modelos estocasticos

¿Qué es Simulación?

• Simulación es la imitación de la operación de un proceso o sistema del mundo real en un determinado tiempo.

•Puede ser realizada en forma manual o en un computador

1. Involucra la generación de una historia artificial del sistema, y;

2. La observación de que a partir de esta historia artificial se pueden obtener inferencias acerca de las características de la operación del sistema real.

¿Cuando es útil la simulación?• La simulación es particularmente útil para resolver

problemas que presentan incertezas significativas, las cuales son muy difíciles de representar en forma analítica.

• Una simulación es tan buena cuanto sus modelos de simulación.

• Un modelo de simulación, es un conjunto de suposiciones relativas a la operación del sistema, expresada como expresiones matemática, lógicas o simbólicas entre los objetos de interés (entidades) del sistema.

• Con la simulación se recolectan datos como si fuera el sistema real el observado.

• Los datos generados por la simulación son usados para estimar medidas de desempeño del sistema.

Sistemas

• Un sistema es un conjunto de objetos reunidos para cumplir algún propósito.

• Físicos, actuales o planeados• Estudiar su desempeño

– Medirlo– Mejorarlo– Diseñarlo (si no existe)– Controlarlo en tiempo real, si es posible

• Algunas veces es posible jugar con el sistema• Pero a veces es imposible, por cuanto

– No existe– No se puede interrumpir, o es muy caro

Modelos

• Abstracción, Simplificación del sistema usado como una aproximación para el propio sistema

• Puede tratar un amplio rango de ideas en el modelo

• Emitir la validez del modelo• Dos tipos de modelos:

– Físico (icónico)– Lógico/Matemático – Un modelo matemático usa

notación simbólica y ecuaciones matemáticas para representar el sistema. Supuestos lógicos y cuantitativos, aproximaciones

Modelo de Simulación

• Un modelo de simulación considera un modelo del sistema y un modelo del ambiente en vez del sistema físico actual.

• ¿Qué es un modelo del sistema?– Es una abstracción de un sistema real – Se realizan suposiciones simplificadoras para capturar

únicamente los comportamientos importantes– Las salidas del modelo representan una estimación

de las salidas reales del sistema físico.• En la simulación la escala de tiempo puede ser

alterada cuando sea necesarioPara capturara eventos raros-se debe comprimir el

tiempoSimular rápidamente eventos --- expandir el tiempo.

Departamento de Ingeniería de Minas - Universidad de Santiago de Chile

Simulación y análisis de modelos Simulación y análisis de modelos estocásticosestocásticos

MODELOS DETERMINISTICOSMODELOS ESTOCASTICOSCuando por lo menos una variable es tomada como un dato al azar las relaciones entre variables se toman por medio de funciones probabilísticas, sirven por lo general para realizar grandes series de muestreos, quitan mucho tiempo en el computador son muy utilizados en investigaciones científicasMODELOS ESTATICOSMODELOS DINAMICOSSi se toma en cuenta la variación del tiempo, ejemplo: la variación de la temperatura, del aire durante un día, movimiento anual de las finanzas de una empresa. Ejemplo: Laboratorio de química: reacción entre elementos

• • • • •8 •Implementación•Implementación

• • • •

• •

•7 •Documentación•Documentación

• • • • •Análisis•Análisis•6

• • •Construcción•del Modelo

•Construcción•del Modelo

• • •Recogida•de Datos

•Recogida•de Datos

• • •Diseño del Modelo•Conceptual

•Diseño del Modelo•Conceptual

Procedimiento de simulaciónProcedimiento de simulación

• • •Formulación•del Problema

•Formulación•del Problema

•1• •

•Verificación•y Validación

DefinicionesDefiniciones

Sistema: Es un conjunto de variables que interactúan entre sí, dentro de ciertos límites para lograr un objetivo

Modelo: Es una representación de los objetos del sistema y refleja de manera sencilla las actividades en las cuales esos objetos se encuentran involucrado.

Simulación: desarrollo de un modelo lógico-matemático de un sistema de tal forma que se obtiene una imitación de la operación de un procesos de la vida real.

Simulación y análisis de modelos Simulación y análisis de modelos estocásticosestocásticos

•Formulación del modelo

•Determinación de números aleatorios

•Generación de variables aleatorias

•Validación de los resultados

•Utilizar un lenguaje de comunicación

ModeloModelo

DesarrolloDesarrollo

Principios:

Kolmogorov SmirnoKolmogorov Smirno

Aplicación Aplicación

Pruebas estadísticasPruebas estadísticas

Para que un paquete de números aleatorios sean aceptados debe cumplir con cuatro pruebas estadísticas:

• Prueba de la media• Prueba de la varianza• Prueba de la forma• Prueba de la independencia

Basta que una de las pruebas no se cumpla para desechar el paquete de números aleatorios

Generación de Números Aleatorios

• Definición intuitiva: Una sucesión de números aleatorios puros, se caracteriza por que no existe ninguna regla o plan que nos permita conocer sus valores.

• Los números aleatorios obtenidos a través de algoritmos recursivos se llaman pseudo-aleatorios.

• Dos tipos:– Hardware o físicos: El primero corresponde a un

dispositivo físico que cuenta con fuentes externas como por ejemplo los tiempos de desgaste de un material radiactivo ( Carbono 14) o los ruidos electrónicos (blanco, gaussiano) de dispositivos para generar números aleatorios, etc.

– Algorítmicos: es un programa determinístico, finito y autónomo, que genera resultados a partir de una semilla. Los números aleatorios generados por un RNG algorítmico son llamados pseudo-aleatorios.

Generador RANDU

• El generador RANDU fue introducido a principios de los

60 por IBM:

• A continuación se representan los resultados obtenidos:

• Para generar números pseudo-aleatorios U(0,1) se tiene que dividir

311 2mod)65539( nn xx

Generador RANDU

• Histograma de generador RANDU, para muestra de 1000 números.

Generador RANDU

• Representación de los números, en 2-D

Caso RANDU

• Representación en 3-D ordenada

•Claramente se puede apreciar el agrupamiento de los números en 15 planos paralelo

• Métodos de Generación de Números Aleatorios

• 1.- Método de los cuadrados medios• 2.- Métodos Congruenciales• 3.- Método de registros desfasados

Pruebas estadísticasPruebas estadísticas

Prueba de las mediasPrueba de las medias

Prueba de la varianzaPrueba de la varianza

Prueba de la formaPrueba de la forma

Principios:

Prueba de la formaPrueba de la forma

- Universidad de Santiago de Chile

Tabla χ2

Prueba de la independenciaPrueba de la independencia

Principios:

Prueba de la corridaPrueba de la corrida

Función transformadaFunción transformada

Principios:

Generación de variables aleatoriasGeneración de variables aleatorias

Principios:

Proyectar resultadosProyectar resultados

Números aleatoriosNúmeros aleatorios

Principios:

tiago de Chile

Proyección óGeneración de Variable aleatoria

Validación y estabilizaciónValidación y estabilización

Cálculo del número de simulaciones

N = m2 /α α= probabilidadDe error permitida

(1/m)=N° Desviación estándar

ejemploejemplo

Principios:

Validación replicasValidación replicas

Usando computadores para simular

• Lenguajes de propósito general (C++,Java)– Tedioso, bajo nivel, propenso a error– Pero, permiten la flexibilidad completa

• Paquetes de soporte– Subrutinas para procesar listas, archivamiento,

avance de tiempo

• Hojas electrónicas– Usualmente modelos estáticos– Escenarios financieros, muestreo de distribuciones

Determinación de un modeloDeterminación de un modelo

Los siguientes números históricos fueron obtenidos en una práctica, por un estudiante de ingeniería civil de minas, estudiando el Tiempo de ciclo de los camiones de transporte de mineral. 32 32 34 29 28 35 36 30 28 29 31 32 34 29 28 35 36 40 28 29 27 25 35 36 38 28 29 30 32 34 29 28 35 36 38 28 29 27 35 36 30 28 28 35 36 30 28 29 30 32 34 29 28 35 36 39 28 29 27 26 35 36 33 24 29 34 27 Construya un histograma (dibuje) y determine si los datos a un nivel de confianza de 1-=95% se comportan como una distribución normal, utilizando la prueba de ajuste de Kolmogorov Smirnov,

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