Movimientos en el plano y en el espacio: expresión...

Isometrıa afın o movimiento rıgido Movimientos en el plano Movimientos en el espacio

Movimientos en el plano y en el espacio:expresion matricial, clasificacion.

Sonia L. Rueda

ETS Arquitectura. UPM

Geometrıa afın y proyectiva, 2015


Geometrıa afın y proyectiva

1. Algebra Lineal

2. Geometrıa afın y euclıdea

3. Conicas y cuadricas


Geometrıa afın y euclıdea

2.1 Espacio afın.

2.2 Transformaciones afines.

2.3 Espacio afın euclıdeo. Isometrıas afines.


Contenidos

Isometrıa afın o movimiento rıgidoPropiedadesExpresion matricialSubespacio de puntos fijosSubespacio invariante

Clasificacion de movimientos en el planoDirectosInversosEjemplos

Clasificacion de movimientos en el espacioDirectosInversosEjemplos


Puente de Madrid Rıo. D. Perrault, 2011


Isometrıa afın o movimiento rıgido

En el espacio afın euclıdeo En = Rn (sobre el espacio vectorial realeuclıdeo En = Rn, n = 2, 3), definimos la distancia

d(P,Q) = ||PQ|| =

√〈PQ,PQ〉, P,Q ∈ En.

Definicion Una transformacion afın f : En → En es una isometrıaafın o movimiento rıgido si mantiene las distancia, esto es,

d(P,Q) = d(f (P), f (Q)), ∀P,Q ∈ En.


Propiedades

Sea f : En → En la aplicacion lineal asociada a la transformacionafın f : En → En.

Proposicionf es una isometrıa afın si, y solo si, f es una isometrıa vectorial.

Por tanto:

1. Una isometrıa afın es biyectiva.

2. Mediante una isometrıa afın f se mantienen longitudes yangulos.

3. La composicion de movimientos rıgidos es un movimientorıgido.


Expresion matricial

Fijado un sistema de referencia ortonormal R = {O;B} de En, laexpresion matricial de una isometrıa afın es

Y = AX + b o

(1Y

)=

(1 0b A

)(1X

)siendo A la matriz ortogonal de la aplicacion lineal f en la base B(el 0 sobre A indica una fila de ceros),

b vector columna de las coordenadas de f (O),X vector columna de las coordenadas de un punto,Y vector columna de las coordenadas de su imagen.


Ejemplos

1. La homotecia h : En −→ En de razon r 6= 1 y centro C ∈ En

es una transformacion afın con expresion matricial(1Y

)=

(1 0b rIn

)(1X

)siendo C el unico punto fijo de h, C = h(C ) = rC + b. No esuna isometrıa afın ya que h no es una isometrıa vectorial, lamatriz A = rIn no es ortogonal.

2. Una traslacion es una isometrıa.

3. Un cambio de sistema de referencia, entre sistemas dereferencia ortonormales de En, es un movimiento rıgido.


Proposicion Todo movimiento rıgido f : En −→ En es lacomposicion de una traslacion con un movimiento rıgido que dejafijo el origen.

Esto es, (1 0b A

)=

(1 0b I

)(1 00 A

).


Subespacio de puntos fijos

Para clasificar una isometrıa afın f estudiamos su subespacio depuntos fijos

F(f ) = {P ∈ En | f (P) = P},

que esta determinado por la ecuacion matricial

(A− I )X + b = 0.

La isometrıa afın f tiene puntos fijos si, y solo si, el sistema(A− I )X + b = 0 tiene solucion, si

m = rango(A− I ) = rango(A− I |b).

La dimension del subespacio de puntos fijos es por tantodim(En)−m = n −m.


Subespacio invariante

Si f no tiene puntos fijos (F(f ) = ∅) pero f tiene vectoresinvariantes (F (f ) es no nulo) entonces f puede tener subespaciosinvariantes. Llamamos variedad invariante de f a la que tienecomo direccion F (f ), que denotamos por

V (f ) = P + F (f ),

y se verifica que el vector Pf (P) = AP + b − P = (A− I )P + bpertenece a F (f ),

0 = (A− I )(Pf (P)) = (A− I )((A− I )P+b) = (A− I )2P+(A− I )b,

de donde obtenemos las ecuaciones cartesianas de V (f )

(A− I )2X + (A− I )b = 0.


Clasificacion de los movimientos en el plano E2

Los movimientos en el espacio E2 se reducen a los siguientes casos:

¿Que triangulos son congruentes?


Movimientos directos en E2

No cambian la orientacion.

detA = 1

rango(A− I2) rango(A− I2 | b) Clasificacion Puntos fijos

0 0 Identidad (b = 0) E2

0 1 Traslacion (b 6= 0) No

2 2 Giro Un punto fijo



Traslacion de vector (b1, b2)

Mf (R) =

1 0 0b1 1 0b2 0 1

.

Giro de angulo α 6= 0 y centro P en la referencia R′ = {P;B}

Mf (R′) =

1 0 00 cos(α) −sen(α)0 sen(α) cos(α)

.

El angulo α satisface cos(α) = 12 tr(A), y el centro es el punto fijo.


Movimientos inversos en E2

Cambian la orientacion.

detA = −1

rango(A− I2) rango(A− I2 | b) Clasificacion Puntos fijos

1 1 Simetrıa Una recta

1 2 Simetrıa deslizante No



Simetrıa con respecto a la recta de puntos fijos F(f ) = P + 〈u1〉,en el sistema de referencia ortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2}} setiene que

Mf (R′) =

1 0 00 1 00 0 −1

.

Simetrıa deslizante Simetrıa con respecto a la recta invarianter = P + 〈u1〉 compuesta con traslacion de vector v paralelo a r .En la referencia ortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2}},

Mf (R′) =

1 0 0γ 1 00 0 −1

=

1 0 0γ 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 −1

.


Ejemplos de movimientos en E2

1. Hallar la expresion matricial del giro de centro P = (1, 1) yalgulo Π/2.

Mg (R) = M(R′,R)Mg (R′)M(R,R′) =

1 0 02 0 −10 1 0

siendo la matriz de cambio de referencia de R′ a R unatraslacion de vector OP = (1, 1).

2. Determinar las ecuaciones de la simetrıa respecto a la rectay = x .Las ecuaciones son {

x ′ = yy ′ = x


Clasificacion de los movimientos en el espacio E3

Los movimientos en el espacio E3 se reducen a los siguientes casos:



No cambian la orientacion.

detA = 1

rango(A− I ) rango(A− I | b) Clasificacion Puntos fijos

0 0 Identidad (b = 0) E3

0 1 Traslacion (b 6= 0) No

2 2 Giro Una recta

2 3 Movimiento Helicoidal No

El giro es de angulo α, tal que cos(α) = 12 (tr(A)− 1).



Traslacion de vector (b1, b2, b3) en R = {O;B}

Mf (R) =

1 0 0 0b1 1 0 0b2 0 1 0b3 0 0 1

.

Giro de angulo α y de eje r = P + 〈u1〉. En la referenciaortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2, u3}}

Mf (R′) =

1 0 0 00 1 0 00 0 cos(α) −sen(α)0 0 sen(α) cos(α)

.



Movimiento helicoidal Giro de angulo α y de eje la recta invarianter = P + 〈u1〉, compuesto con traslacion de vector paralelo a r . Enla referencia ortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2, u3}}

Mf (R′) =

1 0 0 0γ 1 0 00 0 cos(α) −sen(α)0 0 sen(α) cos(α)

,



Cambian la orientacion.

detA = −1

rango(A− I ) rango(A− I | b) Clasificacion Puntos fijos

1 1 Simetrıa Un plano

1 2 Simetrıa Deslizante No

3 3 Simetrıa Rotatoria Un punto



Simetrıa con respecto al plano de puntos fijos Π = P + 〈u1, u2〉. Enel sistema de referencia R′ = {P;B′ = {u1, u2, u3}} se tiene que

Mf (R′) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

.

Simetrıa deslizante Simetrıa con respecto al plano invarianteΠ = P + 〈u1, u2〉 compuesta con una traslacion de vector v paraleloa Π. En la referencia ortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2, u3}},

Mf (R′) =

1 0 0 0γ1 1 0 0γ2 0 1 00 0 0 −1

.



Simetrıa rotatoria Composicion de una simetrıa y un giro, que tienecomo subespacios invariantes el plano Π = P + 〈u2, u3〉 de simetrıay la recta ortogonal r = P + 〈u1〉 eje del giro.En la referencia ortonormal R′ = {P;B′ = {u1, u2, u3}},

Mf (R′) =

1 0 0 00 −1 0 00 0 cos(α) −sen(α)0 0 sen(α) cos(α)

.

Observamos que P es un punto fijo, V−1 = 〈u1〉 y V⊥−1 = 〈u2, u3〉.

El angulo α satisface cos(α) = 12 (tr(A) + 1).


Ejemplo Describimos la trayectoria de un punto del eje x medianteun movimiento helicoidal de algulo α alrededor del eje z y convector de traslacion (0, 0, α).

1 0 0 00 cos(α) −sen(α) 00 cos(α) sen(α) 0α 0 0 1

1u00

=

1

ucos(α)usen(α)

α

.

El resultado es la parametrizcion de una helice.


Ejemplo Determinar y clasificar la isometrıa afın que lleva lareferecia ortonormal

R′ =

{(1, 1, 1);

{u1 =

1√2

(1, 1, 0), u2 =1√2

(1,−1, 0), u3 = (0, 0, 1)

}}de E3 en la referencia estandar R = {O;B = {e1, e2, e3}}.

M(R′,R) =

(1 0b A

)=

1 0 0 01 1√

21√2

0

1 1√2− 1√

20

1 0 0 1

.

Simetrıa deslizante rango(A− I ) = 1 y rango(A− I |b) = 2.

El plano invariante Π ≡ −√

2x + 2y + y√

2− 1.Dado el punto P = (1/2, 1/2, 0) del plano Π, el vector detraslacion es v = Pf (P) = ((1/2)

√2 + 1/2, 1/2, 1).

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