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NÚMEROS REALES

Desde los tiempos más remotos de la humanidad, el hombre a utilizado de muy variadas Formas, los números; al único en el proceso de contar o medir, por medio de ciertos símbolos o señas los cuales gradualmente a través de la historia han sido estructurados científicamente, alcanzado a la fecha un desarrollo increíble que hoy conocemos y que diario comprobamos. No te olvides que la teoría de los números constituye el pilar fundamental de la matemática y está su vez es imprescindible para el desarrollo de las demás ciencias.

Actualmente, el estudiante está familiarizado con cuatro conjuntos numéricos: Números naturales (N), Números enteros (Z) Números racionales (Q) y números irracionales (II). Por lo tanto, a hora estas en condiciones de conocer un nuevo conjunto numérico denominados número reales (|R). Por razones didácticas, previamente es necesario hacer una revisión muy rápida de los conjuntos numéricos ya mencionados.

Conjunto de Números Reales

1. Naturales (N): El conjunto de los números naturales tiene como elementos al número cero y a todos los números que el hombre utiliza para contar.Sí representamos el conjunto de los números naturales simbólicamente y por extensión tenemos:

N: {0,1,2,3,4,5,...}

2. Enteros (/Z): El hombre para resolver los casos de imposibilidad de la sustracción en |N, creó los números enteros.

Z={...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Donde : Z+UZ-

Nota:

El cero es nulo, puesto que no es positivamente ni negativo Con los Z, no hay restricción es la sustracción. Ejemplos:

a) 7 - 4 = 3 d) 4-6 = -2b) 10-2 = 8 e) 2-9 = -7c) 5 –5 = 0 f) 1-3 = -2

Problemas para la clase

1) – 43-72-115+223 9) –225-(48-22-15) + (-17+2)Rpta:-7 Rpta: -251

2) –16+15-19-25-142 10) +8-3+(17-42)-(17-42)-(51-7-8)Rpta: -187 Rpta: -31

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3) –117+185-242-315 11) –6 +(-5-(48-17-1)-6)Rpta: -489 Rpta: -47

4) –6 –25-13+2-55 12) –2-(-3(+6+8+(-3-7-1))+2Rpta: -87 Rpta: 2

5) –62+57-13+2-99+56 13) –10-(-5+(8-6-7+1))+(73-8)Rpta: -59 Rpta: -82

6) –13 +2-19+29-58 14) –46 –(-1+(-17+(-6-9-1)))Rpta: -59 Rpta: -12

7) –1+19-27+56-(7-2) 15) +5 +7-1+(-62-4+68)-(-17+1-6)Rpta: +28 Rpta: +35

Práctica Domiciliaria

1) –15+(-61-55-(-17-(-29+1+3))-3

2) –62-(-17-6-(-1+6-9-11-1))

3) –18+(-9-6-7-(+6-7-8-10)-1

4) (-62-17-8+29-(63-75))

5) –16-(-16+16-(16+16-16)+16

6) –9-(9-9+9-9-(-9+9-9-9)-9

7) –16-(+8-5-(16-46-8-(-15-1)-6))

8) –6-9+(+6-17-(+65-13-(-16+8)-1))

9) –42-55-(+8-5-(16-46-8-(-15-1)-6))

10) –69-17+(-19-6-(17+18-46)+(51-76))

11) –8+12-(-4-(-6+1-(-6+3-2)))

12) –16+15+(15-6-29)-(+17-46-1)

13) +78-715-(-919+(617-815-1)-(-171+2))

14) –16-(-48-(-57+(+15-16-17)-(69-48))-1)

15) –11-11+(-11-(-11+11+(-11-11)-11)-11)

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Q

Z

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3. RACIONALES (Q): Los conjuntos Q de los números racionales se crearon para poder resolver los casos no posibles de división entre números enteros, es decir se crearon como ampliación de /Z.

Gráficamente:

Un número racional puede ser expresado de la forma

a, siendo a, b números enteros, b0b

Ejemplo : 1 , 3 , -5,... 2 4 3

También : 2 =0,4 se expresa en decimales 5

Decimales exactos: Son los que la parte decimal son exactos Ejemplo:

1) 0,3 2) 3,4 3) 3,06

Decimales Periódicos: Son los que sus cifras se representan constantemente

1) 0, 3 2) 3,1 3) –25,35

Decimales Periódico Mixto: Son los que en su porte decimal tienen 2 tipos de cifras una pura y otra exacta.Ejemplo:

1)0 ,35 2) 1,4 8 3) −20 ,50 6

GENERATRIZ DE UN DECIMAL

Es el paso que consiste en convertir un decimal en una Fracción.

a) Exacto:Ejem: 0,25=25, 2,5 = 25 100 100

b) Periódico Puro:Ejem:

0 ,3=39 ,

3 ,5=3+ 59=27+5

9=32

9

c) Periódico Mixto: _

Ejem: 0,16 = 16-1= 1590 90

_2,153=2+153-15 =2+138 = 323

900 900 50

Problemas para la clase

I) Reducir las siguientes Fracciones:

a) 1+1+1 b) 2 + 1 - 1 2 3 4 3 2 5

c) 2+ 4 - 3 d) 1+4 - 3

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N

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3 5 2 5 7 2

e) 5 7 + 6 3 f) 3 + 0,25 – 0.25 2 2 2

_ _ _

g) 3,5 + 2,5 – 20 h) 2 1 – 4 + 0,23 3 3

II) Escribe la expresión más simple equivalente

a) 42 e) 5 +1 15 3 -35 3 - 2 10 3

b) –4 x 3 x 12 f) 2 x 10 + 1 15 2 3 5 3 2

1 + 1 6

c) 1 – 1 g) 2 – 3 x 5 2 5 3 2 3

41

d) 2 +1 h) Efectuar: 3 2 E = (0,0004)3

3 (0,02)5

6

i) Calcular: a + b, si:se sabe que:

__0,ab = 12

25 a) 3 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

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TAREA DOMICILIARIA

Reducir los siguientes problemas a su expresión más simple

1) 1 . 1 + 1 2) 2 + 3 – 1 3) Cual es el valor de b – a, si se cumple 4 2 3 3 2 que: __ 1 4 – 2 0,ab = 7 24 6 15

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 64) 5 + 1 5) 2 – 3 + 1 6) Hallar a, si cumple que: 3 5 2 _ 1 2 . 3 – 1 a,8a = 9 – 2 5 9 5 2 3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7) 2 . –3 –3 8) 4 . 5 – 1 . 3 9) 1 – 4 + 5 9 40 3 2 2 4 3 5 2 1 – 3 . 5 1 + 3 7 4 4 5 2 6 30

10) 5 1 – 3 2 11) 3 + 2 4 12) Hallar d, si: 2 3 2 3 __ 1 + 1 5 – 4 0,2c = d 2 2 3 11

4. IRRACIONALES : Toda Expresiones decimales no periódica se identifica con los números irracionales ( II ) ( infinitas cifras decimales no periódicas)Ejem:

a) √2 = 1,414213... c) 3√3=1 .44227 . ..

b) √3=1 ,732050 .. . d)π=3 ,1415926

RAÍZ CUADRADA

Es el resultado de multiplicación 2 números iguales, que me va a dar el número inicial.

Raíz Cuadrado; Exacta: Es cuando el resultado es un número entero.Ejemplo:

√4=2 ,√16=4 ,√81=9 ,√225=15

Raíz Cuadrada inexacta: Es cuando la parte decimal tiene infinitas cifras no periódicosEjemplo:

1.Extraer la Raíz cuadrada de 73450

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Problemas para la clase

1) Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números

1. √251 2. √3421 3. √456

4. √1024 5. √3654 6. √2125

7. √43527 8. √10521 9. √6243

Tarea Domiciliaria

1. Hallar la Raíz cuadrada de los siguientes números

1) √753 2)√4315 3) √7629 4) √988

5) √501 6) √1813 7) √5629 8) √5703

9) √9515 10) √808 11) √754 12) √3861

13) √2305 14) √4305 15) √8351 16) √5432

“Recuerda los problemas no son una carga si no un desafío a tu inteligencia”V. Estrada

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

a) Adición y Sustracción : Son casi los mismos casos solo en la sustracción se suma con número negativo.

Adición: M + S = D

Sustracción:Ejemplos

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1) Efectuar con aproximación al centésimo _

S= 7 + 2 + 0,438

2) Efectuar con aproximación al centésimo _

S= + 5 + 17 27

b) Multiplicación y División: Son también operaciones parecidas, sólo que en la división se multiplica por el divisor no nulo.

Multiplicación: a x b = qDivisión: a x 1= q b0

b

Ejemplos:

1) Efectuar: _7,15 (7 + 3 ) con aproximación al centésimo

5 _

2) Dividir: 142 : 7 con aproximación al centésimo 3

PotenciaciónEs un caso de la multiplicación

an= p Donde: n: indica la cantidad de veces que se repite la base real como factor a: la base, p: potencia

Ejemplo

1.(-2,5 )3= (-2,5) (-2,5) (-2,5) = -15,625

2. (-2)2= ( -2 ) (-2 ) = 4 3 3 3 9

Problemas para la clase

1. Indica el símbolo que debe ir en cada caso: (>, < ó =)

a) (2 + 0,3 + ) (3 + 0,51 + 5 ) c) (- 0,6 + 1 + 3 ) (5 – 2 +1) 4 2 3 5

_ _ _ _b) (-1 + 5 – 3) (+ 4 – 2) d) (4 - 3 + 5 (5 - 2 +2 ) 3 4 5 3

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2). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones correctas?

2

I) 22 = ( 22 )2

3

II) 32 = ( 32)3

4

III) 52 = 516

a) solo I b) sollo II c) solo IIId) I y II e) I y III

3) Al operar: _2 – 0,4142..., se obtiene

a) un real b) un racional c) un reald) 1 e) T.A

4) Resolver con aproximación al centésimo

_ _ _a) 23 – 3 ( 2 ) + c) 1 + 0,256 + 5

__ __ _

b) 5 + 2 d) (7,12) ( 3)

5) Al efectuar:

0,3333.... + 2, el resultado tiene un 7

periodo de:

a) 3 cifras b) 2 cifras c) 4 cifrasd) 6 cifras e) N.A.

6) ¿A qué es igual 0,55555?

a) 0,5 b) 5 c) 5 d) 5 e) N.A. 9 10 100000

7) Si a IN; b II , entonces (a + b) es número:

a) natural b) entero c) irracionald) racional e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

I.- Efectuar las siguientes operaciones de Adición y Sustracción en |R con aproximación al centésimo.

__(1) 3 + 1 + 1

2 9 __ __ __

(2) 2 + 3 + 5 + ___ __

(3) 5 + 11 + 7 + 14 2 ___

(4) 2 + 13 + 0,36825

__(5) 5 + 0,925673 + 1

11 __

(6) 7 + 0,8668 + 110

__ __ __(7) + 2 + 3 + 5

II.- Efectuar las siguientes operaciones de Multiplicación y División en |R con aproximación al centésimo.

__(1) (3,75 + 2,148) (5,13 + 2)

(2) (1,108 + 1,73) (5,17) __ __

(3) ( 2 + 1) ( 3 – 1) __

(4) ( + 2) ( 2 – 1)

__(5) (2 2) ( + 3,8)

__(6) (7,032) ( + 2)

__(7) 8 3 : 4

5

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III.- Responder:_ _

a) ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso? b) 1 + 3 + 0,5, da como resultado:

a) –72 es número entero a) un naturalb) –0,0775 es número real b) un enteroc) 3,7 es número racional c) un racionald) 51/2 es número racional d) un irracionale) 2 es irracional e) todos son correctos

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES

1. Multiplicación de Potencias de Bases Iguales.

am . an = am + n

__ 5 __ 7 __12

Ejemplo: 3 . 3 = 3

2. División de Potencias de Bases iguales

am : an = am – n ó a m = am – n

an

Casos particulares:1. Si m = n, entonces: a m = a m – n an

1 = a0 / a 0

Toda potencia de base real distinta de cero y exponente nulo es igual a 1.

Ejemplos: ___ 0 __ 0

(1) 11 = 1 (2) - 5 7 = 13

2. Si m = 0, entonces a 0 = a0 – n 1 = a –n

an an

ó a –n = 1 / a 0 an

Ejemplos:

(1) 5– 7 = 1 (2) 0,87 – 3 = 1_ 57 0,873

(3) 3 – 2 = 5 2

5 3

3. Potencia de una Multiplicación

(a . b)n = an . bn

Ejemplos: __ 3 3 __ 3

(1) 1 . 5 = 1 . ( 5 ) 7 7

__ 5 __ 5 5

(2) 2 x 1 = 2 x 13 3

4. Potencia de una División

a n = a n / b 0b bn

Ejemplos: __ 5 __ 5

(1) 2 = 2 3 35

5. Potencia de Potencia

(am)n = amn

Ejemplos:

(1) [ (0,5 )2]3 = (0,5)6

Ejercicios:

1. Efectuar : _

E = ( -2 )3+ ( - 762 )0+ ( 5 )-1

7

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2. Efectuar: _

F = ( ) 7 : ( )6 - 2,625 ) 20}7

7 7

RADICACIÓN:

Es decir n√a = r rn =a

Ejemplo:

1.√5 = 512

2. 3√24=2

43

Problemas para clase

Efectuar las siguientes operaciones de potencia y radicación.

3 _ 3 __ ___ 3 __1) (-1 + 7)0 + 105 6) 1 + -8 11) 100 + -27 2

_ 4 ___ __ 3 _

2) 7 + ( 5 )-1 + ( 5 )-1 7) -16 12) 16 + -1 3 7

_ ___ __ 5 __3) ( 5 5 )2 8) -64 13) 17 0 + 32 10

_ __ 5 ___ _4) ( 23 )2{38 74 ) 50}18 9) -32 14) (1 )-1 – ( 2 )4

2

_ _ 3 _ 3 _ _

5) 37 .311 10) -8 - 64 15) 24 . 8-1- 730

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Donde: n: índice; n /N ; n> 2a : es el sub radical ó radicando _: operadorr: raíz, r /R

Recordar

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Tarea DomiciliariaI) Efectuar las siguientes operaciones combinadas

4) 7,25 x 15, 02 0,5 –2 09) -8 + 35 0

0 6

__ 5 __7 5 __11 17 5

5) (32)0,252 10) 310 + 4 + 32 . 32 : 2 0

3 ___ 3 __ 2 2

6 __11) (-22)0,5 – -27 + 50 15) -8 + 64 + ( 1 )-1

2

12) (-7)0 -70 5 ___

13) (1 )–2 + -32 - 30

0

3 ___ 22

14) (0,2)-2 – -64 + 2

Ejercicios de aplicaciónEjemplos -1

2

-11) E = 100 2) Reducir

a) 1 b) 10 c) 100 d)100 M = 81 ½ + 9 ½ + 16 0,25

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16

3) Reducir: 4) Reducir: 13

2 -1 0

3 2 _____ 5 – (0,2) 17 -2 -1

= 2 – (2 3 ) + 52,62 E= 52 + (-1 ) – ( 1 ) 82 8 7 a) 4.48 b) 64 c) 8 d)7 a) 89 b) 96 c) 82 d)57

5) Efectuar: 6) Reducir:

E = 2570

2

Q =( 1

2 )−2

+ 5√−32−30

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a) 2 b) 5 c) 48 d) 41 e) 116 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)-1

7) 230

+ 5√−32−( 14 )

−2

8) 350

−(−3 )0+(√5 )0

a) 2 b) –4 c) –16 d) 16 e) N.A. a) 2 b) 3 c) –2 d) 5 e) N.A.

Tarea Domiciliaria

1) Hallar la Raíz Cuadrada de 2) Reducir:

E = 25 ½ + 36 0,5 + 16 ¼ +81¼ [ (−2 )3 ]2+( 3√−8 )5

a) 1 b) 2 c) 4 d) 16 e) 256 a) 66 b) 64 c) 62 d) 60 e) N.A

3) Efectuar: 4) Efectuar

√( 13 )

−2

+( 14 )

−2

_ _a) 11 b) 13 c) 5 d) 58 a) 2 b) 5 c) 25 d) 16 e)125

5) Reducir: 6) Reducir:

-7 0 +3√576581−100

+(−7 )0 3 10 -2 8 39 (-24) ( -23)

a) 1 b) 2 c) 0 d) 13 e) 7 a) 3 b) 2 c) 3 d) 4 e) -17) Reducir : 8) Reducir la siguiente expresión 0 1 0,5

35 + 22 + (3 2 ) P= √811/2+91

2+160,5

a) –2 b) 1 c)4 d) 6 e) –1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

9) Reducir 10) Hallar el equivalente de:

A = √( 12 )

−1

+( 13 )

1

+( 14 )

−1

[75−5 x 60

−(−5+7 )0 ]0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

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0

-50

4

M = 5 16