FFIILLIIAALL -- AARREEQQUUIIPPAA

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MATERIAL DE TRABAJO 3

CARRERA : Ingeniería de Sistemas e Informática ASIGNATURA: Análisis Matemático II

ALUMNO(A) : CICLO : III TURNO: Noche

DOCENTE : TEMA: Rectas en ℝ3

1) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃0 dado y tiene al vector �⃗� como vector paralelo.

a) 𝑃0 = (0,0,0) y �⃗� = (1,1,1)

b) 𝑃0 = (0,1,0) y �⃗� = (0,1,0)

c) 𝑃0 = (2, −4, −7) y �⃗� = (3,1,2)

2) Determine la ecuación de la recta que pasa

por los dos puntos dados.

a) 𝑃 = (3,9,7) y 𝑄 = (−1,2,5)

b) 𝑃 = (2,1,6) y 𝑄 = (−2,3,2)

c) 𝑃 = (0,0,0) y 𝑄 = (2,6,5)

3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el

punto 𝑃 = (2,1,1) y es paralela al vector que une 𝑃 con el punto 𝑄 = (2, −3, −5).

4) Determina si los puntos 𝑃 y 𝑄 se encuentran en la recta dada. 𝑥 = 2 + 𝑡

𝑦 = −3𝑡

𝑧 = 𝑡

𝑃 = (2,0,0) y 𝑄 = (3,1,1)

5) Determina si los puntos 𝑃 y 𝑄 se encuentran

en la recta dada. 𝑥 = 1 + 2𝑡

𝑦 = 2 − 3𝑡

𝑧 = 1 + 𝑡

𝑃 = (5, −4,1) y 𝑄 = (−1,5,0)

6) Determina si los puntos 𝑃 y 𝑄 se encuentran

en la recta dada. 𝑥 = 2 + 𝑡

𝑦 = −3𝑡

𝑧 = 𝑡

𝑃 = (0,0,0) y 𝑄 = (2,1,1)

7) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 = (8,2,3) y lleva la dirección del vector 𝐣.

8) Determinar de la recta 𝑟 =𝑥−1

2=

𝑦+1

3=

𝑧−2

1, su dirección y dos puntos de la misma.

9) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto 𝐴 = (−4,2,5) y es paralela al eje 𝑂𝑍

10) Escribe las ecuaciones de la recta que pasan por el punto 𝑃 = (1, −3,0) y es paralela al vector 𝐮 × 𝐯, siendo 𝐮 =(1, −1,2) y 𝐯 = (2,0,0).

11) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴 = (3,1, −2) y es perpendicular

y corta a la recta ℒ1 : 𝑥+1

1=

𝑦+2

1=

𝑧+1

1

12) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, −3,4) y es perpendicular a

cada una de las rectas ℒ1 : 𝑥+2

2=

𝑦−3

−1=

𝑧+2

5 y ℒ2 :

𝑥−3

1=

2𝑦−7

2=

3−𝑧

−3

13) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑀 = (−1,2, −3) es perpendicular al vector 𝐚 = (6, −2, −3) y se corta con la

recta ℒ1 : 𝑥−1

3=

𝑦+1

2=

𝑧−3

−5

14) Una recta pasa por el punto 𝑃 = (1,1,1) y es paralela al vector 𝐚 = (1,2,3), otra recta pasa por el punto 𝑄 = (2,1,0) y es paralela al vector 𝐛 = (3,8,13). Demostrar que las dos rectas se cortan y determinar su punto de intersección.

MATERIAL DE TRABAJO 3

CARRERA : Ingeniería de Sistemas e Informática ASIGNATURA: Análisis Matemático II

ALUMNO(A) : CICLO : III TURNO: Noche

DOCENTE : TEMA: Rectas en ℝ3

1) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃0 dado y tiene al vector �⃗� como vector paralelo.

a) 𝑃0 = (0,0,0) y �⃗� = (1,1,1)

b) 𝑃0 = (0,1,0) y �⃗� = (0,1,0)

c) 𝑃0 = (2, −4, −7) y �⃗� = (3,1,2)

2) Determine la ecuación de la recta que pasa

por los dos puntos dados.

a) 𝑃 = (3,9,7) y 𝑄 = (−1,2,5)

b) 𝑃 = (2,1,6) y 𝑄 = (−2,3,2)

c) 𝑃 = (0,0,0) y 𝑄 = (2,6,5)

3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el

punto 𝑃 = (2,1,1) y es paralela al vector que une 𝑃 con el punto 𝑄 = (2, −3, −5).

4) Determina si los puntos 𝑃 y 𝑄 se encuentran en la recta dada. 𝑥 = 2 + 𝑡

𝑦 = −3𝑡

𝑧 = 𝑡

𝑃 = (2,0,0) y 𝑄 = (3,1,1)

5) Determina si los puntos 𝑃 y 𝑄 se encuentran

en la recta dada. 𝑥 = 1 + 2𝑡

𝑦 = 2 − 3𝑡

𝑧 = 1 + 𝑡

𝑃 = (5, −4,1) y 𝑄 = (−1,5,0)

6) Determina si los puntos 𝑃 y 𝑄 se encuentran

en la recta dada. 𝑥 = 2 + 𝑡

𝑦 = −3𝑡

𝑧 = 𝑡

𝑃 = (0,0,0) y 𝑄 = (2,1,1)

7) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 = (8,2,3) y lleva la dirección del vector 𝐣.

8) Determinar de la recta 𝑟 =𝑥−1

2=

𝑦+1

3=

𝑧−2

1, su dirección y dos puntos de la misma.

9) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto 𝐴 = (−4,2,5) y es paralela al eje 𝑂𝑍

10) Escribe las ecuaciones de la recta que pasan por el punto 𝑃 = (1, −3,0) y es paralela al vector 𝐮 × 𝐯, siendo 𝐮 =(1, −1,2) y 𝐯 = (2,0,0).

11) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴 = (3,1, −2) y es perpendicular

y corta a la recta ℒ1 : 𝑥+1

1=

𝑦+2

1=

𝑧+1

1

12) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, −3,4) y es perpendicular a

cada una de las rectas ℒ1 : 𝑥+2

2=

𝑦−3

−1=

𝑧+2

5 y ℒ2 :

𝑥−3

1=

2𝑦−7

2=

3−𝑧

−3

13) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑀 = (−1,2, −3) es perpendicular al vector 𝐚 = (6, −2, −3) y se corta con la

recta ℒ1 : 𝑥−1

3=

𝑦+1

2=

𝑧−3

−5

14) Una recta pasa por el punto 𝑃 = (1,1,1) y es paralela al vector 𝐚 = (1,2,3), otra recta pasa por el punto 𝑄 = (2,1,0) y es paralela al vector 𝐛 = (3,8,13). Demostrar que las dos rectas se cortan y determinar su punto de intersección.