Modelamiento de Sistemas Dinamicos Dr. Jorge A. Olórtegui Yume, Ph.D.

Lecture No 6

Escuela Académico Profesional de Ingeniería Mecánica

Universidad Privada Cesar Vallejo

MODELADO DE ELEMENTOS TIPO RESORTE

(Continuacion)

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 2 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos

RESORTES NO LINEALES

RESORTE LINEAL (Ley de Hooke)

Relación funcional entre Fuerza y Deformación distinta a la Ley de Hooke

RESORTE NO LINEAL

F = kx

Comportamiento

Lineal - F = kx

Comportamiento

No Lineal Zona en que se

puede linealizar

el resorte no lineal

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 3 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos

RESORTES NO LINEALES Ejemplo

Solución

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 4 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos

RESORTES NO LINEALES Solución

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 5 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos

RESORTES NO LINEALES Solución

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 6 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos

RESORTES NO LINEALES Ejemplo

Solución

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 7 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos

RESORTES NO LINEALES Solución

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 8 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos

RESORTES IDEALES Y REALES MODELADO DE SISTEMAS MASA RESORTE

• No tiene masa • No posee propiedades de amortiguamiento • Puede aproximar a un resorte real cuando su masa es despreciable

frente a la masa del cuerpo/sistema conectado

Equation of Motion

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 9 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos

MODELADO DE SISTEMAS MASA RESORTE

Equation of Motion

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 10 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos

MODELADO DE SISTEMAS MASA RESORTE

Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 11 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos

MODELADO DE SISTEMAS MASA RESORTE

12

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

•Initially disturbed, then allowed to vibrate freely

•Damping is neglected, i.e. no friction, no dashpots, thus energy preserved

13

•Initially disturbed, then allowed to vibrate freely

•Damping is neglected, i.e. no friction, no dashpots, thus energy preserved

The mass-spring system m: mass – “Inertia” (kg)

a) Define SEP & (+)x displacement

SEP

x

b) Draw FBD @ (+)x displacement

c) Apply Dynamics (Newton’s 2nd law)

k: spring constant – “Stiffness” (N/m)

mgW

kxFs

W: weight (N)

Fs: Spring force (N)

xmF

xmkxxmFs

Fs opposed to “x”

Force

Force

0

kxxm EOM: Eq. Of Motion

d) Solve EOM Gen. solution or Response tXtx nsin

m

kn ωn: Natural Freq. (rad/s)

X: Amplitude (m)

: Phase (rad)

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

14

The mass-spring system (cont´d)

Solution to EOM

0

kxxm2nd order, Linear, Homogeneous, Ordinary Diff. equation

tXtx sin

Trial solution

tXtx cos

tXtx sin2

Mapping into EOM

0sinsin2 tXktXm

0sin 2 kmtX

0sin 2 mktX

0

,...2,1,0,0sin

00

2mk

relevantnotnntt

solutiontrivialtxX

m

k2

i.e.,

tXtx sin

Is a solution to EOM

if

m

k2

m

kn

Frecuencia Natural (rad/s)

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

15

The mass-spring system

Solution to EOM (cont´d)

0

kxxm tXtx nsin

One solution is

Superposition principle for linear, ordinary differential equations

Another solution is

tXtx ncos

tCtCtx nn cossin 21 General solution to

EOM (1st form)

Transforming

t

CC

Ct

CC

CCCtx nn cossin

2

2

2

1

2

2

2

2

1

12

2

2

1

ttXtx nn cossinsincos

tXtx nsinGeneral solution to

EOM (2nd form)

2

2

2

1 CCX

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

16

The mass-spring system

Solution to EOM (cont´d)

0

kxxm

tXtx nsin

In general, the following are all solutions or responses to the EOM

tXtx ncos

tCtCtx nn cossin 21

tXtx nsin

tXtx ncossen :

rad/sen :

men :C,C

men :X

men :x

(S.I.) System Unit nalInternatio

n

21

t

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

17

Observations

i) 2 ways of expressing the EOM

0

kxxm

00011

2

xm

kxx

m

kx

mkxxm

m

02

xx nStandard form of the EOM

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

18

Observations

ii) 2 ways of expressing the EOM solution 02

xx n

tXtx nsin tCtCtx nn cossin 21

C1, C2: Constants X, : Constants

Apply IC’s (i.e., t=0) to find constants in both cases. Assuming:

EOM Sol’n EOM Sol’n

oo vxxx

0;0

sin0sin0 XxXx on

X

xo1sin

tXtx nn cos

cos0cos0 nonn XvXx

cosn

ovX

0cos0sin0 21 nn CCx

2Cxo

tCtCtx nnnn sincos 21

0sin0cos0 21 nnnn CCx

no Cv 1n

ovC

1

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

19

Special case Vertical mass-spring system a) Define SEP & (+)y displacement

SEP +y

b) Draw FBD @ (+) y position

y c) Apply Dynamics

ymF

ymkyymFs

0

kyym EOM

d) Solve EOM

Response tYty nsin

m

kn

ωn: Natural Freq. (rad/s)

Y: Amplitude (m) : Phase (rad)

No need to draw W=mg if:

•“y” measured From SEP

•“mg” is not restoring force

Static offset (dst) “ωn” experimentally

From Statics

00 mgkF std

st

g

m

k

dst

n

g

d

FBD @ SEP

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

20

Plots, Period and Frequency

SEP +y y

tYty nsin

A=10mm

t=6 s

Period (t) Time between 2 correspondent points

tt 2sinsinsinsin tttYtYty nnnnnt 2n

n

t

2 s.en :t s6

3/

2

tsradn /

39

2

kgm

mNk

9

/2

Frequency (f) No. of oscillations per unit time

2nf (Hertz). Hzns/soscillatioen : f t

1f Hz

sf 167.0

6

1

Example:

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

21

Plots, Period and Frequency tYty nsin

y

Y

Y

t Ysin

m

kn

n

t

2

t n

t

sin0 Yy

t

1f fn 2

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

22

Brief Review on Dynamics For particle systems, rigid bodies of constant mass, and plane motion

1F 2F

3Fcr

1r

RFca

CMRi amFF

PPRiii IMFxrM

P

Resultant Force of external forces (N)

Resultant Moment of external forces (N.m)

Absolute acceleration of “C.M.” (m/s2)

Mass moment of Inertia about “P” (kg.m2)

Angular acceleration of rigid body (rad/s2)

Mass of rigid body (kg)

RF

CMCM ra

m

PRM

PI

NOTE: “P” must be:

•C.M.

•Fixed point

( & ) 0v 0a

Paralell axis theorem

known CMI

2mdII CMP

Example: Concentrated mass

2mdII CMP

0

2mdIP

Kinematics of rolling

rxa

rxv

rxs

(rad/s2)

(rad/s)

(rad)

a

v

x

(m/s2)

(m/s)

(m)

)(mr

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

23

Example

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

24

Example

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

25

Example VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

26

Example VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

27

Example: (Simple pendulum) Derive the EOM for the oscillating mass. Determine also the EOM general solution and natural frequency

a) SEP & (+) Solution:

b) FBD @ arb. pos.

SEP

I=

Kinematics diagram

c) EOM - Dynamics

AA IM

2sin0 mLLWT

2sin mLLmg

0sin2

mgLmL

0

eqeq km

Some non-linear ODEs have explicit solns.

EOM

c) EOM Solution

Aeq ImLm 2 mgLkeq

Non-linear ODE, 2nd Order, Homogeneous

t

Small “θ”, Non-linearLinear (Linearization)

EOM sin 02

mgLmL

Series soln. for

Take series 1st term OR solve as before

tt nsin

View as

: Angular amplitude (rad)

Response to EOM

eq

eq

nm

k

L

gn

srad

m

sm

n

n

/429.4

5.0

/81.9 2

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL

28

VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL

~~~~~0

xKxM

EDM

•Mas facil de analizar

•Base para sistemas mas complejos de 2-GDL

Hallar Frecuencias Naturales y Modos Normales

00

000~~

C ~~0

0

0

tF

Resolver EDM

22

2

211

1

1

2

1

~sin

1sin

1

tCtC

tx

txtx

22

11

1,

1

22

~

11

~

uu

Soln. de EDM (Respuesta )

C1, C2 , 1, 2 obtenidas de CI´s

METODO: Analisis de Formas de Modos Normales

2

1

~ 0

0

m

mM

22

221

~ kk

kkkK

EJEMPLO TEORICO

1, 2 :Frec. naturales

1, 2 :Eigenvalores

u(1), u (2): Modos Normales

1, 2: Const. de Normalizacion

29

VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.

SOLUCION

• PASO 4: Aplicar CI’s para determinar C1, C2,1, 2

•PASO 1: Determinar EDM (i.e., Matrices “M” y “K”)

•PASO 2: Determinar Frecuencias Naturales & Formas Modales

(i.e., Eigenvalores/Eigenvectores)

• PASO 3: Soluc.=Combin. Lineal Modos Normales de Oscilac.

•PASO 1: Determinar EDM

PES, Aplicar desplazam. (+), “foto”, DCL

Dinámica

Definir Sistema de Ecuaciones

Expresar en forma matricial

1121211

xmxxkxk

22212

xmxxk

02212111

xkxkkxm

0221222

xkxkxm

11 xmF

22 xmF

00 22121211

xkxkkxxm

00 2212221

xkxkxmx

0

0

0

0

2

1

22

221

2

1

2

1

x

x

kk

kkk

x

x

m

m

~~~~~0

xKxMEDM

2

1

~ 0

0

m

mM

22

221

~ kk

kkkK

Para “m1”

For “m2”

Asumir

21 xx

EDM

1

1

Matrices de Masa(M) & Rigidez (K)

30

VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.

•PASO 2: Determinar Frecuencias Naturales & Formas Modales

~~~~~0

xKxMEDM

Soluc. Tentativa (Mov. Síncrono)

tutx sin~~

t

A

A

tx

txsin

2

1

2

1

tutx

tutx

sin

cos

~

2

~

~~

Reempl. en EDM

xxx ,,

~~~~

2

~0sinsin tuKtuM

~~~

2

~0sin tuMK

...3,2,1;0sin nntt

No es relevante

~~~

2

~0 uMK “Problema de Eigenvalor”

Obtener ,~u

~~~000 u Soluc. Trivial

~

2

~MK Singular 0

~ u Soluc. No-trivial

0det~

2

~ MK

00

0det

2

1

22

221

m

m

kk

kkk

2

0det

222

2121

mkk

kmkk

~

2

~MK Singular

Sea

Obtener soluc. a EDM

02112221

2

21 kkmkmkkmm

“Ecuación Caracteristica”

Salida 2

22

2

11

ó

31

VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.

•PASO 2: Determinar Frecuencias Naturales & Formas Modales (cont.)

2

22

Conocidas ω1, ω2 , reempl. en Problema de Eigenvalor” p´hallar formas modales

2

11 ~~

1

~1

~0uMK

~~

2

~2

~0uMK

0

0

1

2

1

2122

21121

1

A

A

mkk

kmkk

1121

2

1

2

1

11

22

1

11121 0mkk

k

A

AAkAmkk

2

212

1

2

1

11

2212

1

12 0k

mk

A

AAmkAk

1

2

212

1121

2

1

2

1

1

k

mk

mkk

k

A

A

1

11

21

2

1

11

~

A

A

Au

1

11

~

u

FORMA DE MODO NORMAL “1” (Eigenvector “1”)

Tomar 11

2 A

2

2

222

1221

2

2

2

2

1

k

mk

mkk

k

A

A

1

22

22

2

2

12

~

A

A

Au

1

22

~

u

12

2 A

Repetir procedim.

Mismo valor cuando “1” reempl.

Cociente de Amplitudes

Cociente de Amplitudes

i.e., Normalizar r.d. 1

2A

FORMA DE MODO NORMAL “2” (Eigenvector “2”)

Tomar i.e., Normalizar r.d. 2

2A

32

VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.

• PASO 2 : Determinar Frecuencias Naturalesy Formas Modales (cont.)

1

11

~

u

FORMA DE MODO NORMAL “1” (Eigenvector “1”)

1

22

~

u

FORMA DE MODO NORMAL “2” (Eigenvector “2”)

11

1

11

1

~

1

2

1sin

1sin

ttutx

tx

22

2

22

2

~

2

2

1sin

1sin

ttutx

tx

Modo Normal de oscilacion “1”

Modo Normal de oscilation “2”

tutx sin~~

Recordar:

Soln. tentativa

33

VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.

2

22

2

11

1

11

~

ucon

1

22

~

u

• PASO 3: Solucion General = Combinacion Lineal de modos normales de oscilacion

22

2

~211

1

~1

2

1

~sinsin

tuCtuC

tx

txtx

EDM tutx sin~~

~~~

2

~0uMK

Ó

t

A

A

tx

txsin

2

1

2

1

Soln. tentativa llevo a:

con

2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

~

tx

txC

tx

txC

tx

txtx

11

1

1

2

1sin

1

ttx

tx

22

2

2

2

1sin

1

ttx

tx

Combinación Lineal de modos normales de oscilación

22

2

211

1

1

2

1

~sin

1sin

1

tCtC

tx

txtxSolución General p´ EDM

11

22

Frec. Naturales Formas de Modo Normales

Modos Normales de Oscilación

Recordar Soln. Tentativa

~~~~~0

xKxM

34

VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.

22

2

211

1

1

2

1

~sin

1sin

1

tCtC

tx

txtx

Solucion General p´EDM (ω1, ω2, 1, 2 conocidos de PASOS previos)

EDM ~~~~~0

xKxM Definir CI’s :

2

1

2

1

~ 0

00

o

o

x

x

x

xx

2

1

2

1

2

1

~0

00

o

o

o

o

v

v

x

x

x

xx

0~

x

Aplicar: 0~x

22

2

211

1

1

2

1

~0sin

10sin

10

CC

x

xx

o

o

2121 ,,, oooo vvxx Son valores conocidos

22112

2221111

sinsin

sinsin

CCx

CCx

o

o

•PASO 4: Aplicar CI’s p´ determinar C1, C2,1, 2, esto es, hallar Solución Particular

22

2

2211

1

11

2

1

~cos

1cos

1

tCtC

tx

txtx

Aplicar:

22

2

2211

1

11

2

1

~0cos

10cos

10

CC

v

vx

o

o

2221112

222211111

coscos

coscos

CCv

CCv

o

o

Resolver sistema de 4 ecuaciones

(Caso mas complejo)

Vectores Desplazamiento y Velocidad inicial

35

EJEMPLO: Dado el siguiente sistema vibratorio de 2 grados de libertad,

determinar:

(a) Su Ecuación de Movimento (EDM)

(b) Sus frecuencias naturales

(c) Sus modos normales de vibración

(d) Su respuesta en forma general

(e) Su respuesta para las siguientes condiciones iniciales:

0

00;

00 x

Ax

36

SOLUCION

37

EJEMPLO: Considerar el siguiente sistema de 2-GDL. (a) Las frecuencias naturales del sistema (b) Los modos normales de vibración

(c) Su respuesta en forma general

(d) Su respuesta para las siguientes condiciones iniciales:

m=1 kg y k=1 N/m

0

03

40

0

2

1

2

1

x

x

kk

kk

x

x

m

m

0

00;

00 x

Ax

38

EJEMPLO: La vibración torsional del ala de un avión se modela mediante dos ejes y dos discos a) Halle las ecuaciones de movimiento identificando , y b) Verificar que la 2da forma de modo normal y su frecuencia natural correspondiente son:

1

593.02

~u

22

2 /1186.3 sJ

k

~M

~K

Nota: J1 y J2 son los momentos de inercia másico de las ruedas y k1, k2 son las constantes torsionales elásticas

39

EJEMPLO: