MATRIZMATRIZ

Definición.-Definición.-Se llama Se llama matriz matriz de orden  "mde orden  "m × × n"   a un n"   a un conjunto rectangular de conjunto rectangular de elementos  aelementos  aijij  dispuestos   dispuestos en   m  filas en  n  en   m  filas en  n  columnas.columnas.

El orden de una matriz tam- El orden de una matriz tam- bién se denomina bién se denomina dimensióndimensión o tamaño, siendo m y n nú- o tamaño, siendo m y n nú- meros meros naturales.naturales.Las matrices se denotan Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, con letras mayúsculas: A, B, C, ... C, ... y los elementos de las mis- y los elementos de las mis- mas con letras mas con letras minúsculas y subíndices minúsculas y subíndices que indican el lugar que indican el lugar ocupado: a, b, c, ...ocupado: a, b, c, ...

Un elemento genérico que Un elemento genérico que ocupe la fila  ocupe la fila  ii  y la   y la columna  columna  jj   se escribe    se escribe  aaijij . .

Si el elemento genérico Si el elemento genérico aparece entre paréntesis aparece entre paréntesis también representa a toda también representa a toda la matriz : A = (la matriz : A = (aaijij))

.

MATRICES IGUALES MATRICES IGUALES Dos matrices A= (Dos matrices A= (aaijij))mm××nn  y   y  B = ( B = (bbijij))pp××qq  son iguales, sí   son iguales, sí y solo si, tienen en los y solo si, tienen en los mismo lugares elementos mismo lugares elementos iguales, es decir : iguales, es decir :

  

  

CLASES DE MATRICES CLASES DE MATRICES 1)Matriz fila.-1)Matriz fila.-Aquella matriz Aquella matriz que tiene una sola fila, que tiene una sola fila, siendo su orden  siendo su orden  1×n.1×n.Ejemplo.-Ejemplo.-

2)Matriz columna.-2)Matriz columna.-Aquella Aquella matriz que tiene una sola matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  columna, siendo su orden  m×1.m×1.

Ejemplo:Ejemplo:

3)Matriz nula.-Si todos sus 3)Matriz nula.-Si todos sus elementos son cero. elementos son cero. También se denomina También se denomina matriz cero y se denota por matriz cero y se denota por 0m×n.0m×n.Ejemplo.-Ejemplo.-

4)Matriz transpuesta.-4)Matriz transpuesta.-Dada una matriz  Dada una matriz  AA, se , se llama traspuesta de llama traspuesta de AA a la a la matriz que se obtiene matriz que se obtiene cambiando ordenadamente cambiando ordenadamente las filas por las columnas.las filas por las columnas.Se representa por  Se representa por  AAtt  ó  A  ó  ATT

Propiedades Propiedades Si A y B son matrices y ASi A y B son matrices y Att y yBBtt son las transpuestas, se son las transpuestas, se verifica :verifica :a) (Aa) (Att ) )tt = A = Ab) (Ab) (A + B )+ B )tt = A = Att + B + Btt c) (Ac) (A - B )- B )tt = A = Att - B - Bt t

d) (cAd) (cAtt ) = cA ) = cAtt c c єє R R e) (A B)e) (A B)tt = B = Btt A Att

5)Matriz cuadrada.-5)Matriz cuadrada.- Aquella matriz que tiene Aquella matriz que tiene igual número de filas que igual número de filas que de columnas, m = n, de columnas, m = n, diciendose que la matriz es diciendose que la matriz es de de orden norden n..Diagonal principalDiagonal principal : : son los son los elementos  aelementos  a1111 , a , a2222 , ..., a , ..., annnn    Diagonal secundariaDiagonal secundaria : : son son los elementos  alos elementos  aij ij con   con   i+j = i+j = n+1 n+1

Diagonal principal : Diagonal principal :

Diagonal secundaria : Diagonal secundaria :

6)Matriz simétrica.- 6)Matriz simétrica.- Es una Es una matriz cuadrada que es matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.igual a su traspuesta.A = AA = Att  ,   , aaij ij = = aaji ji     Ejemplo:Ejemplo:

7)Matriz antisimétrica.-7)Matriz antisimétrica.- Es una matriz cuadrada que Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su es igual a la opuesta de su traspuesta.traspuesta.A = -AA = -Att  ,   , aaij ij = = -a-aji ji     Necesariamente  aNecesariamente  aiiii = = 00      Ejemplo:Ejemplo:

8)Matriz diagonal.-8)Matriz diagonal.- Es una Es una matriz cuadrada que tiene matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal excepto los de la diagonal principal. principal. Ejemplo:Ejemplo:

9)Matriz escalar.- Es una 9)Matriz escalar.- Es una matriz cuadrada que tiene matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal excepto los de la diagonal principal que son iguales.principal que son iguales.Ejemplo.- Ejemplo.-

10)Matriz identidad o 10)Matriz identidad o unidad.-unidad.- Es una matriz cuadrada Es una matriz cuadrada que tiene todos sus que tiene todos sus elementos nulos excepto elementos nulos excepto los de la diagonal principal los de la diagonal principal que son iguales a 1. que son iguales a 1. Tambien se denomina Tambien se denomina matriz unidad. matriz unidad.

Ejemplo.-Ejemplo.-

11)Matriz triangular 11)Matriz triangular superior.- superior.- Es una matriz cuadrada Es una matriz cuadrada que tiene todos los que tiene todos los elementos por debajo de la elementos por debajo de la diagonal principal nulos.diagonal principal nulos.

12) Matriz triangular 12) Matriz triangular inferior.- inferior.- Es una matriz cuadrada que Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos tiene todos los elementos por encima de la diagonal por encima de la diagonal principal nulos.principal nulos.

Ejemplo.-Ejemplo.-

Algebra de matrices Algebra de matrices

1)Adición o suma de1)Adición o suma de matrices.- La suma de dos matrices.- La suma de dos matrices  A = (amatrices  A = (aijij))mm××nn  y  B   y  B = (b= (bijij))pp××q  de la misma q  de la misma dimen- sión dimen- sión (equidimensionales) : m = (equidimensionales) : m = p  y  n = q  es otra matriz  p  y  n = q  es otra matriz  C C = A+B = (c= A+B = (cijij))mm××n =n = (a (aijij+b+bijij))

PROPIEDADES : PROPIEDADES :

· · AsociativaAsociativa : A+(B+C) = : A+(B+C) = (A+B)+C(A+B)+C· · ConmutativaConmutativa : A+B = B+A : A+B = B+A· · Elem. neutroElem. neutro : ( matriz : ( matriz cero 0cero 0m×nm×n ) , 0+A = A+0 = A ) , 0+A = A+0 = A· · Elem. simétricoElem. simétrico : ( matriz : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0+ A = 0

2)Producto de un número 2)Producto de un número real por una matriz.real por una matriz.

Para multiplicar un escalar Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica por una matriz se multiplica el escalar por todos los el escalar por todos los elementos de la matriz, elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz obteniéndose otra matriz del mismo orden.del mismo orden.

Propiedades:Propiedades:

3)Multiplicación de 3)Multiplicación de matrices.matrices. Dadas dos matrices Dadas dos matrices AA y y BB, , tales que el número de co- tales que el número de co- lumnas de la matriz lumnas de la matriz AA es es igual al número de filas de igual al número de filas de la matriz la matriz BB; es decir:; es decir:

la multiplicación de la multiplicación de AA por por BB, , que se denota que se denota A·BA·B, , A×BA×B o o simplemente simplemente ABAB, está , está definida como:definida como:

donde cada elemento donde cada elemento cci,ji,j está definido por:está definido por:  

Gráficamente, siGráficamente, si       y  y    

ll

Propiedades: Propiedades: a)a)Propiedad asociativaPropiedad asociativa: : (AB)C = A(BC). (AB)C = A(BC). b)b)Propiedad distributiva Propiedad distributiva por la derechapor la derecha: (A+B)C=AC : (A+B)C=AC + BC. + BC. C)C)Propiedad distributiva Propiedad distributiva por la izquierdapor la izquierda: : C(A+B)=CA+CB. C(A+B)=CA+CB. d)El producto de dos matri- d)El producto de dos matri- ces generalmente ces generalmente no es con- mutativo, no es con- mutativo, es decir , AB≠ BA. es decir , AB≠ BA.

INVERSA DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA CUADRADA Se llama matriz inversa de Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada  An  y una matriz cuadrada  An  y la representamos por  Ala representamos por  A-1-1  ,   , a la matriz que verifica la a la matriz que verifica la siguiente propiedad : siguiente propiedad :

A A-1-1·A = A·A·A = A·A-1-1 = I = I

Decimos que una matriz Decimos que una matriz cuadrada es  cuadrada es  "regular""regular"  si su   si su determinante es distinto de determinante es distinto de cero, y es  cero, y es  "singular""singular"  si su   si su determinante es igual a determinante es igual a cero .Es decir:cero .Es decir:

Propiedades:Propiedades:

MÉTODOS PARA HALLAR LA MÉTODOS PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA : MATRIZ INVERSA :

a)Aplicando la definición a)Aplicando la definición b)Por el método de Gauss b)Por el método de Gauss c)Por determinantes c)Por determinantes

Método por determinantes. Método por determinantes. Ejemplo.- Ejemplo.- Hallar la inversa Hallar la inversa de la matriz de la matriz

primero calculamos el primero calculamos el determimante :determimante :

Ahora calculamos cada uno Ahora calculamos cada uno de los adjuntos:de los adjuntos:

METODO DE GAUSS-JORDAN METODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA PARA EL CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ.INVERSA DE UNA MATRIZ. Este método consiste en ir Este método consiste en ir efectuando transformacio- efectuando transformacio- nes nes ELEMENTALES PELEMENTALES P11,P,P22,..., ,..., P Prr entre las FILAS de la entre las FILAS de la ma- triz inicial A para ma- triz inicial A para conseguir conseguir transformarla en la matriz transformarla en la matriz identidad. identidad.

Las TRANSFORMACIONES Las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES que se ELEMENTALES que se podrán realizar con las podrán realizar con las FILAS de la matriz A serán: FILAS de la matriz A serán: a) intercambiar filas. a) intercambiar filas. b) multiplicar una fila por b) multiplicar una fila por un escalar. un escalar. c) sumar a una fila una c) sumar a una fila una combinación lineal de las combinación lineal de las restantes.restantes.

        La idea consiste en ir La idea consiste en ir aplicando a la matriz A una aplicando a la matriz A una serie de transformaciones serie de transformaciones encaminadas a conseguir encaminadas a conseguir obtener la matriz identidad, obtener la matriz identidad, es decir: es decir: