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7/23/2019 Metodo de Los Coeficientes Indeterminados_16!5!2014
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Metodo de los coefcientes Indeterminados
g(x) La solucin particular de (1)
(x)
Pm(x) xk
Pm(x)0
eax Pm(x) xk
eax Pm(x) a
Pm(x)cos(x) + Qn(x) xk[P
r(x)
cos(x)
+
Q
r(x)
i
eax[Pm(x)cos(x) + Qn(x) xk
eax[ Pr(x)cos(x)+ a + i
r = mximo{m, n!
k = "rden de multiplicidad del elemento de la terceracolumna, como ra#$ del polinomio caracter#stico!
Pm(x)=%olinomiogeneralde grado m! Pr(x) =%olinomio general de grador! Qr(x) = %olinomiogeneraldegrador!
i &s la 'nidad Imaginaria!
&emplo 1! *allar la solucin general de
yrr yr + y = sen(x)
----!!(.)
La solucin general de la ecuacin no /omognea(.) es
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y (x) = ce x cos 3x) + c1 1
H 12 (
22
e x sen (2
2 3x) , c , c12
constantes aritrarias! ------(!)
2 (x) = yH(x) + T(x)----!!(y)
%rimero /allamos yH(x)3 para elloestudiamos la &cua4 cin *omogneade (.): yrr yr + y = 0----!(I)
i) %olinomio 5aracter#stico6 r2 r + 1 = 0
Las
ra#ces 6 r1
=
1+
3i, r
=2 2
1
3I, ra#ces
compleo2 2
conugadas!(%'&7 estamos siempretraaando con5"&8I5I&9:&7 ;&ase )
La solucin %articularT(x) de la ecuacin 9o
*omognea (.)!Lo /acemos por el M&:"?" ?& L"75"&8I5I&9:&7I9?&:&;MI9
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%ara ello Miramos si la g(x) de (.) est en latala!
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@emos Aue si Aue est en la tercera fla3 le
damos la 8ormag(x) = sen(x), le damos la
orma de la tercera fla (al g(x))
g(x) = sen(x) + 0 cos(x), 3 = 3
%ero = P!, es un polinomio de grado 0 (5&;") B:odas
las constantes sonpolinomios de grado 5&;")
0 = P" eL %olinomio 9ulo es por 5onCencinde grado #! r= mximo {0, # = 0,entonces, r =0!
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&sta es la solucin particular de la ec no/omognea planteada (.)
) 5lculo de los coefcientes Indeterminados < 2>!
5"M" TP(x) = [%cos(3x) + > sen( 3x) $ &7 7"L'5I"9 ?&(.) 3 7
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rr (x) Tr (x) + T (x) = sen(x) ---!! (
')
*acemos los
calculosTrr
?e (&) otenemos6
(x), y Tr (x)
Tr (x)= 3% en(3x) + > cos(x) ---(II)
rr (x) = J < cos (x) J > sen(x)---!(III)
;eempla$ando (&), (II), 2 (III) en (') tenemos6
rr (x) Tr (x) + T (x) = sen(x)
J < cos (x) J > sen(x) B3% en(3x) + >cos(x)K + %cos(3x) + > sen( 3x) = sen(x)7implifcando el lado i$Auierdo de la igualdad Aueda6
( ) cos (x) + ( > + ) cos (x) + ( > + < ) sen (x)= 0cos (x) + sen(x)?e la igualdad se tiene elsistema ,
*% 3 = !
* + 3% = 2;esolCiendo el sistema
tenemos > = 1
-3
2 < = !
-3
;eempla$ando en ----(&)Luego la solucin particular de (.) utili$ando el mtodode los coefcientes
indeterminados es! 1
TP(x) = -3 cos(3x) -3 en (3x)---!! (%)
T .
.
.
.
.
T.
T ..
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;eempla$ando (%) 2 () en (y)
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2 (x) = ce x cos 3x) + c1
12 (
22
e x sen (2
12 3x) + cos(3x)
-3
1 en (3x), para todo c , c-3 12
constantes aritrarias!
La solucin general de la ecuacin no /omognea(.) es
/a c0nane e aan c0n 40 c0n4ici0ne
iniciae5;esolucin de algunos eercicios de la gu#a!
yrr -yr = (x 1)2--- (.)Lo podemos poner as#
yrr -yr = x2 2x + 1 --!!(..)
g(x) = (x 1)2 = x2 2x + 1 = P2 (x),
polinomio de grado !?e acuerdo a la tala el g(x) est en la primera fla 2 lecorresponde lasolucin particular
T.(x) = xk P2(x), donde P2(x) = < x
2 + x + 6, esun polinomio generalde grado !
= multiplicidad del elemento de la tercera columna dela primera fla, es decir
= multiplicidad del 0 como ra#$ del polinomiocaracter#stico!
%nai7an40 las ra#ces del %5!
r2 4 Nr = 0 8 r (r4N) = 08 r= 0 @ r= N!
5omo r=0 es ra#$ del %olinomio caracter#stico('9 x+ 5 --!!() T.rr(x) = O< x + >---();eempla$ando (), () en (1)6
O< x + > N B< x2 + > x + 5K = x2 2x + 1
O < x + > 1 < x2
1 > x N 5 = x2
2x + 17& 7IM%LI8I5< &L L
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1?e donde =
, 5=
9:
1
393
Luego la solucin particular de (..) esT (x) =
1x3
21
+
x2
+
9:
1 x!
393
L< 7"L'5IG9 D&9&;
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r2 r = ! 8 (r 3) (r + ) = 0 8 r = , r = dos
raices realesdierentes!
H = 1 , pues es una Ce$ ra#$ del%5aracter#stico!
Luego T.(x) = x1 e 3 x % ; ; 5 (
3 x --!(...)5alculo
T.r(x) = 3%x e3x +
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yrr
-yr
+ y = (x 2) e2 x
---! (.)La solucin %articular de (.) , por el Mtodo delos coefcientesIndeterminados!
g (x) = (x 2) e2 xponindolo a la orma de la tala
g (x) = (x 2) e2 x = P1 (x) e2 x , con a = 2 @er lasegunda fla de latala es polinomio conexponencial
T.(x)= xk
eaxP
m(x)
T.(x)=xk
e2xP1(x), donde P1(x)=!
T.(x) = xk e2x[ < x +>K, donde H = multiplicidad del
elemento de la terceracolumna de la tala en la fla segunda
= multiplicidad de a = 2 como ra#$ del%5aracteristico %"LI9"MI" 5
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T.r(x) =< B x2 e2x + e2x
(2x) K + > B x e2x + e2x Ksimplifcando
T.r(x) = < x2 e2x + x e2xB < + >K + > e2x
T.rr(x) =K B x e2x + e2x K+ >e2x K
im.i@can40 T.rr(x)
T.rr(x)= < x2 e2x + B < + < + >K x e2x
+ B K e2x
;eempla$ando en (!')
< x2 e2x + B < + >K x e2x + B K e2x N B
< x2 e2x +
x e2xB < + >K + > e2x $ + O [% x2 e2x + > x e2x K
= x e2 x e2 x
( < 19 % + % )x2 e2x + B < + > 19 % 19
+ O > K x e2x
+ ( - ) e2x = x e2 x e2 x7implifcando
(9 %) x2 e2x + (O < >) x e2x + ( - ) e2x
= x e2 x e2 x%or la Igualdad
9 % = 0 , luego < = 0
O < > = 1
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N > =
&emplo !
yrr + 9 y = x sen (x)
/a 0AciBn .aricAar e 6
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@er la tercera fla , ledo2 la ormag (x) = x
sen (x)le do2 la orma a g(x) , como el la tala tercerafla
T. (x) = xk [Pm(x)cos(x) + Qn(x)
sen(x)$
g (x) = " cos(x) + x sen (x) + ! , = 2 ,
0 = P", m=#,
T = P1(x), polinomio de grado 1, n= 1
r= max{m,n, donde r = mximo {# , 1 = 1
entonces r = 1
T. (x)=xk
[Pr(x) cos(x)+
Qr(x) sen(x)K
>n nAer0 ca0 r = 1, = 2
T. (x)= xk
[
P1(x) cos(2x) +
Q1(x) sen(2x)$
k
H = la multiplicidad de i, es decir 2i del
polinomio caracter#stico!&l polinomiocaracter#stico
r2 + = 0 entonces las
ra#ces son 6 r = i, r= i
/Ae?0 k = 1 , .Ae 2i e rai7 4e caracerCic05
T. (x) = x1 [ (% x + ) cos(2x) + ( 6x +D)sen(2x)$
0 c0e@ciene e Eaanree.a7an40 en a ecAaciBn&ercicio
r= 1
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yrr yr + : y = R ex sen
x