ECUACIONES DIFERENCIALESMÉTODO DE VARIACIÓN DE PARAMETROS.

Prof: Francisco Arias Dominguez

Consideremos la EDO de segundo orden

y00 + P (x)y0 +Q(x)y = f(x) (1)

El método consiste en buscar una solución de la forma

yp(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) (2)

donde y1, y y2 son dos soluciones L:I: de la ED homogénea asociada yu1, u2 son dos funciones a determinar de modo que (2) sea una soluciónde (1) y satisfagan una condición arbitraria, pero seleccionada de talforma que se simpliquen los cálculos.Derivando (2) tenemos

y0p = u01y1 + u1y01 + u

02y2 + u2y

02

= (u1y01 + u2y

02) + (u

01y1 + u

02y2):

Podemos simpli�car esta expresión, imponiendo a u1 y u2 la condiciónde que

u01y1 + u02y2 = 0.

En tal casoy0p = u1y

01 + u2y

02

y por consiguiente

y00p = u01y01 + u1y

001 + u

02y02 + u2y

002 :

Sustituyendo las expresiones yp, y0p y y00p en (1), y usando el hecho de que

y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial homogénea, resulta

u01y01 + u

02y02 = f(x).

Así, buscamos una solución particular de la forma (2), con u1, u2 funciones

1

que satisfacen las ecuaciones8<:u01y1 + u

02y2 = 0 (3)

u01y01 + u

02y02 = f(x): (4)

Es fácil resolver el sistema de ecuaciones (3)� (4) para las incognitas u01y u02, empleando la regla de Cramer. Obtenemos

u01 = �y2(x)f(x)

W (y1; y2); u02 =

y1(x)f(x)

W (y1; y2)(5)

donde W (y1, y2) denota el wronskiano de y1 y y2.Finalmente, integrando las expresiones (5) resulta

u1 = �Zy2(x)f(x)

W (y1; y2)dx; u2 =

Zy1(x)f(x)

W (y1; y2)dx: (6)

Sustituyendo (6) en (2) se obtiene la solución particular deseada.

EJERCICIOS:I) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por elMétodo deVariación de Parámetros.

1) d2ydx2+ y = cotx;

Rta: y = C1 cosx+ C2 sin x+ sinx [ln jcsc x� cotxj]

2) d2ydx2+ y = secx

Rta y = C1 cosx+ C2 sin x+ cosx ln jcosxj+ x sin x

3) d2ydx2+ 4y = sec2 2x

Rta y = C1 cos 2x+ C2 sin 2x+sin 2x4ln jsec 2x+ tan 2xj � 1

4

4) d2ydx2+ 4 dy

dx+ 5y = e�2x sec x

Rta y = e�2x [C1 cosx+ C2 sin x] + xe�2x sin x+ ln jcosxj e�2x cosx

5) d2ydx2� 2 dy

dx+ y = xex lnx

Rta y = C1ex + C2xe

x � 5x3ex

36+ x3ex lnx

6

6) d2ydx2� 2 dy

dx+ y = ex sin�1 x

Rta y = C1ex + C2xe

x + ex sin�1 x4

+ x2ex sin�1 x2

+ 3xexp1�x24

2

7) d2ydx2+ 3 dy

dx+ 2y = 1

1+ex

Rta y = C1e�x + C2e

�x + (e�x + e�2x) ln(1 + sinx)

8) d2ydx2+ y = 1

1+sinx

Rta y = C1 cosx+ C2 sin x+ sinx [ln j1 + sinxj]� x cosx� cos2 x1+sinx

II) Resuelva1) Hallar la soluciòn general de

x2d2y

dx2� x(x+ 2)dy

dx+ (x+ 2)y = x3;

sabiendo que y = x es una soluciòn de la correspondiente ecuaciónhomogenea.2) Hallar la soluciòn general de

x(x� 2)d2y

dx2� (x2 � 2)dy

dx+ 2(x� 1)y = 3x2(x� 2)2ex

sabiendo que y = x2 es una soluciòn de la correspondiente ecuaciónhomogenea.

3) Hallar la soluciòn general de

(2x+ 1)(x+ 1)d2y

dx2+ 2x

dy

dx� 2y = (2x+ 1)2

sabiendo que y = x es una soluciòn de la correspondiente ecuaciónhomogenea.

4) Hallar la soluciòn general de

sin2 xd2y

dx2� 2 sinx cosxdy

dx+ (cos2 x+ 1)y = sin3 x

sabiendo que y = sinx es una soluciòn de la correspondiente ecuaciónhomogenea.

3