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10/04/2023

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Principio de Inducción

Matemática El principio de inducción matemática, permite demostrar la validez

de proposiciones o fórmulas matemáticas.

1) Por ejemplo: …….. (*)

Una manera de probar esta fórmula, es dando valores particulares para

Para 1=1(1+1)

2

Para

Para

1+2=2(2+1)

2

1+2+3=3 (3+1)

2

10/04/2023 Inducción Matemática

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Vemos que hasta la fórmula (*) es válida, pero queremos verificar que es válida para cualquier entero positivo . Si continuamos este procedimiento no podríamos determinar exactamente la validez de esta fórmula, inclusive podríamos cometer errores al asegurar que si hasta cierto valor se cumple la fórmula, entonces se cumple para cualquier número entero positivo.

Por ejemplo: ¿Es cierto que es un número primo, para todo entero ?

Si seguimos el procedimiento anterior, veremos lo siguiente:

Para : Para : Para :

Con estos valores no podríamos concluir la validez de esta proposición, pus si tomamos , tenemos que el número 4294967297 no es primo pues divisible entre 641.

3 Principio de Inducción Matemática

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Presentamos el principio de inducción matemática, para probar la validez, par todo entero positivo

a) Se comprueba que la proposición dada es válida para el menor valor de

los enteros involucrados.

El método consiste en lo siguiente:

b) Se asume que la proposición es verdadera para un entero positivo

genérico, y luego se debe demostrar que también es válida para el

siguiente número entero, es decir: para

4 Principio de Inducción Matemática.

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Y luego de a) y b), directamente se concluye que la proposición o

fórmula es válida para todo valor .

Apliquemos este método al primer ejemplo:

Para , se cumple pues: 1=1(1+1)

2Asumiendo la validez, para genérico, se tiene que:

10/04/2023 Ejemplo de principio de inducción

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Probaremos que también se cumple para el entero siguiente . Es decir:

veamos:, nos apoyaremos en la validez de la fórmula para

(𝑛+1 ) (𝑛+2 )2

Por lo tanto,

concluimos que la

fórmula (*) se

cumple para todo

6 Un ejemplo más

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2) Dado un número entero , pruebe por el principio de inducción mastemática la siguiente fórmula

1+4+7+…+(3𝑛−2 )=𝑛 (3𝑛−1 )2

Para , se cumple pues: 1=1 (3 (1)−1 )

2

Asumiendo la validez, para genérico, se tiene que:

1+4+7+…+(3𝑛−2 )=𝑛 (3𝑛−1 )2

Probaremos que también se cumple para el entero siguiente . Es decir:

1+4+7+…+(3𝑛−2 )+ (3 (𝑛+1 )−2 )=(𝑛+1) ( 3(𝑛+1)−1 )

2

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Ejemplo del principio de inducción

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1+4+7+…+(3𝑛−2 )+ (3 (𝑛+1 )−2 )=(𝑛+1) ( 3(𝑛+1)−1 )

2

𝑛 (3𝑛−1 )2

+(3 (𝑛+1 )−2)

𝑛 (3𝑛−1 )+2 [3 (𝑛+1 )−2 ]2

𝑛 (3𝑛−1 )+2 [ 3𝑛+3−2 ]2

𝑛 (3𝑛−1 )+2 [ 3𝑛+1 ]2

3𝑛2−𝑛+6𝑛+22

3𝑛2+5𝑛+22

(𝑛+1)(3𝑛+2)2

(𝑛+1)(3 (𝑛+1 )−1)2

Por lo tanto, concluimos

que la fórmula se cumple

para todo

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Notación Factorial. Factorial de un Número

Es el producto de todos los números consecutivos desde la unidad hasta que el número que nos dan inclusive:

Representación Factorial de un Número:

9 Definición de factorial.

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Por ejemplo:

10 Propiedades de las Factoriales

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Propiedades del Factorial

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Ejercicios.

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Notación Sigma. Sumatorias Notables.

14 Sumatorias

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Ejemplos de sumatorias

17 Propiedades de las sumatorias

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Propiedades.

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Propiedades

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Propiedades.

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21 Casos de sumatorias

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