MATERIA: ANALISIS NUMERICO AVANZADO y ANALISIS NUMERICO...

MATERIA:MATERIA:ANALISIS NUMERICO AVANZADO

yANALISIS NUMERICO IIaANALISIS NUMERICO IIa

Profesor:Dr. Angel N. Menéndezg

Análisis Numérico IIDiferencias finitas – problemas parabólicos

DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA PARABOLICOSPROBLEMA PARABOLICOS

Análisis Numérico IIEcuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALESDERIVADAS PARCIALES

Análisis Numérico IIEcuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALESDERIVADAS PARCIALES

• Ecuaciones Tipo

• Clasificación

• Condiciones de Borde• Condiciones de Borde

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo

ECUACION DE ADVECCION(Hiperbólica)(Hiperbólica)

∂ ∂c(x,t)

0c cUt x∂ ∂

+ =∂ ∂U t x∂ ∂

c(x+Δx,t)

ECUACION DE ADVECCION(Hiperbólica)(Hiperbólica)

U ( , ) ( )c x t f x Ut= −( , ) ( )f

ECUACION DE DIFUSION(Parabólica)(Parabólica)

F(x t)

2c c∂ ∂

F(x,t)

c(x,t)

c cDt x∂ ∂

=∂ ∂F(x+Δx,t)

c(x+Δx,t)

ECUACION DE DIFUSION(Parabólica)(Parabólica)

( , ) xc x t Aerf ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( , )2

fDt⎜ ⎟

⎝ ⎠

ECUACION DE LAPLACE(Elíptica)(Elíptica)

c1(x)c1(x)

( )c3(y)

2 2 0c cx y∂ ∂

+ =∂ ∂

x y∂ ∂

ECUACION DE LAPLACE(Elíptica)(Elíptica)

( , ) y

n yL n xc x y Ae senπ

π− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟( , )

c x y Ae senL⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación

PROBLEMA DE 2º ORDEN2 2 2

2 2( , ) 2 ( , ) ( , )u u uA x y B x y C x y∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂2 2x x y y

∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟

Condiciones de borde:

, , , ,D x y ux y

⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ , uu

n∂∂n∂

CONDICION DE UNICIDAD

20d uudX dYdt xd d

⎡ ∂ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂⎝ ⎠∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥2

dt xxdt dtdX dY u d u

⎢ ⎥ ∂⎝ ⎠∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥2

2dt dt x y dt y

A B C Du

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥2

Duy∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2dY dX dY dXA B C⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟10/22

2A B Cdt dt dt dt

Δ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CLASIFICACION

Tipo Curvas características

2d B AC≡ − características

Hiperbólicas d > 0 RealesHiperbólicas d > 0 Reales

Elí i d 0 C l jElípticas d < 0 Complejas

R lParabólicas d = 0 Reales, pero coincidentes

FORMAS NORMALIZADAS

Hiperbólicas:

2v α β+=

2w α β−=

2 2d u u u uD⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 2 , , , ,hd u u u uD v w uA w v v w

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Coeficientes con signo opuesto

FORMAS NORMALIZADAS

Elípticas:

2v α β+=

iα β−

2 2d u u u uD⎛ ⎞− ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 2 , , , ,eD v w uA w v v w

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Coeficientes con igual signo

FORMAS NORMALIZADAS

Parabólicas:

v α β= = w x=

2u u uA D∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟2 , , , ,pA D v w u

w v w⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Un coeficientes nulo

MAS DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTESINDEPENDIENTES

Coeficientes de derivada deTipo Coeficientes de derivada de mayor orden

T d lHiperbólicas Todos no nulos y uno tiene signo distinto a los demás

Elípticas Todos no nulos y del mismo signog

Parabólicas Al menos uno nulo

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde

ECUACIONES HIPERBOLICAS

, , , ,u u uG uα ββ β

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Forma normal: , , , ,βα β α β⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Forma elemental:2

0uα β∂

=∂ ∂α β∂ ∂

( , ) ( ) ( )u f gα β α β= +

ECUACIONES HIPERBOLICASS l ió

( ) ( ) ( )u t f gα β= +⎧⎪

Solución:

( )u df dgtn d n d n

α βα β

⎪∂ ∂ ∂⎨ = +⎪∂ ∂ ∂⎩

Sobre borde:

n d n d nα β⎪∂ ∂ ∂⎩

λ α≡

μ β≡

ECUACIONES HIPERBOLICASj l

2 21 0u u∂ ∂Ejemplo:

2 2 2 0x c t

− =∂ ∂

( , 0) ( )u x t a xu

= =⎧⎪∂⎨ ( , 0) ( )u x t b x

t∂⎨

= =⎪ ∂⎩

1 1( , ) ( ) ( ) ( )x ct

u x t a x ct a x ct b dξ ξ+⎡ ⎤

= + + − +⎢ ⎥∫18/22

( , ) ( ) ( ) ( )2 x ct

u x t a x ct a x ct b dc

ξ ξ−

+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

ECUACIONES HIPERBOLICAS

Solución:

Condiciones de Cauchy sobre PAλ α≡

Condiciones de

λ α≡μ β≡

Dirichlet o Neumann sobre PB

ECUACIONES ELIPTICAS

Ejemplo:2 2

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

(Forma normal)

( 0) ( )u x y u x= =⎧

x y∂ ∂

C di i d ( , 0) ( )

( , 0) ( )

ou x y u xu x y N x

⎧⎪∂⎨ = =⎪

Condiciones de Cauchy sobre contorno abierto ( , 0) ( )ox y N x

y⎪∂⎩contorno abierto

( , ) Re ( ) ( )x iy

o ou x t u x iy i N dξ ξ+⎧ ⎫⎪ ⎪= + +⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭∫

0⎪ ⎪⎩ ⎭

ECUACIONES PARABOLICAS

Ejemplo: (Forma normal)2

u uat x

∂ ∂=

∂ ∂

1 0si x >⎧

t x∂ ∂

Condiciones de 1 0( , 0) ( )

0 0si x

u x t b xsi x

>⎧= = = ⎨ <⎩

Condiciones de Dirichlet sobre contorno abierto

2/2 x t ξ2

/42( , ) , 0

x taau x t e d tξ

= >∫21/22

−∞

CONDICIONES DE CONTORNO

Tipo Frontera Condicionesp

Hiperbólicas abierta Cauchy ó Di i hl /NHiperbólicas abierta Dirichlet/Neumann

Elípticas cerrada Dirichlet o Elípticas cerrada NeumannCI Dirichlet

Parabólicas abierta CB Dirichlet o Neumann

Neumann

Análisis Numérico IIDiferencias finitas – problemas parabólicos

DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA PARABOLICOSPROBLEMA PARABOLICOS

• Método explícito centrado

• Tipos de errores

• Consistencia de un esquema numérico• Consistencia de un esquema numérico

• Convergencia de la solución numérica

• Estabilidad de la solución numérica

• Problema de advección-difusión

• Problemas bidimensionales

• Método de las líneas

Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo Explícito Centrado

PROBLEMA BASE

2u u∂ ∂2 , 0 , 0u uD x L t

t x∂ ∂

= < < >∂ ∂

( , 0) ( )u x t f x= =( , 0) ( )u x t f x

( 0, ) ( )u x t g t= =( 0, ) ( )u x t g t

( , ) ( )u x L t h t= =

( , ) ( )u x t h t

DISCRETIZACION

0 0n n n n nj j j j ju u u u u

D j N n+

+ −− − += < < ≥2 , 0 , 0D j N n

t x= < < ≥

0 ( )j ju f x=

0 ( )n nu g t=

( )n nNu h t=

CALCULO

( ) ( )1 1 2 0 0n n n n N+ ( ) ( )11 11 2 , 0 , 0n n n n

j j j ju r u r u u j N n++ −= − + + < < ≥

D tΔ2r

x≡Δ

Diferencias finitas – problemas parabólicosTipos de Errores

FUENTES DE ERRORESPROCESO DE CALCULO

DATOS(ENTRADA)

PROCESOPRECISION

RESULTADOS(SALIDA)

PROCESO DE CALCULO

PROCESO IDEAL

Exactos ExactosInfinitoInfinita

Con errores Con erroresInfinitoInfinita

ERRORES DE ENTRADA

Infinita

ExactosFinito

ERRORES DE TRUNCAMIENTO

CExactos Con erroresInfinita

ERRORES DE REDONDEO

I fi i

Exactos InfinitoFinita Con errores

ERRORES NUMERICOS

ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico

ERRORES DE DISCRETIZACION1( , ) ( , )n n

j ju x t u x tt

+ −Δ

1 1( , ) 2 ( , ) ( , )n n nj j j n

tu x t u x t u x t

D ε+ −

Δ− +

≡2 jDx

ε− ≡Δ

2 4 22 4

2 4 ( , )2 12

u t u xD O t xt x

ε ∂ Δ ∂ Δ= − + Δ Δ∂ ∂, ,2 12n n

j jx t x tt x∂ ∂

CONSISTENCIA

εΔ →→

Δ →Δ →

2 4 22 4

2 4 ( , )2 12

u t u xD O t xt x

ε ∂ Δ ∂ Δ= − + Δ Δ∂ ∂, ,2 12n n

j jx t x tt x∂ ∂

Método explícito centrado es consistente

ERROR DE TRUNCAMIENTO LOCAL

( ) 11( , )nn n n n

j je u x t u+

+≡ − ( )( , )j j j

2 4 2t⎡ ⎤∂ Δ ∂ Δ2 4 22 4

2 4 ( , )2 12n n

x t x t

u t u xe t D O t xt x

⎡ ⎤∂ Δ ∂ Δ⎢ ⎥= Δ − + Δ Δ∂ ∂⎢ ⎥

⎣ ⎦

, ,j jx t x t⎣ ⎦

n nj je tε≈ Δ

ERROR DE TRUNCAMIENTO GLOBAL

ˆ( , )n n nj j jE u x t u≡ −

1 max maxn n nj k k k kE E e+

∀ ∀≤ +a aj k k k ke∀ ∀

si r ≤ 1/2

1 1,0maxn n m

j k m n kE t ε+ +∀ ≤ ≤≤

NO CONSISTENCIAEsquema de DuFort-Frankel:

1 1 1 1n n n n n n+ +1 1 1 11 1

n n n n n nj j j j j ju u u u u u

+ − + −+ −− − − +

=Δ Δ2 t xΔ Δ

22 2 2 2 2( )n u tDp O t x p t pε ∂ Δ

= + Δ Δ Δ ≡2,

( , , ), n

Dp O t x p t pt x

ε = + Δ Δ Δ ≡∂ Δ

tpΔ →→ ,si no

u u uD Dpt x t

∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂13/56

0xΔ → t x t∂ ∂ ∂

ORDEN DE PRECISION

Esquema explícito centrado:

2( , )nj O t xε = Δ Δ

E d D F t F k l

2 2 2( )n O Δ Δ Δ Δ

Esquema de DuFort-Frankel:

2 2 2( , ), nj O t x t xε = Δ Δ Δ Δ∼

ORDEN DE PRECISIONE lí i d á iEsquema explícito centrado con máxima precisión (Douglas):

2 42u uD∂ ∂

=2 4Dt x∂ ∂

2 4D x uΔ ∂ 2 44

( ) ( , )2 6 n

D x uD t O t xx

ε Δ ∂= Δ − + Δ Δ

∂ ,j2

ΔΔ = ⇒ 2 4( , )n

j O t xε = Δ Δ

CONDICION DE BORDE DE NEUMANN2

2 , 0 , 0u uD x L t∂ ∂= < < >

∂ ∂ 2 , ,t x∂ ∂

( , 0) ( )u x t f x= =

( 0, ) ( )u x t g t= =∂ ( , ) ( )u x L t h tx∂

= =∂

CONDICION DE BORDE DE NEUMANN

1 1 ( )n n

nN Nu u h t+ −−1 1 ( )2

nN N h tx

0 0n n n n nj j j j ju u u u u

D j N n+

+ −− − += < ≤ ≥2 , 0 , 0D j N n

t x= < ≤ ≥

Diferencias finitas – problemas parabólicosConvergencia de la Solución Numérica

CONVERGENCIA

( , )n nj ju u x t→

Δ →Δ →

→, n

jx t fijos

CONVERGENCIA EXPLICITO CENTRADO

Si r ≤ 1/2:

1 1,0maxn n m

j k m n kE t ε+ +∀ ≤ ≤≤ ,j

Si r ≤ 1/2 y es consistente ⇒ convergente

Condición r ≤ 1/2: estabilidad numérica

TEOREMA DE LAX

Si i blSi consistente y estable

⇒ convergente

MANIFESTACION INESTABILIDAD

Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica

MANIFESTACION INESTABILIDAD NUMERICA

CONDICION DE ESTABILIDAD

CONDICION DE ESTABILIDADNUMERICA

:o on nj jSi u perturbada en uδ

0njuδ → 0j

→∞→

METODO DE VON NEUMANNn n nδn n nj j ju u uδ→ +

Reemplazar en ecuación en diferenciasy desarrollar a primer ordeny desarrollar a primer orden

jikxn n n ikj xδ ξ ξ Δjn n n ikj xju e eδ ξ ξ Δ= =

≤23/56

ESTABILIDAD DE ESQUEMA EXPLICITO

ESTABILIDAD DE ESQUEMA EXPLICITO CENTRADO

1nξ +

1 2 1 cos( )n

nng r k xξ

≡ = − − Δξ

1/ 2r⇒ ≤

ESQUEMA DE RICHARDSON1 11 1

n n n n nj j j j ju u u u u

+ −+ −− − +

=Δ Δ

24 ( / 2) 1n rsen k xG

⎡ ⎤− Δ⎢ ⎥

2 t xΔ Δ

( )1 0

nG = ⎢ ⎥⎣ ⎦

1/ 22 2 41,2 2 ( / 2) 1 4 ( / 2)rsen k x r sen k xλ ⎡ ⎤= − Δ ± + Δ⎣ ⎦⎣ ⎦

Incondicionalmente inestable25/56

Incondicionalmente inestable

ESQUEMA DE DU FORT - FRANKEL

( )1 11 1 n n n nn n u u u uu u + −+ − − + +− ( )1 122

j j j jj j u u u uu uD

t x+ −+ +−

=Δ Δ2 t xΔ Δ

Incondicionalmente estable

ESQUEMA IMPLICITO PONDERADO

1 1 1 11 1 1 12 2

( )n n n n n n n nj j j j j j j ju u u u u u u u

θ θ+ + + +

+ +⎡ ⎤− − + − +⎢ ⎥

1 1 1 12 2(1 )j j j j j j j jD

t x xθ θ+ − + −= + −⎢ ⎥

Δ Δ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]1 2 (1 ) 1 cos( )n r k xθ− − − Δ[ ][ ]

( ) ( )1 2 1 cos( )

ngr k xθ

=+ − Δ

ESQUEMA IMPLICITO PONDERADO

L r=m k=

[ ]1 2 (1 ) 1 cos( )r k xθ− − − Δ[ ][ ]

1 2 (1 ) 1 cos( )1 2 1 cos( )

n r k xg

r k xθ

θ− − − Δ

=+ − Δ

Incondicionalmente estable si θ ≥ 1/2

JUSTIFICACION DE IMPLICITOS

En problemas con escalas l di í ltemporales disímeles

Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión

ECUACION DE ADVECCION-DIFUSION

2∂ ∂ ∂2

2 , 0 , 0u u uU D x L tt x x

∂ ∂ ∂+ = < < >

∂ ∂ ∂t x x∂ ∂ ∂

Es un problema parabólico

ESQUEMA EXPLICITO CENTRADO

11 1 1 12n n n n n n n

j j j j j j ju u u u u u uU D

++ − + −− − − +

+ 2 ,2

j j j j j j jU Dt x x

+ =Δ Δ Δ

< < ≥0 , 0j N n< < ≥

2( , )nj O t xε = Δ Δ( , )j O t xε Δ Δ

ESTABILIDAD

[ ]1 2 1 cos( ) sen( )= − − Δ − Δng r k x ip k x

D tr Δ≡

U tp Δ≡2r

x≡Δ

1/ 2, 2r p r⇒ ≤ ≤2 2x Dt tΔ

Δ ≤ Δ ≤32/56

t tD U

Δ ≤ Δ ≤

RESTRICCION POR ESTABILIDAD

2xΔxtDΔ

Δ ≈DDDxU

⇒Δ ≤U

UPWINDING

Si U > 0:

11 1 1

n n n n n n nj j j j j j ju u u u u u u

− + −− − − ++ =

Δ Δ Δ 2 ,

0 , 0t x x

j N nΔ Δ Δ

< < ≥,j

( )n O Δ Δ( , )nj O t xε = Δ Δ

ESTABILIDAD PARA UPWINDING

xΔ2xt D

ΔΔ ≤ 2DU

METODO DE HIRTEcuación verdadera para explícito centrado:

2 22u u u t uU D∂ ∂ ∂ Δ ∂+ − +

∂ ∂ ∂ ∂2 2

2 3 2 4

2t x x tx u x u∂ ∂ ∂ ∂

Δ ∂ Δ ∂ 2 43 4 ( , ) 0

3 12x u x uU D O t x

x xΔ ∂ Δ ∂

+ − + Δ Δ =∂ ∂

CONDICION DE COURANT2 2

2 22u u u t uU Dt t

∂ ∂ ∂ Δ ∂+ ≈ −

∂ ∂ ∂ ∂ecuación

2 22t x x t∂ ∂ ∂ ∂

hiperbólica2dx D2dx D

dt t= ±

Δdx xdt t

Δ≤Δ

dt tΔ1/ 2r ≤

CONDICION DE DIFUSION2 2

u u U t uU D⎛ ⎞∂ ∂ Δ ∂

+ ≈ −⎜ ⎟ 22t x x⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠2

2U tD Δ

Δ ≤

CRANK-NICHOLSON CENTRADO

1 1 11 1 1 11n n n n n n

j j j j j ju u u u u uU

+ + ++ − + −⎛ ⎞− − −

+ +⎜ ⎟⎜ ⎟2 2 2U

t x x+ +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

⎛ ⎞1 1 11 1 1 1

+ + ++ − + −⎛ ⎞− + − +

= +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠2 x x⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠

2 2( , )nj O t xε = Δ Δ

PRUEBAS

U xΔ 5U xPeDΔ

0,8U tCr Δ≡ = 0,8Cr

PRUEBAS

U xΔ 10U xPeDΔ

0,05U tCr Δ≡ = 0,05Cr

PRUEBAS

U xΔ 5U xPeDΔ

5U tCr Δ≡ = 5Cr

PERFORMANCE

U xΔU xPeDΔ

U tCr Δ≡Cr

Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales

PROBLEMA BASE

0 0 0u u uD x a y b t⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= + < < < < >⎜ ⎟2 2 , 0 , 0 , 0D x a y b tt x y= + < < < < >⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( , , 0) ( , )u x y t f x y= =( , , ) ( , )y f y

( ) ( )t t b t d( , ) ( , ) u s t g s t sobre contorno cerrado=

EXPLICITO CENTRADO

11 1 1 12 2n n n n n n n n

ij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u uD

++ − + −⎛ ⎞− − + − +

= +⎜ ⎟⎜ ⎟2 2 ,

Dt x y

i N j N

= +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠≥0 , 0 , 0x yi N j N n< < < < ≥

0 ( , )ij i ju f x y=

( , , ) n nij i ju g x y t sobre contorno=

( , , )ij i jg y

CALCULO

( ) ( ) ( )1 1 2 2n n n n n nu r r u r u u r u u+ + + + +( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 2 ,

0 , 0 , 0ij x y j x i j i j y ij ij

u r r u r u u r u u

i N j N n+ − + −= − − + + + +

< < < < ≥, ,x yj

D t D tΔ Δ2 2, x yr r

x y≡ ≡Δ Δ

ESTABILIDAD

2, D ty x r ΔΔ = Δ ≡ 2,y

xΔik j yik i xn nδ ξ ΔΔ yx ik j yik i xn n

iju e eδ ξ ΔΔ=

⎡ ⎤2 21 42 2

⎡ Δ ⎤⎛ ⎞Δ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

yn x k yk xg r sen sen2 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1/ 4r⇒ ≤47/56

1/ 4r⇒ ≤

IMPLICITO CENTRADO

1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + +⎛ ⎞1 1 1 1 1 1 11 1 1 1

2 2n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u u

Dt x y

θ+ + + + + + +

+ − + −⎛ ⎞− − + − += +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

1 1 1 12 2(1 )

n n n n n ni j ij i j ij ij ij

u u u u u uD θ + − + −

Δ Δ Δ⎝ ⎠⎛ ⎞− + − +

+ +⎜ ⎟2 2(1 ) j j j j j jDx y

θ+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠

1/ 2 : incondicionalmente estableθ ≥

CALCULO

1: fuertemente implicitoθ =

( ) ( ) ( )1 1 1 1 11 2 2 n n n n n nr r u r u u r u u u+ + + + ++ + − + − + =( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 2x y ij x i j i j y ij ij ijr r u r u u r u u u+ − + −+ + + + =

Sistema algebraico acoplado b di ien ambas direcciones

DIRECCIONES ALTERNADAS

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21 1 1 12 2n n n n n n n n

ij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u uD

+ + + ++ − + −⎛ ⎞− − + − +

= +⎜ ⎟⎜ ⎟2 2/ 2D

t x y= +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 11 1 1 1

2 2n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u u

D+ + + + + + + +

+ − + −⎛ ⎞− − + − += +⎜ ⎟⎜ ⎟2 2/ 2t x y⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

CALCULO

( ) ( )( ) ( )

1/ 2 1/ 2 1/ 21 11 n n n

x ij x i j i jr u r u u+ + ++ −+ − +

( ) ( )1 11 n n ny ij y ij ijr u r u u+ −= − + +

( ) ( )1 1 11 11 n n n

y ij y ij ijr u r u u+ + ++ −+ − +

( ) ( )1/ 2 1/ 2 1/ 21 11 n n n

y ij x i j i jr u r u u+ + ++ −= − + +

Sistemas algebraicos

acoplados por dirección

ESTABILIDAD

[ ]1 1 cos( ) 1 1 cos( )r k y r k x⎡ ⎤− − Δ − − Δ⎣ ⎦[ ]

[ ]1 1 cos( ) 1 1 cos( )1 1 cos( ) 1 1 cos( )

r k y r k xg

r k x r k y

⎡ ⎤Δ Δ⎣ ⎦=+ − Δ ⎡ ⎤+ − Δ⎣ ⎦[ ]( ) ( )x y y⎣ ⎦

DESDOBLAMIENTO (LOCALMENTE 1D)1* 1* 1* 1*

n n n n nij ij i j ij i ju u u u u

D θ+ + + +

+ −− − +=

Δ Δ 2

1 12n n ni j ij i j

t xu u u+

Δ Δ− +1 1

2(1 ) ]i j ij i j

xθ + −+ −

Δ1 1* 1 1 1

n n n n nij ij ij ij iju u u u u

D θ+ + + + +

+ −− − +=

Δ Δ 2

1* 1* 1*1 1

2n n n

t yu u u+ + +

2(1 ) ]ij ij iju u u

yθ + −+

+ −Δ

ESTABILIDAD

0θ =Totalmente explícito:

[ ]{ }{ }1 1 cos( ) 1 1 cos( )ng r k x r k y⎡ ⎤Δ Δ⎣ ⎦[ ]{ }{ }1 1 cos( ) 1 1 cos( )x yg r k x r k y⎡ ⎤= − − Δ − − Δ⎣ ⎦

1/ 2r⇒ ≤

Mas estable que el de paso entero

Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo de las Líneas

DISCRETIZACION ESPACIAL

2u uD∂ ∂2

u uDt x

∂ ∂=

∂ ∂

2du u u u+1 12

2j j j jdu u u uD

dt x+ −− +

=Δdt xΔ

Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo de las Líneas

NUEVO PROBLEMA DIFERENCIALdUdU AUdt

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

2 1 0 ... 01 2 1 0−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥2

⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥

1 2 1 ... 00 1 2 ... 0A r

−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥...

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

... ... ... ... ...0 0 1 2

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦1Nu −

⎢ ⎥⎣ ⎦ 0 ... 0 1 2⎢ ⎥−⎣ ⎦

Sistema de ecuaciones56/56

Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

Análisis Numérico IIDiferencias finitas – Problemas Hiperbólicos

DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA HIPERBOLICOSPROBLEMA HIPERBOLICOS

• Método explícito centrado

• Métodos explícitos

• Métodos implícitos• Métodos implícitos

• Difusión y Dispersión numéricas

• Sistemas Hiperbólicos

• Problemas bidimensionales

• Ecuación de segundo orden

• Problemas no lineales

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodo Explícito Centrado

PROBLEMA BASE

0 0 0 ( 0)u uc x L t c∂ ∂+ = < < > >0, 0 , 0 ( 0)c x L t c

t x+ = < < > >

∂ ∂

( , 0) ( )u x t f x= =

( 0, ) ( )u x t g t= =( 0, ) ( )u x t g t

DISCRETIZACION

11 1 0 0 0

n n n nj j j ju u u u

+ −− −+ < ≤ ≥0, 0 , 0

2j j j jc j N n

t x+ = < ≤ ≥

0 ( )j ju f x=j j

( )n nu g t=0 ( )u g t=

ESTABILIDAD

1 seno( )ng ip k x= − Δ1 seno( )g ip k xΔ

U tΔU tpxΔ

Incondicionalmente inestableIncondicionalmente inestable

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos

ESQUEMA CON UPWINDING1

1 0n n n nj j j ju u u u

+−− −

+ =Δ Δ

( ),nj O t xε = Δ Δ

t xΔ Δ

1 (1 )n n nu p u pu+ + c tp Δ1(1 )j j ju p u pu −= − + p

x≡Δ

22u u c uc x c tt x x

∂ ∂ ∂+ = Δ − Δ

∂ ∂ ∂Hirt: (parabólico)

2t x x∂ ∂ ∂

xt ΔΔ ≤

Δ ≤

CONDICION DE COURANT

dx cdt

= ±xt

Δ≤Δdt tΔ

xt ΔΔ ≤t

cΔ ≤

ESQUEMA DE LAX1 ( )1

1 11 1

n n nn nj j jj j

u u u u uc

++ −

+ −− + −

+ = ( )2,nj O t xε = Δ Δ0

( ),j O t xε Δ Δ

1 1(1 ) (1 )2 2

n n nj j ju p u p u+

+ −= − + + c tpxΔ

cos( ) ( )ng x ip seno xκ κ= Δ − Δvon Neuman: ( ) ( )g p

xt ΔΔ ≤

Δ ≤

ESQUEMA DE LAX-WENDROFF1 ( )1/ 2

1/ 2 11

n n nn nj j jj j

u u u u uc

+− + −

+ = 0/ 2

+ =Δ Δ

( )2 2,nj O t xε = Δ Δ( ),j1 1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2 0n n n nj j j ju u u u

+ + ++ −− −

+ =Δ Δ

2 2 41 4 (1 ) ( / 2)ng p p seno xκ= − − Δ

t xΔ Δ

1 4 (1 ) ( / 2)g p p seno xκ= − − Δ

xt ΔΔ ≤

Δ ≤

PRUEBAS

1 /c m s=u(x,t=0)

≡ΔxΔ

t (hrs)N intervalos T

t (hrs)N intervalos

ESQUEMA DE LAX

1 /1 /c m s=

4 5T h

4,5T hrs=

0,90p =

ESQUEMA DE LAX

1 /c m s=

4,5T hrs=

0,90p =

( 18)N =

ESQUEMA DE LAX

1 /c m s=

4,5T hrs=

0,90p =

( 18)N =

ESQUEMA DE LAX

1 /1 /c m s=

4 5T h

4,5T hrs=

0 90p =

0,90p =

ESQUEMA DE LAX

1 /c m s=

3,3T hrs=

0,66p =

( 0 90)p =

( 0,90)p =

ESQUEMA DE LAX

1 /c m s=

2,5T hrs=

0,50p =

( 0 90)p =

( 0,90)p =

ESQUEMA CON UPWINDING

1 /c m s=

3,3T hrs=

0,66p =

( )Lax16/40

( )Lax

ESQUEMA CON LAX WENDROFF

1 /c m s=

3,3T hrs=

0,66p =

( )Lax17/40

( )Lax

1 /c m s=

5,0T hrs=

( )Lax18/40

( )Lax

1 /c m s=

5,14T hrs=

1,03p =

ESQUEMA DE LA RAYUELA

1 11 1 0

n n n nj j j ju u u u+ −

+ −− −1 1 02 2

j j j jct x

++ =Δ Δ

( )2 2,nj O t xε = Δ Δ

Δ ≤

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Implícitos

UPWINDING IMPLICITO

1 1 11 0

n n n nj j j ju u u u

c+ + +

−− −+ = ( ),n

j O t xε = Δ Δ0ct x

+Δ Δ

1n nu pu ++

(1 )j jn

p−+ +

=+( )p

11 ( / 2) ( )

=+ Δ Δ21 ( / 2) ( )p seno x ip seno xκ κ+ Δ − Δ

Incondicionalmente estable21/40

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Implícitos

WENDROFF IMPLICITO

1 1 1 11 n n n n n n n nu u u u u u u uc+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −1 1 1 11 02 2

j j j j j j j ju u u u u u u uct t x x

+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 2n O tΔ Δ( )2 2,nj O t xε = Δ Δ

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosDifusión y Dispersión Numéricas

ECUACION VERDADERA (HIRT)m

u u uct x x

μ∞∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂∑

( )( ) i x tκ β

2mt x x=∂ ∂ ∂

Aβ( )( , ) i x tu x t e κ βα −= iAβ ω= +∞

1( 1)k k

A κ μ∞

= −∑1k

1 2( 1)k kcω κ μ∞

−= + −∑23/40

2 11( 1) k

kc κ μ

= + −∑

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosSistemas Hiperbólicos

PROBLEMA BASE

h u∂ ∂ 0h uHt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

u h∂ ∂ 0u hgt x

∂ ∂+ =

∂ ∂t x∂ ∂

ESQUEMA DE LAX

( )1 1n n nn nh h h+ − +( )1 1

1 12 02

n nj j jj j

h h h u uH

+ −+ −

+ −+ =

Δ Δ2t xΔ Δ

( )1 1n n n+ +( )11 1

1 12 02

n n nn nj j jj j

u u u h hg

++ −

+ −− + −

+ =Δ Δ2t xΔ Δ

ESTABILIDAD

cos( ) ( )x isH seno xκ κΔ − Δ⎡ ⎤ tΔ( ) ( ) ( ) cos( )

nGisg seno x xκ κ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− Δ Δ⎣ ⎦

cos( ) ( )x is gH seno xλ κ κ= Δ ± Δ1,2 cos( ) ( )x is gH seno xλ κ κ= Δ ± Δ

xtgHΔ

Δ ≤

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas Bidimensionales

PROBLEMA BASE

0u u uc c∂ ∂ ∂+ + 0x yc c

t x y+ + =

∂ ∂ ∂

ESQUEMA DE LAX-WENDROFF (1/2)

( )1/ 21/ 2, 1/ 2 1 1, 1 1

n n n n ni j ij ij i j i ju u u u u++ + + + + +− + + +

4/ 2tΔ

⎛ ⎞1 1 1 112

n n n ni j ij i j ij

u u u uc

x x+ + + +⎛ ⎞− −

+ +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠2

1 n n n n

u u u u

⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎛ ⎞− −1 1 1 11 0

2ij ij i j i j

u u u uc

y y+ + + +⎛ ⎞− −

+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠

⎝ ⎠

ESQUEMA DE LAX-WENDROFF (2/2)1n n+1n n

ij iju ut

Δ1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 212

n n n ni j i j i j i j

u u u uc

+ + + ++ − − − + + − +⎛ ⎞− −

+ +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

n n n n

u u u u+ + + +

⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎛ ⎞1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21 0

2i j i j i j i j

u u u uc

y y− + − − + + + −⎛ ⎞− −

+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎝ ⎠

ESTABILIDAD

xt ΔΔ ≤

{ }2 2 max ,x y

Δ ≤{ }

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosEcuación de Segundo Orden

PROBLEMA BASE2 2

22 2 0, 0 , 0u uc x L t

t∂ ∂

− = < < >∂ ∂2 2t x∂ ∂

( 0) ( )t f( , 0) ( )u x t f x= =

( ) ( )u∂ ( , 0) ( )u x t g xt

∂= =

∂( 0, ) ( )u x t h t= =

( , ) ( )u x L t i t= =

EXPLICITO CENTRADO1 1

1 122 2

c+ −

+ −− + − +− =2 2 ,

0 , 0t x

j N nΔ Δ

< < ≥,j0 ( )j ju f x= 0 ( )n nu h t= ( )n n

Nu i t=( )j ju f x 0 ( )u h t ( )Nu i t

2tΔ1 0 2( ) ''( )2j j j jtu u tg x c f xΔ

= + Δ +

ESTABILIDAD

Criterio de Courant:Criterio de Courant:

xt ΔΔ ≤

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales

PROBLEMA BASE

0u uut x

∂ ∂+ =

∂ ∂t x∂ ∂

u u dX u dT∂ ∂ ∂Sobre curva característica:

u u dX u dTx d t dτ τ τ

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂u u dT u dX∂ ∂ ∂= −

n x d t dτ τ∂ ∂ ∂

CURVAS CARACTERISTICAS

⎡ ⎤ ⎡ ⎤0dX dT u ud d xτ τ

∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂1 0

d d xdT dX ud d

τ τ τ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂01 0

d d tu uτ τ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦n

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

d d ddT dXud dτ τ

Δ = − + 0 dX udT

Δ = ⇒ =

d dτ τ dT

FORMULACIONES ALTERNATIVAS

2Formulación conservativa:

0u ft x

∂ ∂+ =

∂ ∂

uf u =t x∂ ∂ 2

0dI f f1( )

xI t d∫

Formulación débil:

1 0 0dI f fdt

+ − = ( )ox

I t udx= ∫

ONDA DE CHOQUE

1( )( ) cx t x

I t udx udx= +∫ ∫ ( )( )

o cx x t∫ ∫

[ ][ ]

c c cdx f f fsdt u u u

−≡ = =

[ ]c cdt u u u−

Relación de Rankine-Hugoniot

UNICIDAD

0u u⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0

2 3t x+⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 22 c c c cu u u u+ + − −+ +( ) ( )

( )3 c c

su u+ −

La Física define la correcta

ONDA DE RAREFACCION

Emanando de x = 0, t = 0:

dx x= izq deru t x u t≤ ≤características para

= para izq deru t x u t≤ ≤

Cumple ecuación diferencialt

y continua en extremos

CALCULO NUMERICO DE DISCONTINUIDADESDISCONTINUIDADES

Mét d d “ i i t ” d l•Métodos de “seguimiento” de la discontinuidad:

Basados en la formulación característica

•Métodos de “captura” de la discontinuidad:discontinuidad:

Basados en la formulación conservativa

Análisis Numérico IIDiferencias finitas – Problemas Elípticos

DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA ELIPTICOSPROBLEMA ELIPTICOS

E d l i • Esquema de los cinco puntos

• Métodos Seudoevolucionarios

• Dominios Arbitrarios

• Ecuación Autoadjunta• Ecuación Autoadjunta

• Esquema de integración en caja

D i d d• Derivadas cruzadas

• Estabilidad

Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de los cinco puntos

PROBLEMA BASE2 2

2 2 0, 0 , 0x yu u x L y L∂ ∂+ = < < < <2 2 , ,x yy

x y∂ ∂

( 0) ( )f1( , 0) ( )u x y f x= =

( ) ( )L f

( 0 ) ( )2( , ) ( )yu x y L f x= =

1( 0, ) ( )u x y g y= =

( ) ( )L2/27

2( , ) ( )xu x L y g y= =

DISCRETIZACION

1 1 1 12 2

2 20,i j ij i j ij ij iju u u u u u+ − + −− + − +

+ =2 2 ,

0 0x y

i N j NΔ Δ

< < < <0 , 0x yi N j N< < < <

0 1( )i iu f x= 2 ( )yiN iu f x=

0 1( )j ju g y= 2 ( )xN j ju g y=

CONDICION DE BORDE NEUMANN

2( , ) ( )yu x y L f xy∂

= =∂y∂

1 1iN iNu u−( )1 1

22y yiN iN

u uf x

y+ − =Δy

1 1 1 12 20i j ij i j ij ij iju u u u u u+ − + −− + − +

+ =2 2 0,

0 0x y

i N j N

+ =Δ Δ

< < < ≤

0 , 0x yi N j N< < < ≤

SOLUCION

Sistema algebraico lineal:Sistema algebraico lineal:

•Métodos directos (Eliminación Gauss)( )

•Métodos iterativos (Gauss-Seidel)

Diferencias finitas – Problemas ElípticosMétodos Seudoevolucionarios

PROBLEMA PARABOLICO2 2

2 2 , 0 , 0 , 0x yu u u x L y L t

t∂ ∂ ∂

+ = < < < < >∂ ∂ ∂2 2 x yx y t∂ ∂ ∂

( 0 ) ( )t f ( 0) ( )t h1( , 0, ) ( )u x y t f x= =

( ) ( )L t f

( , , 0) ( , )u x y t h x y= =

( 0 ) ( )u x y t g y2( , , ) ( )yu x y L t f x= =

1( 0, , ) ( )u x y t g y= =

( ) ( )u x L y t g y= =6/27

2( , , ) ( )xu x L y t g y= =

RELACION

( )( , , ) :u x y tsolucion del problema eliptico

→∞ solucion del problema eliptico

SOLUCION NUMERICA

• La (seudo)evolución temporal funciona como unmétodo iterativo para el problema elíptico, pero conbase física

• No interesa precisión ⇒ Δt grande ⇒ métodosimplícitos adecuados, con técnicas de pasosalternados o de desdoblamiento

PRIMERA ALTERNATIVA

Diferencias finitas – Problemas ElípticosDominios Arbitrarios

PRIMERA ALTERNATIVA:RECTIFICACION DOMINIO

SEGUNDA ALTERNATIVA

SEGUNDA ALTERNATIVA:MOLECULA NO RECTANGULAR

0E E N N W W S Su u u u uβ β β β β+ + + − =

x y hΔ = Δ ≡

0E E N N W W S S o ou u u u uβ β β β β+ + +

2 Esβ = 2 WsβNx y hΔ ΔE

E Ws sβ =

sN h 2 SS

sW h sE ho

EWsS h

o E N W Sβ β β β β= + + +

10/27S

TERCERA ALTERNATIVA:

TERCERA ALTERNATIVA:COORDENADAS ADAPTADAS AL

CONTORNOD fi i ió d• Definición de coordenadas adaptadas al contorno

• Transformación de la ecuación diferencial

Diferencias finitas – Problemas ElípticosEcuación Autoadjunta

PROBLEMA BASE

( , ) ( , ) ( , ) ( , ),u ua x y b x y f x y u g x yx x y y

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦, 0, ( , ) 0

x x y ya b f x y

∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦> ≥

DISCRETIZACION

x y hΔ = Δ ≡

21 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h gα α α α α+ + − −+ + + − =j j j j j j

1/ 2E i jaα += 1/ 2N ijbα += 1/ 2W i jaα −= 1/ 2S ijbα −=1/ 2E i j+ 1/ 2N ij+ 1/ 2W i j 1/ 2S ij

2o E N W S ijh fα α α α α= + + + +o E N W S ijf

DISTRIBUCION

2 2u a u u b u∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 2

u a u u b ua b fu gx x x y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y y

Si gradientes de a ó b altos ⇒problemas de estabilidad numéricaproblemas de estabilidad numérica

Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de Integración en Caja

ECUACION AUTOADJUNTA

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤( , ) ( , ) ( , ) ( , ),u ua x y b x y f x y u g x yx x y y

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦, 0, ( , ) 0y y

a b f x y⎣ ⎦ ⎣ ⎦

NINTEGRACION

ua dxdy∂ ∂⎡ ⎤ =⎢ ⎥∫∫

sW h sE h

a dxdyx x

=⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∫∫EW

sS h/ 2

/ 2 / 2 / 2

u ua a dyx x

⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫

/ 2 / 2 / 2S E Ws h x s h x s hx x− = =−∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞

u uuax s h

−∂⎛ ⎞ ≈⎜ ⎟∂⎝ ⎠

/ 2E Ex s hx s h=∂⎝ ⎠

DISCRETIZACION

21 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h gα α α α α+ + − −+ + + − =j j j j j j

/ 2N S

E i js s aα +

= E Ws s bα +=/ 22 EE i s j

α + / 22 NN ij sN

N Ss s+ s s+/ 22 W

N SW i s j

s s as

α −+

=/ 22 S

E WS ij s

s s bs

α −+

( )( )2

4E W N S

o E N W S ij

s s s sh fα α α α α

+ += + + + +

Diferencias finitas – Problemas ElípticosDerivadas Cruzadas

PROBLEMA BASE

2 2( , ) 2 ( , ) ( , ) 0,u u ua x y b x y c x y∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∂2 2

x x y yb ac

∂ ∂ ∂ ∂

<b ac<

DISCRETIZACION2u∂N NEN

W ux y∂

≈∂ ∂

1 [ E NE N E ou u u uh

α − − +EW

( )N N NW o Wu u u uα+ − − +EW o

( )( )]

W o W S SWu u u u

u u u u

+ − − +

+ +S SESW ( )]S E o SE Su u u uα+ − − +4

1α∑19/27

SELECCION DE COEFICIENTES

( ) ( ) 0E W N Sα α α α− − − =Aproximación de segundo orden: ( ) ( ) 0E W N Sα α α α− + − =segundo orden:

1, 0 :Supongase a c >

1) 0 : , 02E W N SI b α α α α> = = = =

11) 0 : 0, 2E W N SII b α α α α< = = = =

Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad

PROBLEMA BASE

⎛ ⎞2 2u u u uU Vν⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ = +⎜ ⎟2 2 U Vx y x y

ν + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

SIMPLIFICACION22

2 , 0 ,d u duU x Ldx dx

ν = < <

(0) , ( )o L

dx dxu u u L u= =( ) , ( )o L

Sol ción cerrada:Solución cerrada:xPe

( ) 11

u x u e− −= ULPe

1 PeL ou u e− − ν

ESQUEMA CENTRADO

1 1 1 12

i i i i iu u u u uUx x

ν + − + −− + −=

Δ Δ2x xΔ Δ

Solución cerrada:

1 / 2i

P⎛ ⎞1 / 211 / 2i o

PgPgu u

⎛ ⎞+− ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠ U xΔ

1 / 21

gu u Pg

⎝ ⎠=− ⎛ ⎞+

− ⎜ ⎟

U xPgνΔ

11 / 2Pg⎜ ⎟−⎝ ⎠

ESTABILIDAD

⇒ =0.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Analítica Esquema centrado

ESTABILIDAD

100100

⇒ =0.6

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x

Analítica Esquema centrado

1 1 12i i i i iu u u u uUν + − −− + −=2 U

x xν =

Δ ΔSolución cerrada:Solución cerrada:

( )1 1 ii o Pgu u − +−

= U xPg Δ=

( )1 1 NL ou u Pg− − +

ESTABILIDAD

⇒ =0.6

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x

Analítica Esquema con upwinding

Análisis Numérico IIResiduos Ponderados – Problemas Elípticos

RESIDUOS PONDERADOSPROBLEMA ELIPTICOSPROBLEMA ELIPTICOS

• Formulación Ponderada

• Residuos Ponderados

• Métodos• Métodos

Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada

PROBLEMA BASE

Formulación diferencial:

2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω

1( , ) u x y u sobre= Γ1( , )y

( )u x y q sobre∂= Γ2( , ) x y q sobre

∂l C2

u clase C2

VERSION 1D

2dProblema particular:

2 0 (0,1)d u u x endx

+ + =dx

(0) 0 (1) 0(0) 0 (1) 0u u= =Primer problema:

(0) 0 (1)duu qdx

= =Segundo problema:

SOLUCIONES PROBLEMA 1D

Primer problema:( )( )( )(1)

sen xu x xsen

Segundo problema:

(1)sen

( )( ) (1 ) sen xu x q x+

Segundo problema:

( ) (1 )cos(1)

u x q x= + −

SOLUCION EN DIFERENCIAS FINITAS

- 20j j j

u u uu j x+ −+

+ + Δ =2 0ju j xx

+ + ΔΔ

1/ 3ΔPrimer problema: 1/ 3xΔ =

Método u1 u2

Dif. finitas 0,05609 0.06891

A líti 0 05550 0 068205/13

Analítico 0,05550 0,06820

FORMULACION PONDERADA

( ) ( )2u f wd u u wd∇ + Ω+ − Γ∫ ∫( ) ( )1

u f wd u u wdΩ Γ

∇ + Ω+ Γ∫ ∫

0u q wd∂⎛ ⎞+ − Γ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫2

nΓ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫

Residuos Ponderados – Problemas ElípticosResiduos Ponderados

FUNCIONES APROXIMANTES

( , )N

i iu x yα φ=∑1

( )i ii

yφ=∑

φ satisfacen exactamente condiciones de borde

( )∫

φi satisfacen exactamente condiciones de borde

( )2 0u f wdΩ

∇ + Ω =∫αi son las incógnitas; método modal

FUNCIONES DE PESON

( , )N

w x yβ ψ=∑1j=

( )2 0 1 2u f d j Nψ∇ + Ω = =∫ ( ) 0, 1, 2...ju f d j NψΩ

∇ + Ω = =∫

ji i ja dφψ≡ ∇ Ω∫1

ji i ji

a bα=

=∑ Ω∫

j jb f dψ≡ − Ω∫8/13

j jb f dψΩ

LIMITACIONES

La determinación de φ sólo puede hacerse paraLa determinación de φi sólo puede hacerse para problemas muy particulares

La elección de ψi determina el método

Residuos Ponderados – Problemas ElípticosMétodos

METODOS

1 1( , ) j kjk x y x yψ − −=Momentos:

( , ) ( , )j jx y x yψ φ=Galerkin:

PRIMER PROBLEMA 1D

( ) (1 )ii x x xφ = −

21 2( ) (1 ) (1 )u x x x x xα α= − + −1 2( ) ( ) ( )

2d uε + +2

2 2 3( ) ( )

ε ≡ + +

2 2 31 2( 2 ) (2 6 )x x x x x xα α= − + − + − + − +

PRIMER PROBLEMA 1D

1( ) , 1, 2jj x x jψ −= =Momentos:

11 0dxε =∫

10xdxε =∫0

1 0dxε =∫ 00xdxε =∫

11 11 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤1

11 11 16 12 2α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

2 11 1932 20

α=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

32 20⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

RESULTADOS

Primer problema: 1/ 3xΔ =

Método u1 u2

Dif. finitas 0,05609 0,06891

RP-Momentos 0,05433 0,06888

RP G l ki 0 05540 0 06805RP-Galerkin 0,05540 0,06805

Analítico 0 05550 0 06820

Analítico 0,05550 0,06820

Análisis Numérico IIVolúmenes Finitos – Problemas Elípticos

ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA ELIPTICOSPROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico IIElementos Finitos – Problemas Elípticos

ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA ELIPTICOSPROBLEMA ELIPTICOS

F l ió Débil• Formulación Débil

• Discretización

• Formulación Variacional

• Método de Ritz• Método de Ritz

• Discretización del Funcional

P bl d C Lí i• Problemas de Capa Límite

Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil

PROBLEMA BASE

Formulación diferencial:2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω

1( , ) u x y u sobre= Γ1( , )y

u clase C2

( ) ( )∫ ∫( ) ( )2u f wd u u wdΩ Γ

∇ + Ω+ − Γ∫ ∫1

∂⎛ ⎞ Γ⎜ ⎟∫2

0q wdnΓ

⎛ ⎞+ − Γ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫

INTEGRACION POR PARTES

uu wd fwd w d∂− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ∫ ∫ ∫

.u wd fwd w dnΩ Ω Γ +Γ

∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ∂∫ ∫ ∫

( ) 0uu u wd q wd∂⎛ ⎞+ − Γ + − Γ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫( )1 2

nΓ Γ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫

10 w u u sobre= = Γ

w w= −

FORMULACION DEBIL

. 0u wd fwd qwd− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫2Ω Ω Γ

∫ ∫ ∫

u clase C1

(Soluciones débiles o generalizadas)

Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización

DISCRETIZACION DEL DOMINIO

Elementos finitos triangulares

NUMERACION DE NODOSn: numeración global , 1≤ n ≤ N

N: cantidad total de nodos

k: numeración local, 1≤ k ≤ KN: cantidad total de nodos

n = 58

K: cantidad de nodos por elementoelemento

K = 3n = 57

n = 42

CONECTIVIDADm: numeración de elemento , 1≤ m ≤ M

M: cantidad total de elementos

# nodo global de nodo local k de elemento m

M: cantidad total de elementos

( ) :mkG

n = 58

27 57G =(1) 57G =27(2) 58G =

n = 57

n = 42

m=27(2) 58G27(3) 42G =

k = 1(3)

DISCRETIZACION DE LA FUNCION

:nu valores nodales (incógnitas)

Método nodal

( ) :mkn G= ( )

mku u≡( ) :kn G ( )n ku u

FUNCION INTERPOLANTE( ) ( )

( , ) ( , )m

mu x y u x y

=∑K⎧ m

( ) ( )1

( , ) ( , )( , )

Km m mk km

kN x y u si x y e

u x y =

∈= ∑⎧⎪⎨⎪

0 ( , )si x y ∈ me⎪⎩

mN (k)

funciones de forma( ) :mkN m

FUNCIONES DE PESO

:nw tantas como incógnitas

l t ti d 1≤ l ≤ Lml: elementos que contienen nodo n, 1≤ l ≤ Ln

Ln: cantidad de elementosn

Método de Bubnov-Galerkin:

( ) ( , ) ( , )( , )

nN x y si x y e

w x y∈

⎧⎨⎩

( , )0 ( , )n y

si x y ∈ lme⎨⎩

mG12/46

mkn G=

ECUACIONES DISCRETAS

. 0n n nu w d fw d qw d− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫2Ω Ω Γ

∫ ∫ ∫M

( , ) ( , )M

mu x y u x y

( ) ( )l lm mN x y si x y e∈⎧

( ) ( , ) ( , )( , )

0 ( , )

N x y si x y ew x y

si x y∈

=∈ lme

⎧⎨⎩

( , )y⎩

PRIMER TERMINO

( ) ( ). .n

L Km m m

n k k nu w d u N N d− ∇ ∇ Ω = − ∇ ∇ Ω∑∑∫ ∫( ) ( )1 1 ml

n k k nl k e= =Ω∑∑∫ ∫

kn G= ( )lk

l lm ma N N d≡ ∇ ∇ Ω∫ lmp G=( ) .l l

np k ne

a N N d≡ ∇ ∇ Ω∫ ( )kp G=

n np pu w d a u− ∇ ∇ Ω = −∑∑∫14/46

1 1l k= =Ω∫

ENSAMBLE

Elemento m: 1≤ k,k’ ≤ K

( ')mkn G=m mN N d∇ ∇ Ω∫ ( )k

( ) ( ').m

m mk k np

N N d a∇ ∇ Ω→∫( )mkp G= ( )

DESAGREGADO

np np npa α β= +

( ) ( ')m mk kN N

d∂ ∂

Ω∫( ')mkn G=

( ) ( )

α = Ω∂ ∂∫

( )mkp G=

( ) ( ')m mk kN N

dβ∂ ∂

Ω∫( )( ) ( )

β = Ω∂ ∂∫

NORMALIZACION INTEGRALES( )mF N d⎡ ⎤ Ω⎣ ⎦∫

( ) 1N ξ η ξ η⎧

( )( ) ,m

F N x y d⎡ ⎤ Ω⎣ ⎦∫

( )( )( )

ξ η ξ ηξ η ξξ η η

⎧ = − −⎪ =⎨⎪ =⎩

( )(3) , N ξ η η⎪ =⎩

( ) ( ), mk kx N xξ η=∑

( )( ) ( )1

ξ η=∑

( ) ( )1

, mk k

ky N yξ η

( ) ( )( ) ( ), ,m mk kF N x y d J F N dξ η⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ω = Ω⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫

NORMALIZACION INTEGRALES

( ) m mx x

l lξ∂ ∂

∂ ∂ ∂( )( )

m mx xmm my y

l lx yJ

l ly yξ η

ξ η∂ ∂ ∂

≡ = =∂ ∂∂ ( ) y y

ξ η∂ ∂m m ml 12 (2) (1)

13 (3) (1)

m m mx

≡ −

≡ −13 (3) (1)

12 (2) (1)

m m my

l y y≡ −

13 (3) (1)m m myl y y≡ −

CALCULO DE INTEGRALESm mN N∂ ∂( ) ( ')

∂ ∂= Ω

∂ ∂∫e

( ) 13 ( ) 12 ( )m m mk y k y k

N l N l Nξ

∂ ∂ ∂= −

∂ Δ ∂ Δ ∂

(1) (1)1; 1N Nξ η

∂ ∂= − = −

∂ ∂m mx ξ η∂ Δ ∂ Δ ∂(2) (2)1; 0

N Nξ η

ξ η∂ ∂

= =∂ ∂12 13

m mx xm ml l

(3) (3)0; 1N Nξ η

∂ ∂= =

∂ ∂

x xm mm my y

Δ ≡ =

( ) ( ') ( ) ( ')m m m mmk k k km N N N NJJ dα

∂ ∂ ∂ ∂= Ω =∫

J dx x x x

α = Ω =∂ ∂ ∂ ∂∫

CALCULO DE INTEGRALESm m mN l l∂ (1) 13 12m m m

y ym m

N l lx

∂= − +

∂ Δ Δ

(2) 13m m

∂ Δ(3) 12m m

∂= −

∂ Δx∂ Δ x∂ Δ

213 12 1m mmy y m ml lJ l lα

⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟

(1)mn G=

( )12 132 2np y ym m m l lJ

α = − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠(1)mp G=

SEGUNDO TERMINO

( , , ) ( , , )M

mf x y u f x y u=∑1m=∑

∑⎧ ( ) ( )1

( , ) ( , )( , , )

m m mk km

kN x y f si x y e

f x y u =

∈= ∑⎧⎪⎨⎪ 0 ( , )si x y ∈ me⎪⎩

( ) ( ) ( ) ( )( , , )m m m mk k k kf f x y u≡

SEGUNDO TERMINO

fw d fγΩ =∑∑∫1 1

n np pl k

fw d fγ= =Ω

Ω =∑∑∫

mkn G=l lm mN N dγ ≡ Ω∫ ( )

np k ne

N N dγ ≡ Ω∫( )

lmkp G=

TERCER TERMINO

( , ) ( , )B b

q x y q x y=∑1b=∑

R b∑⎧ ( ) ( )

1( , ) ( , )

( , )bb b

b r rr

N x y q si x y gq x y =

∈= ∑⎧⎪⎨⎪0 ( , )si x y ∈ bg⎪⎩

( ) ( )( ) ( , )b b b

r rrq q x y≡

( ) ( )( )r

TERCER TERMINO

qw d qγΓ =∑∑∫2 1 1

n nt ts r

qw d qγ= =Γ

Γ =∑∑∫

bkn G=l lb bN N dγ ≡ Ω∫ ( )

nt r ng

N N dγ ≡ Ω∫( )

lbrt G=

RESULTADOSPrimer problema: 1/ 3xΔ

Método u1 u2

Primer problema: 1/ 3xΔ =1 2

Dif. finitas 0,05609 0,06891

RP-Momentos 0,05433 0,06888

RP-Galerkin 0,05540 0,06805

EF-Galerkin 0,05494 0,06751

Analítico 0,05550 0,06820

Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional

PROBLEMA BASE

Formulación diferencial:2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω

1( , ) u x y u sobre= Γ1( , )y

u clase C2

( ) ( )∫ ∫( ) ( )2u f wd u u wdΩ Γ

∇ + Ω+ − Γ∫ ∫1

∂⎛ ⎞ Γ⎜ ⎟∫2

0q wdnΓ

⎛ ⎞+ − Γ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫

FORMULACION DEBIL

. 0u wd fwd qwd− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫2

. 0u wd fwd qwdΩ Ω Γ

∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ∫ ∫ ∫

Variación débil:1( , ) u x y u sobre= Γ

Variación débil:w uδ= 10 u sobreδ = Γ

( , , ) ( , )f u x y u g x y= +

(caso particular)

FORMULACION VARIACIONAL

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 0u u ug d qu dδ δ δ δ⎡ ⎤− ∇ + + Ω+ Γ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )2

2 2g q

Ω Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

Funcional:

( )2 21 1⎡ ⎤∫ ∫( )2

2 21 1( )2 2

I u u u ug d qudΩ Γ

⎡ ⎤= ∇ − − Ω− Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

0Iδ = 1( , )u x y u sobre= Γ29/46

0Iδ = 1( , ) u x y u sobre Γ

Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz

FUNCION APROXIMANTE

( )2 21 1( )I u u u ug d qud⎡ ⎤= ∇ − − Ω− Γ⎢ ⎥∫ ∫( )2

( )2 2

∇ Ω Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

( ) b Γ1( , ) u x y u sobre= Γ

Aproximación:

u x yα φ=∑Aproximación:

1( , )i i

iu x yα φ

(satisface condiciones de borde geométrica)

PLANTEO

0Iδ = 0Iδ =

I∂ 0, 1, 2...i

I i Nα∂

= =∂

l i ó i é d d l

iα∂

αi son las incógnitas; método modal

SEGUNDO PROBLEMA 1D

0 (0 1)d u+ + (0) 0 (1)duu q

2 0 (0,1)u x endx

+ + = (0) 0 (1)u qdx

( )2 21 1( )2 2

⎡ ⎤= ∇ − − Ω− Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 1( , ) u x y u sobre= Γ

2121 1( ) (1)duI d

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟∫

2Ω Γ⎣ ⎦

( ) (1)2 2

I u u ux dx qudx

⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(0) 0u =

SOLUCION

0 ( ) ( )x sen xφ = 1( )x xφ =0 ( ) ( )x sen xφ 1( )x xφ

1 2( ) ( )u x sen x xα α= +1 2( ) ( )

0I I∂ ∂= =

0α α

= =∂ ∂

( )( ) (1 )cos(1)sen xu x q x= + − (solución exacta)

cos(1) ( )

Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional

SEGUNDO PROBLEMA 1D

Se procede en forma análoga al caso de partida desde lacaso de partida desde la

formulación débil

FUNCION INTERPOLANTE

( ) ( )M

( , ) ( , )m

mu x y u x y

( ) ( )( , ) ( , )K

m m mk kN x y u si x y e∈∑⎧⎪

⎨( ) ( )

1( , ) ( , )

( , )0 ( )

N x y u si x y eu x y

si x y==

⎪⎨⎪⎩ 0 ( , )si x y ∈e⎪⎩

funciones de forma:mN35/46

funciones de forma( ) :kN

PLANTEO

1 2( , ... )NI u u u

I∂ 0, 1, 2..n

I n Nu∂

= =∂ n

PRIMER TERMINO21⎡ ⎤∫ ( )21( )

2I u u d

⎡ ⎤→ ∇ Ω⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( )2( ) ( ') ( ) ( ')

1 1 .2 2

K Km m m mk k k ku d u u N N d∇ Ω = ∇ ∇ Ω∑∑∫ ∫

' 1 12 2m mk ke e= =∫ ∫

mn G1 K⎡ ⎤∂ ( )lkn G=

( )mkp G=

u d a uu

⎡ ⎤∂∇ Ω =⎢ ⎥

∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫

m mN N d∇ ∇ Ω∫

( )kp12 m kn eu =∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) .m

m mnp k n

a N N d≡ ∇ ∇ Ω∫

SISTEMA DISCRETO

Resulta idéntico al obtenido desde la formulación débil condesde la formulación débil con el método de Bubnov-Galerkin

Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite

PROBLEMA BASE

2 2u u u uU Vν⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ = +⎜ ⎟2 2 U Vx y x y

ν + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

0 ( )u w d U uw d U U Vν∇ ∇ Ω+ ∇ Ω = =∫ ∫. . 0, ( , )n nu w d U uw d U U VνΩ Ω

∇ ∇ Ω+ ∇ Ω = =∫ ∫

FUNCION INTERPOLANTE

( ) ( )M

( , ) ( , )m

mu x y u x y

( ) ( )( , ) ( , )K

m m mk kN x y u si x y e∈∑⎧⎪

⎨( ) ( )

1( , ) ( , )

( , )0 ( )

N x y u si x y eu x y

si x y==

⎪⎨⎪⎩ 0 ( , )si x y ∈e⎪⎩

funciones de forma:mN40/46

funciones de forma( ) :kN

FUNCIONES DE PESO

Método de Petrov-Galerkin: SUPG

( ) ( ) ( , )( )

l l lm m mk kN h N si x y eα+ ∇ ∈⎧

⎨ ( ) ( ) ( , )( , )

0 ( , )l lk k

w x ysi x y

=∈ lme⎨

mkn G=

CASO 1D2

2 , 0 ,d u duU x Ld d

ν = < <2 , ,

(0) ( )dx dxu u u L u= =(0) , ( )o Lu u u L u= =

S l ió dSolución cerrada:xPe

( ) 11

u x u e− −= ULPe

1 PeL ou u e− − ν

FORMULACION DEBIL

dwdu duU w dxd d d

ν⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

0ndx dx dx⎜ ⎟

⎝ ⎠∫1

(2)1(2)

dNN x si x x

−−⎧+ Δ <⎪⎪ (2)

n ndxw x

⎪⎪= ⎨⎪ (1)

(1) nn

dNN x si x x

dxα⎪ + Δ >⎪⎩

FUNCIONES DE FORMA1

(2)1(2) 1 1( )

nn x x

N x−

− −= (2)

(1) ( )n

n x xN x

−=(2) 1 1

(2) (1)

( ) n nx x− −− (1)(2) (1)

( ) n nx x−

1⎧1 1

(2) (1)

1 nn n si x xx xdw

− −

⎧ <⎪ −⎪ (2) (1)

x xdwdx si x x

⎪= ⎨⎪ >1 1

(2) (1)

nn n si x xx x− −

⎪− >⎪ −⎩

(igual que Bubnov-Galerkin)

ECUACION ENSAMBLADA

( ) ( )1 1 1 112 2 0n n n n nu u u u u

Pα + − + −

⎛ ⎞+ − + − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠( ) ( )1 1 1 1n n n n nPg + +⎜ ⎟

⎝ ⎠U xPg Δ

Si 0 ét d t d i t bilid dSi α = 0: método centrado → inestabilidad

Si α = 1/2: upwinding (U > 0)

VALOR OPTIMO DEL PARAMETRO

1 1 1coth( ) : 2 coth( )2

Si Pg PgPg Pg

α α⎛ ⎞

= − + =⎜ ⎟⎝ ⎠2 Pg Pg⎝ ⎠

1 / 2n

Pg⎛ ⎞+1 / 211 / 2

PgPgu u

⎛ ⎞+− ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠/

1 / 21

gu uu u Pg

⎝ ⎠=− ⎛ ⎞+

⎜ ⎟11 / 2

− ⎜ ⎟−⎝ ⎠

(solución numérica exacta)

Análisis Numérico IIElementos Finitos – Problemas Evolucionarios

ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA EVOLUCIONARIOSPROBLEMA EVOLUCIONARIOS

Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosProblema Base

PROBLEMA BASE

∂ 2 ( , , ) , 0uS u f u x y en tt

∂= ∇ + Ω >

∂t∂

Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDiscretización Espacial

DISCRETIZACION ESPACIAL

2 ( , , )uS u f u x y∂= ∇ +

d⎧ ⎫

( , , )f yt∂

[ ] [ ]{ } { }duC K u rdt

⎧ ⎫= +⎨ ⎬

⎩ ⎭dt⎩ ⎭

K: matriz de rigidezK: matriz de rigidez

C: matriz de atenuación

Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDiscretización Temporal

DISCRETIZACION TEMPORAL

⎧ ⎫[ ] [ ]{ } { }duC K u rd

⎧ ⎫= +⎨ ⎬

⎩ ⎭[ ] [ ]{ } { }

dt⎨ ⎬⎩ ⎭

Método explícito de diferencias finitas:1+

[ ]{ } { } [ ]{ } { }1n n

n nu uC K u r

= +[ ] [ ]{ } { }C K u rt

Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDespeje

DESPEJE1n n+

[ ]{ } [ ] [ ]( ){ } { }1n n nC u K t C u t r+= Δ + + Δ

Todavía acopladas!!!

Concentración de masa:N

ij iij

→∑ 0 ijc si i j→ ≠1j

C diagonal ⇒ desacoplada

(pérdida de consistencia)

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ANALISIS NUMERICO AVANZADO y ANALISIS NUMERICO IIamaterias.fi.uba.ar/7538/material/Clases.pdf · ANALISIS NUMERICO AVANZADO y ANALISIS NUMERICO IIa. Profesor: Dr. Angel N. Menéndez

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