Polinomios 3º eso

UNIDAD 4 El lenguaje algebraico

Pág. 1 de 410. Autoevaluación

I. Conoces la utilidad del lenguaje algebraico para expresar enunciados y propiedades. ¿Sabes asociar unenunciado a una expresión algebraica, y viceversa?

1 Asocia cada enunciado con una de las expresiones algebraicas de la tabla:

a) El doble de un número más su mitad.

b) La diferencia de los cuadrados de dos números.

c) El producto de un número por otro dos unidades mayor.

d) El doble del resultado de restarle 6 a un número.

e)El área de este rectángulo es de 20 m2.

f ) Si a un número le resto 6, obtengo el 70% de ese número.

✮ Mira los ejercicios resueltos de la página 88 de tu libro de texto.

2 Fíjate en la parte coloreada de esta figura:

a) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa su área?

I) 2x 2 II) 4x 2 III) 3x 2 IV) x 2

Área =

b) ¿Y cuál de estas representa su perímetro?

I) 8x II) 4x + 2x√—2 III) 4√

—2x 2 IV) 6x

Perímetro =


x

x

x

2x

x

x + 8

x (x + 2) x (x + 8) = 20 2x + x2 x 2 – y 2 x – 6 = 0,7x 2(x – 6)



II. Coeficiente, grado, monomios semejantes, identidad… son términos que se emplean cuando se traba-ja en Álgebra. ¿Identificas estos términos en las expresiones algebraicas?

3 a) ¿Cuál es el grado y el coeficiente de cada uno de estos monomios?

b) ¿Cuáles de ellos son semejantes?

✮ En la página 89 de tu libro tienes la información que necesitas.

4 Di cuál es el grado de los polinomios siguientes:

✮ Lee la página 90 de tu libro de texto.

5 Entre las siguientes expresiones algebraicas hay algunas identidades. ¿Cuáles son?

a) 2x – 5 = 3 b) 3x 2 – x 2 = 2x 2 c) 3x 2 – 5x + 2 d) 3x (x – 2) = 3x 2 – 6x

✮ Lee la información de la página 88 de tu libro.

III. Sabes que las operaciones con polinomios son básicas para la aplicación del lenguaje algebraico.¿Efectúas dichas operaciones con suficiente agilidad y eficacia?

6 Halla A + B y A – B, siendo A = 2x 3 – 7x 2 + 3 y B = –x 3 + 5x2 – 8x.

A + B =

A – B =

✮ En la página 90 de tu libro se te explica cómo sumar y restar polinomios.

–x 2 2x 3 2xy x 2—2

7x 2y xy

GRADO

COEFICIENTE

x 3 – 5x + 3 3x – 7x 2 + 2 x 2 – 2x 3 + 3x 4

GRADO



7 Efectúa las siguientes operaciones:

a) (3x – 2)(7x2 – 2x) =

b) (x2 – 1)(2x + 3) – 2x2(3x – 5) =

✮ En las páginas 90 y 91 de tu libro de texto tienes ejemplos de productos de polinomios.

8 Extrae factor común.

a) 3x2y – 6x2 + 9x2y 2 =

b) x3 + 7x2 – x =

c) x2y 2 + xy 2 – x2y =

✮ Mira la página 91 de tu libro de texto.

9 Reduce las siguientes expresiones:

a) 12( – + ) =

b) 4[ (2x + 3) – (5 – x) + 3x] =

c) 30[ – + ] =

✮ En las páginas 90 y 91 de tu libro puedes encontrar información que te ayudará a resolver este ejercicio.

IV. En el Álgebra, las identidades notables aparecen con mucha frecuencia. ¿Las conoces y manejas consoltura?

10 Desarrolla.

a) (3x – 2)2 = b) (x2 + 1)2 = c) ( – )2 =

✮ Mira en la página 92 de tu libro lo que se refiere a las identidades notables.

11 Efectúa los siguientes productos:

a) (3x – 2)(3x + 2) = b) (2x + 7)(2x – 7) = c) ( – )( + ) =


b3

a2

b3

a2

y2

x3

x6

x (x – 1)5

x (x + 1)3

14

12

x4

3x – 86

x – 52

15

23



12 Expresa como producto.

a) 16x2 + 9 + 24x = b) 4x2 – 1 =

c) x3 – 4x = d) x4 + 25x2 – 10x3 =

✮ En la página 93 de tu libro de texto puedes encontrar información que te ayudará a resolver este ejer-cicio.

13 Simplifica las siguientes expresiones:

a) (2x – 3)2 – 4(x2 – 3x) = b) (2x + 1)(2x – 1) – (x + 2)2 =


V. Has visto que las fracciones algebraicas se utilizan de forma similar a las fracciones numéricas. ¿Sabesoperar con fracciones algebraicas sencillas?

14 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) = b) = c) =


15 Opera y simplifica si es posible.

a) · = b) : = c) : =

✮ Mira en la página 95 de tu libro de texto la información y los ejercicios resueltos.

16 Efectúa las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:

a) – + =

b) – =

c) – + =

✮ Mira los ejercicios resueltos de la página 94 de tu libro.

13

5x

2x – 2

xx + 1

4x – 1

16

7x2

23x

2x + 1

4x2 – 1

x – 23

2x + 1x

3x

2x2

x – 1

x + 3x2 – 9

(x + 1)2

5x + 57x

x2 – 2x


Pág. 1 de 410. AutoevaluaciónSoluciones

I. Conoces la utilidad del lenguaje algebraico para expresar enunciados y propiedades. ¿Sabes asociar unenunciado a una expresión algebraica, y viceversa?

1 Asocia cada enunciado con una de las expresiones algebraicas de la tabla:

a) El doble de un número más su mitad.

b) La diferencia de los cuadrados de dos números.

c) El producto de un número por otro dos unidades mayor.

d) El doble del resultado de restarle 6 a un número.

e)El área de este rectángulo es de 20 m2.

f ) Si a un número le resto 6, obtengo el 70% de ese número.


2 Fíjate en la parte coloreada de esta figura:

a) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa su área?

I) 2x 2 II) 4x 2 III) 3x 2 IV) x 2

Área =

b) ¿Y cuál de estas representa su perímetro?

I) 8x II) 4x + 2x√—2 III) 4√

—2x 2 IV) 6x

Perímetro =


4x + 2x √—2

3x 2

x

x

x

2x

x

x + 8

x (x + 2) x (x + 8) = 20 2x + x2 x 2 – y 2 x – 6 = 0,7x 2(x – 6)

c) e) a) b) f) d)



II. Coeficiente, grado, monomios semejantes, identidad… son términos que se emplean cuando se traba-ja en Álgebra. ¿Identificas estos términos en las expresiones algebraicas?

3 a) ¿Cuál es el grado y el coeficiente de cada uno de estos monomios?

b) ¿Cuáles de ellos son semejantes?

–x 2 y son semejantes; 2xy y xy son semejantes.

✮ En la página 89 de tu libro tienes la información que necesitas.

4 Di cuál es el grado de los polinomios siguientes:

✮ Lee la página 90 de tu libro de texto.

5 Entre las siguientes expresiones algebraicas hay algunas identidades. ¿Cuáles son?

a) 2x – 5 = 3 b) 3x 2 – x 2 = 2x 2 c) 3x 2 – 5x + 2 d) 3x (x – 2) = 3x 2 – 6x

Son identidades b) 3x 2 – x 2 = 2x 2 y d) 3x (x – 2) = 3x 2 – 6x.

✮ Lee la información de la página 88 de tu libro.

III. Sabes que las operaciones con polinomios son básicas para la aplicación del lenguaje algebraico.¿Efectúas dichas operaciones con suficiente agilidad y eficacia?

6 Halla A + B y A – B, siendo A = 2x 3 – 7x 2 + 3 y B = –x 3 + 5x2 – 8x.

A + B =

A – B =

✮ En la página 90 de tu libro se te explica cómo sumar y restar polinomios.

3x3 – 12x2 + 8x + 3

x3 – 2x2 – 8x + 3

x 2

2

–x 2 2x 3 2xy x 2—2

7x 2y xy

GRADO 2 3 2 2 3 2

COEFICIENTE –1 2 21—2

7 1

x 3 – 5x + 3 3x – 7x 2 + 2 x 2 – 2x 3 + 3x 4

GRADO 3 2 4



7 Efectúa las siguientes operaciones:

a) (3x – 2)(7x2 – 2x) =

b) (x2 – 1)(2x + 3) – 2x2(3x – 5) =

✮ En las páginas 90 y 91 de tu libro de texto tienes ejemplos de productos de polinomios.

8 Extrae factor común.

a) 3x2y – 6x2 + 9x2y 2 =

b) x3 + 7x2 – x =

c) x2y 2 + xy 2 – x2y =


9 Reduce las siguientes expresiones:

a) 12( – + ) =

b) 4[ (2x + 3) – (5 – x) + 3x] =

c) 30[ – + ] =

✮ En las páginas 90 y 91 de tu libro puedes encontrar información que te ayudará a resolver este ejercicio.

IV. En el Álgebra, las identidades notables aparecen con mucha frecuencia. ¿Las conoces y manejas consoltura?

10 Desarrolla.

a) (3x – 2)2 = b) (x2 + 1)2 = c) ( – )2 =


11 Efectúa los siguientes productos:

a) (3x – 2)(3x + 2) = b) (2x + 7)(2x – 7) = c) ( – )( + ) =


a b(—)2 – (—)22 3b3

a2

b3

a2

4x2 – 499x2 – 4

x2 y2 xy—— + —— – ——9 4 3

y2

x3

x4 + 1 + 2x29x2 + 4 – 12x

4x2 + 21xx6

x (x – 1)5

x (x + 1)3

17x + 114

12

3x – 14x4

3x – 86

x – 52

2 1xy (—xy + y – —x)3 515

23

x(x2 + 7x – 1)

3x2(y – 2 + 3y2)

–4x3 + 13x2 – 2x – 3

21x3 – 20x2 + 4x



12 Expresa como producto.

a) 16x2 + 9 + 24x = b) 4x2 – 1 =

c) x3 – 4x = d) x4 + 25x2 – 10x3 =


13 Simplifica las siguientes expresiones:

a) (2x – 3)2 – 4(x2 – 3x) = b) (2x + 1)(2x – 1) – (x + 2)2 =


V. Has visto que las fracciones algebraicas se utilizan de forma similar a las fracciones numéricas. ¿Sabesoperar con fracciones algebraicas sencillas?

14 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) = b) = c) =


15 Opera y simplifica si es posible.

a) · = b) : = c) : =

✮ Mira en la página 95 de tu libro de texto la información y los ejercicios resueltos.

16 Efectúa las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:

a) – + =

b) – =

c) – + =

✮ Mira los ejercicios resueltos de la página 94 de tu libro.

x2 – 11x + 303x (x – 2)

13

5x

2x – 2

–x2 + 5x + 4

x2 – 1x

x + 14

x – 1

x2 + 4x – 42

6x2

16

7x2

23x

2x – 1

2x + 1

4x2 – 1

3(2x + 1)x (x – 2)

x – 23

2x + 1x

6xx – 1

3x

2x2

x – 1

1x – 3

x + 3x2 – 9

x + 15

(x + 1)2

5x + 57

x – 27x

x2 – 2x

3x2 – 4x – 59

x2(x2 + 25 – 10x) = x2(x – 5)2x (x2 – 4) = x (x + 2)(x – 2)

(2x + 1)(2x – 1)(4x + 3)2


Pág. 1 de 14. Ayuda para sacar factor común

1 Observa y completa las siguientes igualdades:

a) x · (x + 3) = x 2 + x

b) 4a · (2a + 5) = a2 + a

c) x 2 · ( + ) = x 3 + 5x 2

d) · (3a + 5) = 3a2 + 5a

e) 9x 2 + 6x + 15 = · (3x 2 + 2x + 5)

f ) 7a3 + 14a2 + 21 = 7 · ( a3 + a2 + )

g) 15x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 3x 2 · ( x 2 + x + )

h) 20a + 5a2 + 10a3 = a · (4 + a + 2a2)

2 Completa las siguientes igualdades observando que uno de los sumandos que hay dentro del paréntesis esla unidad:

a) 2x · (x + 1) = x 2 + x

b) 5a2 · (3a + 1) = a3 + a2

c) x 2 + x = x · ( + )

d) 4a3 + 2a2 = 2a2 · ( a + )

e) 12x 4 + 18x 3 + 6x 2 = 6x 2 · ( x 2 + x + )

f ) 8a3 + 4a2 + 2a = · (4a2 + 2a + 1)

g) 12x 5 – 24x 3 + 6x 2 = x 2 · ( x 3 – x + )

h) 15a6 – 25a4 + 5a3 = a3 · ( a3 – a + )


Pág. 1 de 14. Ayuda para sacar factor comúnSoluciones

1 Observa y completa las siguientes igualdades:

a) x · (x + 3) = x 2 + x

b) 4a · (2a + 5) = a2 + a

c) x 2 · ( + ) = x 3 + 5x 2

d) · (3a + 5) = 3a2 + 5a

e) 9x 2 + 6x + 15 = · (3x 2 + 2x + 5)

f ) 7a3 + 14a2 + 21 = 7 · ( a3 + a2 + )

g) 15x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 3x 2 · ( x 2 + x + )

h) 20a + 5a2 + 10a3 = a · (4 + a + 2a2)

2 Completa las siguientes igualdades observando que uno de los sumandos que hay dentro del paréntesis esla unidad:

a) 2x · (x + 1) = x 2 + x

b) 5a2 · (3a + 1) = a3 + a2

c) x 2 + x = x · ( + )

d) 4a3 + 2a2 = 2a2 · ( a + )

e) 12x 4 + 18x 3 + 6x 2 = 6x 2 · ( x 2 + x + )

f ) 8a3 + 4a2 + 2a = · (4a2 + 2a + 1)

g) 12x 5 – 24x 3 + 6x 2 = x 2 · ( x 3 – x + )

h) 15a6 – 25a4 + 5a3 = a3 · ( a3 – a + )1535

1426

2a

132

12

1x

515

22

5

325

321

3

a

5x

208

31


Pág. 1 de 16. Ayuda para manejar las identidades notables

1 Desarrolla aplicando las identidades notables.

a) (x + 3)2 = x2 + x +

b) (5 + x)2 = + x + x2

c) (3x + 1)2 = x2 + x +

d) (x – 7)2 = x2 – x +

e) (2x – 3)2 = x2 – x +

f ) (3x – a)2 = x2 – x +

g) (4x + 3y)2 = x 2 + xy + y 2

h) (x + 2)(x – 2) = x 2 –

i) (5x + 2y)(5x – 2y) = x2 – y2

j) (x2 + 2x)(x2 – 2x) = x4 – x2


Pág. 1 de 16. Ayuda para manejar las identidades notablesSoluciones

1 Desarrolla aplicando las identidades notables.

a) (x + 3)2 = x2 + x +

b) (5 + x)2 = + x + x2

c) (3x + 1)2 = x2 + x +

d) (x – 7)2 = x2 – x +

e) (2x – 3)2 = x2 – x +

f ) (3x – a)2 = x2 – x +

g) (4x + 3y)2 = x 2 + xy + y 2

h) (x + 2)(x – 2) = x 2 –

i) (5x + 2y)(5x – 2y) = x2 – y2

j) (x2 + 2x)(x2 – 2x) = x4 – x241

425

41

92416

a26a9

9124

49141

169

11025

961


Pág. 1 de 19. Ayuda para calcular productos y cocientes

de fracciones algebraicas

1 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:

a) · = =

b) · = =

c) : = =

d) : = =

e) : = =+ x2( + )

·

5x

x 2 + 3x4

x2

2 –( + ) ( – )x – 12x

xx + 1

– x

x – x2

(5 – x)

(2 – x)2 – x

35 – x

x

x + x2

x2 + x

( + )( + 3x)

5 + x3x

xx + 2

x +

x +

(x + 3)

(x + 2)7

x + 2x + 3

5


Pág. 1 de 19. Ayuda para calcular productos y cocientes

de fracciones algebraicasSoluciones

1 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:

a) · = =

b) · = =

c) : = =

d) : = =

e) : = =x3 3+ x2

20

x2x 3x( + )5 4·

5x

x 2 + 3x4

2 x2

x 12 –

2xx

x 1( + ) x 1( – )x – 12x

xx + 1

15 – 3 x

2 x – x2

3 (5 – x)

x (2 – x)2 – x

35 – x

x

5 x + x2

3 x2 + 6 x

5x x( + )x 2( + 3x)

5 + x3x

xx + 2

7 21x +

10x +5

7(x + 3)

5 (x + 2)7

x + 2x + 3

5


Pág. 1 de 17. Ayuda para simplificar fracciones algebraicas

1 Simplifica estas fracciones algebraicas:

a) = =

b) = =

c) = =

d) = = =

e) = =

f ) = =

g) = =

h) = =

i) = =

j) = =

k) = = –( –

( – ))2

x2 – xx2 – 2x + 1

+

( + )( + )2x2 + 4x + 4

x2 + 2x

–

+

( – )( + )

x4 – 3x2

2x3 + x2

–(x – 2)2

( – )(x – 2)2

x2 – 2x

(x + 1)

( + )x + 1

3x2 + 3x

( – )( – )

x2 – 3x3x – 9

(x + 2)

( + )x + 2

7x + 14

–

+

( – )2( + ·) ( – )(x2 – 4)

(x2 – 4x + 4)2x2 – 8

2x2 – 8x + 8

+(+x (

+

))2

x2 + 2xx2 + 4x + 4

–(3(

–

–

)2

)x2 – 6x + 9

3x – 9

x + 3

5( + )x + 3

5x + 15


Pág. 1 de 17. Ayuda para simplificar fracciones algebraicasSoluciones

1 Simplifica estas fracciones algebraicas:

a) = =

b) = =

c) = =

d) = = =

e) = =

f ) = =

g) = =

h) = =

i) = =

j) = =

k) = = x

x – 1

x

x( –

x 1( – )1 )2

x2 – xx2 – 2x + 1

x

x + 2

xx ( + 2 )x( + 2 )2x2 + 4x + 4

x2 + 2x

x2 3–

2x 1+

x2x2 3( – )2xx2 1( + )

x4 – 3x2

2x3 + x2

x

x – 2(x – 2)2

( – )xx 2(x – 2)2

x2 – 2x

1

3x

(x + 1)

( + )x3x 1x + 1

3x2 + 3x

x

3

xx 3( – )x3 3( – )

x2 – 3x3x – 9

1

7

(x + 2)

( + )x7 2x + 2

7x + 14

x – 2

x + 2

x( – 2 )2x( + ·2 ) x( – 2 )2 (x2 – 4)

2 (x2 – 4x + 4)2x2 – 8

2x2 – 8x + 8

x

x + 2

x 2

x(+x (

+

)2 )2

x2 + 2xx2 + 4x + 4

x

3

– 3x 3

x

(3(

–

–

)2

3 )x2 – 6x + 9

3x – 9

1

5

x + 3

5( + )x 3x + 3

5x + 15


Pág. 1 de 18. Ayuda para calcular sumas y restas

de fracciones algebraicas

1 Opera y simplifica.

a) + = =

b) + = =

c) – = =

d) – = =

e) – = =x –

x2

x – (x + 1)

x2

x + 1x2

53x

–

x

( + –

x

) ( + )x + 53x

x + 32x

–

x

(x – 3) – x

x

23

x – 3x

+

x2

+ 2

x2

2x2

1x

x –(x – 3) + (2x + 1)2x + 13

x – 35


Pág. 1 de 18. Ayuda para calcular sumas y restas

de fracciones algebraicasSoluciones

1 Opera y simplifica.

a) + = =

b) + = =

c) – = =

d) – = =

e) – = =2

3

3x –

x2

5

3

3x – (x + 1)

x2

x + 1x2

53x

x 1–

x6

x3 3

6

( + –

x

) x2 5( + )x + 53x

x + 32x

x 9–

x3

3 2(x – 3) – x

x3

23

x – 3x

x 2+

x2

x 1+ 2

x2

2x2

1x

13 4x –

15

3 5(x – 3) + (2x + 1)

152x + 1

3x – 3

5

Polinomios 3º eso

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