Post on 15-Sep-2020
Joaquín Bernal MéndezCurso 2017/2018
Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
Movimiento oscilatorio
Física IGrado en Ingeniería de
Organización IndustrialPrimer Curso
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Índice
Introducción: movimiento oscilatorioRepresentación matemática del MAS
Dinámica del MASPeriodo y frecuenciaVelocidad y aceleración
Energía del MASSistemas oscilantes:
Muelle verticalPéndulo simple
Oscilaciones amortiguadasOscilaciones forzadas: resonancia
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Movimiento oscilatorioMovimiento periódicoEjemplos:
Barcas sobre el aguaBandera al vientoPéndulo de un relojMoléculas en un sólidoV e I en circuitos de corriente alterna
En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio
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Movimiento oscilatorio
Forma más básica de movimiento oscilatorio: movimiento armónico simple (MAS)¿Por qué estudiar el MAS?
Ejemplo sencillo de movimiento oscilatorioAproximación válida en muchos casos de movimiento oscilatorioComponente básico de la ecuación del desplazamiento de movimientos oscilatorios más complejos
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Índice
Introducción: movimiento oscilatorioRepresentación matemática del MAS
Dinámica del MASPeriodo y frecuenciaVelocidad y aceleración
Energía del MASSistemas oscilantes:
Muelle verticalPéndulo simple
Oscilaciones amortiguadasOscilaciones forzadas: resonancia
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Representación matemática del MAS: dinámica del MAS
Cuerpo unido a un muelle
F kx
0 0x
x• k : constante del muelle
• Signo: fuerza restauradora
F
• Segunda ley de Newton:
F ma kx kx
am
Condición de MASpara la aceleración
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Representación matemática del MAS
Segunda ley de Newton:
Solución:
F ma kx 2
20
d xm kx
dt
22 2
20 con:
d x kx
dt m
( ) cos( )x t A t
sen( )dx
A tdt
22 2
2cos( )
d xA t x
dt
• Comprobación:
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Representación matemática del MAS
Significado físico de las constantes:
A Amplitud (m) Frecuencia angular (rad/s) Constante de fase (rad)
Determinación de A y :
( ) cos( )x t A t
(0) sen( )v A
(0) cos( )x A Dos ecuaciones con dos incógnitas
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Representación matemática del MAS: Ejemplo
x
0t
02A
(0) sen( ) 0v A 0(0) cos( )x A A
Solución:
0( ) cos( )x t A t
x
t
0
0
A A
0A
0A
0A
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Representación matemática del MAS: Resumen
Fuerza que provoca un MAS:
Ecuación diferencial del MAS
Ecuación del MAS
F kx
22
20
d xx
dt
( ) cos( )x t A t
Ley de Hooke
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Representación del MAS:periodo y frecuencia
Periodo (T): Tiempo necesario para cumplir un ciclo completo
( ) ( )x t x t T
( ) cos( )x t T A t T 2T
x
t2
T
T
TUnidades: segundos (s)
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Representación del MAS:periodo y frecuencia
Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones por unidad de tiempo (ciclos por segundo)
Para el resorte:
-11 Unidades: s Hz
2f
T
1 1
2
kf
T m
22
mT
k
k
m
La frecuencia no depende de la amplitud
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Representación del MAS: aplicaciones
El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependa de la amplitud tiene interesantes aplicaciones:
Medida de masas a partir de periodo de oscilación
El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa durante el segundo viaje del Skylab (1973)
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Representación del MAS: aplicaciones
El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependan de la amplitud tiene interesantes aplicaciones:
Medida de masas a partir de periodo de oscilación Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda del instrumento o la tecla de un piano.
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Representación del MAS: velocidad y aceleración
( ) sen( )dx
v t A tdt
22 2
2( ) cos( ) ( )
d xa t A t x t
dt
( ) cos( )x t A t Posición:Velocidad:
Aceleración:maxv A
2
maxa A
(para el resorte)k
Am
(para el resorte)k
Am
El signo indica el sentido
El signo indica el sentido
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Representación del MAS: velocidad y aceleración
( ) cos( )x t A t
( ) sen( )v t A t
• Desfase /2 con x(t)
• Desfase /2 con v(t)
• Desfase con x(t)
cos( )2
A t
2( ) cos( )a t A t 2 cos( )A t
• Suponemos =0
A
-A
-A
A
-A2
A2
x
( )v t
( )a t
2T
2T
2T
32T
32T
32T
T
T
T
17
A
-A
-A
A
-A2
A2
x
( )v t
( )a t
2T
2T
2T
32T
32T
32T
T
T
T
Representación del MAS: velocidad y aceleración
-A2
x
x
x
x
x
0t 0v 2a A
4Tt
2Tt
v A 0a
0v 2a A
18
A
-A
-A
A
-A2
A2
x
( )v t
( )a t
2T
2T
2T
32T
32T
32T
T
T
Tx
x
Representación del MAS: velocidad y aceleración
34Tt
t T
v A 0a
0v 2a A
x
x
x
2Tt
0v 2a A
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ÍndiceIntroducción: movimiento oscilatorioRepresentación matemática del MAS
Dinámica del MASPeriodo y frecuenciaVelocidad y aceleración
Energía del MASSistemas oscilantes:
Muelle verticalPéndulo simple
Oscilaciones amortiguadasOscilaciones forzadas: resonancia
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Energía del MAS
Si no hay rozamiento: energía mecánica constanteEnergía cinética:
Energía potencial:
cteE K U
21
2K mv
0
( ) (0)
x
muelleU x U W Fdx 0
x
Kx dx 21
2kx
21( )
2U x kx
21
Energía del MAS
Energía mecánica:( ) cos( )
con: ( ) sen( )
x t A t
v t A t
2 21 1
2 2E mv kx
2 2 2 2 21 1sen ( ) cos ( )
2 2E mA t kA t
Usando: (para un resorte)2m k
2 2 2 2
1
1 1(sen ( ) cos ( ))
2 2E kA t t kA
22
Energía del MAS
21
2E kA
¡ No depende de la masa !
2
max
1
2x A E U kA
2 2
max max
1 10
2 2x E K mv kA
• La energía se trasvasa continuamente de cinética a potencial y viceversa
K
21
2E kA
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ÍndiceIntroducción: movimiento oscilatorioRepresentación matemática del MAS
Dinámica del MASPeriodo y frecuenciaVelocidad y aceleración
Energía del MASSistemas oscilantes:
Muelle verticalPéndulo simple
Oscilaciones amortiguadasOscilaciones forzadas: resonancia
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Supongamos muelle verticalDefinimos eje y hacia abajoFuerza del muelle
Sistemas oscilantes: muelle vertical
yF kyu
y
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Añadimos una masa mAparece una fuerza adicional, el peso:
Se puede hallar el alargamiento del muelle ( y0 ):Condición de equilibrio:
Sistemas oscilantes: muelle vertical
yP mgu
0F P
0mg ky
0
mgy
k
Puede usarse para medir kk
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Hacemos oscilar el sistema:
Definimos:
Sistemas oscilantes: muelle vertical
mg ky ma
0y y y
mg ky ky 2 2
2 2
d y d yma m m
dt dt
0
mgy y y y
k
2
2
d ym ky
dt
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Solución:
Sistemas oscilantes: muelle vertical
2
2
d y ky
dt m
Ecuación diferencial de un
MAS
cos( )y A t
k
m
2; 2
mT
k
El único efecto de m es desplazar la posición de
equilibrio
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Índice
Introducción: movimiento oscilatorioRepresentación matemática del MAS
Dinámica del MASPeriodo y frecuenciaVelocidad y aceleración
Energía del MASSistemas oscilantes:
Muelle verticalPéndulo simple
Oscilaciones amortiguadasOscilaciones forzadas: resonancia
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Sistemas oscilantes: péndulo simple
Objeto de masa mSuspendido de una cuerda ligera (mc<<m) de longitud LExtremo superior fijo
Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: oscilaciones¿Es un M.A.S.?
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Sistemas oscilantes: péndulo simple
2
2sen
d smg m
dt usando: s L
2
2sen
dg L
dt
senmg ma
Si sen
2
2
d g
dt L
Ecuación diferencial de un MAS
Segunda Ley de Newton:
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Sistemas oscilantes: péndulo simple
2
2
d g
dt L
Solución:
0 cos( )t con: g
L
Periodo del péndulo simple:2
2L
Tg
¡ T no depende de m !
¡ T no depende de 0 !
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Péndulo simple: aplicaciones
El hecho de que el periodo de oscilación de un péndulo simple no dependa de la masa ni de la amplitud (para amplitudes pequeñas) resulta llamativo y tiene interesantes aplicaciones:
Técnica sencilla para calcular la aceleración de la gravedad.Medida del tiempo: péndulo de un reloj
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Índice
Introducción: movimiento oscilatorioRepresentación matemática del MAS
Dinámica del MASPeriodo y frecuenciaVelocidad y aceleración
Energía del MASSistemas oscilantes:
Muelle verticalPéndulo simple
Oscilaciones amortiguadasOscilaciones forzadas: resonancia
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Oscilaciones amortiguadas (I)
Las oscilaciones en sistemas oscilantes reales no son permanentes: rozamientoEste efecto puede incluirse en los cálculos:
Segunda Ley de Newton:
constante con:
velocidad
bR bv
v
Fuerza resistiva:
Amortiguamiento lineal (muy habitual)
kx bv ma 2
2
dx d xkx b m
dt dt
k
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Oscilaciones amortiguadas (II)
2
20
d x dxm b kx
dt dt
Solución: 2( ) cos( )b
tmx t Ae t
2 2
2
0 ;2 2
k b b
m m m
Ecuación:
0
k
m
Frecuencia natural(corresponde a b=0)
0
El sistema oscila con frecuencia menor que si no hubiera rozamiento
(b=0)
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Oscilaciones amortiguadas (III)
2( ) cos( )b
tmx t Ae t
La amplitud decrece exponencialmentedecrece más rápido cuanto mayor es b
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Oscilaciones amortiguadas (IV)
La solución propuesta es válida para
Si : el sistema no oscila
02b m 2
2
02
b
m
Sistema
subamortiguado02b m
Críticamente amortiguado
Sobreamortiguado0( 2 )b m
0( 2 )b m
Cuanto mayor sea bmás tarda en alcanzar
el equilibrio
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Índice
Introducción: movimiento oscilatorioRepresentación matemática del MAS
Dinámica del MASPeriodo y frecuenciaVelocidad y aceleración
Energía del MASSistemas oscilantes:
Muelle verticalPéndulo simple
Oscilaciones amortiguadasOscilaciones forzadas: resonancia
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Oscilaciones forzadas En un sistema amortiguado la energía decrece con el tiempoPara mantener las oscilaciones es preciso suministrar energía de forma continuaEsto precisa la acción de una fuerza externa
0 cos( )eF F t
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Oscilaciones forzadas: resonancia
Movimiento del oscilador forzado:Estado inicial transitorioEstado estacionario:
Oscila con e y A(e)Energía es constante (suministrada=disipada)
Resonancia: ocurre cuando 0e
El sistema oscila con amplitud y energía
máximas
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Resonancia: ejemploPuente de Tacoma Narrows
• El 7 de noviembre de 1940, se derrumbó el puentecolgante de Tacoma Narrows (Washington, USA) debido a las vibraciones provocadas por el viento.
• El puente llevaba abierto al tráfico unos pocos meses.
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Resonancia: ejemploPuente de Tacoma Narrows
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Resonancia: ejemploBahía de Fundy
La bahía de Fundy se conoce por registrar la máxima diferencia en el nivel del agua entre la marea alta y la bajamar (alrededor de 17 metros).Se cree que el nombre “Fundy” data del siglo XVI, cuando exploradores portugueses llamaron a la bahía "Rio Fundo“ (río profundo).El folklore popular afirma que las mareas son causadas por una ballena gigante que chapotea en el agua. Los oceanógrafos atribuyen el fenómeno a la resonancia, como resultado de la coincidencia entre el tiempo que necesita una gran ola para penetrar hasta el fondo de la bahía y regresar y el tiempo entre mareas altas (12.4 horas).
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Resonancia: ejemploBahía de Fundy
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Resumen del temaEl MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento desde el equilibrio.La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con el tiempo de forma sinusoidalLa energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento.Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar en un sistema en que hay una fuerza resistiva que se opone al movimiento del cuerpo oscilante.Para compensar la disminución de energía con el tiempo en un oscilador amortiguado debe emplearse una fuerza externa: oscilaciones forzadas.Cuando la frecuencia de la fuerza externa es similar a la frecuencia natural del oscilador no amortiguado la amplitud de las oscilaciones es máxima: resonancia