Método de Variación de Parámetro
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ECUACIONES DIFERENCIALES MTODO DE VARIACIN DE PARAMETROS. Prof: Francisco Arias Dominguez Consideremos la EDO de segundo orden y 00 + P (x)y 0 + Q(x)y = f (x) (1) El mØtodo consiste en buscar una solucin de la forma y p (x)= u 1 (x)y 1 (x)+ u 2 (x)y 2 (x) (2) donde y 1 ,y y 2 son dos soluciones L:I: de la ED homogØnea asociada y u 1 , u 2 son dos funciones a determinar de modo que (2) sea una solucin de (1) y satisfagan una condicin arbitraria, pero seleccionada de tal forma que se simpliquen los cÆlculos. Derivando (2) tenemos y 0 p = u 0 1 y 1 + u 1 y 0 1 + u 0 2 y 2 + u 2 y 0 2 = (u 1 y 0 1 + u 2 y 0 2 )+(u 0 1 y 1 + u 0 2 y 2 ): Podemos simplicar esta expresin, imponiendo a u 1 y u 2 la condicin de que u 0 1 y 1 + u 0 2 y 2 =0. En tal caso y 0 p = u 1 y 0 1 + u 2 y 0 2 y por consiguiente y 00 p = u 0 1 y 0 1 + u 1 y 00 1 + u 0 2 y 0 2 + u 2 y 00 2 : Sustituyendo las expresiones y p , y 0 p y y 00 p en (1), y usando el hecho de que y 1 y y 2 son soluciones de la ecuacin diferencial homogØnea, resulta u 0 1 y 0 1 + u 0 2 y 0 2 = f (x). As, buscamos una solucin particular de la forma (2), con u 1 , u 2 funciones 1
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ECUACIONES DIFERENCIALESMÉTODO DE VARIACIÓN DE PARAMETROS.
Prof: Francisco Arias Dominguez
Consideremos la EDO de segundo orden
y00 + P (x)y0 +Q(x)y = f(x) (1)
El método consiste en buscar una solución de la forma
yp(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) (2)
donde y1, y y2 son dos soluciones L:I: de la ED homogénea asociada yu1, u2 son dos funciones a determinar de modo que (2) sea una soluciónde (1) y satisfagan una condición arbitraria, pero seleccionada de talforma que se simpliquen los cálculos.Derivando (2) tenemos
y0p = u01y1 + u1y01 + u
02y2 + u2y
02
= (u1y01 + u2y
02) + (u
01y1 + u
02y2):
Podemos simpli�car esta expresión, imponiendo a u1 y u2 la condiciónde que
u01y1 + u02y2 = 0.
En tal casoy0p = u1y
01 + u2y
02
y por consiguiente
y00p = u01y01 + u1y
001 + u
02y02 + u2y
002 :
Sustituyendo las expresiones yp, y0p y y00p en (1), y usando el hecho de que
y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial homogénea, resulta
u01y01 + u
02y02 = f(x).
Así, buscamos una solución particular de la forma (2), con u1, u2 funciones
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que satisfacen las ecuaciones8<:u01y1 + u
02y2 = 0 (3)
u01y01 + u
02y02 = f(x): (4)
Es fácil resolver el sistema de ecuaciones (3)� (4) para las incognitas u01y u02, empleando la regla de Cramer. Obtenemos
u01 = �y2(x)f(x)
W (y1; y2); u02 =
y1(x)f(x)
W (y1; y2)(5)
donde W (y1, y2) denota el wronskiano de y1 y y2.Finalmente, integrando las expresiones (5) resulta
u1 = �Zy2(x)f(x)
W (y1; y2)dx; u2 =
Zy1(x)f(x)
W (y1; y2)dx: (6)
Sustituyendo (6) en (2) se obtiene la solución particular deseada.
EJERCICIOS:I) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por elMétodo deVariación de Parámetros.
1) d2ydx2+ y = cotx;
Rta: y = C1 cosx+ C2 sin x+ sinx [ln jcsc x� cotxj]
2) d2ydx2+ y = secx
Rta y = C1 cosx+ C2 sin x+ cosx ln jcosxj+ x sin x
3) d2ydx2+ 4y = sec2 2x
Rta y = C1 cos 2x+ C2 sin 2x+sin 2x4ln jsec 2x+ tan 2xj � 1
4
4) d2ydx2+ 4 dy
dx+ 5y = e�2x sec x
Rta y = e�2x [C1 cosx+ C2 sin x] + xe�2x sin x+ ln jcosxj e�2x cosx
5) d2ydx2� 2 dy
dx+ y = xex lnx
Rta y = C1ex + C2xe
x � 5x3ex
36+ x3ex lnx
6
6) d2ydx2� 2 dy
dx+ y = ex sin�1 x
Rta y = C1ex + C2xe
x + ex sin�1 x4
+ x2ex sin�1 x2
+ 3xexp1�x24
2
7) d2ydx2+ 3 dy
dx+ 2y = 1
1+ex
Rta y = C1e�x + C2e
�x + (e�x + e�2x) ln(1 + sinx)
8) d2ydx2+ y = 1
1+sinx
Rta y = C1 cosx+ C2 sin x+ sinx [ln j1 + sinxj]� x cosx� cos2 x1+sinx
II) Resuelva1) Hallar la soluciòn general de
x2d2y
dx2� x(x+ 2)dy
dx+ (x+ 2)y = x3;
sabiendo que y = x es una soluciòn de la correspondiente ecuaciónhomogenea.2) Hallar la soluciòn general de
x(x� 2)d2y
dx2� (x2 � 2)dy
dx+ 2(x� 1)y = 3x2(x� 2)2ex
sabiendo que y = x2 es una soluciòn de la correspondiente ecuaciónhomogenea.
3) Hallar la soluciòn general de
(2x+ 1)(x+ 1)d2y
dx2+ 2x
dy
dx� 2y = (2x+ 1)2
sabiendo que y = x es una soluciòn de la correspondiente ecuaciónhomogenea.
4) Hallar la soluciòn general de
sin2 xd2y
dx2� 2 sinx cosxdy
dx+ (cos2 x+ 1)y = sin3 x
sabiendo que y = sinx es una soluciòn de la correspondiente ecuaciónhomogenea.
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