Post on 13-Apr-2018
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
1/17
Revista de investigacin
Editada por rea de Innovacin y Desarrollo, S.L.
OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES
DE ENGRANAJES MEDIANTE
ALGORITMOS EVOLUTIVOS
GEAR TRAIN OPTIMIZATION USING EVOLUTIONARY
ALGORITHMS
Samuel Snchez Caballero1
Miguel ngel Sells Cant2
Miguel ngel Peydr Rasero3
Rafael Pl Ferrando4
1.
Doctor Ingeniero. Ingeniero en Organizacin Industrial. Ingeniero Tcnico Industrial
esp. Mecnica. Instituto de Diseo y Fabricacin. Universitat Politcnica de
Valncia. sasanca@dimm.upv.es
2.
Doctor Ingeniero. Ingeniero en Organizacin Industrial. Ingeniero Tcnico Industrial
esp. Electrnica. Instituto de Tecnologa de Materiales. Universitat Politcnica de
Valncia. maselles@dimm.upv.es
3.
Ingeniero en Organizacin Industrial. Ingeniero Tcnico Industrial esp. Mecnica.
Instituto de Tecnologa de materiales. Universitat Politcnica de Valncia.
mpeydro@mcm.upv.es
4.
Ingeniero en Organizacin Industrial. Ingeniero Tcnico Industrial esp. Mecnica y
Electricidad. Instituto de Diseo y Fabricacin. Universitat Politcnica de Valncia.
Envo: 26-08-2013
Aceptacin: 24-09-2013
Publicacin: 29-11-2013
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
2/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
2
RESUMEN
En el presente artculo se expone un procedimiento de diseo de transmisiones de
engranajes basado en los Algoritmos Genticos (GA). En el diseo de engranajes se
emplean simultneamente variables continuas y discretas (p.e. el paso) relacionadas entre
s de forma no lineal. Sin embargo, a diferencia de los GAs, la mayora de mtodos de
optimizacin slo funcionan adecuadamente con variables de diseo continuas. El presente
trabajo emplea los GAs como una herramienta que nos permita encontrar no slo un
diseo ptimo, sino tambin un conjunto de diseos cercanos al mismo. Para lograr este
objetivo, en primer lugar se formula el problema de optimizacin. Este debe ser
multiobjetivo (mxima resistencia, mnimas prdidas energticas, etc.) y restringido,
proponindose un mecanismo para transformar el problema restringido en no restringido
mediante el empleo de funciones de penalizacin. Tambin se proponen recomendaciones
sobre la eleccin de la funcin objetivo y los trminos de penalizacin de la misma.Seguidamente se plantea el mtodo de codificacin y decodificacin de las variables de
diseo, as como los operadores gnicos de reproduccin, cruce y mutacin. Finalmente se
analiza un ejemplo en el que se implementa el algoritmo gentico expuesto, comparando
los resultados con los obtenidos en una optimizacin previa.
ABSTRACT
This paper shows a genetic algorithm (GA)-based optimization procedure for gear trains
design. Gear design uses simultaneous discrete (P.E. pitch) and continuous variables
nonlinearly related. However, unlike GAs, most optimization methods are only suited forcontinuous design variables. This paper uses GAs as a tool to achieve not only the optimal
design, but also a series of near-optimal designs. To achieve this objective, first the
optimization problem is formulated. It must be multiobjective (maximum strength,
minimum energetic losses, etc) and restricted. A mechanism to transform the constrained
problem into unconstrained thought penalty functions is proposed. Recommendations on
the objective function and penalty terms are also suggested. Next a design variables coding
and decoding method, as well the genetic operators of reproduction, crossover and
mutation are presented. Finally, it is analyzed an example in which the developed genetic
algorithm has been used, comparing the obtained results from a previous optimization.
PALABRAS CLAVE
Tipografa: Algoritmos genticos, optimizacin, transmisin, engranaje.
KEY WORDS
Genetic Algorithm, optimization, gear train.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
3/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
3
INTRODUCCIN
Durante los ltimos treinta aos se han desarrollado numerosos mtodos para resolver
problemas de optimizacin especficos relacionados con la mecnica [1], [2]. Sin embargo
no se ha encontrado un mtodo sencillo que sea completamente eficiente y robusto
aplicable a todo el rango de problemas de optimizacin [3].
La optimizacin de transmisiones engranajes representa uno de los problemas de
optimizacin ms complejo que podemos encontrar, tanto por la variedad de objetivos de
optimizacin que se pueden plantear, como por la relacin existente entre las diferentes
variables que intervienen en dicho proceso.
Las variables que intervienen en el diseo pueden ser discretas (p.e. mdulo, nmero de
dientes, etc.), como continuas (p.e. ngulo de hlice, ancho, desplazamiento del dentado,
etc.). Sin embargo, la mayora de mtodos tradicionales de optimizacin son adecuadospara el empleo de variables continuas.
La obtencin del mximo o mnimo en un proceso de optimizacin donde intervienen
variables discretas es mucho ms complicada y laboriosa que cuando intervienen variables
continuas. Slo existen uno pocos mtodos [4] para realizar este tipo de optimizacin,
entre los que destacan las tcnicas de enumeracin completa, programacin entera,
algoritmos de Branch and Bound y programacin dinmica.
Cuando adems se mezclan variables continuas y discretas, relacionadas de forma no lineal,
el espectro de mtodos se reduce an ms.
Durante los ltimos quince aos se ha producido un inters creciente en el empleo de
mtodos optimizacin basados en lo que se ha venido a llamar Soft Computing, de entre
las cuales destacan los algoritmos evolutivos y el Simulated Annealing.
De entre este conjunto de tcnicas, no se ha encontrado una que se demuestre ms
ventajosa en todos los casos, sino que ms bien cada tipo de problema tiene una, o varias
tcnicas adecuadas.
Los mtodos de optimizacin existentes en el diseo de engranajes [5] buscan obtener un
ptimo general para una aplicacin de mecnica general, sin que permitan la posibilidad de
otro tipo de optimizaciones como la minimizacin de costes, de potencia especfica, lamaximizacin del rendimiento, etc.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
4/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
4
OBJETIVOS
Lo que pretende el presente trabajo, es el desarrollo de una tcnica general que pueda
aplicarse en todos los casos y que se adapte a las condiciones de optimizacin concretas de
cada caso.
De entre las tcnicas anteriormente descritas optamos por los algoritmos evolutivos. Este
conjunto de tcnicas se clasifican a su vez en: programacin evolutiva, estrategias
evolutivas y algoritmos genticos.
De entre este conjunto de tcnicas vamos a optar por el empleo de algoritmos genticos,
por su facilidad de implementacin y porque en cierto modo, a partir de esta tcnica
pueden desarrollarse en un futuro las dems.
Debe tenerse en cuenta que tal y como hemos relatado, no puede preverse cul es la mejor
tcnica a priori. Slo el empleo de todas ellas puede determinar cul es la ms adecuadapara este caso.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
5/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
5
DESCRIPCIN DE LOS ALGORITMOS GENTICOS
Los algoritmos genticos se basan en la estrategia de desarrollar modelos basados en los
mecanismos de la evolucin gentica basados en la teora darwiniana [6]. Las
caractersticas fundamentales de los algoritmos genticos (GAs) se basan en los principiosde supervivencia de los mejor adaptados y adaptacin al medio.
El punto de partida es una poblacin de individuos generada aleatoriamente, cuyas
variables de diseo se codifican siguiendo las leyes de la gentica. Cada una de las variables
de diseo representa un gen o genotipo, que se codifican generalmente de forma binaria.
Esta representacin binaria se denomina fenotipo. El conjunto de los genes (o fenotipos)
que constituyen un individuo se denomina cromosoma.
A continuacin el algoritmo genera, siguiendo unas reglas, nuevas poblaciones formadas
por los individuos mejor adaptados a su entorno. Dicho de otro modo se seleccionan
aquellos individuos mejor valorados por la funcin objetivo.
Las reglas bsicas que rigen la creacin de nuevas poblaciones son: la reproduccin, el
cruce y la mutacin. Esto se consigue mediante la aplicacin de los operadores genticos de
reproduccin, cruce y mutacin, de naturaleza fundamentalmente estocstica.
La principal ventaja de este mtodo frente a los tradicionales reside en el hecho de que se
explora de forma simultnea todo espacio de soluciones. En todos los caso, la convergencia
hacia un mximo est asegurada. Este mximo no tiene porque ser el mximo absoluto,
puede ser un mximo relativo, pero tiene mayores probabilidades de obtener un mximo
absoluto que los criterios tradicionales basados en el gradiente. Esto es debido a que elmtodo permite algunos individuos de la poblacin efecten saltos en la bsqueda del
ptimo a pesar de que la mayora se focalicen en la bsqueda del mismo ptimo. Este salto
lo permite el empleo del operador de mutacin.
La velocidad en la convergencia, y en la obtencin del mnimo global depende
fundamentalmente de la seleccin del tipo y los parmetros de los tres operadores
genticos.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
6/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
6
OBJETIVOS
La determinacin de la geometra ptima del dentado es una operacin compleja. La
cantidad de parmetros que intervienen en la formulacin del clculo es significativa. Los
mtodos de clculo de engranajes son tambin abundantes: normas AGMA, ISO, DIN, VDI,
AFNOR, Henriot, Niemann, etc
Se busca desarrollar un mtodo de dimensionamiento automtico de engranajes cilndricos
rectos o helicoidales que obtenga un resultado ptimo con un mnimo esfuerzo por parte
del diseador.
En un futuro se pretende implementar el algoritmo en un software de diseo de
engranajes.
PARMETROS DE TRABAJO
Los parmetros de trabajo en un problema de optimizacin estndar son: Potencia a
transmitir Ptrans, relacin de reduccin i=n2/n1(siendo n1la velocidad a la entrada y n2a la
salida) y la duracin N. Tambin se requiere determinar a priori la fiabilidad, la precisin del
mecanizado, velocidad de giro del pin ni y el coeficiente de seguridad n.
VARIABLES DE DISEO
Las variables de diseo fundamentales son: el ancho b, el nmero de dientes del pin z1y
la corona z2, los coeficientes de desplazamiento del dentado x1y x2, el mdulo normal (de laherramienta de corte) m0, el ngulo de hlice , y los materiales del pin MAT1y MAT2de
la rueda.
Slo los desplazamientos del dentado y el ngulo de hlice son variables continuas,
mientras que todas las dems son variables continuas delimitadas entre un valor mximo y
mnimo.
VARIABLES EMPLEADAS EN EL CLCULO
Los detalles de la teora de clculo de engranajes pueden encontrarse la norma ISO 6336
Mtodo B y en el libro de Henriot [7]. Se han obtenido las ecuaciones de ajustecorrespondientes a las grficas que aparecen en el mtodo de clculo.
gs1y gs2son las velocidades de deslizamiento en el primer y ltimo punto de contacto. Se
obtienen a partir de las velocidades perifricas del pin u1 y la rueda u2. Dichas
velocidades se obtienen de la velocidad de giro del engranaje y el radio de curvatura en el
punto de contacto considerado:
i i iu r (1)
La velocidad de deslizamiento es la diferencia entre las dos velocidades perifricas:
2 1 2 2 1 1gv u u r r (2)
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
7/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
7
El deslizamiento especfico del pin es la relacin entre la velocidad especfica y la
velocidad en el punto de contacto:
2 11
12 2
2 2
11
' '1
s
a b
u ug i
a senu
r r
(3)
1 22
2 22 1 1
1 ' '1 1s
a b
u u a seng
u i r r
(4)
Donde a es la distancia entre centros de funcionamiento, es el ngulo de presin de
funcionamiento y rai, rbison los radios de cabeza y de base del pin y la corona.
El deslizamiento especfico es el responsable del desgaste, por ello en el proceso de
optimizacin los deslizamientos especficos deben estar equilibrados para lograr que ambosse desgasten por igual.
El clculo resistente contempla el posible fallo superficial en los flancos de los dientes y el
fallo en el pie de los dientes.
El fallo superficial se previene por la aplicacin de la teora de Hertz aplicada al contacto
superficial entre dos cilindros, cuyos radios corresponden a los radios instantneos de
curvatura de los flancos. La potencia mxima transmisible para que no se produzca el fallo
superficial Ppresse obtiene por la comparacin entre la tensin de contacto generada en el
flanco de los dientes y la mxima tensin de contacto que soporta el material
El fallo por ruptura en el pie del diente se previene por el clculo a flexin en el pie del
flanco. La potencia mxima transmisible para que no se produzca el fallo en el pie del
diente Prupse obtiene por la comparacin entre la tensin de flexin en el pie del flanco y la
mxima tensin admisible por el material.
Debe comprobarse que ambas potencias son mayores que la potencia que se requiere
transmitir, con un factor de seguridad suficiente. Asimismo, las dos potencias, deberan
estar lo ms igualadas posibles.
OBJETIVOS PARTICULARES DEL PROCESO DE OPTIMIZACIN
El proceso de optimizacin requiere de una serie de criterios particulares adems de los
criterios generales enunciados anteriormente.
Estos criterios particulares son:
1. Equilibrar, con cierto margen de tolerancia, los deslizamientos especficos del pin y la
corona. Este factor influye directamente en el desgaste y el rendimiento.
2. Equilibrar las potencias transmisibles Ppres, Prup de acuerdo con un criterio de fallo o
ruptura.
3. Asegurar un ratio de contacto transversal mnimo.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
8/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
8
4. Limitar la velocidad perifrica mxima.
5. Asegurar que no se produce interferencia en el montaje.
6. Asegurar que la relacin ancho/dimetro de los engranajes se encuentre dentro de un
rango posible.
FORMULACIN ALGEBRAICA DEL PROBLEMA
En base a todo lo comentado anteriormente podemos formular algebraicamente el
problema:
- Minimizar el peso de los engranajes:
- 2 2 2 2 20 1 2 1 2i iF b m z z d d W (1)
Donde di1y di2es el dimetro del agujero del eje y la corona.
Sujeto a:
1 0, , , , , ,... 0rup transG MAT b m z K P n P (2)
2 0, , , , , ,... 0pres transG MAT b m z K P n P (3)
3 0, , , , ... 0rup presG MAT b m z P P (4)
4 1 2 1 2, 0s s s sG g g g g (5)
5 min min, 0G a a a a (6)
6 1 1min 1min 1, 0G z z z z (7)
2
1 27 1 2 2 2
1 2
, , 10 0100
v z zG z z v
z z
(8)
8 0 10 1
, , 2,5 0b
G b m z m z
(9)
9 0 0,... 0,2 0anG m s m (10)
110 1 22
, , 0z
G z z i iz
(11)
1 2 imparesz z (12)
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
9/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
9
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
R
N
N
Z
Z
L H
L U
L U
L U
L U
b b b
z z z
z z z
x x x
x x x
(13)
Donde G1, G2 y G3 representan la condicin de resistencia a la rotura y al contacto
superficial y la condicin de igualdad entre ambas. G4representan la condicin de igualdad
entre los deslizamientos especficos del pin y la corona. G 5muestra la condicin de no
interferencia entre el pin y la corona, asegurando una distancia entre centros mnima. G 6
asegura que el nmero de dientes del pin sea mayor al mnimo necesario para que no se
produzca socavamiento en este por interferencia con la herramienta de corte. G 7
representa la limitacin de la velocidad perifrica del dentado. G8 previene contra una
anchura excesiva del engranaje. G9previene contra un apuntamiento excesivo del dientedel engrane. G10impone la relacin entre el nmero de dientes y el ratio de reduccin.
La restriccin (16) impone que bien el pin, bien la corona tengan un nmero impar de
dientes.
El resto de restricciones (17) marcan los lmites y naturaleza de las diferentes variables.
Como se puede apreciar, las variables de diseo aparecen en la formulacin del problema
tanto de forma explcita como implcita.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
10/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
10
FORMULACIN DEL ALGORITMO GENTICO
La resolucin de problemas de optimizacin mediante algoritmos genticos no genera un
nico algoritmo para resolver un tipo de problema concreto. Los operadores de
reproduccin, cruce y mutacin no son nicos sino que existen numerosas formas deimplementacin de los mismos.
Asimismo la forma de tratar la funcin objetivo o de penalizacin y las restricciones
tampoco es nica, pudiendo emplearse diferentes enfoques: funciones de penalizacin
esttica, dinmicas, adaptativas, coevolutivas, de muerte sbita, etc.
Es por esto que se obtienen algoritmos diferentes cuya velocidad de convergencia y
capacidad de obtener un ptimo global varan entre s.
La determinacin del algoritmo ptimo para la resolucin de un tipo de problema concreto
requiere de la realizacin de diferentes ensayos con diferentes tipos de operadores. Estebenchmarking se realiza mediante problemas tipo representativos del tipo de problema
en cuestin.
CODIFICACIN DE LAS VARIABLES DE DISEO
Con el fin de facilitar el proceso de codificacin y de agilizar los clculos, no se codifica todo
el conjunto de variables que intervienen en el proceso de diseo de los engranajes. De todo
el conjunto de variables se selecciona el conjunto de las variables de diseo expuestas
anteriormente. No sera excesivamente complicado aadir ms variables al conjunto, sin
embargo determinadas variables como los parmetros de trabajo descritos, suelen quedardeterminadas a priori por el diseador en el proceso de optimizacin.
De este modo el genotipo (o cromosoma) de un individuo cualquiera de la poblacin
quedar determinado por el siguiente vector:
1 2 0 1 2 1 2b z z m x x MAT MAT (14)
La codificacin de las variables de forma binaria se hace de forma diferente segn se trate
de variables continuas o discretas.
La longitud de la cadena de bits para una variable discreta se obtiene mediante la ecuacin:
2n (15)
Donde n es el nmero de bits necesarios para la codificacin y es el nmero de posibles
valores que puede tomar la variable.
De este modo si el nmero de mdulos normalizados de la serie preferente es de 34 harn
falta 6 bits para codificar la variable. El nmero total de valores que podremos codificar
entonces ser de 26 = 64 valores. Dado que el nmero de elementos que necesitamos en la
lista de mdulos es de 34 nos quedaran 30 huecos en la lista. Para evitar este
inconveniente se suele rellenar los huecos repitiendo los 30 primeros elementos de la listao bien se rellenan con 30 elementos aleatorios de la lista.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
11/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
11
La longitud de la cadena de bits para una variable continua se obtiene mediante la ecuacin
de Hajela [8]:
2n U L
C
X X
A
(16)
Donde XUy XLson los lmites superior e inferior de la variable continua X y ACes la precisin
requerida en el proceso de discretizacin de la variable continua.
De este modo si queremos discretizar la variable de desplazamiento del dentado x, que
toma valores entre -0,5 y 0,5 con una precisin de al menos 0,025 tendremos:
0,5 0,5 12 40
0,025 0,025
n
(17)
Harn falta por lo tanto un total de 6 bits para poder codificar el parmetro con la precisin
requerida. El nmero de divisiones de la discretizacin ser de 64 lo cual da un escaln
entre valores de:
0,5 0,50,015625
64
(18)
Como se puede apreciar la resolucin de la discretizacin es mayor a la precisin requerida
inicialmente.
Siguiendo el procedimiento descrito, se codifican todas las variables con las siguientes
resoluciones: ancho 4 bits, nmero de dientes 6 bits, mdulo 6 bits, desplazamiento del
dentado 6 bits, ngulo de hlice 4 bits y material 3 bits.
Al codificar las variables de forma binaria obtenemos el fenotipo, sobre el cual aplicaremos
los operadores genticos:
GENOTIPO: 1 2 0 1 2 1 2b z z m x x MAT MAT
FENOTIPO: 1001 110011 101111 100101 101111 101111 1101 011 101
FUNCIN DE PENALIZACIN
La medida de la aptitud de los individuos en las sucesivas generaciones se mide mediante la
funcin de penalizacin. Existen varias diferencias entre la funcin objetivo enunciada
anteriormente en (5) y la funcin de penalizacin empleada en la evaluacin de la aptitud
de los individuos.
La funcin de penalizacin se emplea para convertir un problema de optimizacin
restringido (o multicriterio) en un problema no restringido. Esto se consigue introduciendo
las restricciones en la funcin objetivo inicial, de modo que si alguna restriccin no se
cumple, se le aade una penalizacin de manera proporcional al grado de violacin de la
restriccin.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
12/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
12
A esta funcin objetivo modificada se le denomina funcin de penalizacin.
Existen varios enfoques a la hora de construir la funcin de penalizacin: estticas,
dinmicas, adaptativas, coevolutivas, etc. El empleado en esta optimizacin es el de una
funcin cuadrtica esttica. La formulacin de la funcin de penalizacin se realiza del
siguiente modo:
1
m
i
i
F W
(23)
Donde i es el valor de penalizacin para la restriccin Gi, y W es el peso total.
El clculo de los valores de penalizacin se realiza mediante la expresin cuadrtica:
1 1i i ir q (24)
Donde ries el trmino de penalizacin cuadrtica de la restriccin i y mide la importanciaotorgada a la violacin de cada restriccin.
qise define como:
max
max max
1 si 1
si 1
i
i
i
i i
i i
p
pq
p p
p p
(25)
Donde pies el parmetro o expresin de la restriccin y (pmax)ies el valor lmite para eseparmetro o expresin.
FUNCIN DE PENALIZACIN
Operador de seleccin o reproduction:
Existen diferentes formas de implementar este operador gentico: reproduccin
proporcional, seleccin por ranking, por grupos, por torneo, etc.
Para este estudio hemos empleado una seleccin por grupos, en la cual los individuos de la
poblacin se ordenan de acuerdo a su adecuacin o fitnessde mejor a peor.
A continuacin, se divide la poblacin en dos grupos, asignndosele una probabilidad de
seleccin a cada grupo.
Operador de cruce o crossover:
Al igual que en el resto de operadores, existen diferentes modelos para el operador de
cruce: fijo, flexible, uniforme, adaptativo, etc.
En este estudio se selecciona el operador de cruce fijo por fenotipo y por un punto de la del
cromosoma. Es uno de los ms simples y se forma partiendo el cromosoma de los padres
seleccionando el punto de corte entre dos fenotipos dentro de la cadena. P.e.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
13/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
13
PADRE 1001 110011 101111 100101 101111 101111 1101 011 101
MADRE 1011 100011 100111 111101 101001 101001 1001 001 111
HIJO1 1001 110011 101111 111101 101001 101001 1001 001 111
HIJO2 1011 100011 100111 100101 101111 101111 1101 011 101
Operador de mutacin:
Este operador permite explorar otras zonas del dominio de soluciones an cuando la
mayora de soluciones convergen hacia un ptimo. Esto es lo que permite saltar de un
ptimo local cuando el proceso de convergencia se empobrece debido al enfoque sobre un
ptimo local.
Para su implementacin se seleccionan aleatoriamente unos pocos individuos de la
poblacin despus de haber llevado a cabo el proceso de seleccin y cruce. La proporcin
de individuos seleccionados viene de terminada por la probabilidad de mutacin que no
suele superar al 1% de la poblacin. El valor tpico es del 0,1%.
Una vez seleccionados los individuos, se seleccionan uno o varios alelos (bits de la cadena) y
se intercambian los valores de 0 y 1, p.e.:
HIJO NATURAL 1011 100011 100111 100101 101111 101111 1101 011 101
HIJO MUTADO 1011 100011 101111 000101 101111 101101 1101 011 101
El mecanismo de evolucin se repite a lo largo de varias generaciones hasta que no se
produzca un incremento de aptitud de los individuos. El miembro con mayor nivel de
aptitud (fitness) ser el diseo ptimo.
CORTE
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
14/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
14
EJEMPLO DE APLICACIN
Este test analiza un problema tpico de la bibliografa de optimizacin de engranajes [9]. En
l se plantea la optimizacin de una pareja de engranajes cilndricos que deben cumplir las
siguientes especificaciones de diseo:
Potencia a transmitir: 73 kW.
Velocidad angular a la entrada: n1= 2800 rpm
Relacin de reduccin: i =
Calidad de fabricacin: ISO 6
Duracin: 3650 h. Trabajo normal sin impactos.
Material Pin: 34CrMo4 templado (34CD4 AFNOR, F 125 UNE).
Material Corona: 20MnCr5 cementado (16NC6 AFNOR, F 158 UNE).
La tabla 1 muestra los valores de referencia, el de una optimizacin previa obtenida porotro autor y el de la optimizacin obtenida mediante el mtodo descrito.
Para poder comprobar la mejora en el mtodo de optimizacin, se ha fijado el material del
pin y la corona en el anlisis. Se han definido como valores de referencia los coeficientes
de seguridad mnimos a rotura y a fatiga.
Como puede apreciarse, la reduccin de peso es de cerca del 35% respecto a la solucin
inicial y de un 14% con respecto a otra optimizacin propuesta anteriormente. Los
coeficientes de seguridad estn algo ms equilibrados y no se ha producido apenas
variacin en la resistencia respecto a la solucin original, mientras que es algo superior a la
optimizacin propuesta previamente.
La posibilidad de poder modificar el material, incluyendo un trmino de penalizacin que
incluyera el coste econmico, nos permitira optimizar an ms el problema.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
15/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
15
Tabla 1.Resumen de resultados
VariableSolucin
ref.Opt.
inicialOpt.
mejorada
Mdulo
(mm): m0 3 2.5 2.5Ancho (mm):
b27 20 45
Nm. dientespin: z1
24 29 17
Nm. dientescorona: z2
48 116 38
Desplazam.pin: x1
0.16 0.3 0.2273
Desplazam.corona: x
2
-0.16 0.008 -0.0038
ngulo dehlice:
0 0 36
Coef. Seg.Rotura pie
pin1.4170 0.9559 1.4633
Coef. Seg.Rotura pie
corona2.1737 1.3386 2.1090
Coef. seg. afatiga pin
0.5673 0.5618 0.5763
Coef. seg. afatiga corona 1.1567 1.1179 1.1101
Peso (kg) 4.31 3.24 2.78
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
16/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
16
CONCLUSIONES
A partir del diseo inicial y despus de 240 generaciones, se encuentra un conjunto de
soluciones ptimas. El valor mostrado en la tabla 1 representa la mejor de todas, segn lafuncin de penalizacin obtenida
El mtodo descrito es una verdadera herramienta de ayuda para el diseador, quien
finalmente selecciona la solucin ptima de entre un conjunto de resultados ptimos. Debe
tenerse en cuenta que el conjunto de restricciones no recoge el 100% de las posibles
limitaciones o criterios de diseo. Es pues responsabilidad del diseador el realizar el ajuste
fino seleccionando de entre los posibles resultados el que considere ms conveniente.
El diseador tambin puede adaptar el algoritmo a un problema particular simplemente
aadiendo ms variables al problema, codificndolas conforme al procedimiento descrito.
En el futuro se esperar implementar el algoritmo gentico junto con el clculo, en un
programa informtico que nos permita incluso comparar los ptimos resultantes de
diferentes mtodos de clculo.
7/21/2019 OPTIMIZACIN DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS
17/17
OPTIMIZACINDETRANSMISIONESD
EENGRANAJESMEDIANTEALGORITMOSEVOLUTIVOS
17
REFERENCIAS
[1] Gallagher, R.H.A.Z., O.C., Optimum Structural Design: Theory and Applications. John
Willey and Sons. 1973
[2]Hillier, F.S.A.L., G.J., Introduction to Mathematical Programming. McGraw-Hill. 1990[3] Rajeev, S.A.K., C.S., Discrete Optimization of Structures Using Genetic Algorithms.
ASCE Journal of Structural Engineering, 118, 5 (1992), p. 1233-1250.
[4]Arora, J., Methods for discrete variable structural optimization, in Recent Advances in
Optimal Structural Design, S.A.Burns, Editor. 2002, ASCE. p. 1-40.
[5] A. Daidie, E.A.Dimmensionnement optimal d'un train d'engrenages l'aide d'un logiciel
CAO. in PRIMECA.Ecole Centrale de Paris. 1993.
[6] David, E.G. and H.H. John, Genetic Algorithms and Machine Learning. Mach. Learn., 3,
2-3 (1988): p. 95-99.
[7] Henriot, G., Trait Thorique et Practique des Engrenages. Pars: Dunod. 1979[8] Hajela, P., Stochastic Search in Structural Optimization: Genetic Algorithms and
Simulated Annealing. 1992. p. 611-635.
[9] Marcelin, J.L., Genetic Optimisation of Gears. Advanced Manufacturing Technology,
2001.