Post on 15-Mar-2020
NÚMEROS COMPLEJOS (ℂ)
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA
• El cuadrado de un número real siempre es no negativo. Por ejemplo, no existe ningún
número real x para el cual x2 = -1.
• Para remediar esta situación, introducimos un número llamado unidad imaginaria, que
denotamos con i y cuyo cuadrado es igual a -1:
POTENCIAS DE i
Si calculamos los valores de las potencias de i, encontramos que:
i1 = i i5 = i i9 = i
i2 = -1 i6 = -1 i10 = -1
i3 = i2 · i= -1 · i= -i i7 = -i i11 = -i
i4 = i2 · i2 = -1 · -1 = 1 i8 = 1 i12 = 1
Se tiene que i4n = 1, con n ∈ ℕ+, entonces i4n + p = i4n · ip = 1 · ip = ip, por tanto
con n ∈ ℕ+ y 0 ≤ p < 4
OBSERVACIÓN:
• i0 = 1
• La suma de cuatro potencias consecutivas de i es 0.
• El producto de cuatro potencias consecutivas de i es -1.
RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS
Para todo S ∈ lR+ se tiene: √−𝑆 = √(−1) ∙ 𝑆 = √(−1) ∙ √𝑆 = 𝑖√𝑆
Ej: √−16 = √16 ∙ −1 = √16 ∙ √−1 = 4𝑖
NÚMERO COMPLEJO (C)
Un número de la forma z = a + bi, se llama número complejo, en donde a y b son números
reales. Esta forma de representar al número complejo se le denomina forma binomial o
algebraica.
Además
a: se llama parte real del complejo z y se denota como Re(z).
b: se llama parte imaginaria del complejo z y se denota como Im(z).
Ejemplo: En el número complejo z = 2 + 3i se tiene:
Re(z) = 2 (parte real de z).
Im(z)= 3 (parte imaginaria de z).
OBSERVACIÓN
En el complejo z = a + bi
• Si sólo b = 0, entonces z = a (Complejo Real Puro)
• Si sólo a = 0, entonces z = bi (Complejo Imaginario Puro)
A la expresión binomial, también se le denomina “forma canónica” del número complejo.
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dos complejos son iguales cuando son iguales sus partes reales y también sus partes
imaginarias, respectivamente.
Si z1= a + bi y z2 = c + di, con z1 = z2, entonces se cumple que a = c y b = d.
EXPRESION BINOMIAL Y CARTESIANA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Cualquier número complejo a + bi también se puede considerar como un par ordenado
(a, b) de números reales, donde la segunda componente del par ordenado corresponde al
coeficiente de la unidad imaginaria i, entonces:
Expresión cartesiana: (a, b)
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
El complejo z = (a, b) puede ser representado en un gráfico de Argand, mediante un vector
flecha, de origen O (0, 0) y punto final P de coordenadas (a, b).
ADICIÓN DE COMPLEJOS
Sean z1 = a + bi y z2 = c + di.
Entonces,
SUSTRACCIÓN DE COMPLEJOS
Sean z1 = a + bi y z2 = c + di.
Entonces,
REPRESENTACIÓN DE LA ADICIÓN O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS
COMPLEJOS
Dados dos números complejos z1 y z2:
a) La adición z1 + z2 queda representada en un plano de Argand por la diagonal del
paralelogramo cuyos lados son los vectores z1 y z2.
b) La sustracción (resta) z1 – z2, queda representada por la suma de z1 con el opuesto del
vector z2, z1 + (-z2)
OBSERVACIÓN
• El neutro aditivo es el complejo (0, 0) = 0 + 0i.
• El inverso aditivo de z es -z. Si z = a + bi, entonces -z = -a – bi.
MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Si z = a + bi, entonces el módulo de z es |𝑧|, tal que |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2
El módulo o valor absoluto de un complejo equivale a la longitud o magnitud del vector
que representa al número complejo en el plano de Argand.
OBSERVACIÓN
El módulo de todo complejo distinto de cero es positivo.
CONJUGADO DE UN COMPLEJO
Dos números complejos se dicen conjugados sí solo tienen distinto el signo de la parte
imaginaria. Si z = a + bi, entonces el conjugado de z es 𝑧, tal que 𝑧 = a – bi.
Gráficamente, todo número complejo z y su conjugado 𝑧 son simétricos respecto del eje
real.
OBSERVACIÓN
• El conjugado del conjugado de un complejo es el mismo complejo (𝑧 = z)
• Los módulos o valores absolutos de z, 𝑧, -z y −𝑧 son iguales.
MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS
Si z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces
z1 · z2 = (a + bi)(c + di) multiplicando los binomios
z1 · z2 = ac + adi + bci + bdi2 reordenando y reemplazando i2 por (-1)
z1 · z2 = ac + bd(-1) + adi + bci factorizando por i
z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i Notación binomial para la multiplicación de dos
números complejos.
z1 · z2 = (ac – bd, ad + bc) Notación cartesiana para la multiplicación de dos
números complejos.
OBSERVACIÓN
El neutro multiplicativo es el complejo (1, 0) ó 1 + 0i = 1.
RECÍPROCO DE UN COMPLEJO
Sea z = a + bi, entonces el recíproco de z es z-1 = 1
𝑧 o z-1 =
1
𝑎+𝑏𝑖
Para escribir el recíproco de un complejo, debe amplificarse por su conjugado:
OBSERVACIÓN
El elemento (0, 0) no tiene inverso multiplicativo
DIVISIÓN DE COMPLEJOS
Si z1 = a + bi y z2 = c + di, con z2 distinto de cero, entonces el resultado de la división 𝑧1
𝑧2 se
obtiene amplificando por el conjugado de z2:
GUÍA PSU MATEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEJOS
1.- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en los números reales?
A) 𝑥2 − 9 = 0
B) −8 + 𝑥2 = 0
C) 𝑥2 + 5 = 0
D) 𝑥2 − √3 = 0
E) −1
2+ 𝑥2 = 0
2.- ¿Qué proposición(es) es(son) verdadera(s) acerca de los números imaginarios?
I. Permite extraer raíces cuadradas a números negativos.
II. Incluyen al cero.
III. Permiten ordenar el conjunto de los números complejos.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) I y III
3.- √−12 se puede representar como:
A) 6i
B) 2√3𝑖 C) 12i
D) 3√2𝑖 E) 4 + 3i
4.- Si el complejo 3 + 5i es igual a (x – 1) + (y + 2)i, ¿Cuál es el valor de xy?
A) -12
B) -2
C) 7
D) 12
E) 15
5.- ¿Cuál de los siguientes números complejos tiene el mayor módulo?
A) -5 – 6i
B) 4 + √8𝑖 C) 2 + i
D) 3
4 + 7i
E) 3 – 5i
6.- Al desarrollar la expresión 2i + i13 – (2i)6 se obtiene:
A) -3 + 64i
B) 64 + 3i
C) 64 – i
D) 12 – i
E) -64 + 3i
7.- Si a = 2 – 4i y b = 5 + 6i, entonces el valor de a - �� es:
A) 7 + 2i
B) 7 – 2i
C) 3 – 10i D) -3 + 2i
E) -3 – 10i
8.- Dados los complejos z1, z2, z3 y z4 en el plano, ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones
es(son) verdadera(s)?
I.- z3 = z2 + z4
II.- z1 – z2 = z3
III.- z2 – z3 = z1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) I y III
9.- La expresión (5 + 2i) ∙ (2 – 3i) es equivalente a:
A) 16 + 11i
B) 10 – 6i
C) 16 – 11i
D) 16 + 6i
E) 6 – 10i
10.- Al simplificar la expresión 3+2𝑖
1−2𝑖 se obtiene:
A) 1
5−
8
5𝑖
B) 1
2−
3
2𝑖
C) −2
5+
3
5𝑖
D) −1
5+
8
5𝑖
E) −1
3+
1
2
11.- ¿Cuál es el valor de 𝑖36?
A) -1
B) 1
C) I D) –i
E) 0
12.- Si z1 = -1 + 2i y z2 = 1 – 2i, el valor de z2 + 2 ∙ z1 es:
A) 0
B) 1
C) 2i
D) -1 + 2i
E) 1 – 2i
13.- El valor de (5 – 3i) + (3 – i) – 2(-3 – i) es:
A) 2
B) 14
C) 11 – 3i
D) 14 + 4i
E) 14 – 2i
14.- El valor de |2 + 3𝑖| es:
A) 0
B) 1
C) i
D) √13 E) 13
15.- El valor de (𝑖
𝑖125 + 𝑖37)3
es:
A) -2
B) -1
C) -2i
D) -2 + 2i
E) -2i – 2
16.- ¿Cuál es el inverso multiplicativo de z = 3 + i?
A) 0
B) 1
C) -3 – i
D) 3
10−
𝑖
10
E) Ninguna de las anteriores.
17.- Si 𝑧 = −𝑧, entonces z es un número tal que:
A) z = 2 + 2i
B) z es un numero imaginario
C) z no es un numero complejo
D) z es un numero complejo con la parte real y la parte imaginaria distinta
E) la parte imaginaria de z es el doble de su parte real
18.- El valor de 3−4𝑖
3+2𝑖 es:
A) 1
13(1 − 18𝑖)
B) 13(1 − 18𝑖)
C) 1 – 18i
D) 18i
E) 1
19.- El valor de (𝑖
5−𝑖)
corresponde a:
A) −1
26+
5
26𝑖
B) −1
26−
5
26𝑖
C) 1
26−
5
26𝑖
D) 1
26+
5
26𝑖
E) 1
20.- Si |𝑧1 + 𝑧2| = |𝑧1 − 𝑧2|, entonces 𝑧1
𝑧2 es siempre un número:
A) Imaginario
B) Real
C) Igual a 1
D) Igual al producto entre z1 y z2
E) Ninguna de las anteriores
21.- Si 6𝑎+𝑏𝑖
2+𝑖 es un número imaginario, entonces:
A) a = b
B) a = -b
C) 12a = -b
D) –a = 3b
E) 6a = b
22.- Si p y q son números reales tales que p < 0 y q > 0, entonces, ¿Cuáles de los siguientes
números no es real?
A) √𝑝2 + 𝑞
B) √−𝑝 + 𝑞
C) √−𝑝 + 𝑞2
D) √(𝑝 − 𝑞)2
E) √𝑝𝑞 − 𝑞2
23.- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en ℝ?
A) 3x – 1 = 0
B) 2x – 8 = 0
C) x2 – 9 = 0
D) x2 + 3 = 0
E) x2 – 8 = 0
24.- Si t = 5, ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un numero complejo?
I.- (3 − 𝑡)−1
II.- (3 − 𝑡)−1
2
III.- (3 − 𝑡)−1
3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y III
E) I, II y III
25.- ¿Para qué valor o valores de t, la expresión √𝑡 − 1 + √1 − 𝑡 −1
𝑡−1 es un número
complejo?
I.- t = 0
II.- t = 1
III.- t > 1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y III
E) I, II y III
26.- Para que la expresión √𝑥2 − 9 sea un número complejo se debe cumplir que:
A) x ≥ 4
B) x ≤ -4 o x ≥ 4
C) x > 3
D) x > -3 y x < 3
E) x ≥ -3 o x ≤ 3
27.- Si a = -i, entonces la expresión 3a + a(3 + 5i) – a + 4a, es igual a:
A) 5 – 9i
B) -5 + 9i
C) 14i
D) -14i
E) 14
28.- 𝑖2 + 𝑖−2 equivale a:
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
29.- El valor de 6𝑖25 + (2𝑖)6 + 𝑖−3 es:
A) 65 – 6i
B) 5 – 64i
C) -64 + 5i
D) -64 + 7i
E) -65 + 6i
30.- 𝑧 ∙ 𝑧 es siempre:
A) Un número real
B) Un número imaginario puro C) Igual a z2
D) (1 , 0)
E) Depende del valor de z
31.- Si z1 = 1 + i y z2 = 1 – i, luego 𝑧1
𝑧2 es:
A) 1
2+
1
2𝑖
B) 0 + 0𝑖
C) 1
2−
1
2𝑖
D) −1
2+
1
2𝑖
E) 0 + i
32.- El valor de 𝑖(1 − 𝑖)(1 + 𝑖) es:
A) 2(1 + i)
B) 2(1 – i)
C) 2 – i
D) 2 + 0i
E) 0 + 2i
33.- Si z1 = 3 – 2i, z2 = 3i y z3 = 1 + i, el valor de 𝑧1 ∙ 𝑧2 + 𝑧3 es:
A) -5 + 10i
B) 7 + 10i C) 1 + 6i
D) 10 – 5i
E) Ninguna de las anteriores
34.- ¿Qué igualdad es falsa?
A) i523 = -i
B) i234 = -1
C) i65 = i
D) i72 = i
E) i122 = -1
35.- Al resolver x2 + 75 = 0, ¿Cuáles son las soluciones?
A) x1 = 5i, x2 = -5i
B) x1 = 5√3i, x2 = -5√3i
C) x1 = 5√3, x2 = -5√3i
D) x1 = 5√3, x2 = -5√3
E) x1 = 5√3i, x2 = -5√3
36.- ¿Cuál es el resultado de la expresión 5𝑖45−15𝑖13
5𝑖114 ?
A) 2
B) 2i
C) 5i
D) -2
E) -2i
37.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. −√6 ∈ ℝ
II. 𝑖345 = 𝑖
III. x2 + 24 = 0 ⇒ x = ± 2√6
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
38.- Respecto de los números complejos z1 = 3 – i√20 y z2 = 6 – i√5, ¿Qué afirmación es
falsa?
A) Re(z2) = 6
B) Im(z1) = 2√5
C) Re(z1) = 3
D) Im(z2) = −√5
E) Re(z1) + Re(z2) = 9
39.- Si w ∈ ℂ, Im(w) = -5 y Re(w) = 15, ¿Cuál es el numero complejo w?
A) -5 + 15i
B) 15 + 5i
C) 15 – 5i
D) 5 – 15i
E) -15 – 5i
40.- Considerando z1 = 3 + (y + 5) i, z2 = (3 – x) + 12i, para que z1 = z2, ¿Cuáles deben ser
los valores de x e y?
A) x = 3, y = 7
B) x = 6, y = 17
C) x = 3, y = 17
D) x = 0, y = 7
E) x = 0 y = 17
41.- ¿Cuál es el conjugado del número complejo que se representa en el gráfico?
A) 4 + 2i
B) 4 – 2i
C) -4 + 2i
D) -4 – 2i
E) -2 – 4i
42.- Considerando el grafico de la pregunta 41, ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es
(son) verdadera(s)?
I. |𝑧| = 2√5
II. z = (-4 , 2)
III. Re(z) = -4, Im(z) = 2
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
43.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. Si z1 = 7 – 5i ⇒ Im(z1) = -5
II. Si Re(z2) = -2, Im(z2) = 4 ⇒ z2 = -2 + 4i
III. Si z1 = z2 , z1 = a + 2i, z2 = 3 – bi, entonces a = 3 y b = 2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
44.- Se definen los números complejos z1 y z2 como z1 = -10 – 5i y z2 = 8 + 4i. ¿Cuánto es
z1 + z2?
A) -2 – i
B) 2 – i
C) -2 + i
D) 2 + i
E) -8 – i
45.- En el plano de Argand se han representado los números complejos z1 y z2. ¿Cuánto es
z1 + z2?
A) 6 + 3i
B) -6 + 3i
C) -6 – 3i
D) 3 + 6i
E) -2 + 3i
46.- Considerando z = -1 + 2i, ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)
verdadera(s)?
I. z + 𝑧 = -2
II. |𝑧 + 𝑧| = 2√5
III. z + 𝑧 = 𝑧 + z
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III
47.- Si 4 – 5i + z = 9 + 8i, ¿Cuál debe ser el numero complejo z?
A) 5 – 3i
B) 5 + 13i
C) 5 + 3i
D) 5 – 13i
E) 5i + 13
48.- Si z = 4 – 8i, ¿Cuánto es el resultado de z - 𝑧?
A) 0
B) -4i
C) -8i
D) -16i
E) 8 – 16i
49.- En el plano de Argand se han representado los números complejos z1 y z2. ¿Cuál es el
resultado de z2 – z1?
A) 5 + i
B) 1 + 5i
C) -5 + 5i
D) -5 – i
E) 5 – i
50.- Si 5 – 3i – w = 7 + 3i, ¿Cuál es el numero complejo w?
A) 2 – 6i
B) -2 – 6i
C) -2 + 6i
D) 2 + 6i
E) 2i – 6
51.- Considerando z = 7 – 2i, ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I. z - 𝑧 = -4i
II. |𝑧| − |𝑧| = √53
III. z - 𝑧 = 𝑧 - z
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
52.- Si z = 2 – i, w = 1 + i, ¿Cuál es el resultado de z ∙ w?
A) 3 + i
B) 3 – i
C) 3
D) -3 + 3i
E) -3 – 3i
53.- Si z = 7 – 4i, ¿Qué numero representa a z-1?
A) 4
65+
7
65𝑖
B) 7
65−
4
65𝑖
C) 7
65+
4
65𝑖
D) −7
65−
4
65𝑖
E) 4
65−
7
65𝑖
54.- En el plano de Argand se han representado los números complejos z1 y z2. ¿Cuál(es) de
las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I. 𝑧1−1 = -0,4 – 0,2i
II. z1 ∙ z2 = -8 – i
III. z1 ∙ 𝑧2 = |𝑧1|
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
55.- Si z = 3 – 5i, w = 6 + 2i, ¿Cuál es el resultado de z : w?
A) 1
5−
9
10𝑖
B) 8
10−
36
40𝑖
C) 1
5−
9
5𝑖
D) 2
10−
9
40𝑖
E) 4
10−
9
10𝑖
56.- Se define 𝑧 =3+2𝑖
4+3𝑖. ¿Cuánto es |𝑧|?
A) √13
B) √324
25
C) √323
25
D) √13
5
E) √13
25
57.- En la igualdad z(1 – i) = 2, ¿a cuánto equivale z-1?
A) 1 + i
B) 1
2−
1
2𝑖
C) 1 – i
D) 1
2+
1
2𝑖
E) −1
2−
1
2𝑖
58.- El cociente entre un número complejo z = 2 + bi y su conjugado es −5−12𝑖
13, ¿Cuál es el
valor de b?
A) 1
B) 3
C) -3
D) -1
E) -2
59.- Si z = 12 + 5i, w = 6 – 4i, ¿Cuánto es |𝑧| ∙ ��?
A) 78 + 52i
B) √17(6 + 4𝑖)
C) 78 – 52i
D) √17(6 − 4𝑖)
E) √119(6 − 4𝑖)
60.- ¿Cuál es el resultado de 4𝑖62−2𝑖52
6𝑖200 ?
A) 1
B) -1
C) −1
3
D) 1
3
E) −𝑖
3
61.- Si el número complejo z = 8 – 7i es igual a (x – 2) + (y – 3)i, ¿Cuál es el valor de xy?
A) 4
B) -4
C) 14
D) 40
E) -40
62.- Considerando los números complejos z1 y z2, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I. |𝑧2| = 3√3
II. 𝑧1 = −2 + 2𝑖
III. |𝑧1| = 2√2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
63.- En el plano se han representado los números z1, z2 y z3. ¿Cuáles de las siguientes
igualdades es (son) verdadera(s)?
I. z1 = z3 – z2
II. z3 = z2 + z1
III. z2 = z3 – z1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
64.- Si z1 = 3 – 2i y z2 = -5 + 3i, ¿Cuánto es el producto entre z1 y z2?
A) 9 + 19i
B) -9 + 19i
C) 21 + 19i
D) -21 + 19i
E) -9 – 19i
65.- Se define z1 = 4 – i y z2 = 3 + i. ¿Cuánto es 𝑧1
𝑧2?
A) 11
10−
7
10𝑖
B) 11
10+
7
10𝑖
C) 13
10−
7
10𝑖
D) 11
8−
7
8𝑖
E) 11
8+
7
8𝑖
66.- ¿Cuánto es (2 – 3i)4?
A) 16 + 81i
B) 16 – 81i
C) 119 + 120i
D) -119 – 120i
E) -119 + 120i
67.- Respecto del número complejo z = a + 4i, se puede determinar el valor de a si:
(1) z - 𝑧 = 8i
(2) z + 𝑧 = 6
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) (1) y (2), ambas juntas
D) (1) o (2), cada una por sí sola
E) Se requiere información adicional
68.- Se tiene el número complejo z = a + bi. Se puede determinar los valores de a y b si:
(1) Re(z) = Im(z) y z se ubica en el tercer cuadrante del plano de Argand.
(2) |𝑧| = √2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) (1) y (2), ambas juntas
D) (1) o (2), cada una por sí sola
E) Se requiere información adicional
69.- Para que 5𝑖𝑛 y 𝑏𝑖13, con n entero y b un número real o imaginario, sean iguales se
debe(n) cumplir la(s) siguientes condición(es)
(1) b = 5 y n = 7
(2) b = -5 y n = 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) (1) y (2), ambas juntas
D) (1) o (2), cada una por sí sola
E) Se requiere información adicional
70.- Se puede determinar la parte imaginaria del complejo z, dado:
(1) El valor de su módulo y su parte real
(2) El opuesto aditivo de 𝑧
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) (1) y (2), ambas juntas
D) (1) o (2), cada una por sí sola
E) Se requiere información adicional
71.- Se puede determinar el valor de z = a + bi, si:
(1) z pertenece al primer cuadrante y |𝑧| = 5
(2) Re(z) = 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
CLAVES GUÍA NÚMEROS COMPLEJOS
Nº
EJER
CLAVE Nº
EJER
CLAVE Nº
EJER
CLAVE Nº
EJER
CLAVE Nº
EJER
CLAVE
1 C 17 B 33 B 49 A 65 A
2 D 18 A 34 D 50 B 66 E
3 B 19 B 35 B 51 A 67 B
4 D 20 A 36 B 52 A 68 C
5 A 21 C 37 D 53 C 69 B
6 B 22 E 38 B 54 C 70 D
7 D 23 D 39 C 55 A 71 C
8 E 24 B 40 D 56 D
9 C 25 D 41 D 57 B
10 D 26 D 42 E 58 C
11 B 27 A 43 C 59 A
12 D 28 A 44 A 60 B
13 E 29 D 45 B 61 E
14 D 30 A 46 D 62 C
15 D 31 E 47 B 63 E
16 D 32 E 48 D 64 B