3x – 9
1
5
x + 3
5( + )x 3x + 3
5x + 15
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 18. Ayuda para calcular sumas y restas
de fracciones algebraicas
1 Opera y simplifica.
a) + = =
b) + = =
c) – = =
d) – = =
e) – = =x –
x2
x – (x + 1)
x2
x + 1x2
53x
–
x
( + –
x
) ( + )x + 53x
x + 32x
–
x
(x – 3) – x
x
23
x – 3x
+
x2
+ 2
x2
2x2
1x
x –(x – 3) + (2x + 1)2x + 13
x – 35
UNIDAD 4 El lenguaje algebraico
Pág. 1 de 18. Ayuda para calcular sumas y restas
de fracciones algebraicasSoluciones
1 Opera y simplifica.
a) + = =
b) + = =
c) – = =
d) – = =
e) – = =2
3
3x –
x2
5
3
3x – (x + 1)
x2
x + 1x2
53x
x 1–
x6
x3 3
6
( + –
x
) x2 5( + )x + 53x
x + 32x
x 9–
x3
3 2(x – 3) – x
x3
23
x – 3x
x 2+
x2
x 1+ 2
x2
2x2
1x
13 4x –
15
3 5(x – 3) + (2x + 1)
152x + 1
3x – 3
5