Post on 08-Sep-2018
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Movimientos en el plano y en el espacio:expresion matricial, clasificacion.
Sonia L. Rueda
ETS Arquitectura. UPM
Geometrıa afın y proyectiva, 2015
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Geometrıa afın y proyectiva
1. Algebra Lineal
2. Geometrıa afın y euclıdea
3. Conicas y cuadricas
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Geometrıa afın y euclıdea
2.1 Espacio afın.
2.2 Transformaciones afines.
2.3 Espacio afın euclıdeo. Isometrıas afines.
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Contenidos
Isometrıa afın o movimiento rıgidoPropiedadesExpresion matricialSubespacio de puntos fijosSubespacio invariante
Clasificacion de movimientos en el planoDirectosInversosEjemplos
Clasificacion de movimientos en el espacioDirectosInversosEjemplos
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Puente de Madrid Rıo. D. Perrault, 2011
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Isometrıa afın o movimiento rıgidoPropiedadesExpresion matricialSubespacio de puntos fijosSubespacio invariante
Clasificacion de movimientos en el planoDirectosInversosEjemplos
Clasificacion de movimientos en el espacioDirectosInversosEjemplos
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Isometrıa afın o movimiento rıgido
En el espacio afın euclıdeo En = Rn (sobre el espacio vectorial realeuclıdeo En = Rn, n = 2, 3), definimos la distancia
d(P,Q) = ||PQ|| =
√〈PQ,PQ〉, P,Q ∈ En.
Definicion Una transformacion afın f : En → En es una isometrıaafın o movimiento rıgido si mantiene las distancia, esto es,
d(P,Q) = d(f (P), f (Q)), ∀P,Q ∈ En.
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Propiedades
Sea f : En → En la aplicacion lineal asociada a la transformacionafın f : En → En.
Proposicionf es una isometrıa afın si, y solo si, f es una isometrıa vectorial.
Por tanto:
1. Una isometrıa afın es biyectiva.
2. Mediante una isometrıa afın f se mantienen longitudes yangulos.
3. La composicion de movimientos rıgidos es un movimientorıgido.
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Expresion matricial
Fijado un sistema de referencia ortonormal R = {O;B} de En, laexpresion matricial de una isometrıa afın es
Y = AX + b o
(1Y
)=
(1 0b A
)(1X
)siendo A la matriz ortogonal de la aplicacion lineal f en la base B(el 0 sobre A indica una fila de ceros),
b vector columna de las coordenadas de f (O),X vector columna de las coordenadas de un punto,Y vector columna de las coordenadas de su imagen.
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Ejemplos
1. La homotecia h : En −→ En de razon r 6= 1 y centro C ∈ En
es una transformacion afın con expresion matricial(1Y
)=
(1 0b rIn
)(1X
)siendo C el unico punto fijo de h, C = h(C ) = rC + b. No esuna isometrıa afın ya que h no es una isometrıa vectorial, lamatriz A = rIn no es ortogonal.
2. Una traslacion es una isometrıa.
3. Un cambio de sistema de referencia, entre sistemas dereferencia ortonormales de En, es un movimiento rıgido.
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Proposicion Todo movimiento rıgido f : En −→ En es lacomposicion de una traslacion con un movimiento rıgido que dejafijo el origen.
Esto es, (1 0b A
)=
(1 0b I
)(1 00 A
).
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Subespacio de puntos fijos
Para clasificar una isometrıa afın f estudiamos su subespacio depuntos fijos
F(f ) = {P ∈ En | f (P) = P},
que esta determinado por la ecuacion matricial
(A− I )X + b = 0.
La isometrıa afın f tiene puntos fijos si, y solo si, el sistema(A− I )X + b = 0 tiene solucion, si
m = rango(A− I ) = rango(A− I |b).
La dimension del subespacio de puntos fijos es por tantodim(En)−m = n −m.
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Subespacio invariante
Si f no tiene puntos fijos (F(f ) = ∅) pero f tiene vectoresinvariantes (F (f ) es no nulo) entonces f puede tener subespaciosinvariantes. Llamamos variedad invariante de f a la que tienecomo direccion F (f ), que denotamos por
V (f ) = P + F (f ),
y se verifica que el vector Pf (P) = AP + b − P = (A− I )P + bpertenece a F (f ),
0 = (A− I )(Pf (P)) = (A− I )((A− I )P+b) = (A− I )2P+(A− I )b,
de donde obtenemos las ecuaciones cartesianas de V (f )
(A− I )2X + (A− I )b = 0.
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Isometrıa afın o movimiento rıgidoPropiedadesExpresion matricialSubespacio de puntos fijosSubespacio invariante
Clasificacion de movimientos en el planoDirectosInversosEjemplos
Clasificacion de movimientos en el espacioDirectosInversosEjemplos
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Clasificacion de los movimientos en el plano E2
Los movimientos en el espacio E2 se reducen a los siguientes casos:
¿Que triangulos son congruentes?
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Movimientos directos en E2
No cambian la orientacion.
detA = 1
rango(A− I2) rango(A− I2 | b) Clasificacion Puntos fijos
0 0 Identidad (b = 0) E2
0 1 Traslacion (b 6= 0) No
2 2 Giro Un punto fijo
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Movimientos directos en E2
Traslacion de vector (b1, b2)
Mf (R) =
1 0 0b1 1 0b2 0 1
.
Giro de angulo α 6= 0 y centro P en la referencia R′ = {P;B}
Mf (R′) =
1 0 00 cos(α) −sen(α)0 sen(α) cos(α)
.
El angulo α satisface cos(α) = 12 tr(A), y el centro es el punto fijo.
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Movimientos inversos en E2
Cambian la orientacion.
detA = −1
rango(A− I2) rango(A− I2 | b) Clasificacion Puntos fijos
1 1 Simetrıa Una recta
1 2 Simetrıa deslizante No
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Movimientos inversos en E2
Simetrıa con respecto a la recta de puntos fijos F(f ) = P + 〈u1〉,en el sistema de referencia ortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2}} setiene que
Mf (R′) =
1 0 00 1 00 0 −1
.
Simetrıa deslizante Simetrıa con respecto a la recta invarianter = P + 〈u1〉 compuesta con traslacion de vector v paralelo a r .En la referencia ortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2}},
Mf (R′) =
1 0 0γ 1 00 0 −1
=
1 0 0γ 1 00 0 1
1 0 00 1 00 0 −1
.
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Ejemplos de movimientos en E2
1. Hallar la expresion matricial del giro de centro P = (1, 1) yalgulo Π/2.
Mg (R) = M(R′,R)Mg (R′)M(R,R′) =
1 0 02 0 −10 1 0
siendo la matriz de cambio de referencia de R′ a R unatraslacion de vector OP = (1, 1).
2. Determinar las ecuaciones de la simetrıa respecto a la rectay = x .Las ecuaciones son {
x ′ = yy ′ = x
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Isometrıa afın o movimiento rıgidoPropiedadesExpresion matricialSubespacio de puntos fijosSubespacio invariante
Clasificacion de movimientos en el planoDirectosInversosEjemplos
Clasificacion de movimientos en el espacioDirectosInversosEjemplos
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Clasificacion de los movimientos en el espacio E3
Los movimientos en el espacio E3 se reducen a los siguientes casos:
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Movimientos directos en E3
No cambian la orientacion.
detA = 1
rango(A− I ) rango(A− I | b) Clasificacion Puntos fijos
0 0 Identidad (b = 0) E3
0 1 Traslacion (b 6= 0) No
2 2 Giro Una recta
2 3 Movimiento Helicoidal No
El giro es de angulo α, tal que cos(α) = 12 (tr(A)− 1).
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Movimientos directos en E3
Traslacion de vector (b1, b2, b3) en R = {O;B}
Mf (R) =
1 0 0 0b1 1 0 0b2 0 1 0b3 0 0 1
.
Giro de angulo α y de eje r = P + 〈u1〉. En la referenciaortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2, u3}}
Mf (R′) =
1 0 0 00 1 0 00 0 cos(α) −sen(α)0 0 sen(α) cos(α)
.
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Movimientos directos en E3
Movimiento helicoidal Giro de angulo α y de eje la recta invarianter = P + 〈u1〉, compuesto con traslacion de vector paralelo a r . Enla referencia ortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2, u3}}
Mf (R′) =
1 0 0 0γ 1 0 00 0 cos(α) −sen(α)0 0 sen(α) cos(α)
,
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Movimientos inversos en E3
Cambian la orientacion.
detA = −1
rango(A− I ) rango(A− I | b) Clasificacion Puntos fijos
1 1 Simetrıa Un plano
1 2 Simetrıa Deslizante No
3 3 Simetrıa Rotatoria Un punto
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Movimientos inversos en E3
Simetrıa con respecto al plano de puntos fijos Π = P + 〈u1, u2〉. Enel sistema de referencia R′ = {P;B′ = {u1, u2, u3}} se tiene que
Mf (R′) =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1
.
Simetrıa deslizante Simetrıa con respecto al plano invarianteΠ = P + 〈u1, u2〉 compuesta con una traslacion de vector v paraleloa Π. En la referencia ortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2, u3}},
Mf (R′) =
1 0 0 0γ1 1 0 0γ2 0 1 00 0 0 −1
.
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Movimientos inversos en E3
Simetrıa rotatoria Composicion de una simetrıa y un giro, que tienecomo subespacios invariantes el plano Π = P + 〈u2, u3〉 de simetrıay la recta ortogonal r = P + 〈u1〉 eje del giro.En la referencia ortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2, u3}},
Mf (R′) =
1 0 0 00 −1 0 00 0 cos(α) −sen(α)0 0 sen(α) cos(α)
.
Observamos que P es un punto fijo, V−1 = 〈u1〉 y V⊥−1 = 〈u2, u3〉.
El angulo α satisface cos(α) = 12 (tr(A) + 1).
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Ejemplo Describimos la trayectoria de un punto del eje x medianteun movimiento helicoidal de algulo α alrededor del eje z y convector de traslacion (0, 0, α).
1 0 0 00 cos(α) −sen(α) 00 cos(α) sen(α) 0α 0 0 1
1u00
=
1
ucos(α)usen(α)
α
.
El resultado es la parametrizcion de una helice.
Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio
Ejemplo Determinar y clasificar la isometrıa afın que lleva lareferecia ortonormal
R′ =
{(1, 1, 1);
{u1 =
1√2
(1, 1, 0), u2 =1√2
(1,−1, 0), u3 = (0, 0, 1)
}}de E3 en la referencia estandar R = {O;B = {e1, e2, e3}}.
M(R′,R) =
(1 0b A
)=
1 0 0 01 1√
21√2
0
1 1√2− 1√
20
1 0 0 1
.
Simetrıa deslizante rango(A− I ) = 1 y rango(A− I |b) = 2.
El plano invariante Π ≡ −√
2x + 2y + y√
2− 1.Dado el punto P = (1/2, 1/2, 0) del plano Π, el vector detraslacion es v = Pf (P) = ((1/2)
√2 + 1/2, 1/2, 1).