Post on 08-Mar-2016
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Universidad Galileo
Maestra de Investigacin de Operaciones
Programacin No Lineal
Algoritmos para optimizacin restringida
Josu Caleb Cordn Oliva
Guatemala, 15 de diciembre de 2015
Introduccin
En el presente proyecto se explicarn 2 algoritmos de optimizacin restringida para resolver
problemas de programacin no lineal y tambin las aplicaciones en las cuales estos algoritmos se
encuentran involucrados.
Penalty Methods
El penalty methods soluciona una secuencia de problemas de optimizacin sin restricciones
cuando la solucin es usualmente infactible en el problema original con restricciones.
Consideremos el problema
: () . . () = 0
Donde g(x) es un vector i-esimos gi(x), asumimos que todas las funciones son continuas y
diferenciables 2 veces.
La penalizacin para violacin de restricciones son funciones continuas () que cumple con las
siguientes propiedades.
() = 0 () > 0
Es posible definir una penalizacin de esta forma
() =1
|()|
=1
Donde >0 , definimos una funcin de penalizacin de la siguiente forma, sumando un trmino
a f
= () + ()
El mtodo consiste en resolver una secuencia de problemas sin restriccin que toman la forma de
la funcin de penalizacin
: ()
El mnimo de la funcin de penalizacin no cumple con las condiciones g(x)=0, es decir se
encuentra fuera de la regin factible, pero gradualmente es forzado a entrar a la regin factible.
Este mtodo puede ser usado en la optimizacin de algoritmos de compresin de imgenes usando
la funcin de penalizacin para seleccionar la mejor zona de compresin de colores a un valor
representativo.
Mtodo del gradiente proyectado
Este mtodo es utilizado para resolver problemas con restricciones de cotas, estos problemas tienen
la siguiente forma.
min: () s.a.
para : continua y diferenciable , , .
Consideremos en siguiente problema
min: () s.a. 0
Como cualquier punto factible es regular tenemos que, si x* es el minimizador del problema
entonces existe 0 tal que
() = ()
=1
= 0
Notar que si la iesima restriccin esta activa entonces se obtiene que
() = , si iesima
restriccin esta inactiva entonces = 0 entonces
() = 0, si x* es un minimo local del
problema entonces se cumple
() = 0 si
> 0
() = 0 si
= 0
Dado = { : 0}, se define la proyeccin de un punto x sobre como el vector = () cuyas componentes son
= {0, < 0
, 0
Algoritmo
1. Dado x0 inicial. En un hacer los siguientes pasos:
2. Calcular
= () = () =
Si = 0 parar Si no, hacer bsqueda de Armijo en la direccin en la direccin dk
3. Definir t=1
Si ( + ) () + 1(), entoces (I)
a) Si + definir tk = t e ir al paso 2 b) Si no, hacer t = t/2 e ir a (I)
Referencias
Linear and Nonlinear Optimization SECOND EDITION, Igor Griva Stephen G. Nash Ariela Sofer
http://www.ing.una.py/pdf/umalca.pdf